Глоссарий функционального анализа - Glossary of functional analysis

Это глоссарий за терминологию в математической области функциональный анализ.

Смотрите также: Список тем функционального анализа.

На протяжении всей статьи, если не указано иное, базовым полем векторного пространства является поле действительных или комплексных чисел. Алгебры не считаются унитальными.

А

*: * -гомоморфизм между инволютивные банаховы алгебры - гомоморфизм алгебр, сохраняющий *.

А

абелевский: Синоним слова «коммутативный»; например, абелева банахова алгебра означает коммутативную банахову алгебру.
Алаоглу: Теорема Алаоглу утверждает, что замкнутый единичный шар в нормированном пространстве компактен в слабая * топология.
прилегающий: В прилегающий ограниченного линейного оператора ${ displaystyle T: H_ {1} to H_ {2}}$ между гильбертовыми пространствами - это ограниченный линейный оператор ${ displaystyle T ^ {*}: от H_ {2} до H_ {1}}$ такой, что ${ displaystyle langle Tx, y rangle = langle x, T ^ {*} y rangle}$ для каждого ${ displaystyle x in H_ {1}, y in H_ {2}}$ .
приблизительная личность: В необязательно унитальной банаховой алгебре приблизительная личность это последовательность или сеть ${ Displaystyle {и_ {я} }}$ таких элементов, что ${ displaystyle u_ {i} x to x, xu_ {i} to x}$ в качестве ${ Displaystyle я к infty}$ для каждого Икс в алгебре.
свойство аппроксимации: Говорят, что банахово пространство имеет свойство аппроксимации если каждый компактный оператор является пределом операторов конечного ранга.

B

Baire

В Теорема Бэра о категории заявляет, что полное метрическое пространство - пространство Бэра; если

{ displaystyle U_ {i}}

последовательность открытых плотных подмножеств, то

{ displaystyle cap _ {1} ^ { infty} U_ {i}}

плотный.

Банах

1. А Банахово пространство - нормированное векторное пространство, полное как метрическое пространство.

2. А Банахова алгебра является банаховым пространством, которое имеет структуру, возможно, неединичную ассоциативная алгебра такой, что

{ Displaystyle | ху | Leq | х | | у |}

для каждого

{ displaystyle x, y}

в алгебре.

Бессель

Неравенство Бесселя состояния: данный ортонормированный набор S и вектор Икс в гильбертовом пространстве,

{ displaystyle sum _ {u in S} | langle x, u rangle | ^ {2} leq | x | ^ {2}}

,^[1]

где равенство выполняется тогда и только тогда, когда S - ортонормированный базис; т.е. максимальное ортонормированное множество.

ограниченный

А ограниченный оператор является линейным оператором между банаховыми пространствами, который переводит замкнутый шар в замкнутый шар.

Ортогональность Биркгофа

Два вектора Икс и у в нормированное линейное пространство как говорят Биркгоф ортогональный если

{ Displaystyle | х + лямбда у | geq | х |}

для всех скаляров λ. Если линейное нормированное пространство является гильбертовым пространством, то оно эквивалентно обычной ортогональности.

C

Калкин

В Калкина алгебра в гильбертовом пространстве - это фактор алгебры всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве по идеалу, порожденному компактными операторами.

Неравенство Коши – Шварца

В Неравенство Коши – Шварца состояния: для каждой пары векторов

{ displaystyle x, y}

во внутреннем пространстве продукта,

{ displaystyle | langle x, y rangle | leq | x | | y |}

.

закрыто

В теорема о замкнутом графике утверждает, что линейный оператор между банаховыми пространствами непрерывен (ограничен) тогда и только тогда, когда он имеет замкнутый граф.

коммутант

1. Другое название для "централизатор ", т.е. коммутант подмножества S алгебры - это алгебра элементов, коммутирующих с каждым элементом S и обозначается

{ displaystyle S '}

.

2. Программа Теорема фон Неймана о двойном коммутанте утверждает, что невырожденная * -алгебра

{ Displaystyle { mathfrak {M}}}

операторов в гильбертовом пространстве - алгебра фон Неймана; т.е.

{ Displaystyle { mathfrak {M}} '' = { mathfrak {M}}}

.

компактный

А компактный оператор - линейный оператор между банаховыми пространствами, переводящий замкнутый шар в компактное множество.

C *

А C * алгебра инволютивная банахова алгебра, удовлетворяющая

{ Displaystyle | х ^ {*} х | = | х ^ {*} | | х |}

.

выпуклый

А локально выпуклое пространство - топологическое векторное пространство, топология которого порождается выпуклыми подмножествами.

циклический

Учитывая представление

{ Displaystyle ( пи, В)}

банаховой алгебры

{ displaystyle A}

, а циклический вектор это вектор

{ displaystyle v in V}

такой, что

{ displaystyle pi (A) v}

плотно в

{ displaystyle V}

.

D

непосредственный: Философски прямой интеграл является непрерывным аналогом прямой суммы.

F

фактор: А фактор является алгеброй фон Неймана с тривиальным центром.
верный: Линейный функционал ${ displaystyle omega}$ на инволютивной алгебре верный если ${ Displaystyle омега (х ^ {*} х) neq 0}$ для каждого ненулевого элемента ${ displaystyle x}$ в алгебре.
Фреше: А Fréchet space является топологическим векторным пространством, топология которого задается счетным семейством полунорм (что делает его метрическим пространством) и которое является полным как метрическое пространство.
Фредхольм: А Фредгольмов оператор является ограниченным оператором, имеющим замкнутый образ, а ядра оператора и сопряженного оператора конечномерны.

грамм

Гельфанд: 1. В Теорема Гельфанда – Мазура. утверждает, что банахова алгебра, которая является телом, является полем комплексных чисел.; 2. Программа Представительство Гельфанда коммутативной банаховой алгебры ${ displaystyle A}$ со спектром ${ Displaystyle Omega (А)}$ является гомоморфизмом алгебр ${ Displaystyle F: от A до C_ {0} ( Omega (A))}$ , куда ${ displaystyle C_ {0} (X)}$ обозначает алгебру непрерывных функций на ${ displaystyle X}$ исчезающий на бесконечности, что задается ${ Displaystyle F (x) ( omega) = omega (x)}$ . Это * -сохраняющий изометрический изоморфизм, если ${ displaystyle A}$ является коммутативной C * -алгеброй.
Гротендик: Неравенство Гротендика.

ЧАС

Хан-Банах: В Теорема Хана – Банаха состояния: задан линейный функционал ${ displaystyle ell}$ на подпространстве комплексного векторного пространства V, если абсолютное значение ${ displaystyle ell}$ ограничена сверху полунормой на V, то продолжается до линейного функционала на V все еще ограничен полунормой. Геометрически это обобщение теорема об отделении гиперплоскостей.
Гильберта: 1. А Гильбертово пространство внутреннее пространство продукта, завершенное как метрическое пространство.; 2. Понятие в Теория Томиты – Такесаки, a (слева или справа) Гильбертова алгебра^{[необходимо разрешение неоднозначности ]} - некоторая алгебра с инволюцией.
Гильберта-Шмидта: 1. В Норма Гильберта – Шмидта ограниченного оператора ${ displaystyle T}$ в гильбертовом пространстве есть ${ Displaystyle сумма _ {я} | Te_ {я} | ^ {2}}$ куда ${ Displaystyle {е_ {я} }}$ является ортонормированным базисом гильбертова пространства.; 2. А Оператор Гильберта – Шмидта - ограниченный оператор с конечной нормой Гильберта – Шмидта.

я

индекс: 1. Индекс фредгольмова оператора ${ displaystyle T: H_ {1} to H_ {2}}$ это целое число ${ displaystyle operatorname {dim} ( operatorname {ker} (T ^ {*})) - operatorname {dim} ( operatorname {ker} (T))}$ .; 2. Программа Теорема Атьи – Зингера об индексе.
индексная группа: В индексная группа унитальной банаховой алгебры является фактор-группой ${ Displaystyle G (A) / G_ {0} (A)}$ куда ${ Displaystyle G (A)}$ группа единиц А и ${ Displaystyle G_ {0} (А)}$ компонент идентичности группы.
внутренний продукт: 1. An внутренний продукт в реальном или сложном векторном пространстве ${ displaystyle V}$ это функция ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle: V times V to mathbb {R}}$ так что для каждого ${ displaystyle v, w in V}$ , (1) ${ Displaystyle х mapsto langle x, v rangle}$ линейна и (2) ${ displaystyle langle v, w rangle = { overline { langle w, v rangle}}}$ где черта означает комплексное сопряжение.; 2. An внутреннее пространство продукта - векторное пространство, снабженное внутренним произведением.
инволюция: 1. An инволюция банаховой алгебры А изометрический эндоморфизм ${ Displaystyle от А до А, , х mapsto x ^ {*}}$ сопряженно-линейной и такой, что ${ Displaystyle (ху) ^ {*} = (ух) ^ {*}}$ .; 2. An инволютивная банахова алгебра является банаховой алгеброй с инволюцией.
изометрия: А линейная изометрия между нормированными векторными пространствами - это линейное отображение, сохраняющее норму.

K

Крейн – Мильман: В Теорема Крейна – Мильмана состояния: непустое компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства имеет экстремальную точку.

L

Локально выпуклая алгебра: А локально выпуклая алгебра представляет собой алгебру, лежащее в основе векторное пространство которой является локально выпуклым пространством, а умножение которой непрерывно относительно топологии локально выпуклого пространства.

N

невырожденный: Представление ${ Displaystyle ( пи, В)}$ алгебры ${ displaystyle A}$ называется невырожденным, если для каждого вектора ${ displaystyle v in V}$ , есть элемент ${ displaystyle a in A}$ такой, что ${ Displaystyle пи (а) v neq 0}$ .
некоммутативный: 1. некоммутативное интегрирование; 2. некоммутативный тор
норма: 1. А норма в векторном пространстве Икс является действительной функцией ${ Displaystyle | cdot |: от X до mathbb {R}}$ такой, что для каждого скаляра ${ displaystyle a}$ и векторы ${ displaystyle x, y}$ в ${ displaystyle X}$ , (1) ${ Displaystyle | топор | = | а | | х |}$ , (2) (треугольное неравенство) ${ Displaystyle | х + у | Leq | х | + | у |}$ и (3) ${ Displaystyle | х | geq 0}$ где равенство выполняется только для ${ displaystyle x = 0}$ .; 2. А нормированное векторное пространство реальное или сложное векторное пространство, снабженное нормой ${ displaystyle | cdot |}$ . Это метрическое пространство с функцией расстояния ${ Displaystyle д (х, у) = | х-у |}$ .
ядерный: Видеть ядерный оператор.

О

один: А одна группа параметров унитальной банаховой алгебры А является непрерывным гомоморфизмом групп из ${ Displaystyle ( mathbb {R}, +)}$ к единичной группе А.
ортонормированный: 1. Подмножество S гильбертова пространства есть ортонормированный если для каждого ты, v в комплекте, ${ displaystyle langle u, v rangle}$ = 0, когда ${ Displaystyle и neq v}$ и ${ displaystyle = 1}$ когда ${ displaystyle u = v}$ .; 2. An ортонормированный базис является максимальным ортонормированным множеством (примечание: это * не * обязательно базис в векторном пространстве.)
ортогональный: 1. Учитывая гильбертово пространство ЧАС и замкнутое подпространство M, то ортогональное дополнение из M замкнутое подпространство ${ displaystyle M ^ { bot} = {x in H | langle x, y rangle = 0, y in M }}$ .; 2. В обозначениях выше ортогональная проекция ${ displaystyle P}$ на M является (единственным) ограниченным оператором на ЧАС такой, что ${ displaystyle P ^ {2} = P, P ^ {*} = P, operatorname {im} (P) = M, operatorname {ker} (P) = M ^ { bot}.}$

п

Парсеваль: Личность Парсеваля состояния: с учетом ортонормированного базиса S в гильбертовом пространстве, ${ displaystyle | x | ^ {2} = sum _ {u in S} | langle x, u rangle | ^ {2}}$ .^[1]
положительный: Линейный функционал ${ displaystyle omega}$ на инволютивной банаховой алгебре называется положительный если ${ Displaystyle омега (х ^ {*} х) geq 0}$ для каждого элемента ${ displaystyle x}$ в алгебре.

Q

квазитраса: Quasitrace.

р

Радон: Видеть Радоновая мера.
Разложение Рисса
рефлексивный: А рефлексивное пространство является топологическим векторным пространством такое, что естественное отображение из векторного пространства во второе (топологическое) двойственное является изоморфизмом.
противовоспалительное средство: В противовоспалительное средство элемента Икс банаховой алгебры с единицей является дополнением к ${ Displaystyle mathbb {C}}$ спектра Икс.

S

самосопряженный: А самосопряженный оператор - ограниченный оператор, сопряженный к самому себе.
отделяемый: А сепарабельное гильбертово пространство является гильбертовым пространством, допускающим конечный или счетный ортонормированный базис.
спектр: 1. Спектр элемента Икс унитальной банаховой алгебры - это множество комплексных чисел ${ displaystyle lambda}$ такой, что ${ displaystyle x- lambda}$ не обратима.; 2. Программа спектр коммутативной банаховой алгебры - множество всех характеров (гомоморфизм к ${ Displaystyle mathbb {C}}$ ) на алгебре.
спектральный: 1. В спектральный радиус элемента Икс банаховой алгебры с единицей является ${ textstyle sup _ { lambda} | lambda |}$ где sup находится над спектром Икс.; 2. Программа теорема о спектральном отображении заявляет: если Икс является элементом унитальной банаховой алгебры и ж является голоморфной функцией в окрестности спектра ${ Displaystyle sigma (х)}$ из Икс, тогда ${ Displaystyle е ( сигма (х)) = сигма (е (х))}$ , куда ${ displaystyle f (x)}$ является элементом банаховой алгебры, определяемой через Интегральная формула Коши.
государственный: А государственный - положительный линейный функционал нормы единица.

Т

тензорное произведение: Видеть топологическое тензорное произведение. Обратите внимание, что определение или разработка правильного тензорного произведения топологических векторных пространств, включая банаховы пространства, все еще остается открытой проблемой.
топологический: А топологическое векторное пространство - векторное пространство, снабженное топология такая, что (1) топология Хаусдорф и (2) сложение ${ Displaystyle (х, у) mapsto х + у}$ а также скалярное умножение ${ Displaystyle ( лямбда, х) mapsto лямбда х}$ непрерывны.

U

неограниченный оператор: An неограниченный оператор - частично определенный линейный оператор, обычно ограниченный оператор на некотором плотном подпространстве.
принцип равномерной ограниченности: В принцип равномерной ограниченности состояния: задан набор операторов между банаховыми пространствами, если ${ textstyle sup _ {T} | Tx | < infty}$ , суп по набору, для каждого Икс в банаховом пространстве, то ${ textstyle sup _ {T} | T | < infty}$ .
унитарный: 1. А унитарный оператор между гильбертовыми пространствами - это обратимый ограниченный линейный оператор, обратный к которому является сопряженным.; 2. Два представления ${ displaystyle ( pi _ {1}, H_ {1}), ( pi _ {2}, H_ {2})}$ инволютивной банаховой алгебры А на гильбертовых пространствах ${ displaystyle H_ {1}, H_ {2}}$ как говорят унитарно эквивалентный если есть унитарный оператор ${ displaystyle U: H_ {1} to H_ {2}}$ такой, что ${ Displaystyle pi _ {2} (х) U = U pi _ {1} (х)}$ для каждого Икс в А.

W

Вт *: W * -алгебра - это C * -алгебра, которая допускает точное представление в гильбертовом пространстве такое, что образ представления является алгеброй фон Неймана.

дальнейшее чтение

Конспект лекций Энтони Вассермана на http://iml.univ-mrs.fr/~wasserm/
Лекционные заметки Якоба Лурье по алгебре фон Неймана в https://www.math.ias.edu/~lurie/261y.html

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[sum_convention-1] а ^б Здесь часть утверждения ${ Displaystyle сумма _ {и в S} cdots}$ четко определен; т.е. когда S бесконечно, для счетных вполне упорядоченных подмножеств ${ displaystyle S ' subset S}$ , ${ Displaystyle сумма _ {и в S '} cdots}$ не зависит от ${ displaystyle S '}$ и ${ Displaystyle сумма _ {и в S} cdots}$ обозначает общую ценность.

[1]

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Глоссарий функционального анализа - Glossary of functional analysis

А

А

B

C

D

F

грамм

ЧАС

я

K

L

N

О

п

Q

р

S

Т

U

W

Рекомендации

дальнейшее чтение