Калкина алгебра - Calkin algebra
В функциональный анализ, то Калкина алгебра, названный в честь Джон Уильямс Калкин,[1] это частное из B(ЧАС), звенеть из ограниченные линейные операторы на отделяемый бесконечномерный Гильбертово пространство ЧАС, посредством идеальный K(ЧАС) из компактные операторы.[2] Здесь добавление в B(ЧАС) является сложением операторов и умножением в B(ЧАС) - композиция операторов; легко проверить, что эти операции делают B(ЧАС) в кольцо. Когда скалярное умножение также включено, B(ЧАС) фактически становится алгеброй над тем же полем, над которым ЧАС является гильбертовым пространством.
Характеристики
- С K(ЧАС) - максимальный замкнутый по норме идеал в B(ЧАС) алгебра Калкина просто. Фактически, K(ЧАС) - единственный замкнутый идеал в B(ЧАС).
- Как частное от C * алгебра в силу двустороннего идеала алгебра Калкина сама является C * -алгеброй и существует короткая точная последовательность
- что вызывает шестичленная циклическая точная последовательность в K-теория. Те операторы в B(ЧАС), которые отображаются в обратимый элемент алгебры Калкина, называются Фредгольмовы операторы, и их индекс можно описать как с помощью K-теории, так и напрямую. Можно, например, заключить, что набор унитарных операторов в алгебре Калкина состоит из гомотопических классов, индексированных целыми числами Z. Это в отличие от B(ЧАС), где унитарные операторы линейно связаны.
- Как C * -алгебра, алгебра Калкина не изоморфна алгебре операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве. В Строительство Гельфанд-Наймарк-Сегал следует, что алгебра Калкина изоморфна алгебре операторов в несепарабельном гильбертовом пространстве, но хотя для многих других C * -алгебр существуют явные описания таких гильбертовых пространств, алгебра Калкина не имеет явного представления.[нужна цитата ]
- Показано, что существование внешнего автоморфизма алгебры Калкина не зависит от ZFC, работами Филлипса и Уивера и Фары.[3][4]
Обобщения
- Можно определить алгебру Калкина для любого бесконечномерного комплексного гильбертова пространства, а не только для сепарабельных.
- Аналогичную конструкцию можно получить, заменив ЧАС с Банахово пространство, которая также называется алгеброй Калкина.[5]
- Алгебра Калкина - это Алгебра короны алгебры компактных операторов в гильбертовом пространстве.
Рекомендации
- ^ "Сообщество ученых, Институт перспективных исследований, преподаватели и члены 1930–1980 гг." (PDF). ias.edu.
- ^ Калкин, Дж. У. (1 октября 1941 г.). "Двусторонние идеалы и конгруэнции в кольце ограниченных операторов в гильбертовом пространстве". Анналы математики. 42 (4): 839. Дои:10.2307/1968771.
- ^ Филлипс, Н. Кристофер; Уивер, Ник (1 июля 2007 г.). «Алгебра Калкина имеет внешние автоморфизмы». Математический журнал герцога. 139 (1): 185–202. arXiv:математика / 0606594. Дои:10.1215 / S0012-7094-07-13915-2.
- ^ Фарах, Илияс (1 марта 2011 г.). «Все автоморфизмы алгебры Калкина внутренние». Анналы математики. 173 (2): 619–661. arXiv:0705.3085. Дои:10.4007 / летопись.2011.173.2.1.
- ^ Аппель, Юрген (2005). «Меры некомпактности, уплотняющие операторы и неподвижные точки: прикладной обзор». Теория фиксированной точки. 6 (2): 157–229.