Операторная K-теория - Operator K-theory

В математика, операторная K-теория это некоммутативный аналог топологическая K-теория за Банаховы алгебры с большинством приложений, используемых для C * -алгебры.

Обзор

Операторная K-теория больше похожа на топологическую K-теорию, чем алгебраическая K-теория. В частности, Теорема периодичности Ботта держит. Итак, есть только две K-группы, а именно K₀, что равно алгебраической K₀, и K₁. Как следствие теоремы о периодичности, он удовлетворяет иссечение. Это означает, что он ассоциируется с расширение из C * -алгебры к длинная точная последовательность, которая по периодичности Ботта сводится к точной циклической 6-членной последовательности.

Операторная K-теория является обобщением топологическая K-теория, определяемый посредством векторные пакеты на локально компактный Хаусдорфовы пространства. Здесь векторное расслоение над топологическим пространством Икс ассоциирован с проекцией в алгебре C * матричнозначных, т. е. ${displaystyle M_ {n} (mathbb {C})}$-значные - непрерывные функции над Икс. Также известно, что изоморфизм векторных расслоений переводится в эквивалентность Мюррея-фон Неймана ассоциированной проекции в K ⊗ C(Икс), куда K - компактные операторы в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Следовательно K₀ группа (не обязательно коммутативной) C * -алгебры А определяется как Группа Гротендик порожденные классами эквивалентности Мюррея-фон Неймана проекций в K ⊗ C(Икс). K₀ является функтором из категории C * -алгебр и * -гомоморфизмов в категорию абелевых групп и групповых гомоморфизмов. Высшие K-функторы определяются через C * -версию подвески: K_п(А) = K₀(S^п(А)), кудаSA = C₀(0,1) ⊗ А.

Однако по периодичности Ботта оказывается, что K_п+2(А) и K_п(А) изоморфны для каждого п, и, таким образом, единственными группами, производимыми этой конструкцией, являются K₀ и K₁.

Ключевой причиной введения К-теоретических методов в изучение С * -алгебр явилась Индекс Фредгольма: Учитывая ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве, имеющий конечномерное ядро ​​и коядро, ему можно сопоставить целое число, которое, как оказывается, отражает «дефект» оператора, то есть степень, в которой он не обратимый. Отображение индекса Фредгольма появляется в 6-членной точной последовательности, задаваемой Калкина алгебра. При анализе многообразий этот индекс и его обобщения сыграли решающую роль в теория индекса Атьи и Зингера, где топологический индекс многообразия может быть выражен через индекс эллиптических операторов на нем. Позже, коричневый, Дуглас и Fillmore заметил, что индекс Фредгольма был недостающим компонентом при классификации по существу нормальные операторы с точностью до некоторой естественной эквивалентности. Эти идеи вместе с Эллиотт классификация AF C * -алгебры через K-теорию привела к большому интересу к адаптации таких методов, как K-теория из алгебраической топологии, к изучению операторных алгебр.

Это, в свою очередь, привело к K-гомологии, Каспаров двувариантный КК-теория, а совсем недавно Конн и Хигсон с Электронная теория.

Рекомендации

• Rordam, M .; Ларсен, Финн; Лаустсен, Н. (2000), Введение в K-теория для C^∗-алгебры, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 49, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-78334-7