Векторный набор - Vector bundle

(Бесконечно расширенный) Лента Мебиуса это линейный пакет над 1-сфера S¹. Локально вокруг каждой точки в S¹, Это похоже U × р (куда U - открытая дуга, включающая точку), но общий пучок отличается от S¹ × р (что является цилиндр вместо).

В математика, а векторный набор это топологический конструкция, уточняющая представление о семье векторные пространства параметризованный другим Космос Икс (Например Икс может быть топологическое пространство, а многообразие, или алгебраическое многообразие ): в каждую точку Икс пространства Икс мы связываем (или "прикрепляем") векторное пространство V(Икс) таким образом, что эти векторные пространства подходят друг к другу и образуют другое пространство того же типа, что и Икс (например, топологическое пространство, многообразие или алгебраическое многообразие), которое затем называется вектор расслоение надИкс.

Самый простой пример - это случай, когда семейство векторных пространств постоянно, т.е. существует фиксированное векторное пространство V такой, что V(Икс) = V для всех Икс в Икс: в этом случае есть копия V для каждого Икс в Икс и эти копии складываются вместе, образуя векторное расслоение Икс × V над Икс. Такие векторные расслоения называются банальный. Более сложный (и прототипный) класс примеров - это касательные пучки из гладкие (или дифференцируемые) многообразия: к каждой точке такого многообразия мы прикрепляем касательное пространство к коллектору в этой точке. Касательные расслоения, вообще говоря, не тривиальные. Например, касательное расслоение сферы нетривиально по теорема о волосатом шарике. Вообще говоря, многообразие распараллеливаемый тогда и только тогда, когда его касательное расслоение тривиально.

Векторные пучки почти всегда должны быть локально тривиальныйОднако это означает, что они являются примерами пучки волокон. Кроме того, векторные пространства обычно должны быть над действительными или комплексными числами, и в этом случае векторное расслоение называется действительным или комплексным векторным расслоением (соответственно). Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как реальные векторные расслоения с дополнительной структурой. В дальнейшем мы сосредоточимся на реальных векторных расслоениях в категория топологических пространств.

Определение и первые следствия

А расслоение реальных векторов состоит из:

топологические пространства Икс (базовое пространство) и E (общая площадь)
а непрерывный сюрприз π: E → Икс (связка проекции)
для каждого Икс в Икс, структура конечномерный настоящий векторное пространство на волокно π⁻¹({Икс})

где выполняется следующее условие совместимости: для каждой точки п в Икс, есть открытый район U ⊆ Икс из п, а натуральное число k, а гомеоморфизм

{ Displaystyle varphi двоеточие U times mathbf {R} ^ {k} to pi ^ {- 1} (U)}

такой, что для всех Икс ∈ U,

${ Displaystyle ( пи circ varphi) (х, v) = х}$ для всех векторов v в р^k, и
карта ${ Displaystyle v mapsto varphi (х, v)}$ является линейным изоморфизмом векторных пространств р^k и π⁻¹({Икс}).

Открытый район U вместе с гомеоморфизмом ${ displaystyle varphi}$ называется локальная тривиализация векторного расслоения. Локальная тривиализация показывает, что локально отображение π "похоже" на проекцию U × р^k на U.

Каждый слой π⁻¹({Икс}) является конечномерным вещественным векторным пространством и, следовательно, имеет размерность k_Икс. Локальные тривиализации показывают, что функция Икс ↦ k_Икс является локально постоянный, и поэтому постоянно на каждом связный компонент из Икс. Если k_Икс равна константе k на всех Икс, тогда k называется классифицировать векторного расслоения и E считается векторное расслоение ранга k. Часто определение векторного расслоения включает в себя то, что ранг определен правильно, так что k_Икс постоянно. Векторные расслоения ранга 1 называются линейные пакеты, а ранга 2 реже называют плоскими расслоениями.

В Декартово произведение Икс × р^k, оборудованный выступом Икс × р^k → Икс, называется тривиальная связка ранга k над Икс.

Функции перехода

Учитывая векторное расслоение E → Икс ранга k, и пара окрестностей U и V над которым расслоение тривиализуется через

{ displaystyle { begin {align} varphi _ {U} двоеточие U times mathbf {R} ^ {k} & { xrightarrow { cong}} pi ^ {- 1} (U), varphi _ {V} двоеточие V times mathbf {R} ^ {k} & { xrightarrow { cong}} pi ^ {- 1} (V) end {выровнено}}}

составная функция

{ Displaystyle varphi _ {U} ^ {- 1} circ varphi _ {V} двоеточие (U cap V) times mathbf {R} ^ {k} to (U cap V) раз mathbf {R} ^ {k}}

хорошо определена на перекрытии и удовлетворяет

{ Displaystyle varphi _ {U} ^ {- 1} circ varphi _ {V} (x, v) = left (x, g_ {UV} (x) v right)}

для некоторых GL (k) -значная функция

{ displaystyle g_ {UV} двоеточие U cap V to operatorname {GL} (k).}

Их называют функции перехода (или преобразования координат) векторного расслоения.

Набор функций перехода образует Чешский коцикл в том смысле, что

{ displaystyle g_ {UU} (x) = I, quad g_ {UV} (x) g_ {VW} (x) g_ {WU} (x) = I}

для всех U, V, W над которым расслоение тривиализируется, удовлетворяя ${ Displaystyle U cap V cap W neq emptyset}$ . Таким образом, данные (E, Икс, π, р^k) определяет пучок волокон; дополнительные данные грамм_УФ указывает GL (k) структурная группа, в которой действие на слое является стандартным действием GL (k).

И наоборот, учитывая пучок волокон (E, Икс, π, р^k) с ГЛ (k) коцикл, действующий стандартным образом на слое р^k, существует ассоциированное векторное расслоение. Иногда это используется как определение векторного расслоения.^{[нужна цитата ]}

Морфизмы векторных расслоений

А морфизм из векторного расслоения π₁: E₁ → Икс₁ в векторное расслоение π₂: E₂ → Икс₂ задается парой непрерывных отображений ж: E₁ → E₂ и грамм: Икс₁ → Икс₂ такой, что

грамм ∘ π₁ = π₂ ∘ ж

для каждого Икс в Икс₁, отображение π₁⁻¹({Икс}) → π₂⁻¹({грамм(Икс)}) индуцированный ж это линейная карта между векторными пространствами.

Обратите внимание, что грамм определяется ж (поскольку π₁ сюръективно), и ж тогда говорят крышка грамм.

Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категория. Ограничиваясь векторными расслоениями, для которых пространства являются многообразиями (а проекции расслоений являются гладкими отображениями) и морфизмами гладких расслоений, мы получаем категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений являются частным случаем понятия карта пакета между пучки волокон, и их также часто называют (векторные) гомоморфизмы расслоений.

Гомоморфизм расслоения из E₁ к E₂ с обратным, которое также является гомоморфизмом расслоения (из E₂ к E₁) называется (векторный) изоморфизм расслоения, а потом E₁ и E₂ как говорят изоморфный векторные пучки. Изоморфизм a (rank k) векторное расслоение E над Икс с тривиальным расслоением (ранга k над Икс) называется тривиализация из E, и E тогда говорят, что это банальный (или же тривиализируемый). Определение векторного расслоения показывает, что любое векторное расслоение локально тривиальный.

Мы также можем рассмотреть категорию всех векторных расслоений над фиксированным базовым пространством Икс. В качестве морфизмов в этой категории мы берем те морфизмы векторных расслоений, отображение которых в базовом пространстве является карта идентичности на Икс. То есть морфизмы расслоения, для которых следующая диаграмма ездит на работу:

(Обратите внимание, что эта категория нет абелевский; в ядро морфизма векторных расслоений, вообще говоря, не является векторным расслоением каким-либо естественным образом.)

Морфизм векторного расслоения между векторными расслоениями π₁: E₁ → Икс₁ и π₂: E₂ → Икс₂ покрывая карту грамм из Икс₁ к Икс₂ также можно рассматривать как морфизм векторного расслоения над Икс₁ из E₁ к обратный пакет грамм*E₂.

Сечения и локально свободные шкивы

Карта, связывающая нормальный каждую точку на поверхности можно представить как сечение. Поверхность - это пространство Икс, и в каждой точке Икс есть вектор в векторном пространстве, прикрепленный в Икс.

Для векторного расслоения π: E → Икс и открытое подмножество U из Икс, мы можем рассмотреть разделы числа π на U, т.е. непрерывные функции s: U → E где композиция π∘s таково, что (π∘s)(ты)=ты для всех ты в U. По сути, раздел назначается каждой точке U вектор из присоединенного векторного пространства непрерывным образом. Например, сечения касательного расслоения дифференциального многообразия не что иное, как векторные поля на этом коллекторе.

Позволять F(U) - множество всех разделов на U. F(U) всегда содержит хотя бы один элемент, а именно нулевой участок: функция s который отображает каждый элемент Икс из U к нулевому элементу векторного пространства π⁻¹({Икс}). При поточечном сложении и скалярном умножении сечений F(U) становится реальным векторным пространством. Набор этих векторных пространств представляет собой пучок векторных пространств на Икс.

Если s является элементом F(U) и α: U → р - непрерывное отображение, то αs (точечное скалярное умножение) находится в F(U). Мы видим, что F(U) это модуль над кольцом непрерывных вещественнозначных функций на U. Кроме того, если O_Икс обозначает структурный пучок непрерывных действительных функций на Икс, тогда F становится связкой O_Икс-модули.

Не всякая пачка O_Икс-модули возникают таким образом из векторного расслоения: только локально бесплатно одни делают. (Причина: локально ищем участки проекции U × р^k → U; это в точности непрерывные функции U → р^k, и такая функция является k-набор непрерывных функций U → р.)

Более того: категория реальных векторных расслоений на Икс является эквивалент в категорию локально свободных и конечно порожденных пучков O_Икс-модулей, так что мы можем думать о категории вещественных векторных расслоений на Икс как сидящий внутри категории связки O_Икс-модули; эта последняя категория абелева, поэтому здесь мы можем вычислять ядра и коядра морфизмов векторных расслоений.

Ранг п векторное расслоение тривиально тогда и только тогда, когда оно имеет п линейно независимые глобальные секции.

Операции над векторными расслоениями

Большинство операций с векторными пространствами можно расширить до векторных расслоений, выполнив операцию с векторным пространством послойно.

Например, если E является векторным расслоением над Икс, то есть связка E * над Икс, называется двойной комплект, волокно которого на Икс ∈ Икс это двойное векторное пространство (E_Икс) *. Формально E * можно определить как набор пар (Икс, φ), где Икс ∈ Икс и φ ∈ (E_Икс) *. Двойственное расслоение локально тривиально, поскольку двойное пространство обратной локальной тривиализации E является локальной тривиализацией E *: ключевым моментом здесь является то, что операция взятия двойственного векторного пространства функториальный.

Существует множество функториальных операций, которые можно выполнять с парами векторных пространств (над одним и тем же полем), и они напрямую распространяются на пары векторных расслоений. E, F на Икс (над заданным полем). Ниже приведены несколько примеров.

В Сумма Уитни (назван в честь Хасслер Уитни ) или же пакет с прямой суммой из E и F это векторное расслоение E ⊕ F над Икс чье волокно над Икс это прямая сумма E_Икс ⊕ F_Икс векторных пространств E_Икс и F_Икс.
В пучок тензорных произведений E ⊗ F определяется аналогично с использованием послойной тензорное произведение векторных пространств.
В Hom-расслоение Hom (E, F) - векторное расслоение, слой которого в точке Икс пространство линейных отображений из E_Икс к F_Икс (который часто обозначают Hom (E_Икс, F_Икс) или же L(E_Икс, F_Икс)). Hom-расслоение является так называемым (и полезным), потому что существует биекция между гомоморфизмами векторного расслоения из E к F над Икс и участки Hom (E, F) над Икс.
Основываясь на предыдущем примере, учитывая раздел s расслоения эндоморфизмов Hom (E, E) и функция ж: Икс → р, можно построить собственное расслоение проводя волокно над точкой Икс ∈ Икс быть ж(Икс)-собственное подпространство линейной карты s(Икс): E_Икс → E_Икс. Хотя такая конструкция естественна, если не позаботиться о ней, полученный объект не будет иметь локальной тривиализации. Рассмотрим случай s будучи нулевой секцией и ж имея изолированные нули. Слой над этими нулями в получившемся «собственном расслоении» будет изоморфен слою над ними в E, а всюду слой - это тривиальное 0-мерное векторное пространство.
В двойное векторное расслоение E * расслоение Hom Hom (E, р × Икс) гомоморфизмов расслоений E и тривиальный пучок р × Икс. Существует канонический изоморфизм векторных расслоений Hom (E, F) = E * ⊗ F.

Каждая из этих операций является частным примером общей особенности расслоений: многие операции, которые могут быть выполнены с категорией векторных пространств, также могут быть выполнены с категорией векторных расслоений в функториальный манера. Это уточнено на языке гладкие функторы. Операция иного характера - это обратный пакет строительство. Учитывая векторное расслоение E → Y и непрерывная карта ж: Икс → Y можно "отступить" E в векторное расслоение е * е над Икс. Волокно над точкой Икс ∈ Икс по сути, это просто волокно ж(Икс) ∈ Y. Следовательно, Уитни, суммируя E ⊕ F можно определить как пучок откатов диагонального отображения из Икс к Икс × Икс где пучок закончился Икс × Икс является E × F.

Замечание: Позволять Икс быть компактным пространством. Любой векторный набор E над Икс является прямым слагаемым тривиального расслоения; т.е. существует пучок E' такой, что E ⊕ E' тривиально. Это не работает, если Икс не компактный: например, пучок тавтологических линий над бесконечным вещественным проективным пространством этим свойством не обладает.^[1]

Дополнительные конструкции и обобщения

Векторные пучки часто имеют более структуру. Например, векторные расслоения могут быть снабжены метрика векторных расслоений. Обычно эта метрика должна быть положительно определенный, в этом случае каждое волокно E становится евклидовым пространством. Векторное расслоение с сложная структура соответствует комплексное векторное расслоение, который также может быть получен заменой вещественных векторных пространств в определении на комплексные и требованием, чтобы все отображения были комплексно-линейными в слоях. В более общем смысле дополнительную структуру, налагаемую на векторное расслоение, обычно можно понять в терминах результирующего редукция структурной группы пучка. Векторные расслоения над более общими топологические поля также могут быть использованы.

Если вместо конечномерного векторного пространства, если слой F считается Банахово пространство затем Банаховый пучок получается.^[2] В частности, необходимо потребовать, чтобы локальные тривиализации были изоморфизмами банаховых пространств (а не просто линейными изоморфизмами) на каждом из слоев и, кроме того, чтобы переходы

{ displaystyle g_ {UV} двоеточие U cap V to operatorname {GL} (F)}

являются непрерывными отображениями Банаховы многообразия. В соответствующей теории для C^п связки, все отображения должны быть C^п.

Векторные пучки особенные пучки волокон, те, слои которых являются векторными пространствами и чей коцикл соблюдает структуру векторного пространства. Могут быть созданы более общие пучки волокон, в которых волокно может иметь другие структуры; Например связки сфер расслоены сферами.

Гладкие векторные пучки

Векторное расслоение (E, п, M) является гладкий, если E и M находятся гладкие многообразия, п: E → M является гладким отображением, а локальные тривиализации диффеоморфизмы. В зависимости от требуемой степени гладкости существуют разные соответствующие понятия C^п связки, бесконечно дифференцируемый C^∞-бандлы и настоящий аналитик C^ω-бандлеры. В этом разделе мы сконцентрируемся на C^∞-бандлеры. Самый важный пример C^∞-векторный пучок - это касательный пучок (TM, π_TM,M) из C^∞-многообразие M.

В C^∞-векторные пучки (E, п, M) имеют очень важное свойство, не разделяемое более общими C^∞-волоконные пучки. А именно касательное пространство Т_v(E_Икс) в любом v ∈ E_Икс можно естественным образом идентифицировать с волокном E_Икс сам. Эта идентификация получается через вертикальный подъемник vl_v: E_Икс → Т_v(E_Икс), определяется как

{ displaystyle operatorname {vl} _ {v} w [f]: = left. { frac {d} {dt}} right | _ {t = 0} f (v + tw), quad f in C ^ { infty} (E_ {x}).}

Вертикальный подъемник также можно рассматривать как естественный C^∞-векторный изоморфизм расслоения p * E → VE, куда (p * E, п * п, E) - это обратный пучок (E, п, M) над E через п: E → M, и VE: = Ker (п_*) ⊂ TE это вертикальный касательный пучок, естественное векторное подрасслоение касательного расслоения (TE, π_TE, E) общей площади E.

Общая площадь E любого гладкого векторного расслоения имеет естественное векторное поле V_v: = vl_vv, известный как каноническое векторное поле. Более формально V является гладким сечением (TE, π_TE, E), а также его можно определить как инфинитезимальный генератор действия группы Ли (т,v)↦е^тv дается послойным скалярным умножением. Каноническое векторное поле V полностью характеризует структуру гладкого векторного расслоения следующим образом. В качестве подготовки обратите внимание, что когда Икс - гладкое векторное поле на гладком многообразии M и Икс∈M такой, что Икс_Икс = 0 линейное отображение

{ Displaystyle C_ {x} (X): T_ {x} M to T_ {x} M; quad C_ {x} (X) Y = ( nabla _ {Y} X) _ {x}}

не зависит от выбора линейной ковариантной производной на M. Каноническое векторное поле V на E удовлетворяет аксиомам

1. Поток (т,v) → Φ^т_V(v) из V определяется глобально.

2. Для каждого v∈V есть уникальный предел_{t → ∞} Φ^т_V(v)∈V.

3. C_v(V)∘C_v(V)=C_v(V) в любое время V_v=0.

4. Нулевой набор V является гладким подмногообразием в E коразмерность которого равна рангу C_v(V).

Наоборот, если E любое гладкое многообразие и V гладкое векторное поле на E удовлетворяющие 1-4, то существует единственная структура векторного расслоения на E каноническое векторное поле которого V.

Для любого гладкого векторного расслоения (E, п, M) общее пространство TE его касательного пучка (TE, π_TE, E) имеет естественный структура вторичного векторного расслоения (TE, п_*,TM), куда п_* продвижение канонической проекции п:E→M. Операции с векторным расслоением в этой вторичной структуре векторного расслоения - это продвижение вперед +_*:Т(E × E) → TE и λ_*: TE → TE оригинального дополнения +: E × E → E и скалярное умножение λ:E→E.

K-теория

Группа K-теории, $K (Икс)$ , компактного хаусдорфового топологического пространства определяется как абелева группа, порожденная классами изоморфизма $[E]$ из сложные векторные расслоения по модулю отношения, что всякий раз, когда у нас есть точная последовательность

{ Displaystyle 0 к А к В к С к 0}

тогда

{ displaystyle [B] = [A] + [C]}

в топологическая K-теория. КО-теория - вариант этой конструкции, в которой рассматриваются вещественные векторные расслоения. K-теория с компактные опоры также могут быть определены, как и группы высшей K-теории.

Известный теорема периодичности из Рауль Ботт утверждает, что K-теория любого пространства $Икс$ изоморфна таковому из $S 2 Икс$ , двойная подвеска $Икс$ .

В алгебраическая геометрия, рассматриваются группы K-теории, состоящие из когерентные пучки на схема $Икс$ , а также группы K-теории векторных расслоений на схеме с указанным выше отношением эквивалентности. Эти две конструкции идентичны при условии, что основная схема гладкий.

Смотрите также

Общие понятия

Грассманиан: классификация пространств для векторного расслоения, среди которых проективные пространства за линейные пакеты
Характеристический класс
Принцип разделения
Стабильный набор

Топология и дифференциальная геометрия

Калибровочная теория: общее изучение связности векторных расслоений и главных расслоений и их отношения к физике.
Связь: понятие, необходимое для различения сечений векторных расслоений.

Алгебраическая и аналитическая геометрия

Примечания

^ Хэтчер 2003, Пример 3.6.
^ Lang 1995.

Источники

Авраам, Ральф Х.; Марсден, Джеррольд Э. (1978), Основы механики, Лондон: Бенджамин-Каммингс, см. Раздел 1.5, ISBN 978-0-8053-0102-1.
Хэтчер, Аллен (2003), Векторные пучки и K-теория (2.0 изд.).
Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42627-1, см. раздел 1.5.
Ланг, Серж (1995), Дифференциальные и римановы многообразия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94338-1.
Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия, Аспирантура по математике, Vol. 107, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4815-9.
Ли, Джон М. (2003), Введение в гладкие многообразия, Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-95448-1 см. главу 5
Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь, Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3.

внешняя ссылка

[FOOTNOTEHatcher2003Example_3.6-1] Хэтчер 2003, Пример 3.6.

[FOOTNOTELang1995-2] Lang 1995.

[1]

[2]