Сноп (математика) - Sheaf (mathematics)

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Сентябрь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а пучок это инструмент для систематического отслеживания локально определенных данных, прикрепленных к открытые наборы из топологическое пространство. Данные могут быть ограничены открытыми наборами меньшего размера, а данные, назначенные открытому набору, эквивалентны всем коллекциям совместимых данных, назначенных коллекциям меньших открытых наборов, охватывающих исходный набор. Например, такие данные могут состоять из кольца из непрерывный или же гладкий настоящий -значен функции определяется на каждом открытом наборе. Связки по своей конструкции являются довольно общими и абстрактными объектами, и их правильное определение носит скорее технический характер. Их по-разному определяют, например, как связки наборы или связки колец, в зависимости от типа данных, присвоенных открытым множествам.

Это также карты (или же морфизмы ) от одного пучка к другому; связки (определенного типа, например, связки абелевы группы ) с их морфизмы на фиксированном топологическом пространстве образуют категория. С другой стороны, каждому непрерывная карта там связаны как функтор прямого изображения, взяв пучки и их морфизмы на домен пучкам и морфизмам на codomain, и функтор обратного изображения работает в обратном направлении. Эти функторы, и некоторые их варианты, являются существенными частями теории пучков.

Вследствие их общей природы и универсальности пучки имеют несколько применений в топологии, особенно в алгебраический и дифференциальная геометрия. Во-первых, геометрические структуры, такие как структура дифференцируемое многообразие или схема можно выразить через пучок колец на пространстве. В таких контекстах несколько геометрических построений, таких как векторные пакеты или же делители естественно задаются в терминах пучков. Во-вторых, пучки служат основой для очень общего теория когомологий, который включает в себя также «обычные» топологические теории когомологий, такие как особые когомологии. Особенно в алгебраической геометрии и теории комплексные многообразия когомологии пучков обеспечивают мощную связь между топологическими и геометрическими свойствами пространств. Пучки также составляют основу теории D-модули, дающих приложения к теории дифференциальные уравнения. Кроме того, обобщения пучков на более общие параметры, чем топологические пространства, такие как Топология Гротендика, подали заявки на математическая логика и теория чисел.

Определения и примеры

Во многих областях математики несколько структур, определенных на топологическое пространство ${ displaystyle X}$ (например, дифференцируемое многообразие ) может быть естественно локализованный или же ограниченный к открыто подмножества ${ Displaystyle U подмножество X}$: типичные примеры включают непрерывный настоящий -оценка или сложный -значные функции, ${ displaystyle n}$ раз дифференцируемый (действительные или комплексные) функции, ограниченный действительные функции, векторные поля, и разделы любой векторный набор на пространстве. Возможность ограничивать данные меньшими открытыми подмножествами дает начало концепции предварительных пучков. Грубо говоря, связки - это те предварительные пучки, в которых локальные данные могут быть приклеены к глобальным данным.

Предварительные пучки

Позволять ${ displaystyle X}$ быть топологическим пространством. А предпучка наборов ${ displaystyle F}$ на ${ displaystyle X}$ состоит из следующих данных:

• Для каждого открытого набора ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle X}$, множество ${ Displaystyle F (U)}$. Этот набор иногда также обозначают ${ displaystyle Gamma (U, F)}$. Элементы в этом наборе называются разделы из ${ displaystyle F}$ над ${ displaystyle U}$.
• Для каждого включения открытых множеств ${ Displaystyle V substeq U}$, функция ${ Displaystyle OperatorName {res} _ {V, U} двоеточие F (U) rightarrow F (V)}$. Ввиду многих приведенных ниже примеров морфизмы ${ displaystyle { text {res}} _ {V, U}}$ называются рестрикционные морфизмы. Если ${ displaystyle s in F (U)}$, то его ограничение ${ displaystyle { text {res}} _ {V, U} (s)}$ часто обозначается ${ displaystyle s | _ {V}}$ по аналогии с ограничением функций.

Ограничительные морфизмы должны удовлетворять двум дополнительным (функториальный ) характеристики:

• Для каждого открытого набора ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle X}$, морфизм ограничения ${ Displaystyle OperatorName {res} _ {U, U} двоеточие F (U) rightarrow F (U)}$ морфизм тождества на ${ Displaystyle F (U)}$.
• Если у нас есть три открытых набора ${ Displaystyle W substeq V substeq U}$, то составной ${ displaystyle { text {res}} _ {W, V} circ { text {res}} _ {V, U} = { text {res}} _ {W, U}}$

Неформально вторая аксиома говорит, что не имеет значения, ограничиваемся ли мы W за один шаг или ограничить сначала V, затем к W. Краткая функциональная переформулировка этого определения дается ниже.

Многие примеры предпучков относятся к разным классам функций: к любым ${ displaystyle U}$, можно присвоить множество ${ displaystyle C ^ {0} (U)}$ непрерывных действительных функций на ${ displaystyle U}$. Карты ограничения тогда просто задаются ограничением непрерывной функции на ${ displaystyle U}$ к меньшему открытому подмножеству ${ displaystyle V}$, которая снова является непрерывной функцией. Две аксиомы предпучка сразу проверяются, что дает пример предпучка. Его можно продолжить до пучка голоморфных функций ${ Displaystyle { mathcal {H}} (-)}$ и пучок гладких функций ${ Displaystyle С ^ { infty} (-)}$.

Другой распространенный класс примеров - присвоение ${ displaystyle U}$ набор постоянный действительные функции на U. Этот предпучок называется постоянный предпучок связано с ${ Displaystyle mathbb {R}}$ и обозначается ${ displaystyle { underline { mathbb {R}}} ^ {psh}}$.

Шкивы

При наличии предпучка возникает естественный вопрос, в какой степени его секции над открытым множеством ${ displaystyle U}$ определяются их ограничениями на меньшие открытые множества ${ Displaystyle { mathcal {U}} = {U_ {i} } _ {я in I}}$ из открытая крышка из ${ displaystyle U}$. А пучок является предпучком, который удовлетворяет следующим двум дополнительным аксиомам:

1. (Местонахождение) Если ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ это открытый покрытие открытого набора ${ displaystyle U}$, и если ${ Displaystyle s, т в F (U)}$ иметь собственность ${ displaystyle s | _ {U_ {i}} = t | _ {U_ {i}}}$ для каждого набора ${ displaystyle U_ {i}}$ покрытия, то ${ displaystyle s = t}$; и
2. (Склейка ) Если ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ открытое покрытие открытого множества ${ displaystyle U}$, а если для каждого ${ displaystyle i in I}$ секция ${ displaystyle s_ {i} in F (U_ {i})}$ задается так, что для каждой пары ${ displaystyle U_ {i}, U_ {j}}$ покрытия задает ограничения ${ displaystyle s_ {i}}$ и ${ displaystyle s_ {j}}$ договориться о перекрытиях, так что ${ displaystyle s_ {i} | _ {U_ {i} cap U_ {j}} = s_ {j} | _ {U_ {i} cap U_ {j}}}$, то есть раздел ${ displaystyle s in F (U)}$ такой, что ${ displaystyle s | _ {U_ {i}} = s_ {i}}$ для каждого ${ displaystyle i in I}$.

Секция ${ displaystyle s}$ существование которой гарантируется аксиомой 2, называется склейка, конкатенация, или же сопоставление разделов s_я. По аксиоме 1 он единственен. Разделы ${ displaystyle s_ {i}}$ удовлетворяющие условию аксиомы 2, часто называют совместимый; таким образом, аксиомы 1 и 2 вместе утверждают, что совместимые секции можно однозначно склеить. А разделенный предпучок, или же монопучок, является предпучком, удовлетворяющим аксиоме 1.^[1]

Упомянутый выше предпучок, состоящий из непрерывных функций, является пучком. Это утверждение сводится к проверке того, что для непрерывных функций ${ displaystyle f_ {i}: U_ {i} to mathbf {R}}$ которые соглашаются на пересечениях ${ displaystyle U_ {i} cap U_ {j}}$, существует единственная непрерывная функция ${ displaystyle f: U to mathbf {R}}$ чье ограничение равно ${ displaystyle f_ {i}}$. Напротив, постоянный предпучок обычно нет связка: если ${ Displaystyle U = U_ {1} sqcup U_ {2}}$ это несвязный союз двух открытых подмножеств и ${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}$ принимать разные значения, тогда нет постоянный функционировать на U чье ограничение равнялось бы этим двум (различным) постоянным функциям.

Предварительные пучки и связки обычно обозначаются заглавными буквами, F особенно распространены, предположительно для Французский слово для связки, Faisceau. Использование каллиграфических букв, таких как ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ также обычное дело.

Можно показать, что для задания пучка достаточно указать его ограничение на открытые множества основа для топологии основного пространства. Более того, можно также показать, что достаточно проверить аксиомы пучка, указанные выше, относительно открытых множеств покрытия. Это наблюдение используется для построения другого примера, который имеет решающее значение для алгебраической геометрии, а именно: квазикогерентные пучки. Здесь рассматриваемое топологическое пространство - это спектр коммутативного кольца р, точками которого являются главные идеалы п в р. Открытые наборы ${ displaystyle D_ {f}: = {p subset R, f notin p }}$ составляют основу Топология Зарисского на этом пространстве. Учитывая р-модуль M, существует пучок, обозначаемый ${ displaystyle { tilde {M}}}$ на Spec р, что удовлетворяет

${ Displaystyle { тильда {M}} (D_ {f}): = M [1 / f],}$ в локализация из M в ж.

Дальнейшие примеры

Связка сечений непрерывной карты

Любая непрерывная карта ${ displaystyle f: от Y до X}$ топологических пространств определяет пучок ${ Displaystyle Gamma (Y / X)}$ на ${ displaystyle X}$ установив

${ displaystyle Gamma (Y / X) (U) = {s: U to Y, f circ s = operatorname {id} _ {U} }.}$

Любая такая ${ displaystyle s}$ обычно называют раздел из ${ displaystyle f}$, и этот пример является причиной того, почему элементы в ${ Displaystyle F (U)}$ обычно называются секциями. Эта конструкция особенно важна, когда ${ displaystyle f}$ это проекция пучок волокон на его базовое пространство. Например, пучки гладких функций - это сечения тривиальная связка. Другой пример: связка секций

${ Displaystyle mathbf {C} { stackrel { exp} { to}} mathbf {C} backslash {0 }}$

это связка, которая присваивает любой ${ displaystyle U}$ множество ветвей комплексный логарифм на ${ displaystyle U}$.

Учитывая точку Икс и абелева группа S, то сноп небоскреба S_Икс определяется следующим образом: Если U открытый набор, содержащий Икс, тогда S_Икс(U) = S. Если U не содержит Икс, тогда S_Икс(U) = 0, тривиальная группа. Карты ограничений являются тождественными на S, если оба открытых множества содержат Иксили нулевая карта в противном случае.

Пучки на коллекторах

На п-размерный C^k-многообразие M, есть ряд важных связок, таких как связка j-размерно непрерывно дифференцируемые функции ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {M} ^ {j}}$ (с j ≤ k). Его разделы на некоторых открытых U являются C^j-функции U → р. За j = k, этот пучок называется структурная связка и обозначается ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {M}}$. Ненулевой C^k функции также образуют пучок, обозначаемый ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ { times}}$. Дифференциальные формы (степени п) также образуют пучок Ω^п_M. Во всех этих примерах ограничивающие морфизмы задаются ограничивающими функциями или формами.

Отправка задания U к функциям с компактным носителем на U не является пучком, поскольку в общем случае невозможно сохранить это свойство, переходя к меньшему открытому подмножеству. Вместо этого это формирует пучок, а двойной концепция, в которой ограничительные карты идут в противоположном направлении, чем с пучками.^[2] Однако принимая двойной этих векторных пространств действительно дает пучок, пучок распределения.

Предварительные пучки, не являющиеся пучками

В дополнение к постоянному предварительному пучку, упомянутому выше, который обычно не является связкой, есть другие примеры предварительных пучков, которые не являются пучками:

• Позволять ${ displaystyle X}$ быть двухточечное топологическое пространство ${ Displaystyle {х, у }}$ с дискретной топологией. Определить предпучок ${ displaystyle F}$ следующее: F(∅) = {∅}, F({Икс}) = р, F({у}) = р, F({Икс, у}) = р × р × р. Карта ограничений F({Икс, у}) → F({Икс}) является проекцией р × р × р на его первую координату, а отображение ограничения F({Икс, у}) → F({у}) является проекцией р × р × р на его вторую координату. ${ displaystyle F}$ - это предварительный пучок, который не разделен: глобальный раздел определяется тремя числами, но значения этого раздела превышают {Икс} и {у} определяют только два из этих чисел. Итак, пока мы можем приклеить любые две секции к {Икс} и {у}, мы не можем склеить их однозначно.
• Позволять ${ Displaystyle X = mathbb {R}}$ быть реальная линия, и разреши ${ Displaystyle F (U)}$ быть набором ограниченный непрерывные функции на ${ displaystyle U}$. Это не связка, потому что не всегда можно приклеить. Например, пусть U_я быть набором всех Икс такой, что |Икс| < я. Функция идентичности ж(Икс) = Икс ограничен на каждом U_я. Следовательно, мы получаем раздел s_я на U_я. Однако эти участки не склеить, потому что функция ж не ограничен на реальной прямой. как следствие F это предпучка, а не связка. Фактически, F отделяется, потому что это подпучок пучка непрерывных функций.

Мотивирующие пучки из сложных аналитических пространств и алгебраической геометрии

Одна из исторических причин создания снопов пришла из изучения комплексные многообразия,^[3] комплексная аналитическая геометрия,^[4] и теория схем из алгебраическая геометрия. Это потому, что во всех предыдущих случаях мы рассматриваем топологическое пространство ${ displaystyle X}$ вместе со связкой конструкции ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ придавая ему структуру комплексного многообразия, комплексного аналитического пространства или схемы. Эта перспектива оснащения топологического пространства пучком важна для теории локально окольцованных пространств (см. Ниже).

Технические проблемы со сложными коллекторами

Одним из основных исторических мотивов внедрения шкивов было создание устройства, отслеживающего голоморфные функции на комплексные многообразия. Например, на компактный комплексное многообразие ${ displaystyle X}$ (подобно сложное проективное пространство или исчезающий локус из однородный многочлен ), Только голоморфные функции

${ displaystyle f: X to mathbb {C}}$

- функции-константы.^[5] Это означает, что может существовать два компактных комплексных многообразия ${ Displaystyle X, X '}$ которые не изоморфны, но тем не менее их кольцо глобальных голоморфных функций, обозначаемых ${ Displaystyle { mathcal {H}} (X), { mathcal {H}} (X ')}$, изоморфны. Сравните это с гладкие многообразия где каждое многообразие ${ displaystyle M}$ могут быть встроены в некоторые ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {N}}$, следовательно, его кольцо гладких функций ${ Displaystyle С ^ { infty} (М)}$ происходит из-за ограничения гладких функций из ${ Displaystyle С ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {N})}$. Еще одна сложность при рассмотрении кольца голоморфных функций на комплексном многообразии ${ displaystyle X}$ дается достаточно маленький открытый набор ${ Displaystyle U подмножество X}$, голоморфные функции будут изоморфны ${ Displaystyle { mathcal {H}} (U) cong { mathcal {H}} ( mathbb {C} ^ {n})}$. Пучки - прямой инструмент для решения этой сложности, поскольку они позволяют отслеживать голоморфную структуру на нижележащем топологическом пространстве ${ displaystyle X}$ на произвольных открытых подмножествах ${ Displaystyle U подмножество X}$. Это означает как ${ displaystyle U}$ становится более сложным топологически, кольцо ${ Displaystyle { mathcal {H}} (U)}$ можно выразить приклеиванием ${ displaystyle { mathcal {H}} (U_ {i})}$. Отметим, что иногда этот пучок обозначают ${ Displaystyle { mathcal {O}} (-)}$ или просто ${ displaystyle { mathcal {O}}}$, или даже ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ когда мы хотим выделить пространство, с которым связан структурный пучок.

Следящие подмногообразия со связками

Другой распространенный пример пучков можно построить, рассматривая комплексное подмногообразие ${ Displaystyle Y hookrightarrow X}$. Есть ассоциированная связка ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y}}$ который принимает открытое подмножество ${ Displaystyle U подмножество X}$ и дает кольцо голоморфных функций на ${ Displaystyle U cap Y}$. Этот вид формализма оказался чрезвычайно мощным и мотивирует многих гомологическая алгебра Такие как когомологии пучков так как теория пересечений могут быть построены с использованием таких шкивов из формулы пересечения Серра.

Операции со связками

Морфизмы

Морфизмы пучков, грубо говоря, аналогичны функциям между ними. В отличие от функции между множествами, которая не имеет дополнительной структуры, морфизмы пучков - это те функции, которые сохраняют структуру, присущую пучкам. Эта идея уточняется в следующем определении.

Позволять F и грамм быть двумя связками на Икс. А морфизм ${ displaystyle varphi: G to F}$ состоит из морфизма ${ Displaystyle varphi _ {U}: от G (U) до F (U)}$ для каждого открытого набора U из Икспри условии, что этот морфизм совместим с ограничениями. Другими словами, для каждого открытого подмножества V открытого набора U, следующая диаграмма коммутативный.

${ Displaystyle { begin {array} {rcl} G (U) & { xrightarrow { quad varphi _ {U} quad}} & F (U) r_ {V, U} { Biggl downarrow } && { Biggl downarrow} r_ {V, U} G (V) & { xrightarrow [{ quad varphi _ {V} quad}] {}} & F (V) end {array} }}$

Например, взятие производной дает морфизм пучков на р:${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {R}} ^ {n} to { mathcal {O}} _ { mathbf {R}} ^ {n-1}.}$Действительно, учитывая (пнепрерывно дифференцируемая) функция ${ displaystyle f: U to mathbf {R}}$ (с U в р open), ограничение (на меньшее открытое подмножество V) его производной равна производной ${ displaystyle f | _ {V}}$.

С этим понятием морфизма пучки на фиксированном топологическом пространстве Икс сформировать категория. Общие категориальные представления о мононуклеоз-, эпи- и изоморфизмы поэтому может применяться к шкивам. Морфизм связки ${ displaystyle varphi}$ является изоморфизмом (соответственно мономорфизмом) тогда и только тогда, когда каждый ${ displaystyle varphi _ {U}}$ является биекцией (соответственно инъективным отображением). Более того, морфизм пучков ${ displaystyle varphi}$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует открытое покрытие ${ displaystyle {U _ { alpha} }}$ такой, что ${ displaystyle varphi | _ {U _ { alpha}}}$ являются изоморфизмами пучков для всех ${ displaystyle alpha}$. Это утверждение, которое также верно для мономорфизмов, но не верно для предпучков, является еще одним примером идеи о том, что пучки имеют локальную природу.

Соответствующие утверждения не верны для эпиморфизмы (шкивов), а их отказ измеряется когомологии пучков.

Стебли связки

В стебель ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {x}}$ связки ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ фиксирует свойства пучка "вокруг" точки Икс ∈ ИКС, обобщая ростки функций. Здесь "вокруг" означает, что, концептуально говоря, каждый смотрит на все меньшее и меньшее. окрестности точки. Конечно, ни одно соседство не будет достаточно маленьким, что требует учета какого-то ограничения. Точнее, стебель определяется по

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {x} = varinjlim _ {U ni x} { mathcal {F}} (U),}$

в прямой предел по всем открытым подмножествам Икс содержащий данную точку Икс. Другими словами, элемент стебля - это участок над некоторой открытой окрестностью Икс, и два таких участка считаются эквивалентными, если их ограничения совпадают с меньшей окрестностью.

Естественный морфизм F(U) → F_Икс занимает раздел s в F(U) его зародыш в х. Это обобщает обычное определение зародыш.

Во многих ситуациях знания стеблей снопа достаточно, чтобы управлять самим снопом.Например, на стеблях можно проверить, является ли морфизм пучков мономорфизмом, эпиморфизмом или изоморфизмом. В этом смысле связка определяется ее стеблями, которые являются локальными данными. Напротив, Глобальный информация, представленная в связке, т.е. глобальные разделы, т.е. сечения ${ Displaystyle { mathcal {F}} (X)}$ по всему пространству Икс, обычно несут меньше информации. Например, для компактный комплексное многообразие Икс, глобальные сечения пучка голоморфных функций просто C, поскольку любая голоморфная функция

${ displaystyle X to mathbf {C}}$

постоянно Теорема Лиувилля.^[5]

Превращение предпучка в пучок

Часто бывает полезно взять данные, содержащиеся в предпучке, и выразить ее в виде связки. Оказывается, есть лучший способ сделать это. Требуется предпучка F и производит новую связку aF называется связка или же связка, связанная с предпучкой F. Например, связка постоянного предпучка (см. Выше) называется пучком постоянная связка. Несмотря на название, его разделы локально постоянный функции.

Связка aF можно построить с помощью этале пространство из F, а именно как пучок участков карты

${ displaystyle mathrm {Spe} (F) to X.}$

Еще одна конструкция связки aF происходит с помощью функтора L от предварительных пучков к предварительным пучкам, что постепенно улучшает свойства предварительного пучка: для любого предварительного пучка F, LF является отдельным предпучком, а для любого отделенного предпучка F, LF это связка. Связанная связка aF дан кем-то LLF.^[6]

Идея о том, что связка aF является наилучшим приближением к F пучком уточняется с помощью следующих универсальная собственность: существует естественный морфизм предпучков ${ displaystyle i двоеточие F to aF}$ так что для любой связки грамм и любой морфизм предпучков ${ displaystyle f двоеточие с F на G}$, существует уникальный морфизм пучков ${ displaystyle { tilde {f}} двоеточие aF rightarrow G}$ такой, что ${ displaystyle f = { тильда {f}} i}$. Фактически а левый присоединенный функтор к функтору включения (или забывчивый функтор ) из категории пучков в категорию предпучков, и я это единица измерения примыкания. Таким образом, категория пучков превращается в Подкатегория Жиро предварительных пучков. Эта категоричная ситуация является причиной того, что функтор пучков появляется при построении коядров морфизмов пучков или тензорных произведений пучков, но не, скажем, для ядер.

Подпучки, частные пучки

Если K это подпучок связки F абелевых групп, то частный пучок Q связка связанная с предпучком ${ Displaystyle U mapsto F (U) / K (U)}$; другими словами, фактор-пучок укладывается в точную последовательность пучков абелевых групп;

${ Displaystyle 0 к К к F к Q к 0.}$

(это также называется расширение связки.)

Позволять F, грамм - пучки абелевых групп. Набор ${ Displaystyle U mapsto operatorname {Hom} (F, G)}$ морфизмов пучков из F к грамм образует абелеву группу (в силу абелевой групповой структуры грамм). В связка хом из F и грамм, обозначаемый,

${ Displaystyle { mathcal {Hom}} (F, G)}$

является пучком абелевых групп ${ Displaystyle U mapsto OperatorName {Hom} (F | _ {U}, G | _ {U})}$ куда ${ displaystyle F | _ {U}}$ это связка на U данный ${ Displaystyle (F | _ {U}) (V) = F (V)}$ (Обратите внимание, что связка здесь не требуется). Прямая сумма F и грамм пучок, данный ${ Displaystyle U mapsto F (U) oplus G (U)}$, и тензорное произведение F и грамм связка связанная с предпучком ${ Displaystyle U mapsto F (U) otimes G (U)}$.

Все эти операции распространяются на связки модулей через связка колец А; это частный случай, когда А это постоянная связка ${ displaystyle { underline { mathbf {Z}}}}$.

Базовая функториальность

Поскольку данные (пред) пучка зависят от открытых подмножеств базового пространства, пучки на разных топологических пространствах не связаны друг с другом в том смысле, что между ними нет морфизмов. Однако, учитывая непрерывную карту ж : Икс → Y между двумя топологическими пространствами, прямое и обратное движение связывают пучки на Икс тем, кто на Y наоборот.

Прямое изображение

Прогресс (также известный как прямое изображение ) связки ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ на Икс пучок определяется

${ displaystyle (f _ {*} { mathcal {F}}) (V) = { mathcal {F}} (f ^ {- 1} (V)).}$

Здесь V открытое подмножество Y, так что его прообраз открыт в Икс непрерывностью ж. Эта конструкция восстанавливает сноп небоскреба. ${ displaystyle S_ {x}}$ упомянутый выше:

${ Displaystyle S_ {x} = я _ {*} (S)}$

куда ${ displaystyle i: {x } to X}$ - включение, а S рассматривается как пучок на одиночка (к ${ Displaystyle S ( {* }) = S, S ( emptyset) = emptyset}$.

Для карты между локально компактные пространства, то прямое изображение с компактной опорой является подпучком прямого изображения.^[7] По определению, ${ Displaystyle (е _ {!} { mathcal {F}}) (V)}$ состоит из тех ${ displaystyle f in { mathcal {F}} (f ^ {- 1} (V))}$ чей поддерживать является правильная карта над V. Если ж сам по себе, тогда ${ displaystyle f _ {!} { mathcal {F}} = f _ {*} { mathcal {F}}}$, но в целом они не согласны.

Обратное изображение

Откат или обратное изображение идет в другую сторону: он производит связку на Икс, обозначенный ${ displaystyle f ^ {- 1} { mathcal {G}}}$ из связки ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ на Y. Если ж является включением открытого подмножества, то прообраз - это просто ограничение, т.е. он задается формулой ${ Displaystyle (е ^ {- 1} { mathcal {G}}) (U) = { mathcal {G}} (U)}$ для открытого U в Икс. Связка F (на некотором пространстве Икс) называется локально постоянный если ${ Displaystyle X = bigcup _ {я in I} U_ {я}}$ некоторыми открытыми подмножествами ${ displaystyle U_ {i}}$ так что ограничение F ко всем этим открытым подмножествам постоянно. Один широкий спектр топологических пространств Икс, такие пучки эквивалент к представления из фундаментальная группа ${ displaystyle pi _ {1} (X)}$.

Для общих карт ж, определение ${ displaystyle f ^ {- 1} { mathcal {G}}}$ более вовлечен; это подробно описано на функтор обратного изображения. Стебель - существенный частный случай отката ввиду естественной идентификации, где я как указано выше:

${ displaystyle { mathcal {G}} _ {x} = i ^ {- 1} { mathcal {G}} ( {x }).}$

В целом стебли удовлетворяют ${ Displaystyle (е ^ {- 1} { mathcal {G}}) _ {х} = { mathcal {G}} _ {е (х)}}$.

Продление на ноль

Для включения ${ displaystyle j: U to X}$ открытого подмножества продление на ноль пучка абелевых групп на U определяется как

${ Displaystyle (J _ {!} { mathcal {F}}) (V) = { mathcal {F}} (V)}$ если ${ Displaystyle V подмножество U}$ и ${ Displaystyle (J _ {!} { mathcal {F}}) (V) = 0}$ иначе.

Для связки ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ на Икс, эта конструкция в некотором смысле дополняет ${ displaystyle i _ {*}}$, куда ${ displaystyle i}$ является включением дополнения к U:

${ displaystyle (j _ {!} j ^ {*} { mathcal {G}}) _ {x} = { mathcal {G}} _ {x}}$ за Икс в U, иначе стебель равен нулю, а

${ Displaystyle (я _ {*} я ^ {*} { mathcal {G}}) _ {х} = 0}$ за Икс в U, и равно ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {x}}$ иначе.

Таким образом, эти функторы полезны при сокращении теоретико-пучковых вопросов на Икс тем, кто находится в слоях стратификация, т.е. разложение Икс на более мелкие, локально замкнутые подмножества.

Дополнения

Пучки в более общих категориях

В дополнение к (предварительным) пучкам, указанным выше, где ${ Displaystyle { mathcal {F}} (U)}$ это просто набор, во многих случаях важно отслеживать дополнительную структуру в этих разделах. Например, сечения пучка непрерывных функций естественным образом образуют вещественную векторное пространство, а ограничение есть линейная карта между этими векторными пространствами.

Предварительные пучки со значениями в произвольной категории C определяются, сначала рассматривая категорию открытых множеств на Икс быть позетальная категория О(Икс), объектами которого являются открытые множества Икс и чьи морфизмы являются включениями. Затем C-значная предпучка на Икс это то же самое, что и контравариантный функтор из О(Икс) к C. Морфизмы в этой категории функторов, также известные как естественные преобразования, такие же, как морфизмы, определенные выше, что можно увидеть, распутывая определения.

Если целевая категория C признает все пределы, а C-значный предпучок является пучком, если следующая диаграмма является эквалайзер:

${ Displaystyle F (U) rightarrow prod _ {i} F (U_ {i}) {{{} atop longrightarrow} atop { longrightarrow atop {}}} prod _ {i, j} F (U_ {i} cap U_ {j}).}$

Здесь первая карта является продуктом ограничительных карт

${ displaystyle operatorname {res} _ {U_ {i}, U} двоеточие F (U) rightarrow F (U_ {i})}$

а пара стрелок - произведения двух наборов ограничений

${ displaystyle operatorname {res} _ {U_ {i} cap U_ {j}, U_ {i}} двоеточие F (U_ {i}) rightarrow F (U_ {i} cap U_ {j}) }$

и

${ displaystyle operatorname {res} _ {U_ {i} cap U_ {j}, U_ {j}} двоеточие F (U_ {j}) rightarrow F (U_ {i} cap U_ {j}) .}$

Если C является абелева категория, это условие также можно перефразировать, потребовав наличия точная последовательность

${ displaystyle 0 to F (U) to prod _ {i} F (U_ {i}) xrightarrow { operatorname {res} _ {U_ {i} cap U_ {j}, U_ {i} } - operatorname {res} _ {U_ {i} cap U_ {j}, U_ {j}}} prod _ {i, j} F (U_ {i} cap U_ {j}).}$

Частный случай этого пучкового условия имеет место при U является пустым набором, а индексный набор я также быть пустым. В этом случае условие связки требует ${ Displaystyle { mathcal {F}} ( emptyset)}$ быть конечный объект в C.

Окольцованные пространства и пучки модулей

В нескольких геометрических дисциплинах, в том числе алгебраическая геометрия и дифференциальная геометрия, пространства идут вместе с естественным пучком колец, часто называемым структурным пучком и обозначаемым ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X})}$. Такая пара ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ называется окольцованное пространство. Многие типы пространств можно определить как определенные типы окольцованных пространств. Обычно все стебли ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, x}}$ структурного пучка местные кольца, в этом случае пара называется локально окольцованное пространство.

Например, п-размерный C^k многообразие M является локально окольцованным пространством, структурный пучок которого состоит из ${ displaystyle C ^ {k}}$-функции на открытых подмножествах M. Свойство быть локально окруженное пространство означает, что такая функция, отличная от нуля в точке Икс, также отлична от нуля в достаточно малой открытой окрестности точки Икс. Некоторые авторы действительно определять вещественные (или комплексные) многообразия должны быть локально окольцованными пространствами, локально изоморфными паре, состоящей из открытого подмножества ${ Displaystyle mathbf {R} ^ {п}}$ (соотв. ${ displaystyle mathbf {C} ^ {n}}$) вместе со связкой C^k (соответственно голоморфные) функции.^[8] По аналогии, Схемы, основополагающее понятие пространств в алгебраической геометрии, - это локально окольцованные пространства, локально изоморфные пространству спектр кольца.

Учитывая окольцованное пространство, связка модулей это связка ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ так что на каждом открытом наборе U из Икс, ${ Displaystyle { mathcal {M}} (U)}$ является ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (U)}$-модуль и для каждого включения открытых множеств V ⊆ U, карта ограничений ${ Displaystyle { mathcal {M}} (U) to { mathcal {M}} (V)}$ совместим с картой ограничений О(U) → О(V): ограничение фс это ограничение ж раз больше s для любого ж в О(U) и s в F(U).

Важнейшие геометрические объекты - это связки модулей. Например, существует взаимно однозначное соответствие между векторные пакеты и локально свободные связки из ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модули. Эта парадигма применяется к реальным векторным расслоениям, комплексным векторным расслоениям или векторным расслоениям в алгебраической геометрии (где ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ состоит из гладких функций, голоморфных функций или регулярных функций соответственно). Пучки решений дифференциальных уравнений равны D-модули, то есть модули над пучком дифференциальные операторы. В любом топологическом пространстве модули над постоянным пучком ${ displaystyle { underline { mathbf {Z}}}}$ такие же, как пучки абелевых групп в смысле выше.

Существует другой функтор прообраза для пучков модулей над пучками колец. Этот функтор обычно обозначают ${ displaystyle f ^ {*}}$ и это отличается от ${ displaystyle f ^ {- 1}}$. Видеть функтор обратного изображения.

Условия конечности пучков модулей.

Условия конечности модуля над коммутативные кольца приводят к аналогичным условиям конечности для пучков модулей: ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ называется конечно порожденный (соотв. конечно представленный) если для каждой точки Икс из Икс, существует открытая окрестность U из Икс, натуральное число п (возможно, в зависимости от U) и сюръективный морфизм пучков ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ {n} | _ {U} to { mathcal {M}} | _ {U}}$ (соответственно дополнительно натуральное число м, и точная последовательность ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ {m} | _ {U} to { mathcal {O}} _ {X} ^ {n} | _ {U} to { mathcal {M}} | _ {U} to 0}$.) Параллельно с понятием согласованный модуль, ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ называется связный пучок если он конечного типа и если для каждого открытого множества U и каждый морфизм пучков ${ displaystyle phi: { mathcal {O}} _ {X} ^ {n} to { mathcal {M}}}$ (не обязательно сюръективно), ядро ​​φ имеет конечный тип. ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ является последовательный если он связан как модуль над собой. Как и в случае с модулями, когерентность в общем является более сильным условием, чем конечное представление. В Окская теорема когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексное многообразие логично.

Этальное пространство пучка

В приведенных выше примерах было отмечено, что некоторые пучки возникают естественным образом как связки секций. Фактически, все пучки множеств можно представить как пучки секций топологического пространства, называемого этале пространство, от французского слова étalé [etale], что означает примерно «разложить». Если ${ displaystyle F in { text {Sh}} (X)}$ это связка над ${ displaystyle X}$, то этале пространство из ${ displaystyle F}$ топологическое пространство ${ displaystyle E}$ вместе с локальный гомеоморфизм ${ displaystyle pi: E to X}$ такая, что связка секций ${ Displaystyle Гамма ( пи, -)}$ из ${ displaystyle pi}$ является ${ displaystyle F}$. Космос ${ displaystyle E}$ обычно очень странно, и даже если связка ${ displaystyle F}$ возникает из естественной топологической ситуации, ${ displaystyle E}$ может не иметь четкой топологической интерпретации. Например, если ${ displaystyle F}$ - пучок сечений непрерывной функции ${ displaystyle f: от Y до X}$, тогда ${ displaystyle E = Y}$ если и только если ${ displaystyle f}$ это локальный гомеоморфизм.

Этальное пространство ${ displaystyle E}$ построен из стеблей ${ displaystyle F}$ над ${ displaystyle X}$. В комплекте это их несвязный союз и ${ displaystyle pi}$ это очевидная карта, которая принимает значение ${ displaystyle x}$ на стебле ${ displaystyle F}$ над ${ displaystyle x in X}$. Топология ${ displaystyle E}$ определяется следующим образом. Для каждого элемента ${ displaystyle s in F (U)}$ и каждый ${ Displaystyle х в U}$, мы получаем росток ${ displaystyle s}$ в ${ displaystyle x}$, обозначенный ${ displaystyle [s] _ {x}}$ или же ${ displaystyle s_ {x}}$. Эти ростки определяют точки ${ displaystyle E}$. Для любого ${ displaystyle U}$ и ${ displaystyle s in F (U)}$, объединение этих точек (для всех ${ Displaystyle х в U}$) объявлен открытым в ${ displaystyle E}$. Обратите внимание, что на каждом стебле есть дискретная топология как топология подпространства. Два морфизма между пучками определяют непрерывное отображение соответствующих пространств этале, которое совместимо с проекционными отображениями (в том смысле, что каждый росток отображается в росток над той же точкой). Это превращает конструкцию в функтор.

Приведенная выше конструкция определяет эквивалентность категорий между категорией пучков множеств на ${ displaystyle X}$ и категория этальных пространств над ${ displaystyle X}$. Построение этального пространства также может быть применено к предварительному пучку, и в этом случае связка секций этального пространства восстанавливает связку, связанную с данным предварительным пучком.

Эта конструкция превращает все шкивы в представимые функторы о некоторых категориях топологических пространств. Как и выше, пусть ${ displaystyle F}$ быть связкой на ${ displaystyle X}$, позволять ${ displaystyle E}$ - его этальное пространство, и пусть ${ displaystyle pi: E to X}$ быть естественной проекцией. Рассмотрим сверхкатегория ${ displaystyle { text {Top}} / X}$ топологических пространств над ${ displaystyle X}$, т. е. категория топологических пространств вместе с фиксированными непрерывными отображениями в ${ displaystyle X}$. Каждый объект этой категории представляет собой непрерывную карту ${ displaystyle f: от Y до X}$, и морфизм из ${ displaystyle Y to X}$ к ${ displaystyle Z to X}$ это непрерывное отображение ${ displaystyle Y to X}$ который коммутирует с двумя картами в ${ displaystyle X}$. Есть функтор

${ displaystyle Gamma: { text {Top}} / X to { text {Sets}}}$

отправка объекта ${ displaystyle f: от Y до X}$ к ${ displaystyle f ^ {- 1} F (Y)}$. Например, если ${ displaystyle i: U hookrightarrow X}$ - включение открытого подмножества, то

${ Displaystyle Гамма (я) = е ^ {- 1} F (U) = F (U) = Gamma (F, U)}$

а для включения точки ${ displaystyle i: {x } hookrightarrow X}$, тогда

${ Displaystyle Gamma (я) = е ^ {- 1} F ( {x }) = F | _ {x}}$

это стебель ${ displaystyle F}$ в ${ displaystyle x}$. Есть естественный изоморфизм

${ displaystyle (f ^ {- 1} F) (Y) cong operatorname {Hom} _ { mathbf {Top} / X} (f, pi)}$,

что показывает, что ${ displaystyle pi: E to X}$ (для пространства этале) представляет собой функтор ${ displaystyle Gamma}$.

${ displaystyle E}$ построена так, что отображение проекции ${ displaystyle pi}$ покрывающая карта. В алгебраической геометрии естественный аналог накрывающего отображения называется этальный морфизм. Несмотря на свое сходство с «этале», слово этале [и другие] имеет другое значение во французском языке. Можно превратить ${ displaystyle E}$ в схема и ${ displaystyle pi}$ в морфизм схем таким образом, что ${ displaystyle pi}$ сохраняет то же универсальное свойство, но ${ displaystyle pi}$ является нет в общем, этальный морфизм, потому что он не квазиконечен. Однако это формально эталь.

Определение пучков эталевыми пространствами старше, чем определение, данное ранее в статье. Это все еще распространено в некоторых областях математики, таких как математический анализ.

Когомологии пучков

В контекстах, где открытый набор U фиксировано, а пучок рассматривается как переменная, множество F(U) также часто обозначают ${ displaystyle Gamma (U, F).}$

Как было отмечено выше, этот функтор не сохраняет эпиморфизмы. Вместо этого эпиморфизм пучков ${ Displaystyle { mathcal {F}} to { mathcal {G}}}$ это карта со следующим свойством: для любого раздела ${ displaystyle g in { mathcal {G}} (U)}$ есть покрытие ${ Displaystyle { mathcal {U}} = {U_ {i} } _ {я in I}}$ куда

${ Displaystyle U = bigcup _ {я in I} U_ {я}}$

открытых подмножеств, таких что ограничение ${ displaystyle g | _ {U_ {i}}}$ находятся в образе ${ displaystyle { mathcal {F}} (U_ {i})}$. Тем не мение, грамм сам по себе не обязательно должен быть в образе ${ Displaystyle { mathcal {F}} (U)}$. Конкретный пример этого явления - экспоненциальное отображение

${ Displaystyle { mathcal {O}} { stackrel { exp} { to}} { mathcal {O}} ^ { times}}$

между пучком голоморфные функции и ненулевые голоморфные функции. Это отображение является эпиморфизмом, который означает, что любая ненулевая голоморфная функция грамм (на некотором открытом подмножестве в C, скажем), допускает комплексный логарифм локально, т.е. после ограничения грамм присвоить открытые подмножества. Тем не мение, грамм не обязательно иметь глобальный логарифм.

Когомология пучков фиксирует это явление. Точнее, для точная последовательность пучков абелевых групп

${ displaystyle 0 to { mathcal {F}} _ {1} to { mathcal {F}} _ {2} to { mathcal {F}} _ {3} to 0,}$

(т.е. эпиморфизм ${ Displaystyle { mathcal {F}} _ {2} to { mathcal {F}} _ {3}}$ чье ядро ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {1}}$) существует длинная точная последовательность

${ displaystyle 0 to Gamma (U, { mathcal {F}} _ {1}) to Gamma (U, { mathcal {F}} _ {2}) to Gamma (U, { mathcal {F}} _ {3}) to H ^ {1} (U, { mathcal {F}} _ {1}) to H ^ {1} (U, { mathcal {F}} _ {2}) to H ^ {1} (U, { mathcal {F}} _ {3}) to H ^ {2} (U, { mathcal {F}} _ {1}) в точки}$

С помощью этой последовательности первая группа когомологий ${ Displaystyle Н ^ {1} (U, { mathcal {F}} _ {1})}$ является мерой несюръективности отображения между секциями ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {2}}$ и ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {3}}$.

Есть несколько различных способов построения когомологий пучков. Гротендик (1957) ввел их, определив когомологии пучков как производный функтор из ${ displaystyle Gamma}$. Этот метод теоретически удовлетворителен, но, основываясь на инъективные разрешения, малопригодный для конкретных вычислений. Резолюции Годемента - еще один общий, но практически недоступный подход.

Вычисление когомологий пучков

Особенно в контексте пучков на многообразиях когомологии пучков часто могут быть вычислены с использованием разрешений по формуле мягкие снопы, тонкие снопы, и дряблые снопы (также известен как вафельные связки из французов фляга означает дряблый). Например, разделение единства Рассуждение показывает, что пучок гладких функций на многообразии мягкий. Группы высших когомологий ${ Displaystyle Н ^ {я} (U, { mathcal {F}})}$ за ${ displaystyle i> 0}$ исчезают для мягких пучков, что дает возможность вычислять когомологии других пучков. Например, комплекс де Рама - разрешение постоянного пучка ${ displaystyle { underline { mathbf {R}}}}$ на любом гладком многообразии, поэтому когомологии пучков ${ displaystyle { underline { mathbf {R}}}}$ равен своему когомологии де Рама.

Другой подход - Когомологии Чеха. Когомологии Чеха были первой теорией когомологий, разработанной для пучков, и она хорошо подходит для конкретных вычислений, таких как вычисление когерентные когомологии пучков сложного проективного пространства ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$^[9]. Он связывает секции на открытых подмножествах пространства с классами когомологий на пространстве. В большинстве случаев когомологии Чеха вычисляют те же группы когомологий, что и когомологии производных функторов. Однако для некоторых патологических пространств когомологии Чеха будут давать правильные ${ displaystyle H ^ {1}}$ но неправильные группы высших когомологий. Чтобы обойти это, Жан-Луи Вердье развитый гиперпокрытия. Гиперпокрытия не только дают правильные высшие группы когомологий, но также позволяют заменять упомянутые выше открытые подмножества на определенные морфизмы из другого пространства. Такая гибкость необходима в некоторых приложениях, например при создании Пьер Делинь с смешанные структуры Ходжа.

Многие другие когерентные группы когомологий пучков находятся с помощью вложения ${ displaystyle i: X hookrightarrow Y}$ пространства ${ displaystyle X}$ в пространство с известными когомологиями, такими как ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$, или несколько взвешенное проективное пространство. Таким образом, известные группы когомологий пучков на этих объемлющих пространствах могут быть связаны с пучками ${ Displaystyle я _ {*} { mathcal {F}}}$, давая ${ Displaystyle H ^ {я} (Y, я _ {*} { mathcal {F}}) cong H ^ {i} (X, { mathcal {F}})}$. Например, вычисление когерентные пучковые когомологии проективных плоских кривых легко найти. Одна большая теорема в этой области - Разложение Ходжа найдено с помощью спектральная последовательность, ассоциированная с группами когомологий пучка, доказано Делинем.^[10][11] По сути, ${ displaystyle E_ {1}}$-страница с условиями

${ Displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = H ^ {p} (X, Omega _ {X} ^ {q})}$

когомологии пучка гладкий проективное разнообразие ${ displaystyle X}$, вырождается, значение ${ displaystyle E_ {1} = E _ { infty}}$. Это дает каноническую структуру Ходжа на группах когомологий ${ Displaystyle Н ^ {к} (Х, mathbb {C})}$. Позже было обнаружено, что эти группы когомологий могут быть легко вычислены явно с помощью Остатки гриффитса. Видеть Якобианский идеал. Такого рода теоремы приводят к одной из самых глубоких теорем о когомологиях алгебраических многообразий: теорема разложения, прокладывая путь для Смешанные модули Ходжа.

Еще один чистый подход к вычислению некоторых групп когомологий - это Теорема Бореля – Ботта – Вейля., который отождествляет группы когомологий некоторых линейные пакеты на многообразия флагов с неприводимые представления из Группы Ли. Эту теорему можно использовать, например, для простого вычисления групп когомологий всех линейных расслоений на проективном пространстве и коллекторы Грассмана.

Во многих случаях существует теория двойственности пучков, обобщающая Двойственность Пуанкаре. Видеть Двойственность Гротендика и Двойственность Вердье.

Производные категории пучков

В производная категория категории пучков, скажем, абелевых групп на некотором пространстве Икс, обозначенный здесь как ${ Displaystyle D (X)}$, является концептуальным убежищем для когомологий пучков в силу следующего соотношения:

${ displaystyle H ^ {n} (X, { mathcal {F}}) = operatorname {Hom} _ {D (X)} ( mathbf {Z}, { mathcal {F}} [n]) .}$

Примыкание между ${ displaystyle f ^ {- 1}}$, который является левым сопряженным ${ displaystyle f _ {*}}$ (уже на уровне пучков абелевых групп) порождает присоединение

${ displaystyle f ^ {- 1}: D (Y) rightleftarrows D (X): Rf _ {*}}$ (за ${ displaystyle f: от X до Y}$),

куда ${ displaystyle Rf _ {*}}$ - производный функтор. Последний функтор включает понятие когомологий пучков, поскольку ${ displaystyle H ^ {n} (X, { mathcal {F}}) = R ^ {n} f _ {*} { mathcal {F}}}$ за ${ displaystyle f: X to {* }}$.

Функторы изображений для пучков
прямое изображение ж∗
обратное изображение ж∗
прямое изображение с компактной опорой ж!
исключительный инверсный образ Rf!
${ displaystyle f ^ {*} leftrightarrows f _ {*}}$
${ displaystyle (R) f _ {!} leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Теоремы о замене базы

Нравиться ${ displaystyle f _ {*}}$, прямое изображение с компактной опорой ${ displaystyle f_ {!}}$ также можно получить. В силу следующего изоморфизма ${ displaystyle Rf _ {!} F}$ параметризует когомологии с компактным носителем из волокна из ${ displaystyle f}$:

${ displaystyle (R ^ {i} f _ {!} F) _ {y} = H_ {c} ^ {i} (f ^ {- 1} (y), F).}$^[12]

Этот изоморфизм является примером теорема об изменении базы. Есть еще одно примыкание

${ displaystyle Rf _ {!}: D (X) rightleftarrows D (Y): f ^ {!}.}$

В отличие от всех рассмотренных выше функторов, скрученный (или исключительный) функтор обратного образа ${ displaystyle f ^ {!}}$ вообще определяется только на уровне производные категории, т.е. функтор не получается как производный функтор некоторого функтора между абелевыми категориями. Если ${ displaystyle f: X to {* }}$ и Икс гладкий ориентируемое многообразие измерения п, тогда

${ displaystyle f ^ {!} { underline { mathbf {R}}} cong { underline { mathbf {R}}} [n].}$^[13]

Это вычисление и совместимость функторов с двойственностью (см. Двойственность Вердье ) можно использовать для получения подробного объяснения Двойственность Пуанкаре. В контексте квазикогерентных пучков на схемах существует аналогичная двойственность, известная как когерентная двойственность.

Извращенные снопы есть определенные объекты в ${ Displaystyle D (X)}$, т.е. комплексы пучков (но не собственно пучки вообще). Они являются важным инструментом для изучения геометрии особенности.^[14]

Производные категории когерентных пучков и группа Гротендика

Еще одно важное применение производных категорий пучков - это производная категория когерентные пучки по схеме ${ displaystyle X}$ обозначенный ${ displaystyle D_ {Coh} (X)}$. Это было использовано Гротендиком при разработке теория пересечений^[15] с помощью производные категории и K-теория, что произведение пересечений подсхем ${ displaystyle Y_ {1}, Y_ {2}}$ представлен в K-теория в качестве

${ displaystyle [Y_ {1}] cdot [Y_ {2}] = [{ mathcal {O}} _ {Y_ {1}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {X}} ^ { mathbf {L}} { mathcal {O}} _ {Y_ {2}}] in K ({ text {Coh (X)}})}$

куда ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y_ {i}}}$ находятся когерентные пучки определяется ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модули, предоставленные их структурные шкивы.

Сайты и топои

Андре Вайль с Гипотезы Вейля заявил, что был теория когомологий за алгебраические многообразия над конечные поля что дало бы аналог Гипотеза Римана. Когомологии комплексного многообразия можно определить как когомологии пучка локально постоянного пучка ${ displaystyle { underline { mathbf {C}}}}$ в евклидовой топологии, которая предлагает определить теорию когомологий Вейля в положительной характеристике как когомологии пучка постоянного пучка. Но единственной классической топологией на таком многообразии является Топология Зарисского, а топология Зарисского имеет очень мало открытых множеств, настолько мало, что когомологии любого пучка констант Зарисского на неприводимом многообразии обращаются в нуль (кроме нулевой степени). Александр Гротендик решил эту проблему, введя Топологии Гротендика, которые аксиоматизируют понятие покрытие. Гротендик пришел к выводу, что определение пучка зависит только от открытых множеств топологического пространства, а не от отдельных точек. Как только он аксиоматизировал понятие покрытия, открытые множества можно было заменить другими объектами. Предварительный пучок переводит каждый из этих объектов в данные, как и раньше, а пучок - это предварительный пучок, который удовлетворяет аксиоме склейки в отношении нашего нового понятия покрытия. Это позволило Гротендику определить этальные когомологии и ℓ-адические когомологии, которые в конечном итоге были использованы для доказательства гипотез Вейля.

Категория с топологией Гротендика называется сайт. Категория пучков на сайте называется топос или Гротендик топос. Понятие топоса позже было абстрагировано Уильям Ловер и Майлз Тирни, чтобы определить элементарные топосы, который связан с математическая логика.

История

Первые истоки теория связок трудно определить - они могут совпадать с идеей аналитическое продолжение^{[требуется разъяснение ]}. Потребовалось около 15 лет, чтобы узнаваемая, самостоятельная теория пучков возникла из фундаментальной работы по когомология.

• 1936 Эдуард Чех вводит нерв конструкции, для связывания симплициальный комплекс открытому покрытию.
• 1938 Хасслер Уитни дает «современное» определение когомологий, резюмируя работу, поскольку Дж. В. Александер и Колмогоров впервые определено коцепи.
• 1943 Норман Стинрод издает по гомологии с местные коэффициенты.
• 1945 Жан Лере публикует работы, выполненные как заключенный войны, мотивированные доказательством фиксированная точка теоремы для применения к PDE теория; это начало теории пучков и спектральные последовательности.
• 1947 Анри Картан осуждает теорема де Рама пучковыми методами, в соответствии с Андре Вайль (видеть Теорема де Рама – Вейля. ). Лере дает определение пучка в своих курсах через замкнутые множества (более поздние панцири).
• 1948 На семинаре Картана впервые сформулирована теория пучков.
• 1950 "Второе издание" теории пучков с семинара Картана: пространство связки (espace étalé) используется определение со слоистой структурой. Поддерживает вводятся, а когомологии с носителями. Непрерывные отображения порождают спектральные последовательности. В то же время Киёси Ока вводит идею (смежную с этим) пучка идеалов в несколько сложных переменных.
• 1951 Картановский семинар доказывает теоремы A и B, по мотивам работы Оки.
• 1953 Теорема конечности для когерентные пучки в аналитической теории доказано Картаном и Жан-Пьер Серр, как есть Двойственность Серра.
• Статья Серра 1954 г. Faisceaux algébriques cohérents (опубликовано в 1955 г.) вводит пучки в алгебраическая геометрия. Эти идеи немедленно используются Фридрих Хирцебрух, написавший в 1956 г. большую книгу по топологическим методам.
• 1955 Александр Гротендик в лекциях в Канзас определяет абелева категория и предпучка, и используя инъективные разрешения позволяет напрямую использовать когомологии пучков на всех топологических пространствах, так как производные функторы.
• 1956 Оскар Зариски отчет Теория алгебраических пучков
• 1957 Гротендик Тохоку бумага переписывает гомологическая алгебра; он доказывает Двойственность Гротендика (т. е. двойственность Серра для возможно единственное число алгебраические многообразия).
• 1957 г. и далее: Гротендик расширяет теорию пучков в соответствии с потребностями алгебраической геометрии, вводя: схемы и общие снопы на них, локальные когомологии, производные категории (с Вердье), и Топологии Гротендика. Возникает также его влиятельная схематическая идея 'шесть операций 'в гомологической алгебре.
• 1958 Роджер Годеман Издается книга по теории пучков. Примерно в это время Микио Сато предлагает свой гиперфункции, который окажется теоретико-пучковым.

С этого момента связки стали основной частью математики, и их использование никоим образом не ограничивалось алгебраическая топология. Позже было обнаружено, что логика в категориях пучков интуиционистская логика (это наблюдение сейчас часто называют Семантика Крипке – Джояла, но, вероятно, следует отнести к ряду авторов). Это показывает, что некоторые аспекты теории пучков можно проследить еще до Лейбниц.

Смотрите также

• Связный пучок
• Герб
• Стек (математика)
• Пучок спектров
• Извращенная связка
• Предварительный пучок пространств
• Конструктивная связка

Примечания

Рекомендации

• Бредон, Глен Э. (1997), Теория связок, Тексты для выпускников по математике, 170 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94905-5, МИСТЕР  1481706 (ориентирована на обычные топологические приложения)
• де Катальдо, Андреа Марк; Мильорини, Лука (2010). "Что такое извращенная сноп?" (PDF). Уведомления Американского математического общества. 57 (5): 632–634. МИСТЕР  2664042.
• Годеман, Роджер (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Париж: Герман, МИСТЕР  0345092
• Гротендик, Александр (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", Математический журнал Тохоку, Вторая серия, 9: 119–221, Дои:10.2748 / tmj / 1178244839, ISSN  0040-8735, МИСТЕР  0102537
• Хирцебрух, Фридрих (1995), Топологические методы в алгебраической геометрии, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-58663-0, МИСТЕР  1335917 (обновленное издание классической книги, в которой достаточно теории пучков, чтобы показать ее силу)
• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков, Universitext, Springer, Дои:10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN  3-540-16389-1, МИСТЕР  0842190
• Кашивара, Масаки; Шапира, Пьер (1994), Пучки на коллекторах, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], 292, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-51861-7, МИСТЕР  1299726 (передовые методы, такие как производная категория и исчезающие циклы на самых разумных местах)
• Мак-Лейн, Сондерс; Мурдейк, Ике (1994), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97710-2, МИСТЕР  1300636 (подчеркнута теория категорий и топосы)
• Мартин, Уильям Т .; Черн, Шиинг-Шэнь; Зариски, Оскар (1956), «Научный отчет о Втором Летнем институте, несколько комплексных переменных», Бюллетень Американского математического общества, 62 (2): 79–141, Дои:10.1090 / S0002-9904-1956-10013-X, ISSN  0002-9904, МИСТЕР  0077995
• Раманан, С. (2005), Глобальное исчисление, Аспирантура по математике, 65, Американское математическое общество, Дои:10,1090 / г / м2 / 065, ISBN  0-8218-3702-8, МИСТЕР  2104612
• Дж. Артур Зеебах, Линда А. Сибах и Линн А. Стин (1970) "Что такое сноп", Американский математический ежемесячный журнал 77:681–703 МИСТЕР0263073.
• Серр, Жан-Пьер (1955), "Faisceaux algébriques cohérents" (PDF), Анналы математики, Вторая серия, 61 (2): 197–278, Дои:10.2307/1969915, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969915, МИСТЕР  0068874
• Свон, Ричард Г. (1964), Теория пучков, Издательство Чикагского университета (краткие конспекты лекций)
• Теннисон, Барри Р. (1975), Теория связок, Издательство Кембриджского университета, МИСТЕР  0404390 (педагогическое лечение)

внешняя ссылка

• "Пучок". PlanetMath.