Проективное разнообразие - Projective variety

An эллиптическая кривая - гладкая проективная кривая рода один.

В алгебраическая геометрия, а проективное разнообразие над алгебраически замкнутое поле k является подмножеством некоторых проективный п-Космос ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ над k то есть нулевое геометрическое место некоторого конечного семейства однородные многочлены из п + 1 переменная с коэффициентами в k, которые генерируют главный идеал, определяющий идеал разнообразия. Эквивалентно алгебраическое многообразие является проективным, если его можно вложить как Зариски закрыто подмножество из ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$.

Проективное многообразие - это проективная кривая если его размерность равна единице; это проективная поверхность если его размерность два; это проективная гиперповерхность если его размерность на единицу меньше размерности содержащего проективного пространства; в данном случае это набор нулей одного однородный многочлен.

Если Икс - проективное многообразие, определяемое однородным первичным идеалом я, то кольцо частного

${ Displaystyle к [x_ {0}, ldots, x_ {n}] / I}$

называется однородное координатное кольцо из Икс. Основные инварианты Икс такой как степень и измерение можно прочитать из Полином Гильберта этого градуированное кольцо.

Проективные многообразия возникают по-разному. Они есть полный, что примерно можно выразить, сказав, что нет точек, «пропавших без вести». Обратное в общем случае неверно, но Лемма Чоу описывает тесную связь этих двух понятий. Доказательство того, что разнообразие является проективным, достигается путем изучения линейные пакеты или же делители на Икс.

Отличительной чертой проективных многообразий являются ограничения на конечность когомологий пучков. Для гладких проективных многообразий Двойственность Серра можно рассматривать как аналог Двойственность Пуанкаре. Это также приводит к Теорема Римана-Роха для проективных кривых, т. е. проективных многообразий измерение 1. Теория проективных кривых особенно богата, включая классификацию род кривой. Программа классификации многомерных проективных многообразий естественным образом приводит к построению модулей проективных многообразий.^[1] Схемы Гильберта параметризовать замкнутые подсхемы ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ с заданным многочленом Гильберта. Схемы Гильберта, из которых Грассманианы являются частными случаями, но также являются самостоятельными проективными схемами. Геометрическая теория инвариантов предлагает другой подход. Классические подходы включают Пространство Тейхмюллера и Сорта чау.

Особенно богатая теория, восходящая к классике, доступна для сложных проективных многообразий, т.е. когда многочлены, определяющие Икс имеют сложный коэффициенты. В целом Принцип GAGA говорит, что геометрия проективных комплексных аналитических пространств (или многообразий) эквивалентна геометрии проективных комплексных многообразий. Например, теория голоморфные векторные расслоения (в более общем смысле когерентные аналитические пучки ) на Икс совпадают с расслоениями алгебраических векторов. Теорема Чоу говорит, что подмножество проективного пространства является множеством нулей семейства голоморфных функций тогда и только тогда, когда оно является множеством нулей однородных многочленов. Комбинация аналитических и алгебраических методов для сложных проективных многообразий приводит к таким областям, как Теория Ходжа.

Разновидности и схемотехника

Структура сорта

Позволять k - алгебраически замкнутое поле. Основа определения проективных многообразий - проективное пространство ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$, который можно определить разными, но эквивалентными способами:

• как набор всех линий, проходящих через начало координат в ${ Displaystyle к ^ {п + 1}}$ (т.е. одномерные субвекторные пространства ${ Displaystyle к ^ {п + 1}}$)

• как набор кортежей ${ displaystyle (x_ {0}, dots, x_ {n}) in k ^ {n + 1}}$, по модулю отношения эквивалентности

${ displaystyle (x_ {0}, dots, x_ {n}) sim lambda (x_ {0}, dots, x_ {n})}$

для любого ${ Displaystyle лямбда в к smallsetminus {0 }}$. Класс эквивалентности такого набора обозначается через

${ displaystyle [x_ {0}: dots: x_ {n}]}$

и называется однородная координата.

А проективное разнообразие является по определению замкнутым подмногообразием в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$, где закрыто относится к Топология Зарисского.^[2] В общем, замкнутые подмножества топологии Зарисского определяются как множество нулей полиномиальных функций. Учитывая многочлен ${ displaystyle f in k [x_ {0}, dots, x_ {n}]}$, условие

${ displaystyle f ([x_ {0}: dots: x_ {n}]) = 0}$

не имеет смысла для произвольных многочленов, но только если ж является однородный, т. е. суммарная степень всех мономы (чья сумма ж) та же. В этом случае исчезновение

${ displaystyle f ( lambda x_ {0}, dots, lambda x_ {n}) = lambda ^ { deg f} f (x_ {0}, dots, x_ {n})}$

не зависит от выбора ${ Displaystyle лямбда ( neq 0)}$.

Следовательно, проективные многообразия возникают из однородных главные идеалы я из ${ Displaystyle к [x_ {0}, ..., x_ {n}]}$, и установка

${ displaystyle X = {[x_ {0}: dots: x_ {n}] in mathbb {P} ^ {n}, f ([x_ {0}: dots: x_ {n}]) = 0 { text {для всех}} f in I }.}$.

Более того, проективное многообразие Икс является алгебраическим многообразием, что означает, что оно покрывается открытыми аффинными подмногообразиями и удовлетворяет аксиоме отделимости. Таким образом, локальное изучение Икс (например, особенность) сводится к сингулярности аффинного многообразия. Явная структура выглядит следующим образом. Проективное пространство ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ покрывается стандартными открытыми аффинными диаграммами

${ displaystyle U_ {i} = {[x_ {0}: dots: x_ {n}], x_ {i} neq 0 },}$

которые сами по себе аффинны п-пространства с координатным кольцом

${ displaystyle k left [y_ {1} ^ {(i)}, dots, y_ {n} ^ {(i)} right], quad y_ {j} ^ {(i)} = x_ { j} / x_ {i}.}$

Сказать я = 0 для простоты обозначений и опустить верхний индекс (0). потом ${ displaystyle X cap U_ {0}}$ замкнутое подмногообразие в ${ Displaystyle U_ {0} simeq mathbb {A} ^ {n}}$ определяется идеалом ${ Displaystyle к [y_ {1}, dots, y_ {n}]}$ создано

${ displaystyle f (1, y_ {1}, dots, y_ {n})}$

для всех ж в я. Таким образом, Икс является алгебраическим многообразием, покрываемым (п+1) открытые аффинные диаграммы ${ displaystyle X cap U_ {i}}$.

Обратите внимание, что Икс является замыканием аффинного многообразия ${ displaystyle X cap U_ {0}}$ в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$. Наоборот, начиная с некоторого замкнутого (аффинного) многообразия ${ Displaystyle V подмножество U_ {0} simeq mathbb {A} ^ {n}}$, закрытие V в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ проективное многообразие, называемое проективное завершение из V. Если ${ Displaystyle I подмножество к [y_ {1}, dots, y_ {n}]}$ определяет V, то определяющим идеалом этого замыкания является однородный идеал^[3] из ${ Displaystyle к [х_ {0}, точки, х_ {п}]}$ создано

${ displaystyle x_ {0} ^ { deg (f)} f (x_ {1} / x_ {0}, dots, x_ {n} / x_ {0})}$

для всех ж в я.

Например, если V аффинная кривая, задаваемая, скажем, ${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b}$ в аффинной плоскости, то ее проективное пополнение на проективной плоскости дается формулой ${ displaystyle y ^ {2} z = x ^ {3} + axz ^ {2} + bz ^ {3}.}$

Проективные схемы

Для различных приложений необходимо рассматривать более общие алгебро-геометрические объекты, чем проективные многообразия, а именно проективные схемы. Первым шагом к проективным схемам является наделение проективного пространства схемной структурой, таким образом улучшая приведенное выше описание проективного пространства как алгебраического многообразия, т. Е. ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {n} (к)}$ схема, которая представляет собой объединение (п + 1) копии аффинного п-Космос k^п. В более общем смысле,^[4] проективное пространство над кольцом А является объединением аффинных схем

${ displaystyle U_ {i} = operatorname {Spec} A [x_ {1} / x_ {i}, dots, x_ {n} / x_ {i}], quad 0 leq i leq n,}$

Таким образом, переменные совпадают, как и ожидалось. Набор закрытые точки из ${ displaystyle mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$, для алгебраически замкнутых полей k, тогда проективное пространство ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {n} (к)}$ в обычном понимании.

Эквивалентная, но обтекаемая конструкция дается Строительство проекта, который является аналогом спектр кольца, обозначаемый "Spec", который определяет аффинная схема.^[5] Например, если А кольцо, то

${ displaystyle mathbb {P} _ {A} ^ {n} = operatorname {Proj} A [x_ {0}, ldots, x_ {n}].}$

Если р это частное из ${ Displaystyle к [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ однородным идеалом я, то каноническая сюръекция индуцирует закрытое погружение

${ displaystyle operatorname {Proj} R hookrightarrow mathbb {P} _ {k} ^ {n}.}$

По сравнению с проективными многообразиями условие, что идеал я быть главным идеалом было отброшено. Это приводит к гораздо более гибкому представлению: с одной стороны, топологическое пространство ${ displaystyle X = operatorname {Proj} R}$ может иметь несколько неприводимые компоненты. Более того, может быть нильпотентный функции на Икс.

Закрытые подсхемы ${ displaystyle mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$ биективно соответствуют однородным идеалам я из ${ Displaystyle к [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ которые насыщенный; т.е. ${ displaystyle I: (x_ {0}, dots, x_ {n}) = I.}$^[6] Этот факт можно рассматривать как уточненную версию проективный Nullstellensatz.

Мы можем дать бескоординатный аналог вышеизложенного. А именно, учитывая конечномерное векторное пространство V над k, мы позволяем

${ Displaystyle mathbb {P} (V) = operatorname {Proj} k [V]}$

куда ${ Displaystyle к [V] = OperatorName {Sym} (V ^ {*})}$ это симметрическая алгебра из ${ Displaystyle V ^ {*}}$.^[7] Это проективизация из V; т.е. параметризует линии в V. Есть каноническое сюръективное отображение ${ displaystyle pi: V smallsetminus {0 } to mathbb {P} (V)}$, который определяется с помощью диаграммы, описанной выше.^[8] Одно из важных применений конструкции - это (см., § Двойственность и линейная система ). Делитель D на проективном многообразии Икс соответствует линейному пучку L. Затем установите

${ Displaystyle | D | = mathbb {P} ( Gamma (X, L))}$;

это называется полная линейная система из D.

Проективное пространство над любым схема S можно определить как волокнистое изделие схем

${ displaystyle mathbb {P} _ {S} ^ {n} = mathbb {P} _ { mathbb {Z}} ^ {n} times _ { operatorname {Spec} mathbb {Z}} S .}$

Если ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ это скручивающая связка Серра на ${ Displaystyle mathbb {P} _ { mathbb {Z}} ^ {п}}$, мы позволяем ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ обозначить откат из ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ к ${ displaystyle mathbb {P} _ {S} ^ {n}}$; то есть, ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1) = г ^ {*} ({ mathcal {O}} (1))}$ для канонической карты ${ displaystyle g: mathbb {P} _ {S} ^ {n} to mathbb {P} _ { mathbb {Z}} ^ {n}.}$

Схема Икс → S называется проективный над S если это учитывается как закрытое погружение

${ displaystyle X to mathbb {P} _ {S} ^ {n}}$

сопровождаемый проекцией на S.

Линейный пучок (или обратимый пучок) ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ по схеме Икс над S как говорят очень много по сравнению с S если есть погружение (т. е. открытое погружение с последующим закрытым погружением)

${ displaystyle i: X to mathbb {P} _ {S} ^ {n}}$

для некоторых п так что ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ откаты к ${ displaystyle { mathcal {L}}.}$ Затем S-схема Икс проективен тогда и только тогда, когда он правильный и существует очень обширная связка на Икс относительно S. Действительно, если Икс собственно, то погружение, соответствующее очень обильному линейному расслоению, обязательно замкнуто. Наоборот, если Икс проективно, то откат ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ под закрытым погружением Икс в проективное пространство очень обширна. То, что «проективное» подразумевает «собственное», глубже: основная теорема теории исключения.

Отношение к полным разновидностям

По определению, разнообразие есть полный, если это правильный над k. В оценочный критерий правильности выражает интуицию, что в правильном разнообразии нет «недостающих» точек.

Между полными и проективными многообразиями существует тесная связь: с одной стороны, проективное пространство и, следовательно, любое проективное многообразие полно. Обратное в общем случае неверно. Тем не мение:

• А плавная кривая C проективен тогда и только тогда, когда он полный. Это подтверждается определением C с набором дискретные оценочные кольца из функциональное поле k(C) над k. Это множество имеет естественную топологию Зариского, называемую Пространство Зарисского – Римана.

• Лемма Чоу утверждает, что для любого полного разнообразия Икс, существует проективное многообразие Z и бирациональный морфизм Z → Икс.^[9] (Более того, через нормализация, можно считать это проективное многообразие нормальным.)

Некоторые свойства проективного многообразия следуют из полноты. Например,

${ displaystyle Gamma (X, { mathcal {O}} _ {X}) = k}$

для любого проективного многообразия Икс над k.^[10] Этот факт является алгебраическим аналогом Теорема Лиувилля (любая голоморфная функция на связном компактном комплексном многообразии постоянна). Фактически, сходство между комплексной аналитической геометрией и алгебраической геометрией на комплексных проективных многообразиях идет намного дальше этого, как объясняется ниже.

Квазипроективные многообразия по определению являются открытыми подмногообразиями проективных многообразий. В этот класс сортов входят аффинные разновидности. Аффинные многообразия почти никогда не бывают полными (или проективными). Фактически, проективное подмногообразие аффинного многообразия должно иметь нулевую размерность. Это потому, что только константы глобально регулярные функции на проективном многообразии.

Примеры и основные инварианты

По определению любой однородный идеал в кольце многочленов порождает проективную схему (требуется, чтобы он был простым идеалом, чтобы дать многообразие). В этом смысле примеров проективных многообразий предостаточно. В следующем списке упоминаются различные классы проективных многообразий, которые заслуживают внимания, поскольку изучались особенно интенсивно. Важный класс комплексных проективных многообразий, т. Е. Случай ${ Displaystyle к = mathbb {C},}$ обсуждается ниже.

Произведение двух проективных пространств проективно. Фактически, существует явное погружение (называемое Сегре встраивание )

${ displaystyle { begin {cases} mathbb {P} ^ {n} times mathbb {P} ^ {m} to mathbb {P} ^ {(n + 1) (m + 1) -1 } (x_ {i}, y_ {j}) mapsto x_ {i} y_ {j} end {case}}}$

Как следствие, товар проективных многообразий над k снова проективен. В Плюккеровское вложение демонстрирует Грассманиан как проективное многообразие. Разновидности флага например, частное от общая линейная группа ${ Displaystyle GL_ {п} (к)}$ по модулю подгруппы верхних треугольные матрицы, также являются проективными, что является важным фактом в теории алгебраические группы.^[11]

Однородное координатное кольцо и многочлен Гильберта

Как главный идеал п определение проективного многообразия Икс однородна, однородное координатное кольцо

${ Displaystyle R = К [x_ {0}, dots, x_ {n}] / P}$

это градуированное кольцо, т.е. может быть выражена как прямая сумма из его градуированных компонентов:

${ displaystyle R = bigoplus _ {n in mathbb {N}} R_ {n}.}$

Существует многочлен п такой, что ${ Displaystyle тусклый R_ {п} = п (п)}$ для всех достаточно больших п; это называется Полином Гильберта из Икс. Это числовой инвариант, кодирующий некоторую внешнюю геометрию Икс. Степень п это измерение р из Икс и его старший коэффициент, умноженный на р! это степень разнообразия Икс. В арифметический род из Икс равно (−1)^р (п(0) - 1) когда Икс гладко.

Например, однородное координатное кольцо ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ является ${ Displaystyle к [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ и его многочлен Гильберта равен ${ Displaystyle P (z) = { binom {z + n} {n}}}$; его арифметический род равен нулю.

Если однородное координатное кольцо р является интегрально замкнутая область, то проективное многообразие Икс как говорят проективно нормальный. Обратите внимание, в отличие от нормальность, проективная нормальность зависит от р, вложение Икс в проективное пространство. Нормализация проективного многообразия проективна; по сути, это Proj интегрального замыкания некоторого однородного координатного кольца Икс.

Степень

Позволять ${ Displaystyle X подмножество mathbb {P} ^ {N}}$ - проективное многообразие. Существует как минимум два эквивалентных способа определения степени Икс относительно его вложения. Первый способ - определить его как мощность конечного множества

${ displaystyle # (X cap H_ {1} cap cdots cap H_ {d})}$

куда d это размер Икс и ЧАС_я- это гиперплоскости в «общих положениях». Это определение соответствует интуитивному представлению о степени. Действительно, если Икс является гиперповерхностью, то степень Икс - степень однородного многочлена, определяющего Икс. «Общие положения» можно уточнить, например, теория пересечений; требуется, чтобы пересечение было правильный и что кратности неприводимых компонент равны единице.

Другое определение, упомянутое в предыдущем разделе, заключается в том, что степень Икс старший коэффициент Полином Гильберта из Икс раз (тусклый Икс) !. Геометрически это определение означает, что степень Икс - кратность вершины аффинного конуса над Икс.^[12]

Позволять ${ Displaystyle V_ {1}, точки, V_ {r} subset mathbb {P} ^ {N}}$ быть замкнутыми подсхемами чистых размерностей, которые должным образом пересекаются (они находятся в общем положении). Если м_я обозначает кратность неприводимой компоненты Z_я на пересечении (т. е. кратность пересечения ), то обобщение Теорема Безу говорит:^[13]

${ displaystyle sum _ {1} ^ {s} m_ {i} deg Z_ {i} = prod _ {1} ^ {r} deg V_ {i}.}$

Кратность пересечения м_я можно определить как коэффициент Z_я в продукте пересечения ${ Displaystyle V_ {1} cdot cdots cdot V_ {r}}$ в Кольцо для чау-чау из ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {N}}$.

В частности, если ${ Displaystyle H подмножество mathbb {P} ^ {N}}$ является гиперповерхностью, не содержащей Икс, тогда

${ displaystyle sum _ {1} ^ {s} m_ {i} deg Z_ {i} = deg (X) deg (H)}$

куда Z_я неприводимые компоненты теоретико-схемное пересечение из Икс и ЧАС с кратностью (длина локального кольца) м_я.

Сложное проективное многообразие можно рассматривать как компактное комплексное многообразие; степень многообразия (относительно вложения) тогда является объемом многообразия как многообразия по отношению к метрике, унаследованной от объемлющего сложное проективное пространство. Сложное проективное многообразие можно охарактеризовать как минимизатор объема (в определенном смысле).

Кольцо секций

Позволять Икс - проективное многообразие и L линейный пучок на нем. Тогда градуированное кольцо

${ Displaystyle R (X, L) = bigoplus _ {n = 0} ^ { infty} H ^ {0} (X, L ^ { otimes n})}$

называется кольцо секций из L. Если L является обильный, то Proj этого кольца есть Икс. Более того, если Икс это нормально и L очень много, тогда ${ Displaystyle R (X, L)}$ является интегральным замыканием однородного координатного кольца Икс определяется по L; т.е. ${ Displaystyle X hookrightarrow mathbb {P} ^ {N}}$ так что ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {N}} (1)}$ отступает к L.^[14]

Для приложений полезно учитывать делители (или же ${ displaystyle mathbb {Q}}$-дивизоры) не только линейные пучки; предполагая Икс нормально, полученное кольцо называется обобщенным кольцом сечений. Если ${ displaystyle K_ {X}}$ это канонический делитель на Икс, то обобщенное кольцо сечений

${ Displaystyle R (X, K_ {X})}$

называется каноническое кольцо из Икс. Если каноническое кольцо конечно порождено, то Proj кольца называется каноническая модель из Икс. Затем каноническое кольцо или модель можно использовать для определения Кодаира измерение из Икс.

Проективные кривые

Проективные схемы размерности один называются проективные кривые. Большая часть теории проективных кривых посвящена гладким проективным кривым, поскольку особенности кривых можно разрешить нормализация, заключающийся в локальном взятии целостное закрытие кольца регулярных функций. Гладкие проективные кривые изоморфны тогда и только тогда, когда их функциональные поля изоморфны. Изучение конечных расширений

${ Displaystyle mathbb {F} _ {p} (т),}$

или эквивалентно гладкие проективные кривые над ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ это важная ветвь в алгебраическая теория чисел.^[15]

Гладкая проективная кривая рода один называется эллиптическая кривая. Как следствие Теорема Римана-Роха, такая кривая вкладывается как замкнутое подмногообразие в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$. В общем случае любую (гладкую) проективную кривую можно вложить в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {3}}$ (доказательство см. Секущее разнообразие # Примеры ). Наоборот, любая гладкая замкнутая кривая в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$ степени три имеет род один по формула рода и, таким образом, является эллиптической кривой.

Гладкая полная кривая рода больше или равного двум называется гиперэллиптическая кривая если есть конечный морфизм ${ displaystyle C to mathbb {P} ^ {1}}$ степени два.^[16]

Проективные гиперповерхности

Каждое неприводимое замкнутое подмножество ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ коразмерности один является гиперповерхность; т.е. нулевое множество некоторого однородного неприводимого многочлена.^[17]

Абелевы разновидности

Другой важный инвариант проективного многообразия Икс это Группа Пикард ${ displaystyle operatorname {Pic} (X)}$ из Икс, множество классов изоморфизма линейных расслоений на Икс. Он изоморфен ${ displaystyle H ^ {1} (X, { mathcal {O}} _ {X} ^ {*})}$ и, следовательно, внутреннее понятие (независимое от вложения). Например, группа Пикарда ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ изоморфен ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ через карту градусов. Ядро ${ Displaystyle deg: OperatorName {Pic} (X) to mathbb {Z}}$ не только абстрактная абелева группа, но и существует разновидность, называемая Якобиева многообразие из Икс, Жак (Икс), точки которого равны этой группе. Якобиан (гладкой) кривой играет важную роль в изучении кривой. Например, якобиан эллиптической кривой E является E сам. Для кривой Икс рода грамм, Жак (Икс) имеет размер грамм.

Многообразия, такие как многообразие Якоби, которые являются полными и имеют групповую структуру, известны как абелевы разновидности, в честь Нильс Абель. В отличие от аффинные алгебраические группы Такие как ${ Displaystyle GL_ {п} (к)}$, такие группы всегда коммутативны, отсюда и название. Более того, они допускают достаточно линейный пакет и поэтому проективны. С другой стороны, абелева схема не может быть проективным. Примерами абелевых многообразий являются эллиптические кривые, якобиевы многообразия и K3 поверхности.

Прогнозы

Позволять ${ Displaystyle E подмножество mathbb {P} ^ {n}}$ - линейное подпространство; т.е. ${ Displaystyle E = {s_ {0} = s_ {1} = cdots = s_ {r} = 0 }}$ для некоторых линейно независимых линейных функционалов s_я. Тогда проекция из E (корректно определенный) морфизм

${ displaystyle { begin {cases} phi: mathbb {P} ^ {n} -E to mathbb {P} ^ {r} x mapsto [s_ {0} (x): cdots : s_ {r} (x)] end {case}}}$

Геометрическое описание этой карты выглядит следующим образом:^[18]

• Мы рассматриваем ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {r} subset mathbb {P} ^ {n}}$ так что он не пересекается с E. Тогда для любого ${ Displaystyle х в mathbb {P} ^ {n} smallsetminus E,}$

${ displaystyle phi (x) = W_ {x} cap mathbb {P} ^ {r},}$

куда ${ displaystyle W_ {x}}$ обозначает наименьшее линейное пространство, содержащее E и Икс (называется присоединиться из E и Икс.)

• ${ displaystyle phi ^ {- 1} ( {y_ {i} neq 0 }) = {s_ {i} neq 0 },}$ куда ${ displaystyle y_ {i}}$ - однородные координаты на ${ displaystyle mathbb {P} ^ {r}.}$

• Для любой закрытой подсхемы ${ Displaystyle Z подмножество mathbb {P} ^ {n}}$ не пересекаться с E, ограничение ${ displaystyle phi: Z to mathbb {P} ^ {r}}$ это конечный морфизм.^[19]

Проекции можно использовать, чтобы сократить измерение, в которое встроено проективное разнообразие, до конечные морфизмы. Начните с некоторого проективного разнообразия ${ displaystyle X subset mathbb {P} ^ {n}.}$ Если ${ displaystyle n> dim X,}$ проекция с точки не на Икс дает ${ displaystyle phi: X to mathbb {P} ^ {n-1}.}$ Более того, ${ displaystyle phi}$ является конечным отображением своего образа. Таким образом, повторяя процедуру, можно увидеть, что существует конечное отображение

${ displaystyle X to mathbb {P} ^ {d}, quad d = dim X.}$

Этот результат является проективным аналогом Лемма Нётер о нормализации. (Фактически, это дает геометрическое доказательство леммы о нормализации.)

Эту же процедуру можно использовать для получения следующего несколько более точного результата: для заданного проективного многообразия Икс над совершенным полем существует конечный бирациональный морфизм из Икс к гиперповерхности ЧАС в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {d + 1}.}$^[20] В частности, если Икс нормально, то это нормализация ЧАС.

Двойственность и линейная система

Хотя проективный п-Космос ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ параметризует строки аффинным п-пространство, двойной из него параметризует гиперплоскости на проективном пространстве следующим образом. Исправить поле k. К ${ Displaystyle { breve { mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$, мы имеем в виду проективный п-Космос

${ displaystyle { breve { mathbb {P}}} _ {k} ^ {n} = operatorname {Proj} (k [u_ {0}, dots, u_ {n}])}$

оснащен конструкцией:

${ displaystyle f mapsto H_ {f} = { alpha _ {0} x_ {0} + cdots + alpha _ {n} x_ {n} = 0 }}$, гиперплоскость на ${ displaystyle mathbb {P} _ {L} ^ {n}}$

куда ${ displaystyle f: operatorname {Spec} L to { breve { mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$ является L-точка из ${ Displaystyle { breve { mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$ для расширения поля L из k и ${ displaystyle alpha _ {i} = f ^ {*} (u_ {i}) in L.}$

Для каждого L, конструкция является биекцией между множеством L-точки ${ Displaystyle { breve { mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$ и множество гиперплоскостей на ${ displaystyle mathbb {P} _ {L} ^ {n}}$. Вследствие этого двойственное проективное пространство ${ Displaystyle { breve { mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$ считается пространство модулей гиперплоскостей на ${ displaystyle mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$.

Линия в ${ Displaystyle { breve { mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$ называется карандаш: это семейство гиперплоскостей на ${ displaystyle mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$ параметризованный ${ displaystyle mathbb {P} _ {k} ^ {1}}$.

Если V - конечномерное векторное пространство над k, то по той же причине, что и выше, ${ Displaystyle mathbb {P} (V ^ {*}) = operatorname {Proj} ( operatorname {Sym} (V))}$ пространство гиперплоскостей на ${ Displaystyle mathbb {P} (V)}$. Важный случай - когда V состоит из участков линейного пучка. А именно пусть Икс быть алгебраическим многообразием, L линейный пакет на Икс и ${ Displaystyle V подмножество Gamma (X, L)}$ векторное подпространство конечной положительной размерности. Тогда есть карта:^[21]

${ displaystyle { begin {cases} varphi _ {V}: X smallsetminus B to mathbb {P} (V ^ {*}) x mapsto H_ {x} = {s in V | s (x) = 0 } end {case}}}$

определяется линейной системой V, куда B, называется базовый локус, это пересечение делителей нуля ненулевых сечений в V (видеть Линейная система делителей # Отображение, определяемое линейной системой для построения карты).

Когомологии когерентных пучков

Позволять Икс - проективная схема над полем (или, в более общем смысле, над нётеровым кольцом А). Когомологии когерентных пучков ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ на Икс удовлетворяет следующим важным теоремам Серра:

1. ${ displaystyle H ^ {p} (X, { mathcal {F}})}$ является конечномерным k-векторное пространство для любых п.
2. Существует целое число ${ displaystyle n_ {0}}$ (в зависимости от ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$; смотрите также Регулярность Кастельнуово – Мамфорда. ) такие, что

${ displaystyle H ^ {p} (X, { mathcal {F}} (n)) = 0}$

для всех ${ displaystyle n geq n_ {0}}$ и п > 0, где ${ Displaystyle { mathcal {F}} (п) = { mathcal {F}} otimes { mathcal {O}} (п)}$ это скручивание с мощностью очень обильного линейного пучка ${ displaystyle { mathcal {O}} (1).}$

Эти результаты доказаны применительно к делу. ${ Displaystyle X = mathbb {P} ^ {n}}$ используя изоморфизм

${ displaystyle H ^ {p} (X, { mathcal {F}}) = H ^ {p} ( mathbb {P} ^ {r}, { mathcal {F}}), p geq 0}$

где в правой части ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ рассматривается как пучок на проективном пространстве продолжением нулем.^[22] Результат затем следует прямым вычислением для ${ Displaystyle { mathcal {F}} = { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {r}} (п),}$ п любое целое число, а для произвольных ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ сводится к этому случаю без особого труда.^[23]

Как следствие 1. выше, если ж является проективным морфизмом нётеровой схемы в нётеровое кольцо, то высший прямой образ ${ Displaystyle R ^ {p} е _ {*} { mathcal {F}}}$ логично. Тот же результат верен для собственных морфизмов ж, как можно показать с помощью Лемма Чоу.

Когомологии пучков группы ЧАС^я на нётеровом топологическом пространстве исчезают при я строго больше, чем размерность пространства. Таким образом, величина, называемая Эйлерова характеристика из ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$,

${ displaystyle chi ({ mathcal {F}}) = sum _ {i = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {i} dim H ^ {i} (X, { mathcal { F}})}$

является вполне определенным целым числом (для Икс проективный). Затем можно показать ${ Displaystyle чи ({ mathcal {F}} (п)) = п (п)}$ для некоторого полинома п над рациональными числами.^[24] Применяя эту процедуру к структурному пучку ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$, восстанавливается многочлен Гильберта от Икс. В частности, если Икс неприводима и имеет размерность р, арифметический род Икс дан кем-то

${ Displaystyle (-1) ^ {г} ( чи ({ mathcal {O}} _ {X}) - 1),}$

который явно присущ; т.е. не зависит от вложения.

Арифметический род гиперповерхности степени d является ${ displaystyle { binom {d-1} {n}}}$ в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$. В частности, гладкая кривая степени d в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$ имеет арифметический род ${ Displaystyle (d-1) (d-2) / 2}$. Это формула рода.

Гладкие проективные многообразия

Позволять Икс - гладкое проективное многообразие, все неприводимые компоненты которого имеют размерность п. В этой ситуации каноническая связка ω_Икс, определяемый как пучок Дифференциалы Kähler высшей степени (т.е. алгебраический п-forms), представляет собой линейный пучок.

Двойственность Серра

Двойственность Серра утверждает, что для любой локально свободной связки ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ на Икс,

${ displaystyle H ^ {i} (X, { mathcal {F}}) simeq H ^ {ni} (X, { mathcal {F}} ^ { vee} otimes omega _ {X}) '}$

где верхний штрих означает двойственное пространство, а ${ Displaystyle { mathcal {F}} ^ { vee}}$ двойственный пучок ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$.Обобщение на проективные, но не обязательно гладкие схемы известно как Двойственность Вердье.

Теорема Римана-Роха

Для (гладкой проективной) кривой Икс, ЧАС² и выше обращаются в нуль по причине размерности, а пространство глобальных сечений структурного пучка одномерно. Таким образом, арифметический род Икс это размер ${ displaystyle H ^ {1} (X, { mathcal {O}} _ {X})}$. По определению геометрический род из Икс это размер ЧАС⁰(Икс, ω_Икс). Таким образом, двойственность Серра означает, что арифметический род и геометрический род совпадают. Их просто назовем родом Икс.

Двойственность Серра также является ключевым ингредиентом доказательства Теорема Римана – Роха. С Икс гладко, существует изоморфизм групп

${ displaystyle { begin {cases} operatorname {Cl} (X) to operatorname {Pic} (X) D mapsto { mathcal {O}} (D) end {cases}}}$

из группы (Вейля) дивизоры по модулю главных дивизоров к группе классов изоморфизмов линейных расслоений. Дивизор, соответствующий ω_Икс называется каноническим дивизором и обозначается K. Позволять л(D) быть размерностью ${ Displaystyle Н ^ {0} (Х, { mathcal {O}} (D))}$. Тогда теорема Римана – Роха утверждает: если грамм это род Икс,

${ Displaystyle l (D) -l (K-D) = deg D + 1-g,}$

для любого делителя D на Икс. По двойственности Серра это то же самое, что:

${ Displaystyle чи ({ mathcal {O}} (D)) = deg D + 1-g,}$

что легко доказать.^[25] Обобщением теоремы Римана-Роха на более высокие измерения является Теорема Хирцебруха-Римана-Роха, а также далеко идущие Теорема Гротендика-Римана-Роха.

Схемы Гильберта

Схемы Гильберта параметризовать все замкнутые подмногообразия проективной схемы Икс в том смысле, что точки (в функториальном смысле) ЧАС соответствуют замкнутым подсхемам Икс. Таким образом, схема Гильберта является примером пространство модулей, т.е. геометрический объект, точки которого параметризуют другие геометрические объекты. Точнее, схема Гильберта параметризует замкнутые подмногообразия, у которых Полином Гильберта равняется заданному многочлену п.^[26] Это глубокая теорема Гротендика, что существует схема^[27] ${ displaystyle H_ {X} ^ {P}}$ над k такое, что для любого k-схема Т, есть биекция

${ displaystyle {{ text {морфизмы}} T to H_ {X} ^ {P} } longleftrightarrow {{ text {закрытые подсхемы}} X times _ {k} T { text {flat over}} T, { text {с многочленом Гильберта}} P. }}$

Закрытая подсхема ${ Displaystyle X раз H_ {X} ^ {P}}$ что соответствует карте идентичности ${ displaystyle H_ {X} ^ {P} to H_ {X} ^ {P}}$ называется универсальная семья.

За ${ Displaystyle P (z) = { binom {z + r} {r}}}$, схема Гильберта ${ Displaystyle H _ { mathbb {P} ^ {n}} ^ {P}}$ называется Грассманиан из р-самолеты в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ и если Икс - проективная схема, ${ displaystyle H_ {X} ^ {P}}$ называется Схема Фано из р-самолеты на Икс.^[28]

Комплексные проективные многообразия

В этом разделе все алгебраические многообразия сложный алгебраические многообразия. Ключевой особенностью теории комплексных проективных многообразий является сочетание алгебраических и аналитических методов. Переход между этими теориями обеспечивается следующей связью: поскольку любой комплексный многочлен также является голоморфной функцией, любое комплексное многообразие Икс дает сложный аналитическое пространство, обозначенный ${ Displaystyle X ( mathbb {C}).}$ Кроме того, геометрические свойства Икс отражаются в ${ Displaystyle X ( mathbb {C}).}$ Например, последний - это комплексное многообразие если только Икс гладкая; это компактно, если и только если Икс правильно над ${ displaystyle mathbb {C}.}$

Связь с комплексными кэлеровыми многообразиями

Комплексное проективное пространство - это Кэлерово многообразие. Отсюда следует, что для любого проективного алгебраического многообразия Икс, ${ Displaystyle Х ( mathbb {C})}$ компактное кэлерово многообразие. Обратное не совсем так, но Теорема вложения Кодаира дает критерий проективности кэлерова многообразия.

В малых габаритах есть следующие результаты:

• (Риман) А компактная риманова поверхность (т.е. компактное комплексное многообразие размерности один) является проективным многообразием. Посредством Теорема Торелли, он однозначно определяется своим якобианом.

• (Чау-Кодайра) Компактный комплексное многообразие размерности два с двумя алгебраически независимыми мероморфные функции - проективное многообразие.^[29]

ГАГА и теорема Чоу

Теорема Чоу предлагает отличный способ пойти другим путем - от аналитической геометрии к алгебраической. Он утверждает, что каждое аналитическое подмногообразие комплексного проективного пространства является алгебраическим. Теорема может быть интерпретирована как утверждение, что голоморфная функция удовлетворение определенному условию роста обязательно является алгебраическим: «проективное» обеспечивает это условие роста. Из теоремы можно вывести следующее:

• Мероморфные функции на комплексном проективном пространстве рациональны.

• Если алгебраическое отображение между алгебраическими многообразиями является аналитическим изоморфизм, то это (алгебраический) изоморфизм. (Эта часть является основным фактом в комплексном анализе.) В частности, из теоремы Чоу следует, что голоморфное отображение между проективными многообразиями является алгебраическим. (рассмотрим график такой карты.)

• Каждый голоморфное векторное расслоение на проективном многообразии индуцируется единственным алгебраическим векторным расслоением.^[30]

• Всякое голоморфное линейное расслоение на проективном многообразии является линейным расслоением дивизора.^[31]

Теорема Чоу может быть показана с помощью Принцип GAGA. Его основная теорема гласит:

Позволять Икс быть проективной схемой над ${ Displaystyle mathbb {C}}$. Тогда функтор, сопоставляющий когерентные пучки на Икс когерентным пучкам на соответствующем комплексном аналитическом пространстве Икс^ан эквивалентность категорий. Кроме того, естественные карты

${ displaystyle H ^ {i} (X, { mathcal {F}}) to H ^ {i} (X ^ { text {an}}, { mathcal {F}})}$

являются изоморфизмами для всех я и все связные связки ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ на Икс.^[32]

Комплексные торы против сложных абелевых многообразий

Комплексное многообразие, ассоциированное с абелевым многообразием А над ${ Displaystyle mathbb {C}}$ компактный комплексная группа Ли. Можно показать, что они имеют вид

${ Displaystyle mathbb {C} ^ {g} / L}$

и также упоминаются как комплексные торы. Здесь, грамм - размерность тора и L решетка (также называемая решетка периодов ).

Согласно теорема униформизации Как уже упоминалось выше, любой тор размерности 1 возникает из абелевого многообразия размерности 1, т.е. эллиптическая кривая. Фактически, Эллиптическая функция Вейерштрасса ${ displaystyle wp}$ прикреплен к L удовлетворяет определенному дифференциальному уравнению и, как следствие, определяет замкнутое погружение:^[33]

${ displaystyle { begin {cases} mathbb {C} / L to mathbb {P} ^ {2} L mapsto (0: 0: 1) z mapsto (1: wp ( z): wp '(z)) end {case}}}$

Существует п-адический аналог, p-адическая униформизация теорема.

Для более высоких размерностей понятия сложных абелевых многообразий и сложных торов различаются: только поляризованный сложные торы происходят от абелевых разновидностей.

Кодаира исчезает

Фундаментальный Кодаира теорема об исчезновении утверждает, что для обильного линейного пучка ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ на гладком проективном многообразии Икс над полем характеристики нуль,

${ displaystyle H ^ {i} (X, { mathcal {L}} otimes omega _ {X}) = 0}$

за я > 0, или, что эквивалентно двойственности Серра ${ Displaystyle Н ^ {я} (Х, { mathcal {L}} ^ {- 1}) = 0}$ за я < п.^[34] В первом доказательстве этой теоремы использовались аналитические методы кэлеровской геометрии, но чисто алгебраическое доказательство было найдено позже. Обнуление Кодаира в общем случае не выполняется для гладкого проективного многообразия с положительной характеристикой. Теорема Кодаиры - одна из различных теорем об исчезновении, которая дает критерии исчезновения когомологий высших пучков. Поскольку эйлерова характеристика пучка (см. Выше) часто более управляема, чем отдельные группы когомологий, это часто имеет важные последствия для геометрии проективных многообразий.^[35]

Связанные понятия

• Мультипроективное разнообразие
• Взвешенное проективное многообразие, замкнутое подмногообразие взвешенное проективное пространство^[36]

Смотрите также

• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Схема гильберта
• Теорема Лефшеца о гиперплоскости
• Программа минимальной модели

Примечания

Рекомендации

• Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо (2000), Геометрия схем
• Уильям Фултон. (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, МИСТЕР  1644323
• П. Гриффитс и Дж. Адамс, Темы алгебраической и аналитической геометрии, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1974.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157
• Хайбрехтс, Даниэль (2005). Сложная геометрия: введение. Springer. ISBN  978-3-540-21290-4.
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 8. Дои:10.1007 / bf02699291. МИСТЕР  0217084.
• Коллар, Янош, Книга по модулям поверхностей
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях
• Мамфорд, Дэвид (1970), Абелевы многообразия
• Мамфорд, Дэвид (1995), Алгебраическая геометрия I: комплексные проективные многообразия
• Мамфорд, Дэвид (1999), Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974 г.) о кривых и их якобианах, Конспект лекций по математике, 1358 (2-е изд.), Springer-Verlag, Дои:10.1007 / b62130, ISBN  978-3540632931
• "Алгебраическая геометрия II" Мамфордса в соавторстве с Тадао Ода: доступны на [1]
• Игорь Шафаревич (1995). Основная алгебраическая геометрия I: многообразия в проективном пространстве (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-54812-8.
• Р. Вакиль, Основы алгебраической геометрии

внешняя ссылка

• Схема Гильберта Чарльз Сигель - запись в блоге
• Проективные многообразия гл. 1