Сегре встраивание - Segre embedding

В математика, то Сегре встраивание используется в проективная геометрия рассмотреть декартово произведение (наборов) из двух проективные пространства как проективное разнообразие. Он назван в честь Коррадо Сегре.

Определение

В Карта Сегре можно определить как карту

${ displaystyle sigma: P ^ {n} times P ^ {m} to P ^ {(n + 1) (m + 1) -1} }$

взяв пару очков ${ Displaystyle ([X], [Y]) в P ^ {n} times P ^ {m}}$ к их продукту

${ displaystyle sigma: ([X_ {0}: X_ {1}: cdots: X_ {n}], [Y_ {0}: Y_ {1}: cdots: Y_ {m}]) mapsto [ X_ {0} Y_ {0}: X_ {0} Y_ {1}: cdots: X_ {i} Y_ {j}: cdots: X_ {n} Y_ {m}] }$

(в Икс_яY_j взяты в лексикографический порядок ).

Вот, ${ displaystyle P ^ {n}}$ и ${ Displaystyle P ^ {m}}$ проективны векторные пространства над произвольным поле, а обозначение

${ Displaystyle [X_ {0}: X_ {1}: cdots: X_ {n}] }$

это из однородные координаты на пространстве. Изображение карты представляет собой разновидность, называемую Сегре разновидность. Иногда его пишут как ${ displaystyle Sigma _ {n, m}}$.

Обсуждение

На языке линейная алгебра, для данного векторные пространства U и V над тем же поле K, есть естественный способ сопоставить их декартово произведение с их тензорное произведение.

${ displaystyle varphi: U times V to U otimes V. }$

В общем, это не обязательно инъективный потому что для ${ displaystyle u}$ в ${ displaystyle U}$, ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V}$ и любые ненулевые ${ displaystyle c}$ в ${ displaystyle K}$,

${ displaystyle varphi (u, v) = u otimes v = cu otimes c ^ {- 1} v = varphi (cu, c ^ {- 1} v). }$

Рассматривая основные проективные пространства п(U) и п(V) это отображение становится морфизмом многообразий

${ Displaystyle sigma: P (U) times P (V) to P (U otimes V). }$

Это не только инъективно в теоретико-множественном смысле: это закрытое погружение в том смысле алгебраическая геометрия. То есть можно задать систему уравнений для изображения. За исключением проблем с обозначениями, легко сказать, что это за уравнения: они выражают два способа разложения произведений координат из тензорного произведения, полученных двумя разными способами: что-то из U раз что-то из V.

Это отображение или морфизм σ это Сегре встраивание. Подсчитывая размерности, он показывает, как произведение проективных пространств измерений м и п встраивается в измерение

${ Displaystyle (м + 1) (п + 1) -1 = мн + м + п. }$

В классической терминологии координаты на товаре называются мультиоднородный, а произведение обобщено на k факторы k-образное проективное пространство.

Свойства

Сорт Сегре является примером детерминантное разнообразие; это нулевое геометрическое место миноров 2 × 2 матрицы ${ Displaystyle (Z_ {я, j})}$. То есть многообразие Сегре является общим нулевым локусом квадратичные многочлены

${ displaystyle Z_ {i, j} Z_ {k, l} -Z_ {i, l} Z_ {k, j}. }$

Вот, ${ displaystyle Z_ {i, j}}$ понимается как естественная координата на изображении карты Сегре.

Сорт Сегре ${ displaystyle Sigma _ {n, m}}$ является категориальным продуктом ${ Displaystyle P ^ {п} }$ и ${ Displaystyle P ^ {m}}$.^[1]Проекция

${ displaystyle pi _ {X}: Sigma _ {n, m} to P ^ {n} }$

к первому множителю может быть задано m + 1 отображениями на открытых подмножествах, покрывающих многообразие Сегре, которые согласовывают пересечения подмножеств. Для фиксированных ${ displaystyle j_ {0}}$, карта выдается отправкой ${ displaystyle [Z_ {i, j}]}$ к ${ displaystyle [Z_ {я, j_ {0}}]}$. Уравнения ${ Displaystyle Z_ {я, j} Z_ {k, l} = Z_ {я, l} Z_ {k, j} }$ убедитесь, что эти карты согласуются друг с другом, потому что если ${ displaystyle Z_ {i_ {0}, j_ {0}} neq 0}$ у нас есть ${ displaystyle [Z_ {i, j_ {1}}] = [Z_ {i_ {0}, j_ {0}} Z_ {i, j_ {1}}] = [Z_ {i_ {0}, j_ {1 }} Z_ {i, j_ {0}}] = [Z_ {i, j_ {0}}]}$.

Слои произведения - линейные подпространства. То есть пусть

${ displaystyle pi _ {X}: Sigma _ {n, m} to P ^ {n} }$

быть проекцией на первый фактор; и аналогично ${ displaystyle pi _ {Y}}$ для второго фактора. Тогда изображение карты

${ displaystyle sigma ( pi _ {X} ( cdot), pi _ {Y} (p)): Sigma _ {n, m} to P ^ {(n + 1) (m + 1 ) -1} }$

для фиксированной точки п является линейным подпространством codomain.

Примеры

Квадрик

Например с м = п = 1 получаем вложение произведения проективная линия с собой в п³. Изображение - это квадрика, и, как легко видеть, содержит два однопараметрических семейства линий. Над сложные числа это довольно общий неособый квадрика. Сдача

${ displaystyle [Z_ {0}: Z_ {1}: Z_ {2}: Z_ {3}] }$

быть однородные координаты на п³, эта квадрика задается как геометрическое место нулей квадратичного многочлена, заданного детерминант

${ displaystyle det left ({ begin {matrix} Z_ {0} & Z_ {1} Z_ {2} & Z_ {3} end {matrix}} right) = Z_ {0} Z_ {3} -Z_ {1} Z_ {2}. }$

Сегре тройной

Карта

${ displaystyle sigma: P ^ {2} times P ^ {1} to P ^ {5}}$

известен как Сегре тройной. Это пример рациональной нормальной прокрутки. Пересечение трехмерного многообразия Сегре и трехплоскости ${ displaystyle P ^ {3}}$ это витая кубическая кривая.

Веронезе сорт

Изображение диагонали ${ displaystyle Delta subset P ^ {n} times P ^ {n}}$ под картой Сегре находится Веронезе сорт второй степени

${ displaystyle nu _ {2}: P ^ {n} to P ^ {n ^ {2} + 2n}. }$

Приложения

Поскольку отображение Сегре является категориальным произведением проективных пространств, это естественное отображение для описания не-запутанные состояния в квантовая механика и квантовая теория информации. Точнее, карта Сегре описывает, как брать продукты проективные гильбертовы пространства.

В алгебраическая статистика, Разновидности Сегре соответствуют моделям независимости.

Вложение Сегре п²×п² в п⁸ единственный Сорт Севери размерности 4.

использованная литература

• Харрис, Джо (1995), Алгебраическая геометрия: первый курс, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97716-4
• Хассет, Брендан (2007), Введение в алгебраическую геометрию, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 154, г. Дои:10.1017 / CBO9780511755224, ISBN  978-0-521-69141-3, Г-Н  2324354