Codomain - Codomain

Функция ж от Икс к Y. Синий овал Y является содоменом ж. Желтый овал внутри Y это образ из ж.

В математика, то codomain или набор пунктов назначения из функция это набор в которое все выходные данные функции должны попадать. Это набор Y в обозначениях ж: Икс → Y. Период, термин ассортимент иногда неоднозначно используется для обозначения кодомена или образ функции.

Кодомен - это часть функции ж если ж определяется как тройка (Икс, Y, г) где Икс называется домен из ж, Y его codomain, и г его график.^[1] Набор всех элементов формы ж(Икс), где Икс пробегает по элементам домена Икс, называется образ из ж. Изображение функции - это подмножество ее кодомена, поэтому оно может не совпадать с ним. А именно функция, которая не сюръективный имеет элементы у в своей области, для которой уравнение ж(Икс) = у не имеет решения.

Кодомен не является частью функции ж если ж определяется как просто граф.^[2][3] Например в теория множеств желательно, чтобы область определения функции была правильный класс Икс, в этом случае формально не существует тройного (Икс, Y, г). С таким определением функции не имеют кодомена, хотя некоторые авторы все еще используют его неформально после введения функции в форме ж: Икс → Y.^[4]

Примеры

Для функции

${ Displaystyle е двоеточие mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$

определяется

${ Displaystyle е двоеточие , х mapsto х ^ {2},}$ или эквивалентно ${ Displaystyle е (х) = х ^ {2},}$

содомен ж является ${ Displaystyle textstyle mathbb {R}}$, но ж не сопоставляется ни с каким отрицательным числом. Таким образом, образ ж это набор ${ displaystyle textstyle mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$; т.е. интервал [0, ∞).

Альтернативная функция г определяется так:

${ Displaystyle г двоеточие mathbb {R} rightarrow mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$

${ displaystyle g двоеточие , x mapsto x ^ {2}.}$

В то время как ж и г сопоставить данный Икс с одним и тем же номером, с этой точки зрения они не являются одной и той же функцией, потому что у них разные кодомены. Третья функция час можно определить, чтобы продемонстрировать, почему:

${ displaystyle h двоеточие , x mapsto { sqrt {x}}.}$

Область час не может быть ${ Displaystyle textstyle mathbb {R}}$ но можно определить как ${ displaystyle textstyle mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$:

${ displaystyle h двоеточие mathbb {R} _ {0} ^ {+} rightarrow mathbb {R}.}$

В композиции обозначаются

${ displaystyle h circ f,}$

${ displaystyle h circ g.}$

При осмотре, час ∘ ж бесполезно. Верно, если не указано иное, что изображение ж не известно; известно только, что это подмножество ${ displaystyle textstyle mathbb {R}}$. По этой причине возможно, что час, при составлении с ж, может получить аргумент, для которого не определен выход - отрицательные числа не являются элементами домена час, какой функция квадратного корня.

Таким образом, композиция функций является полезным понятием только тогда, когда codomain функции в правой части композиции (не ее образ, который является следствием функции и может быть неизвестен на уровне композиции) является подмножеством области определения функции слева.

Кодомен влияет на то, является ли функция сюрприз, в том, что функция сюръективна тогда и только тогда, когда ее область значений равна ее образу. В этом примере г это сюрприз, пока ж не является. Кодомен не влияет на то, является ли функция инъекция.

Второй пример разницы между codomain и image демонстрируется линейные преобразования между двумя векторные пространства - в частности, все линейные преобразования из ${ Displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {2}}$ самому себе, что может быть представлено 2×2 матрицы с действительными коэффициентами. Каждая матрица представляет собой карту с областью ${ Displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {2}}$ и codomain ${ Displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {2}}$. Однако изображение нечеткое. Некоторые преобразования могут иметь изображение, равное всей области (в этом случае матрицы с ранг 2), но многие этого не делают, вместо этого отображая на более мелкие подпространство (матрицы ранга 1 или 0). Возьмем для примера матрицу Т данный

${ displaystyle T = { begin {pmatrix} 1 & 0 1 & 0 end {pmatrix}}}$

которое представляет собой линейное преобразование, отображающее точку (Икс, у) к (Икс, Икс). Смысл (2, 3) не в образе Т, но все еще находится в кодовой области, поскольку линейные преобразования из ${ Displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {2}}$ к ${ Displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {2}}$ имеют явное значение. Как и все 2×2 матрицы, Т представляет члена этого набора. Изучение различий между изображением и кодоменом часто может быть полезно для выявления свойств рассматриваемой функции. Например, можно сделать вывод, что Т не имеет полного ранга, так как его изображение меньше всего кодомена.

Смотрите также

• Биекция

Заметки

использованная литература

• Бурбаки, Николас (1970). Теория ансамблей. Éléments de mathématique. Springer. ISBN  9783540340348.
• Экклс, Питер Дж. (1997), Введение в математические рассуждения: числа, множества и функции, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-59718-0
• Форстер, Томас (2003), Логика, индукция и множества, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-53361-4
• Мак-Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-98403-2
• Скотт, Дана С .; Jech, Томас Дж. (1967), Аксиоматическая теория множеств, Симпозиум по чистой математике, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0245-8
• Шарма, А. (2004), Введение в теорию множеств, Издательство Discovery, ISBN  978-81-7141-877-0
• Стюарт, Ян; Высокий, Дэвид Орм (1977), Основы математики, Издательство Оксфордского университета, ISBN  978-0-19-853165-4