Линейное подпространство - Linear subspace

Одномерные подпространства в двумерном векторном пространстве над конечное поле F₅. В источник (0, 0), отмеченная зелеными кружками, принадлежит любому из шести 1-подпространств, а каждая из 24 оставшихся точек принадлежит ровно одному; свойство, которое выполняется для 1-подпространств над любым полем и во всех размеры. Все F₅² (т.е. квадрат 5 × 5) изображается четыре раза для лучшей визуализации

В математика, а точнее в линейная алгебра, а линейное подпространство, также известный как векторное подпространство^[1]^[2] это векторное пространство это подмножество некоторого большего векторного пространства. Линейное подпространство обычно называют просто подпространство, когда контекст служит для отличия его от других типов подпространств.

Определение

Если V векторное пространство над поле K и если W это подмножество V, тогда W это подпространство из V если под операциями V, W это векторное пространство над K. Эквивалентно непустой подмножество W является подпространством V если, когда ${ displaystyle w_ {1}, w_ {2}}$ являются элементами W и ${ displaystyle alpha, beta}$ являются элементами K, следует, что ${ displaystyle alpha w_ {1} + beta w_ {2}}$ в W.^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]

Как следствие, все векторные пространства снабжены как минимум двумя подпространствами: одноэлементный набор с нулевой вектор и само векторное пространство. Они называются тривиальные подпространства векторного пространства.^[8]

Примеры

Пример I

Пусть поле K быть набор р из действительные числа, и пусть векторное пространство V быть реальное координатное пространство р³.Брать W быть набором всех векторов в V последний компонент которого равен 0, тогда W является подпространством V.

Доказательство:

Данный ты и v в W, то их можно выразить как ты = (ты₁, ты₂, 0) и v = (v₁, v₂, 0). потом ты + v = (ты₁+v₁, ты₂+v₂, 0+0) = (ты₁+v₁, ты₂+v₂, 0). Таким образом, ты + v является элементомW, тоже.
Данный ты в W и скаляр c в р, если ты = (ты₁, ты₂, 0) снова, затем cты = (у.е.₁, у.е.₂, c0) = (у.е.₁, у.е.₂, 0). Таким образом, cты является элементом W тоже.

Пример II

Пусть поле будет р снова, но теперь пусть векторное пространство V быть Декартова плоскость р².Брать W быть набором точек (Икс, у) из р² такой, что Икс = у.Потом W является подпространством р².

Пример II проиллюстрирован

Доказательство:

Позволять п = (п₁, п₂) и q = (q₁, q₂) быть элементами W, то есть такие точки на плоскости, что п₁ = п₂ и q₁ = q₂. потом п + q = (п₁+q₁, п₂+q₂); поскольку п₁ = п₂ и q₁ = q₂, тогда п₁ + q₁ = п₂ + q₂, так п + q является элементом W.
Позволять п = (п₁, п₂) быть элементом W, то есть точка на плоскости такая, что п₁ = п₂, и разреши c быть скаляром в р. потом cп = (cp₁, cp₂); поскольку п₁ = п₂, тогда cp₁ = cp₂, так cп является элементом W.

В общем, любое подмножество реального координатного пространства р^п который определяется системой однородных линейные уравнения даст подпространство. (Уравнение в примере I было z = 0, а уравнение в примере II было Икс = у.) Геометрически эти подпространства представляют собой точки, линии, плоскости и пространства, проходящие через точку 0.

Пример III.

Снова выйти на поле, чтобы быть р, но теперь пусть векторное пространство V быть набором р^р из всех функции из р к р.Пусть C (р) - подмножество, состоящее из непрерывный функций, тогда C (р) является подпространством р^р.

Доказательство:

Мы знаем из расчетов, что 0 ∈ C (р) ⊂ р^р.
Мы знаем из исчисления, что сумма непрерывных функций непрерывна.
Опять же, мы знаем из математического анализа, что произведение непрерывной функции и числа непрерывно.

Пример IV.

Сохраните те же поле и векторное пространство, что и раньше, но теперь рассмотрите набор Diff (р) из всех дифференцируемые функции Те же аргументы, что и раньше, показывают, что это тоже подпространство.

Примеры, расширяющие эти темы, распространены в функциональный анализ.

Свойства подпространств

Из определения векторных пространств следует, что подпространства непусты и являются закрыто под суммами и под скалярными кратными.^[9] Эквивалентно подпространства можно охарактеризовать свойством замкнутости относительно линейных комбинаций. То есть непустой набор W является подпространством если и только если каждая линейная комбинация конечно многие элементы W также принадлежит WЭквивалентное определение утверждает, что это также эквивалентно одновременному рассмотрению линейных комбинаций двух элементов.

В топологическое векторное пространство Икс, подпространство W не обязательно топологически закрыто, но конечномерный подпространство всегда закрыто.^[10] То же верно и для подпространств конечных коразмерность (т.е. подпространства, определяемые конечным числом непрерывных линейные функционалы ).

Описания

Описание подпространств включает решение, заданное для однородной система линейных уравнений, подмножество евклидова пространства, описываемое системой однородных линейных параметрические уравнения, то охватывать набора векторов, а пустое пространство, пространство столбца, и пространство строки из матрица. Геометрически (особенно над полем действительных чисел и его подполями) подпространство - это плоский в п-пространство, которое проходит через начало координат.

Естественным описанием 1-подпространства является скалярное умножение одного не-нуль вектор v ко всем возможным скалярным значениям. 1-подпространства, заданные двумя векторами, равны тогда и только тогда, когда один вектор может быть получен из другого скалярным умножением:

{ Displaystyle существует c in K: mathbf {v} '= c mathbf {v} { text {(или}} mathbf {v} = { frac {1} {c}} mathbf { v} '{ text {)}}}

Эта идея обобщается для более высоких измерений с линейный пролет, но критерии для равенство из k-пространства, заданные наборами k векторы не так просты.

А двойной описание предоставляется с линейные функционалы (обычно реализуется в виде линейных уравнений). Один не-нуль линейный функционал F указывает его ядро подпространство F = 0 коразмерности 1. Подпространства коразмерности 1, заданные двумя линейными функционалами, равны, если и только если один функционал может быть получен из другого скалярным умножением (в двойное пространство ):

{ displaystyle существует c in K: mathbf {F} '= c mathbf {F} { text {(или}} mathbf {F} = { frac {1} {c}} mathbf { F} '{ text {)}}}

Он обобщен для более высоких коразмерностей с система уравнений. В следующих двух подразделах это последнее описание будет подробно представлено, и остальные четыре подраздела дополнительно описывают идею линейной оболочки.

Системы линейных уравнений

Решение устанавливается на любую однородную система линейных уравнений с п переменных - подпространство в координатное пространство K^п:

{ displaystyle left { left [! ! { begin {array} {c} x_ {1} x_ {2} vdots x_ {n} end {array}} ! ! right] in K ^ {n}: { begin {alignat} {6} a_ {11} x_ {1} && ; + ; && a_ {12} x_ {2} && ; + cdots + ; && a_ {1n} x_ {n} && ; = 0 & a_ {21} x_ {1} && ; + ; && a_ {22} x_ {2} && ; + cdots + ; && a_ {2n} x_ {n} && ; = 0 & vdots ; ; ; &&&& vdots ; ; ; &&&& vdots ; ; ; && vdots , & a_ {m1} x_ {1} && ; + ; && a_ {m2} x_ {2} && ; + cdots + ; && a_ {mn} x_ {n} && ; = 0 & end {alignat}} верно}.}

Например, множество всех векторов (Икс, у, z) (над реальным или рациональное число ), удовлетворяющие уравнениям

{ displaystyle x + 3y + 2z = 0 ; ; ; ; { text {and}} ; ; ; ; 2x-4y + 5z = 0}

- одномерное подпространство. В более общем смысле, то есть при наличии набора п независимых функций, размерность подпространства в K^k будет размер нулевой набор из А, составная матрица п функции.

Нулевое пространство матрицы

В конечномерном пространстве однородную систему линейных уравнений можно записать как одно матричное уравнение:

{ displaystyle A mathbf {x} = mathbf {0}.}

Набор решений этого уравнения известен как пустое пространство матрицы. Например, описанное выше подпространство является пустым пространством матрицы

{ displaystyle A = left [{ begin {alignat} {3} 1 && 3 && 2 & 2 && ; ; - 4 && ; ; ; ; 5 & end {alignat}} , right] { text {.}}}

Каждое подпространство K^п можно описать как нулевое пространство некоторой матрицы (см. § Алгоритмы ниже для получения дополнительной информации).

Линейные параметрические уравнения

Подмножество K^п описывается системой однородных линейных параметрические уравнения является подпространством:

{ displaystyle left { left [! ! { begin {array} {c} x_ {1} x_ {2} vdots x_ {n} end {array}} ! ! right] in K ^ {n}: { begin {alignat} {7} x_ {1} && ; = ; && a_ {11} t_ {1} && ; + ; && a_ {12 } t_ {2} && ; + cdots + ; && a_ {1m} t_ {m} & x_ {2} && ; = ; && a_ {21} t_ {1} && ; + ; && a_ {22} t_ {2} && ; + cdots + ; && a_ {2m} t_ {m} & vdots , &&&& vdots ; ; ; &&&& vdots ; ; ; &&&& vdots ; ; ; & x_ {n} && ; = ; && a_ {n1} t_ {1} && ; + ; && a_ {n2} t_ {2} && ; + cdots + ; && a_ {nm} t_ {m} & end {alignat}} { text {для некоторых}} t_ {1}, ldots, t_ {m} in K right }.}

Например, множество всех векторов (Икс, у, z) параметризованные уравнениями

{ displaystyle x = 2t_ {1} + 3t_ {2}, ; ; ; ; y = 5t_ {1} -4t_ {2}, ; ; ; ; { text {and}} ; ; ; ; z = -t_ {1} + 2t_ {2}}

является двумерным подпространством в K³, если K это числовое поле (например, действительные или рациональные числа).^[11]

Размах векторов

В линейной алгебре систему параметрических уравнений можно записать как одно векторное уравнение:

{ displaystyle { begin {bmatrix} x & y & z & end {bmatrix}} ; = ; t_ {1} ! { begin {bmatrix} 2 & 5 & - 1 & end { bmatrix}} + t_ {2} ! { begin {bmatrix} 3 & - 4 & 2 & end {bmatrix}}.}

Выражение справа называется линейной комбинацией векторов (2, 5, −1) и (3, −4, 2). Эти два вектора называются охватывать получившееся подпространство.

В целом линейная комбинация векторов v₁, v₂, ... , v_k любой вектор вида

{ displaystyle t_ {1} mathbf {v} _ {1} + cdots + t_ {k} mathbf {v} _ {k}.}

Множество всевозможных линейных комбинаций называется охватывать:

{ displaystyle { text {Span}} { mathbf {v} _ {1}, ldots, mathbf {v} _ {k} } = left {t_ {1} mathbf {v} _ {1} + cdots + t_ {k} mathbf {v} _ {k}: t_ {1}, ldots, t_ {k} in K right }.}

Если векторы v₁, ... , v_k имеют п компонентов, то их промежуток является подпространством K^п. Геометрически пролет представляет собой плоскость, проходящую через начало координат в п-мерное пространство, определяемое точками v₁, ... , v_k.

Пример

В xz-самолет в р³ можно параметризовать уравнениями

{ displaystyle x = t_ {1}, ; ; ; y = 0, ; ; ; z = t_ {2}.}

Как подпространство xz-плоскость натянута на векторы (1, 0, 0) и (0, 0, 1). Каждый вектор в xz-plane можно записать как линейную комбинацию этих двух:

{ displaystyle (t_ {1}, 0, t_ {2}) = t_ {1} (1,0,0) + t_ {2} (0,0,1) { text {.}}}

Геометрически это соответствует тому факту, что каждая точка на xz-плоскость может быть достигнута из начала координат, сначала переместившись на некоторое расстояние в направлении (1, 0, 0), а затем на некоторое расстояние в направлении (0, 0, 1).

Пространство столбца и пространство строки

Система линейных параметрических уравнений в конечномерном пространстве также может быть записана как одно матричное уравнение:

{ displaystyle mathbf {x} = A mathbf {t} ; ; ; ; { text {where}} ; ; ; ; A = left [{ begin {alignat} { 2} 2 && 3 & 5 && ; ; - 4 & - 1 && 2 & end {alignat}} , right] { text {.}}}

В этом случае подпространство состоит из всех возможных значений вектора Икс. В линейной алгебре это подпространство известно как пространство столбцов (или изображение ) матрицы А. Это в точности подпространство K^п натянутые на вектор-столбцы А.

Строковое пространство матрицы - это подпространство, натянутое на ее векторы-строки. Пространство строки интересно, потому что это ортогональное дополнение пустого пространства (см. ниже).

Независимость, основа и измерение

Векторы ты и v являются базисом этого двумерного подпространства р³.

В общем случае подпространство K^п определяется по k параметры (или охватываются k векторов) имеет размерность k. Однако из этого правила есть исключения. Например, подпространство K³ натянутое на три вектора (1, 0, 0), (0, 0, 1) и (2, 0, 3) - это просто xz-плоскость, где каждая точка на плоскости описывается бесконечным множеством различных значений т₁, т₂, т₃.

В общем, векторы v₁, ... , v_k называются линейно независимый если

{ displaystyle t_ {1} mathbf {v} _ {1} + cdots + t_ {k} mathbf {v} _ {k} ; neq ; u_ {1} mathbf {v} _ { 1} + cdots + u_ {k} mathbf {v} _ {k}}

за(т₁, т₂, ... , т_k) ≠ (ты₁, ты₂, ... , ты_k).^[12]Если v₁, ..., v_k линейно независимы, то координаты т₁, ..., т_k для вектора в промежутке определены однозначно.

А основа для подпространства S представляет собой набор линейно независимых векторов, длина которых равна S. Количество элементов в базисе всегда равно геометрической размерности подпространства. Любой остовный набор для подпространства можно превратить в базис, удалив избыточные векторы (см. § Алгоритмы ниже для получения дополнительной информации).

Пример

Позволять S быть подпространством р⁴ определяется уравнениями

{ displaystyle x_ {1} = 2x_ {2} ; ; ; ; { text {and}} ; ; ; ; x_ {3} = 5x_ {4}.}

Тогда векторы (2, 1, 0, 0) и (0, 0, 5, 1) являются базисом для S. В частности, каждый вектор, который удовлетворяет приведенным выше уравнениям, может быть записан однозначно как линейная комбинация двух базисных векторов:

{ displaystyle (2t_ {1}, t_ {1}, 5t_ {2}, t_ {2}) = t_ {1} (2,1,0,0) + t_ {2} (0,0,5, 1).}

Подпространство S двумерный. Геометрически это плоскость в р⁴ проходя через точки (0, 0, 0, 0), (2, 1, 0, 0) и (0, 0, 5, 1).

Операции и отношения на подпространствах

Включение

В теоретико-множественное включение бинарное отношение определяет частичный заказ на множестве всех подпространств (любой размерности).

Подпространство не может лежать ни в каком подпространстве меньшей размерности. Если тусклыйU = k, конечное число и U ⊂ W, затем тусклыйW = k если и только если U = W.

Пересечение

В р³, пересечение двух различных двумерных подпространств одномерно

Данные подпространства U и W векторного пространства V, то их пересечение U ∩ W := {v ∈ V : v является элементом обоих U иW} также является подпространством V.^[13]

Доказательство:

Позволять v и ш быть элементами U ∩ W. потом v и ш принадлежат обоим U и W. Потому что U является подпространством, то v + ш принадлежит U. Аналогично, поскольку W подпространство, то v + ш принадлежит W. Таким образом, v + ш принадлежит U ∩ W.
Позволять v принадлежать U ∩ W, и разреши c быть скаляром. потом v принадлежит обоим U и W. С U и W подпространства, cv принадлежит обоим U иW.
С U и W - векторные пространства, то 0 принадлежит обоим множествам. Таким образом, 0 принадлежит U ∩ W.

Для каждого векторного пространства V, то набор {0} и V сами являются подпространствами V.^[14]^[8]

Сумма

Если U и W подпространства, их сумма подпространство

{ Displaystyle U + W = left { mathbf {u} + mathbf {w} двоеточие mathbf {u} in U, mathbf {w} in W right }.}

^[15]^[16]

Например, сумма двух линий - это плоскость, которая содержит их обе. Размерность суммы удовлетворяет неравенству

{ displaystyle max ( dim U, dim W) leq dim (U + W) leq dim (U) + dim (W).}

Здесь минимум возникает только в том случае, если одно подпространство содержится в другом, а максимум - это самый общий случай. Размер перекрестка и сумма связаны следующим уравнением:

{ displaystyle dim (U + W) = dim (U) + dim (W) - dim (U cap W).}

^[17]

Решетка подпространств

Операции пересечение и сумма сделать множество всех подпространств ограниченным модульная решетка, где Подпространство {0}, то наименьший элемент, является элемент идентичности операции суммирования и идентичного подпространства V, наибольший элемент, является единичным элементом операции пересечения.

Ортогональные дополнения

Если V является внутреннее пространство продукта и N это подмножество V, то ортогональное дополнение из N, обозначенный ${ displaystyle N ^ { bot}}$ ,^[16] снова подпространство.^[18] Если V конечномерна и N является подпространством, то размерности N и ${ displaystyle N ^ { bot}}$ удовлетворять отношениям дополнения $тусклый (N) + тусклый (N ⊥) = тусклый (V)$ .^[19] Более того, никакой вектор не ортогонален сам себе, поэтому ${ Displaystyle N cap N ^ { perp} = {0 }}$ и V это прямая сумма из N и ${ displaystyle N ^ { bot}}$ .^[20] Двойное применение ортогональных дополнений возвращает исходное подпространство: ${ displaystyle (N ^ { bot}) ^ { bot} = N}$ для каждого подпространства N.^[21]

Эта операция, понимаемая как отрицание (¬), делает решетку подпространств a (возможно бесконечный ) ортодополненная решетка (хотя и не дистрибутивная решетка).^{[нужна цитата ]}

В пространствах с другими билинейные формы, некоторые, но не все из этих результатов все еще верны. В псевдоевклидовы пространства и симплектические векторные пространства, например, существуют ортогональные дополнения. Однако эти пробелы могут иметь нулевые векторы которые ортогональны себе, и, следовательно, существуют подпространства N такой, что ${ Displaystyle N cap N ^ { bot} neq {0 }}$ . В результате эта операция не превращает решетку подпространств в булеву алгебру (или Алгебра Гейтинга ).^{[нужна цитата ]}

Алгоритмы

Большинство алгоритмов работы с подпространствами включают сокращение ряда. Это процесс применения элементарные операции со строками в матрицу, пока не достигнет форма эшелона строки или же сокращенная форма эшелона строки. Уменьшение строк имеет следующие важные свойства:

Уменьшенная матрица имеет то же пустое пространство, что и исходная.
Сокращение строк не изменяет диапазон векторов-строк, то есть сокращенная матрица имеет то же пространство строк, что и исходная.
Уменьшение строк не влияет на линейную зависимость векторов-столбцов.

Основа для междурядья

Вход An м × п матрица А.

Выход Основа для междурядья А.

Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить А в строчную форму эшелона.
Ненулевые строки формы эшелона являются основой для пространства строк А.

См. Статью о пространство строки для пример.

Если вместо этого поставить матрицу А в сокращенную форму эшелона строк, то итоговая основа для пространства строк определяется однозначно. Это обеспечивает алгоритм проверки того, равны ли два пространства строк и, соответственно, два подпространства K^п равны.

Членство в подпространстве

Вход Основа {б₁, б₂, ..., б_k} для подпространства S из K^п, а вектор v с п составные части.

Выход Определяет, есть ли v является элементом S

Создать (k + 1) × п матрица А чьи строки являются векторами б₁, ... , б_k и v.
Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить А в строчную форму эшелона.
Если в форме эшелона есть строка нулей, то векторы {б₁, ..., б_k, v} линейно зависимы, поэтому v ∈ S.

Основа для колонного пространства

Вход An м × п матрица А

Выход Основа для колоночного пространства А

Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить А в строчную форму эшелона.
Определите, какие столбцы эшелонированной формы имеют повороты. Соответствующие столбцы исходной матрицы являются основой для пространства столбцов.

См. Статью о пространстве столбцов для пример.

Это создает основу для пространства столбцов, которая является подмножеством исходных векторов столбцов. Это работает, потому что столбцы со сводными точками являются основой для пространства столбцов формы эшелона, а сокращение строк не меняет отношения линейной зависимости между столбцами.

Координаты вектора

Вход Основа {б₁, б₂, ..., б_k} для подпространства S из K^п, а вектор v ∈ S

Выход Числа т₁, т₂, ..., т_k такой, что v = т₁б₁ + ··· + т_kб_k

Создать расширенная матрица А чьи столбцы б₁,...,б_k , с последним столбцом v.
Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить А в сокращенный рядный эшелон.
Выразите последний столбец формы редуцированного эшелона как линейную комбинацию первого k столбцы. Используемые коэффициенты - это желаемые числа. т₁, т₂, ..., т_k. (Это должны быть именно первые k записи в последнем столбце формы сокращенного эшелона.)

Если последний столбец сокращенной формы эшелона строк содержит точку поворота, то входной вектор v не лежит в S.

Основа для нулевого пространства

Вход An м × п матрица А.

Выход Основа для нулевого пространства А

Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить А в виде пониженного ряда.
Используя сокращенную форму эшелона строк, определите, какая из переменных Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п свободны. Напишите уравнения для зависимых переменных в терминах свободных переменных.
Для каждой свободной переменной Икс_я, выберите вектор в нулевом пространстве, для которого Икс_я = 1 а остальные свободные переменные равны нулю. Полученный набор векторов является основой для нулевого пространства А.

См. Статью о пустом пространстве для пример.

Базис для суммы и пересечения двух подпространств

Учитывая два подпространства $U$ и $W$ из $V$ , основание суммы ${ Displaystyle U + W}$ и перекресток ${ Displaystyle U cap W}$ можно рассчитать с помощью Алгоритм Цассенхауза

Уравнения для подпространства

Вход Основа {б₁, б₂, ..., б_k} для подпространства S из K^п

Выход An (п − k) × п матрица, пустое пространство которой S.

Создать матрицу А чьи строки б₁, б₂, ..., б_k.
Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить А в сокращенный рядный эшелон.
Позволять c₁, c₂, ..., c_п - столбцы приведенной формы эшелона строк. Для каждого столбца без поворота напишите уравнение, выражающее столбец как линейную комбинацию столбцов со сводными точками.
Это приводит к однородной системе п − k линейные уравнения с переменными c₁,...,c_п. В (п − k) × п матрица, соответствующая этой системе, является искомой матрицей с нулевым пространством S.

Пример: Если приведенная строчная эшелонированная форма А является

{ displaystyle left [{ begin {alignat} {6} 1 && 0 && - 3 && 0 && 2 && 0 0 && 1 && 5 && 0 && - 1 && 4 0 && 0 && 0 && 1 && 7 && - 9 0 && ; ; ; ; ; 0 && ; ; ; ; ; ; 0 && ; ; ; 0 && ; ; ; ; ; 0 && ; ; ; ; ; 0 && ; ; ; ; ; 0 end {alignat}} , right]}

тогда векторы-столбцы c₁, ..., c₆ удовлетворяют уравнениям

{ displaystyle { begin {alignat} {1} mathbf {c} _ {3} & = - 3 mathbf {c} _ {1} +5 mathbf {c} _ {2} mathbf { c} _ {5} & = 2 mathbf {c} _ {1} - mathbf {c} _ {2} +7 mathbf {c} _ {4} mathbf {c} _ {6} & = 4 mathbf {c} _ {2} -9 mathbf {c} _ {4} end {alignat}}}

Отсюда следует, что векторы-строки А удовлетворяют уравнениям

{ displaystyle { begin {alignat} {1} x_ {3} & = - 3x_ {1} + 5x_ {2} x_ {5} & = 2x_ {1} -x_ {2} + 7x_ {4} x_ {6} & = 4x_ {2} -9x_ {4}. end {alignat}}}

В частности, векторы-строки А являются базой для нулевого пространства соответствующей матрицы.

Смотрите также

Примечания

^ Халмос, П. Р. (1942). Конечномерные векторные пространства. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 14. ISBN 978-1-61427-281-6.
^ Период, термин линейное подпространство иногда используется для обозначения квартиры и аффинные подпространства. В случае векторных пространств над вещественными числами линейные подпространства, плоские и аффинные подпространства также называются линейные многообразия чтобы подчеркнуть, что есть также коллекторы.
^ Антон (2005 г., п. 155)
^ Борегар и Фрали (1973), п. 176)
^ Герштейн (1964, п. 132)
^ Крейсциг (1972 г., п. 200)
^ Неринг (1970 г., п. 20)
^ ^а ^б "Подпространство | Блестящая вики по математике и науке". brilliant.org. Получено 2020-08-23.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Подпространство». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-23.
^ Видеть Поль Дюшато. «Основные факты о гильбертовом пространстве» (PDF). Получено 17 сентября, 2012. за Гильбертовы пространства
^ В общем, K может быть любое поле такого характеристика что данная целочисленная матрица имеет соответствующий классифицировать в этом. Все поля включают целые числа, но некоторые целые числа могут быть равны нулю в некоторых полях.
^ Это определение часто формулируется иначе: векторы v₁, ..., v_k линейно независимы, если т₁v₁ + ··· + т_kv_k ≠ 0 за (т₁, т₂, ..., т_k) ≠ (0, 0, ..., 0). Эти два определения эквивалентны.
^ Неринг (1970 г., п. 21)
^ Неринг (1970 г., п. 20)
^ Неринг (1970 г., п. 21)
^ ^а ^б «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-23.
^ Неринг (1970 г., п. 22)
^ Акслер (2015), 6.46.
^ Акслер (2015), 6.50.
^ Акслер (2015), 6.47.
^ Акслер (2015), 6.51.

Учебники

Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International
Акслер, Шелдон Джей (2015), Линейная алгебра сделано правильно (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-3-319-11079-0
Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля, Бостон: Компания Houghton Mifflin, ISBN 0-395-14017-X
Герштейн, И. Н. (1964), Темы по алгебре, Уолтем: Издательство Blaisdell, ISBN 978-1114541016
Крейсциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall
Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, заархивировано из оригинал 1 марта 2001 г.
Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, LCCN 76091646
Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-99845-3

внешняя ссылка

[1] Халмос, П. Р. (1942). Конечномерные векторные пространства. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 14. ISBN 978-1-61427-281-6.

[2] Период, термин линейное подпространство иногда используется для обозначения квартиры и аффинные подпространства. В случае векторных пространств над вещественными числами линейные подпространства, плоские и аффинные подпространства также называются линейные многообразия чтобы подчеркнуть, что есть также коллекторы.

[3] Антон (2005 г., п. 155)

[4] Борегар и Фрали (1973), п. 176)

[5] Герштейн (1964, п. 132)

[6] Крейсциг (1972 г., п. 200)

[7] Неринг (1970 г., п. 20)

[:0-8] а ^б "Подпространство | Блестящая вики по математике и науке". brilliant.org. Получено 2020-08-23.

[9] Вайсштейн, Эрик В. «Подпространство». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-23.

[10] Видеть Поль Дюшато. «Основные факты о гильбертовом пространстве» (PDF). Получено 17 сентября, 2012. за Гильбертовы пространства

[fields-11] В общем, K может быть любое поле такого характеристика что данная целочисленная матрица имеет соответствующий классифицировать в этом. Все поля включают целые числа, но некоторые целые числа могут быть равны нулю в некоторых полях.

[12] Это определение часто формулируется иначе: векторы v₁, ..., v_k линейно независимы, если т₁v₁ + ··· + т_kv_k ≠ 0 за (т₁, т₂, ..., т_k) ≠ (0, 0, ..., 0). Эти два определения эквивалентны.

[13] Неринг (1970 г., п. 21)

[14] Неринг (1970 г., п. 20)

[15] Неринг (1970 г., п. 21)

[:1-16] а ^б «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-23.

[17] Неринг (1970 г., п. 22)

[18] Акслер (2015), 6.46.

[19] Акслер (2015), 6.50.

[20] Акслер (2015), 6.47.

[21] Акслер (2015), 6.51.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]