Характеристика (алгебра) - Characteristic (algebra)

В математика, то характеристика из звенеть р, часто обозначается как char (р), определяется как наименьшее количество раз, которое нужно использовать мультипликативная идентичность (1) в сумме, чтобы получить аддитивная идентичность (0). Если эта сумма никогда не достигает аддитивной идентичности, говорят, что кольцо имеет нулевую характеристику.

То есть char (р) - наименьшее положительное число п такой, что

${ displaystyle underbrace {1+ cdots +1} _ {n { text {summands}}} = 0}$

если такой номер п существует, и 0 в противном случае.

Специальное определение нулевой характеристики мотивировано эквивалентными определениями, данными в § Другие эквивалентные характеристики, где нулевую характеристику рассматривать отдельно не требуется.

Характеристика также может быть принята за показатель степени аддитивной группы кольца, т. е. наименьшее положительное п такой, что

${ Displaystyle underbrace {а + cdots + а} _ {п { текст {слагаемые}}} = 0}$

для каждого элемента а кольца (опять же, если п существуют; в противном случае ноль). Некоторые авторы не включают мультипликативный элемент идентичности в свои требования к кольцу (см. Мультипликативная идентичность: обязательное или необязательное ), и это определение подходит для этого соглашения; в противном случае два определения эквивалентны из-за распределительный закон в кольцах.

Другие эквивалентные характеристики

• Характеристика натуральное число п такой, что пZ это ядро уникального кольцевой гомоморфизм из Z к р;^[1]
• Характеристика натуральное число п такой, что р содержит подкольцо изоморфный к факторное кольцо Z/пZ, какой изображение указанного выше гомоморфизма.
• Когда неотрицательные целые числа {0, 1, 2, 3, ...} частично упорядочены по делимости, то 1 - наименьшее, а 0 - наибольшее. Тогда характеристикой кольца является наименьшее значение п для которого п ⋅ 1 = 0. Если ничего «меньше» (в этом порядке), чем 0, будет достаточно, тогда характеристика равна 0. Это подходящее частичное упорядочение из-за таких фактов, как этот символ (А × B) это наименьший общий множитель из char А и char B, и что нет гомоморфизма колец ж : А → B существует, если char B разделяет char А.
• Характеристика кольца р является п именно если заявление ка = 0 для всех а ∈ р подразумевает k кратно п.

Чехол колец

Если р и S кольца и существует кольцевой гомоморфизм р → S, то характеристика S разделяет характеристику р. Иногда это может использоваться, чтобы исключить возможность некоторых гомоморфизмов колец. Единственное кольцо с характеристикой 1 - это кольцо нулевое кольцо, который имеет только один элемент 0 = 1. Если нетривиальное кольцо р нет нетривиальных делители нуля, то его характеристика равна либо 0, либо основной. В частности, это касается всех поля, все целостные области, и всем делительные кольца. Любое кольцо характеристики 0 бесконечно.

Кольцо Z/пZ целых чисел по модулю п имеет характерный п. Если р это подкольцо из S, тогда р и S имеют такую ​​же характеристику. Например, если п прост и q(Икс) является неприводимый многочлен с коэффициентами в поле F_п, то кольцо частного F_п[Икс] / (q(Икс)) поле характеристики п. Другой пример: поле C из сложные числа содержит Z, поэтому характеристика C равно 0.

А Z/пZ-алгебра - это эквивалентно кольцо, характеристика которого делит п. Это потому, что для каждого кольца р существует гомоморфизм колец Z → р, и эта карта учитывает Z/пZ тогда и только тогда, когда характеристика р разделяет п. В этом случае для любого р в кольцо, затем добавив р себе п раз дает номер = 0.

Если коммутативное кольцо р имеет основная характеристика п, то имеем (Икс + у)^п = Икс^п + у^п для всех элементов Икс и у в р - "мечта первокурсника "держится за власть п.Карта ж(Икс) = Икс^п затем определяет кольцевой гомоморфизм р → р. Это называется Гомоморфизм Фробениуса. Если р является область целостности это инъективный.

Случай полей

Как упоминалось выше, характеристика любого поля - либо 0, либо простое число. Поле ненулевой характеристики называется полем конечная характеристика или положительная характеристика или основная характеристика.

Любое поле F имеет уникальный минимальный подполе, также назвал его основное поле. Это подполе изоморфно либо рациональное число поле Q или конечное поле F_п первого порядка. Тип изоморфизма простого поля и характеристики определяют друг друга. Поля характеристика ноль обладают наиболее привычными свойствами; для практических целей они напоминают подполя сложные числа (если у них нет очень больших мощность, то есть; фактически, любое поле нулевой характеристики и мощности не более континуум (кольцево) изоморфно подполю комплексных чисел).^[2] В p-адические поля или любое их конечное расширение являются характеристическими нулевыми полями, широко применяемыми в теории чисел, которые построены из колец характеристики п^k, так как k → ∞.

Для любого упорядоченное поле, как поле рациональное число Q или поле действительные числа р, характеристика равна 0. Таким образом, числовые поля и поле комплексных чисел C имеют нулевую характеристику. Фактически, каждое поле нулевой характеристики является полем частных кольца Q[X] / P, где X - набор переменных, а P - набор многочленов от Q[ИКС]. В конечное поле GF (п^п) имеет характеристику п. Существуют бесконечные поля простой характеристики. Например, поле всех рациональные функции над Z/пZ, то алгебраическое замыкание из Z/пZ или поле формальная серия Laurent Z/пZ((Т)). В характеристический показатель определяется аналогично, за исключением того, что он равен 1, если характеристика равна нулю; в противном случае он имеет то же значение, что и характеристика.^[3]

Размер любого конечное кольцо первоклассной характеристики п это сила п. Поскольку в этом случае он должен содержать Z/пZ это также должно быть векторное пространство над этим полем и из линейная алгебра мы знаем, что размеры конечных векторных пространств над конечными полями являются степенью размера поля. Это также показывает, что размер любого конечного векторного пространства является степенью простого числа. (Это векторное пространство над конечным полем, размер которого, как мы показали, п^п, поэтому его размер (п^п)^м = п^нм.)

Рекомендации

• Нил Х. Маккой (1964, 1973) Теория колец, Chelsea Publishing, стр. 4.