Натуральное число - Википедия - Natural number

Эта статья посвящена «целым положительным числам» и «целым неотрицательным числам». Для всех чисел ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... см. Целое число.

Для подсчета можно использовать натуральные числа (один яблоко, два яблока, три яблока, ...)

В математика, то натуральные числа те, которые используются для подсчет (как в "есть шесть монеты на столе ») и заказ (как в "это в третьих самый большой город в стране "). В обычной математической терминологии для подсчета используются следующие слова:"Количественные числительные ", и слова, используемые для заказа:"порядковые номера ". Натуральные числа могут иногда появляться как удобный набор кодов (ярлыков или" имен "), то есть как то, что лингвисты вызов номинальные числа, отказавшись от многих или всех свойств числа в математическом смысле. Набор натуральных чисел часто обозначают символом .[1][2][3]

Некоторые определения, включая стандарт ISO 80000-2,[4][а] начинать натуральные числа с 0, соответствующий неотрицательные целые числа 0, 1, 2, 3, ... (часто вместе обозначается символом или же для подчеркивания того, что включен ноль), тогда как другие начинаются с 1, что соответствует положительные целые числа 1, 2, 3, ... (иногда вместе обозначается символом или же для подчеркивания того, что ноль исключен).[5][6][b]

В текстах, исключающих ноль из натуральных чисел, иногда натуральные числа вместе с нулем называются целые числа, в то время как в других произведениях этот термин используется вместо целых чисел (включая отрицательные целые числа).[7]

Натуральные числа являются основой, на которой могут быть построены многие другие числовые наборы путем расширения: целые числа, включив (если еще не в) нейтральный элемент 0 и Противоположное число (−п) для каждого ненулевого натурального числа п; то рациональное число, включив мультипликативный обратный (1/п) для каждого ненулевого целого числа п (а также произведение этих обратных чисел на целые числа); то действительные числа включив с рациональными числами пределы из (сходящихся) Последовательности Коши рациональных подходов; то сложные числа, включив в действительные числа неразрешенные квадратный корень из минус единицы (а также их суммы и произведения); и так далее.[c][d] Эти цепочки расширений делают натуральные числа канонически встроенный (определены) в других системах счисления.

Свойства натуральных чисел, например делимость и распределение простые числа, изучаются в теория чисел. Проблемы со счетом и заказом, например разделение и перечисления, изучаются в комбинаторика.

В общем языке, особенно в Начальная школа образование, натуральные числа можно назвать подсчет чисел[8] интуитивно исключить отрицательные целые числа и ноль, а также противопоставить дискретность из подсчет к непрерывность из измерение - отличительная черта действительные числа.

История

Древние корни

В Кость Ишанго (на выставке в Королевский бельгийский институт естественных наук )[9][10][11] Считается, что 20 000 лет назад оно использовалось для арифметики натуральных чисел.

Самый примитивный способ представления натурального числа - поставить отметку за каждый предмет. Позже набор объектов можно будет проверить на равенство, избыток или недостаток - вычеркнув отметку и удалив объект из набора.

Первым крупным достижением в абстракции стало использование цифры для представления чисел. Это позволило разработать системы для записи больших чисел. Древний Египтяне разработал мощную систему цифр с четкими иероглифы для 1, 10 и всех степеней от 10 до более 1 миллиона. Резьба по камню из Карнак, датируемый примерно 1500 годом до н. э., и сейчас Лувр в Париже 276 изображены как 2 сотни, 7 десятков и 6 единиц; и аналогично для числа 4622. В Вавилоняне имел номинальная стоимость система, основанная в основном на цифрах для 1 и 10, с использованием шестидесяти, так что символ для шестидесяти был таким же, как и символ для единицы - его значение определялось из контекста.[12]

Гораздо позже была развита идея, что0 можно рассматривать как число с собственной цифрой. Использование 0 цифра в обозначении мест (в других числах) восходит к 700 г. до н.э. вавилонянами, которые опустили такую ​​цифру, когда она была бы последним символом в числе.[e] В Ольмек и Цивилизации майя использовали 0 как отдельное число еще в 1 век до н.э., но это использование не распространилось за пределы Мезоамерика.[14][15] Использование цифры 0 в наше время возникло с Индийский математик Брахмагупта в 628 г. н.э. Однако в средневековье 0 использовалось как число. Computus (расчет даты Пасхальный ), начиная с Дионисий Exiguus в 525 г. н.э., без обозначения цифрой (стандарт римские цифры не имеют символа 0). Вместо, nulla (или форма родительного падежа nullae) из нульЛатинское слово «нет» использовалось для обозначения значения 0.[16]

Первое систематическое изучение чисел как абстракции обычно приписывается Греческий философы Пифагор и Архимед. Некоторые греческие математики относились к числу 1 иначе, чем к большим числам, а иногда и вовсе не как к числу.[f] Евклид, например, сначала определил единицу, а затем число как множество единиц, таким образом, по его определению, единица не является числом и не существует уникальных чисел (например, любые две единицы из неограниченного количества единиц равны 2).[18]

Независимые исследования чисел также проводились примерно в то же время в Индия, Китай, и Мезоамерика.[19]

Современные определения

В 19 век Европа, была математическая и философская дискуссия о точной природе натуральных чисел. Школа[который? ] из Натурализм заявил, что натуральные числа были прямым следствием человеческой психики. Анри Пуанкаре был одним из ее защитников, как и Леопольд Кронекер, который резюмировал свою веру как «Бог создал целые числа, все остальное - дело рук человека».[грамм]

В противовес натуралистам конструктивисты увидел необходимость улучшить логическую строгость в основы математики.[час] В 1860-х годах Герман Грассманн предложил рекурсивное определение натуральных чисел, таким образом заявив, что они не совсем естественные, а являются следствием определений. Позже были построены два класса таких формальных определений; позже было показано, что они эквивалентны в большинстве практических приложений.

Теоретико-множественные определения натуральных чисел были инициированы Frege. Первоначально он определил натуральное число как класс всех множеств, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с определенным множеством. Однако это определение привело к парадоксам, в том числе Парадокс Рассела. Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменен таким образом, что натуральное число определяется как конкретное множество, а любой набор, который может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с этим набором, называется имеющим это количество элементов.[22]

Второй класс определений был введен Чарльз Сандерс Пирс, уточнено Ричард Дедекинд, и далее исследуется Джузеппе Пеано; этот подход теперь называется Арифметика Пеано. Он основан на аксиоматизация свойств порядковые номера: каждое натуральное число имеет преемника, а каждое ненулевое натуральное число имеет уникального предшественника. Арифметика Пеано равносогласованный с несколькими слабыми системами теории множеств. Одна из таких систем - ZFC с аксиома бесконечности заменено его отрицанием. Теоремы, которые можно доказать в ZFC, но нельзя доказать с помощью аксиом Пеано, включают Теорема Гудштейна.[23]

Во все эти определения удобно включить 0 (соответствующий пустой набор ) как натуральное число. Включение 0 в настоящее время является обычным явлением среди теоретики множества[24] и логики.[25] Другие математики также включают 0,[а] и компьютерные языки довольно часто начать с нуля при перечислении таких элементов, как счетчики петель и нить- или же элементы массива.[26][27] С другой стороны, многие математики сохранили старую традицию считать 1 первым натуральным числом.[28]

Поскольку с токенами обычно связаны разные свойства 0 и 1 (например, нейтральные элементы для сложения и умножения соответственно), важно знать, какая версия натуральные числа, в общем обозначается как [1] используется в рассматриваемом случае. Это может быть сделано путем объяснения в прозе, путем явного написания набора или путем уточнения универсального идентификатора надстрочным или нижним индексом (см. Также в #Notation ),[4][29] например, вот так:

  • Натуральные с нулем:
  • Натуральные без нуля:

Обозначение

В двойной удар заглавная буква N, часто используется для обозначения множества всех натуральных чисел (см. Список математических символов ).

Математики используют N или же (N в классная доска жирным шрифтом; Unicode: ℕ) для обозначения набор всех натуральных чисел.[1][2][30] Старые тексты также иногда использовали J как символ этого набора.[31]

Чтобы однозначно определить, включен ли 0 или нет, иногда в первом случае добавляется нижний (или верхний) индекс «0», а в первом случае - верхний индекс «*"(или нижний индекс" 1 ") добавляется в последнем случае:[5][4]

В качестве альтернативы, поскольку натуральные числа естественно вставлять в целые числа, они могут называться положительными или неотрицательными целыми числами соответственно.[32]

Характеристики

бесконечность

Набор натуральных чисел представляет собой бесконечный набор. По определению, такого рода бесконечность называется счетная бесконечность. Все наборы, которые можно положить в биективный отношение к натуральным числам имеет такую ​​бесконечность. Это также выражается в том, что количественное числительное из набора алеф-ничто (ℵ0).[33]

Добавление

Можно рекурсивно определить добавление оператор на натуральные числа, задав а + 0 = а и а + S(б) = S(а + б) для всех а, б. Здесь, S следует читать как "преемник ". Это превращает натуральные числа (ℕ, +) в коммутативный моноид с элемент идентичности 0, так называемый свободный объект с одним генератором. Этот моноид удовлетворяет аннулирование собственности, и может быть встроен в группа (в теория групп смысл слова). Наименьшая группа, содержащая натуральные числа, - это целые числа.

Если 1 определяется как S(0), тогда б + 1 = б + S(0) = S(б + 0) = S(б). То есть, б + 1 просто преемник б.

Умножение

Аналогично, учитывая, что сложение было определено, умножение оператор можно определить через а × 0 = 0 и а × S (б) = (а × б) + а. Это превращается (ℕ*, ×) в свободный коммутативный моноид с единицей 1; генераторная установка для этого моноида - это набор простые числа.

Связь между сложением и умножением

Сложение и умножение совместимы, что выражается в закон распределения: а × (б + c) = (а × б) + (а × c). Эти свойства сложения и умножения делают натуральные числа экземпляром коммутативный полукольцо. Полукольца - это алгебраическое обобщение натуральных чисел, в котором умножение не обязательно коммутативно. Отсутствие аддитивных обратных, что равносильно тому, что ℕ не является закрыто при вычитании (то есть вычитание одного натурального числа из другого не всегда приводит к другому натуральному), означает, что ℕ является нет а звенеть; вместо этого это полукольцо (также известный как буровая установка).

Если натуральные числа приняты как «исключая 0» и «начиная с 1», определения + и × такие же, как указано выше, за исключением того, что они начинаются с а + 1 = S(а) и а × 1 = а.

Заказ

В этом разделе сопоставлены переменные, такие как ab указать продукт а × б,[34] и стандарт порядок действий предполагается.

А общий заказ на натуральных числах определяется разрешением а ≤ б тогда и только тогда, когда существует другое натуральное число c куда а + c = б. Этот порядок совместим с арифметические операции в следующем смысле: если а, б и c натуральные числа и а ≤ б, тогда а + c ≤ б + c и ac ≤ до н.э.

Важным свойством натуральных чисел является то, что они хорошо организованный: каждый непустой набор натуральных чисел имеет наименьший элемент. Ранг среди хорошо упорядоченных множеств выражается порядковый номер; для натуральных чисел это обозначается как ω (омега).

Разделение

В этом разделе сопоставлены переменные, такие как ab указать продукт а × б, а стандарт порядок действий предполагается.

Хотя, как правило, невозможно разделить одно натуральное число на другое и получить в результате натуральное число, процедура деление с остатком или же Евклидово деление доступен в качестве замены: для любых двух натуральных чисел а и б с б ≠ 0 есть натуральные числа q и р такой, что

а = бк + р и р < б.

Номер q называется частное и р называется остаток подразделения а кб. Цифры q и р однозначно определяются а иб. Это евклидово деление является ключевым для ряда других свойств (делимость ), алгоритмы (такие как Евклидов алгоритм ) и идеи теории чисел.

Алгебраические свойства, которым удовлетворяют натуральные числа

Операции сложения (+) и умножения (×) натуральных чисел, как определено выше, обладают несколькими алгебраическими свойствами:

  • Закрытие при сложении и умножении: для всех натуральных чисел а и б, обе а + б и а × б натуральные числа.[35]
  • Ассоциативность: для всех натуральных чисел а, б, и c, а + (б + c) = (а + б) + c и а × (б × c) = (а × б) × c.[36]
  • Коммутативность: для всех натуральных чисел а и б, а + б = б + а и а × б = б × а.[37]
  • Существование элементы идентичности: для каждого натурального числа а, а + 0 = а и а × 1 = а.
  • Распределительность умножения над сложением для всех натуральных чисел а, б, и c, а × (б + c) = (а × б) + (а × c).
  • Нет ненулевого делители нуля: если а и б натуральные числа такие, что а × б = 0, тогда а = 0 или же б = 0 (или оба).

Обобщения

Два важных обобщения натуральных чисел возникают из двух способов использования подсчета и упорядочения: Количественные числительные и порядковые номера.

  • Натуральное число может использоваться для выражения размера конечного множества; точнее, количественное число - это мера размера множества, которая подходит даже для бесконечных множеств. Эта концепция «размера» основана на сопоставлении наборов, так что два набора имеют того же размера, именно если существует биекция между ними. Само множество натуральных чисел и любое его биективное изображение называется счетно бесконечный и иметь мощность алеф-нуль (ℵ0).
  • Натуральные числа также используются как лингвистические порядковые номера: «первый», «второй», «третий» и так далее. Таким образом, их можно отнести к элементам полностью упорядоченного конечного множества, а также к элементам любого хорошо организованный счетно бесконечное множество. Это назначение можно обобщить на общие порядки, мощность которых превышает счетность, чтобы получить порядковые числа. Порядковый номер может также использоваться для описания понятия «размер» для хорошо упорядоченного множества в смысле, отличном от количества элементов: если существует изоморфизм порядка (более чем биекция!) между двумя упорядоченными множествами, они имеют одинаковый порядковый номер. Первое порядковое число, не являющееся натуральным числом, выражается как ω; это также порядковый номер самого набора натуральных чисел.

Наименьший порядковый номер мощности ℵ0 (это начальный порядковый номер из ℵ0) является ω но многие упорядоченные наборы с кардинальным числом ℵ0 иметь порядковый номер больше, чем ω.

За конечный упорядоченные множества, между порядковыми и количественными числами существует взаимно однозначное соответствие; следовательно, они оба могут быть выражены одним и тем же натуральным числом - количеством элементов множества. Это число также можно использовать для описания положения элемента в большем конечном или бесконечном последовательность.

Счетный нестандартная модель арифметики удовлетворяющие арифметике Пеано (то есть аксиомам Пеано первого порядка) были разработаны Сколем в 1933 году. сверхъестественный числа - это бесчисленная модель, которую можно построить из обычных натуральных чисел с помощью сверхмощная конструкция.

Жорж Риб раньше провокационно заявлял, что Наивные целые числа не заполняются ℕ. Другие обобщения обсуждаются в статье о числа.

Формальные определения

Аксиомы Пеано

Основная статья: Аксиомы Пеано

Многие свойства натуральных чисел могут быть получены из пяти Аксиомы Пеано:[38] [я]

  1. 0 - натуральное число.
  2. У каждого натурального числа есть последователь, который также является натуральным числом.
  3. 0 не является наследником какого-либо натурального числа.
  4. Если преемник равен преемнику , тогда равно .
  5. В аксиома индукции: Если утверждение верно для 0, и если истинность этого утверждения для числа подразумевает его истинность для преемника этого числа, то утверждение верно для любого натурального числа.

Это не оригинальные аксиомы, опубликованные Пеано, но названные в его честь. Некоторые формы аксиом Пеано имеют 1 вместо 0. В обычной арифметике преемник является . Заменяя аксиому 5 схемой аксиом, мы получаем (более слабую) теорию первого порядка, называемую Арифметика Пеано.

Конструкции на основе теории множеств

Основная статья: Теоретико-множественное определение натуральных чисел
Смотрите также: Порядковый номер § Определения

Ординалы фон Неймана

В области математики под названием теория множеств, специфическая конструкция из-за Джон фон Нейман[39][40] определяет натуральные числа следующим образом:

  • Набор 0 = { }, то пустой набор,
  • Определять S(а) = а ∪ {а} для каждого набора а. S(а) является преемником а, и S называется функция преемника.
  • Посредством аксиома бесконечности, существует множество, содержащее 0 и замкнутое относительно функции-преемника. Такие множества называются индуктивный. Пересечение всех таких индуктивных множеств определяется как множество натуральных чисел. Можно проверить, что набор натуральных чисел удовлетворяет условию Аксиомы Пеано.
  • Отсюда следует, что каждое натуральное число равно множеству всех натуральных чисел, меньших его:
  • 0 = { },
  • 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
  • 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
  • 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
  • п = п−1 ∪ {п−1} = {0, 1, ..., п−1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, ...}}, так далее.

При таком определении натуральное число п особый набор с п элементы и п ≤ м если и только если п это подмножество из м. Стандартное определение, теперь называемое определением ординалы фон Неймана, это: «каждый порядковый номер - это упорядоченный набор всех меньших порядковых номеров».

Кроме того, с этим определением возможны различные интерпретации таких обозначений, как ℝп (п-наборы в сравнении с отображениями п в ℝ) совпадают.

Даже если один не принимает аксиому бесконечности и поэтому не может принять, что набор всех натуральных чисел существует, все еще возможно определить любой из этих наборов.

Ординалы Цермело

Хотя стандартная конструкция полезна, это не единственно возможная конструкция. Эрнст Цермело конструкция выглядит следующим образом:[40]

  • Набор 0 = { }
  • Определять S(а) = {а},
  • Отсюда следует, что
  • 0 = { },
  • 1 = {0} = {{ }},
  • 2 = {1} = {{{ }}},
  • п = {п−1} = {{{...}}}, так далее.
Тогда каждое натуральное число равно множеству, содержащему только предшествующее ему натуральное число. Это определение Ординалы Цермело. В отличие от конструкции фон Неймана, порядковые числа Цермело не учитывают бесконечные порядковые числа.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б Мак Лейн и Биркгоф (1999), п. 15) включать ноль в натуральные числа: «Интуитивно, множество ℕ = {0, 1, 2, ...} из всех натуральные числа можно описать следующим образом: ℕ содержит «начальное» число 0; ... '. Они следуют этому в своей версии постулатов Пеано.
  2. ^ Карозерс (2000), п. 3) говорит: "ℕ является набором натуральных чисел (положительных целых чисел) "Оба определения подтверждаются всякий раз, когда это удобно, и нет единого мнения о том, следует ли включать ноль в качестве натуральных чисел.[2]
  3. ^ Мендельсон (2008 г., п. x) говорит: «Вся фантастическая иерархия систем счисления построена чисто теоретико-множественными средствами из нескольких простых предположений о натуральных числах». (Предисловие(пИкс))
  4. ^ Блюман (2010), п. 1): «Числа составляют основу математики».
  5. ^ Табличка, найденная в Кише ... предположительно датируемая 700 годом до нашей эры, использует три крючка для обозначения пустого места в позиционном обозначении. В других таблицах, датируемых примерно тем же временем, используется единственный крючок для пустого места.[13]
  6. ^ Это соглашение используется, например, в Элементы Евклида см. Интернет-издание книги VII Д. Джойса.[17]
  7. ^ Английский перевод - от Грея. В сноске Грей приписывает немецкую цитату: «Weber 1891–1892, 19, цитата из лекции Кронекера 1886 года».[20][21]
  8. ^ «Большая часть математических работ двадцатого века была посвящена исследованию логических основ и структуры предмета». (Канун 1990 г., п. 606)
  9. ^ Гамильтон (1988, pp. 117 ff) называет их «постулатами Пеано» и начинается с «1.  0 - натуральное число ».
    Халмос (1960, п. 46) использует язык теории множеств вместо языка арифметики для своих пяти аксиом. Он начинается с "(I)  0 ∈ ω (где, конечно, 0 = ∅" (ω - множество всех натуральных чисел).
    Мораш (1991) дает «аксиому из двух частей», в которой натуральные числа начинаются с 1. (Раздел 10.1: Аксиоматизация системы положительных целых чисел)

Рекомендации

  1. ^ а б c «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 1 марта 2020 г.. Получено 11 августа 2020.
  2. ^ а б c Вайсштейн, Эрик В. "Натуральное число". mathworld.wolfram.com. Получено 11 августа 2020.
  3. ^ «Натуральные числа». Блестящая вики по математике и науке. Получено 11 августа 2020.
  4. ^ а б c «Стандартные наборы номеров и интервалы». ISO 80000-2: 2009. Международная организация по стандартизации. п. 6.
  5. ^ а б «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 25 марта 2020 г.. Получено 11 августа 2020.
  6. ^ "натуральное число". Merriam-Webster.com. Мерриам-Вебстер. В архиве с оригинала 13 декабря 2019 г.. Получено 4 октября 2014.
  7. ^ Гэнссл, Джек Г. и Барр, Майкл (2003). "целое число". Словарь встроенных систем. стр.138 (целое число), 247 (целое число со знаком) и 276 (целое число без знака). ISBN  978-1-57820-120-4. В архиве из оригинала 29 марта 2017 г.. Получено 28 марта 2017 - через Google Книги. целое число 1. п. Любое целое число.
  8. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Подсчет числа». MathWorld.
  9. ^ "Вступление". Кость Ишанго. Брюссель, Бельгия: Королевский бельгийский институт естественных наук. Архивировано из оригинал 4 марта 2016 г.
  10. ^ «Флэш-презентация». Кость Ишанго. Брюссель, Бельгия: Королевский бельгийский институт естественных наук. Архивировано из оригинал 27 мая 2016 г.
  11. ^ "Кость Ишанго, Демократическая Республика Конго". ЮНЕСКО Портал к наследию астрономии. Архивировано из оригинал 10 ноября 2014 г., на постоянной экспозиции на Королевский бельгийский институт естественных наук, Брюссель, Бельгия.
  12. ^ Ифра, Жорж (2000). Всеобщая история чисел. Вайли. ISBN  0-471-37568-3.
  13. ^ «История нуля». MacTutor История математики. В архиве из оригинала 19 января 2013 г.. Получено 23 января 2013.
  14. ^ Манн, Чарльз С. (2005). 1491: Новые откровения Америки до Колумба. Кнопф. п. 19. ISBN  978-1-4000-4006-3. В архиве из оригинала 14 мая 2015 г.. Получено 3 февраля 2015 - через Google Книги.
  15. ^ Эванс, Брайан (2014). «Глава 10. Доколумбовая математика: цивилизации ольмеков, майя и инков». Развитие математики на протяжении веков: краткая история в культурном контексте. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-1-118-85397-9 - через Google Книги.
  16. ^ Декерс, Майкл (25 августа 2003 г.). "Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Девятнадцатилетний цикл Дионисия". Hbar.phys.msu.ru. В архиве с оригинала 15 января 2019 г.. Получено 13 февраля 2012.
  17. ^ Евклид. "Книга VII, определения 1 и 2". В Джойсе, Д. (ред.). Элементы. Университет Кларка. Архивировано из оригинал 5 августа 2011 г.
  18. ^ Мюллер, Ян (2006). Философия математики и дедуктивная структура в Элементы Евклида. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 58. ISBN  978-0-486-45300-2. OCLC  69792712.
  19. ^ Клайн, Моррис (1990) [1972]. Математическая мысль от древних до наших дней. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-506135-7.
  20. ^ Грей, Джереми (2008). Призрак Платона: модернистское преобразование математики. Издательство Принстонского университета. п. 153. ISBN  978-1-4008-2904-0. В архиве с оригинала от 29 марта 2017 г. - через Google Книги.
  21. ^ Вебер, Генрих Л. (1891–1892). «Кронекер». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung [Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков]. С. 2: 5–23. (Цитата на стр. 19). Архивировано из оригинал 9 августа 2018 г .; "доступ к Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung". Архивировано из оригинал 20 августа 2017 г.
  22. ^ Канун 1990 г., Глава 15
  23. ^ Л. Кирби; Ж. Пэрис, Доступные результаты независимости для арифметики Пеано, Бюллетень Лондонского математического общества 14 (4): 285. Дои:10.1112 / blms / 14.4.285, 1982.
  24. ^ Багария, Джоан (2017). Теория множеств (Зима 2014 г.). Стэнфордская энциклопедия философии. В архиве из оригинала 14 марта 2015 г.. Получено 13 февраля 2015.
  25. ^ Гольдрей, Дерек (1998). «3». Классическая теория множеств: управляемое независимое исследование (1. изд., 1. печатн. Изд.). Бока-Ратон, Флорида [u.a.]: Chapman & Hall / CRC. п.33. ISBN  978-0-412-60610-6.
  26. ^ Браун, Джим (1978). «В защиту происхождения индекса 0». ACM SIGAPL APL Quote Quad. 9 (2): 7. Дои:10.1145/586050.586053. S2CID  40187000.
  27. ^ Хуэй, Роджер. "Является ли начало индекса 0 помехой?". jsoftware.com. В архиве из оригинала 20 октября 2015 г.. Получено 19 января 2015.
  28. ^ Это часто встречается в текстах о Реальный анализ. См., Например, Карозерс (2000), п. 3) или Томсон, Брукнер и Брукнер (2000, п. 2).
  29. ^ Гримальди, Ральф П. (2004). Дискретная и комбинаторная математика: прикладное введение (5-е изд.). Пирсон Аддисон Уэсли. ISBN  978-0-201-72634-3.
  30. ^ «Список математических обозначений, используемых на веб-сайте математических функций: числа, переменные и функции». functions.wolfram.com. Получено 27 июля 2020.
  31. ^ Рудин, В. (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 25. ISBN  978-0-07-054235-8.
  32. ^ Гримальди, Ральф П. (2003). Обзор дискретной и комбинаторной математики (5-е изд.). Бостон: Эддисон-Уэсли. п. 133. ISBN  978-0-201-72634-3.
  33. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Количественное числительное". MathWorld.
  34. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Умножение". mathworld.wolfram.com. Получено 27 июля 2020.
  35. ^ Флетчер, Гарольд; Хауэлл, Арнольд А. (9 мая 2014 г.). Математика с пониманием. Эльзевир. п. 116. ISBN  978-1-4832-8079-0. ... множество натуральных чисел замкнуто при сложении ... множество натуральных чисел замкнуто при умножении
  36. ^ Дэвиссон, Шайлер Колфакс (1910). Колледж алгебры. Компания Macmillian. п. 2. Сложение натуральных чисел ассоциативно.
  37. ^ Брэндон, Берта (М.); Браун, Кеннет Э .; Gundlach, Bernard H .; Кук, Ральф Дж. (1962). Математическая серия Лэйдлоу. 8. Laidlaw Bros. p. 25.
  38. ^ Минц, Г. (ред.). «Аксиомы Пеано». Энциклопедия математики. Springer, в сотрудничестве с Европейское математическое общество. В архиве из оригинала 13 октября 2014 г.. Получено 8 октября 2014.
  39. ^ фон Нейман (1923)
  40. ^ а б Леви (1979), п. 52 связывает идею с неопубликованной работой Цермело в 1916 году и несколькими статьями фон Неймана 1920-х годов.

Библиография

внешняя ссылка