Элементы Евклида - Википедия - Euclids Elements

Элементы

В фронтиспис первой английской версии сэра Генри Биллингсли Евклида Элементы, 1570
Автор	Евклид
Язык	Древнегреческий
Предмет	Евклидова геометрия, элементарный теория чисел, несоизмеримые линии
Жанр	Математика
Дата публикации	c. 300 г. до н.э.
Страницы	13 книг

В Элементы (Древнегреческий: Στοιχεῖον Стойхейон) это математический научный труд состоящий из 13 книг, относимых к древнему Греческий математик Евклид в Александрия, Птолемеевский Египет c. 300 г. до н. Э. Это собрание определений, постулатов, суждений (теоремы и конструкции ), и математические доказательства предложений. Книги обложки плоские и твердые Евклидова геометрия, элементарный теория чисел, и несоизмеримый линий. Элементы является старейшим из сохранившихся крупномасштабных дедуктивных методов лечения математика. Он оказался полезным в развитии логика и современный наука, и его логическая строгость не была превзойдена до 19 века.

Евклида Элементы был назван самым успешным^[а][b] и влиятельные^[c] учебник когда-либо писался. Это была одна из самых ранних математических работ, напечатанных после изобретение печатного станка и, по оценкам, уступает только Библия по количеству изданий, вышедших с момента первого издания 1482 г.,^[1] число которых превышает тысячу.^[d] Веками, когда квадривиум был включен в учебную программу всех студентов университета, знание хотя бы части Евклидова Элементы требовалось от всех студентов. Только в 20 веке, когда его содержание повсеместно преподавалось через другие школьные учебники, он перестал считаться чем-то, что читали все образованные люди.

Геометрия стала неотъемлемой частью стандартного образования английского джентльмена в восемнадцатом веке; посредством Викторианский период он также становился важной частью образования ремесленников, детей в школах-интернатах, колониальных подданных и, в гораздо меньшей степени, женщин. ... Стандартным учебником для этой цели был не кто иной, как Евклидов. Элементы. ^[2]

История

Фрагмент Евклида Элементы со стороны Oxyrhynchus papyri

Основа в более ранней работе

Иллюминация из рукописи по мотивам Аделард из Бата перевод Элементы, c. 1309–1316; Аделарда - самый старый из сохранившихся переводов Элементы на латынь, написано в работе XII века и переведено с арабского.^[3]

Ученые считают, что Элементы в основном представляет собой сборник предложений, основанных на книгах более ранних греческих математиков.^[4]

Прокл (412–485 гг. Н.э.), греческий математик, живший примерно через семь веков после Евклида, писал в своем комментарии к Элементы: "Евклид, составивший Элементы, собирая многие из Евдокс теоремы, совершенствующие многие из Theaetetus ', а также доводя до исчерпывающей демонстрации то, что его предшественники лишь несколько слабо доказали ».

Пифагор (ок. 570–495 до н. э.), вероятно, был источником большинства книг I и II, Гиппократ Хиосский (ок. 470–410 до н. э., не самый известный Гиппократ Кос ) для книги III, и Евдокс Книдский (ок. 408–355 до н. э.) для книги V, а книги IV, VI, XI и XII, вероятно, были созданы другими пифагорейскими или афинскими математиками.^[5] В Элементы возможно, был основан на более раннем учебнике Гиппократа Хиосского, который также, возможно, положил начало использованию букв для обозначения цифр.^[6]

Передача текста

В четвертом веке нашей эры Теон Александрийский выпустил издание Евклида, которое так широко использовалось, что стало единственным сохранившимся источником до тех пор, пока Франсуа Пейрар открытие 1808 г. Ватикан рукописи, не принадлежащей Теону. Эта рукопись, Heiberg рукопись из византийский мастерской около 900 и составляет основу современных изданий.^[7] Папирус Oxyrhynchus 29 представляет собой крошечный фрагмент еще более старой рукописи, но содержит только одно утверждение.

Хотя известно, например, Цицерон, нет сведений о том, что текст был переведен на латынь до Боэций в пятом или шестом веке.^[3] Арабы получили Элементы у византийцев около 760 г .; эта версия была переведена на арабский под Харун аль-Рашид c. 800.^[3] Византийский ученый Аретас заказал копирование одной из сохранившихся греческих рукописей Евклида в конце девятого века.^[8] Хотя известный в Византии, Элементы был потерян для Западной Европы примерно до 1120 г., когда английский монах Аделард из Бата перевел его на латынь с арабского перевода.^[e]

Евклид - Elementorum libri XV Paris, Hieronymum de Marnef & Guillaume Cavelat, 1573 (второе издание после изд. 1557 г.); in 8: 350, (2) с. ТОМАС – СТЕНФОРД, Ранние издания Евклида Элементы, № 32. Упоминается в T.L. Перевод Хита. Частная коллекция Гектор Зенил.

Первое печатное издание вышло в 1482 г. (по материалам Кампанус Новары издание 1260 г.),^[10] и с тех пор он был переведен на многие языки и опубликован примерно в тысяче различных изданий. Греческое издание Теона было восстановлено в 1533 году. В 1570 году Джон Ди предоставил широко уважаемое "Математическое предисловие", наряду с обширными примечаниями и дополнительными материалами, к первому английскому изданию автора Генри Биллингсли.

Копии греческого текста все еще существуют, некоторые из них можно найти в Библиотека Ватикана и Библиотека имени Бодлея в Оксфорде. Доступные рукописи разного качества и неизменно неполные. Путем тщательного анализа переводов и оригиналов были выдвинуты гипотезы о содержании исходного текста (копии которого больше не доступны).

Древние тексты, относящиеся к Элементы Сама по себе и другие математические теории, которые были актуальны на момент написания, также важны в этом процессе. Такие анализы проводят Дж. Л. Хейберг и сэр Томас Литтл Хит в своих редакциях текста.

Также важны схолия, или аннотации к тексту. Эти дополнения, которые часто отличались от основного текста (в зависимости от рукописи), постепенно накапливались с течением времени по мере того, как мнения расходились по поводу того, что заслуживает объяснения или дальнейшего изучения.

Влияние

Страница с полями из первого печатного издания Элементы, напечатанный Эрхард Ратдольт в 1482 г.

В Элементы до сих пор считается шедевром в применении логика к математика. В историческом контексте он оказался чрезвычайно влиятельным во многих областях наука. Ученые Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Галилео Галилей, и сэр Исаак Ньютон все находились под влиянием Элементы, и применили свои знания в своей работе. Математики и философы, такие как Томас Гоббс, Барух Спиноза, Альфред Норт Уайтхед, и Бертран Рассел, попытались создать свои собственные основополагающие «Элементы» для своих дисциплин, приняв аксиоматизированные дедуктивные структуры, введенные в работе Евклида.

Строгая красота евклидовой геометрии многими воспринималась в западной культуре как проблеск потусторонней системы совершенства и определенности. Авраам Линкольн хранил копию Евклида в своей седельной сумке и изучал ее поздно ночью при свете лампы; он рассказал, что сказал себе: «Из тебя никогда не получится стать юристом, если ты не понимаешь, что означает демонстрация. шесть книг Евклида в поле зрения ".^[11] Эдна Сент-Винсент Миллей написала в своем сонете "Один Евклид смотрел на красоту обнаженной "," О ослепительный час, о святой, страшный день, Когда первый луч в его видении засиял Анатомическим светом! ". Альберт Эйнштейн напомнил копию Элементы и магнитный компас как два подарка, которые оказали на него большое влияние в детстве, называя Евклида «священной маленькой книгой по геометрии».^[12][13]

Успех Элементы в первую очередь благодаря логическому изложению большинства математических знаний, доступных Евклиду. Большая часть материала не принадлежит ему оригиналу, хотя многие доказательства принадлежат ему. Однако систематическое развитие Евклида своего предмета, от небольшого набора аксиом до глубоких результатов, и последовательность его подхода на протяжении всего периода Элементы, поощрял его использование в качестве учебника около 2000 лет. В Элементы до сих пор влияет на современные книги по геометрии. Более того, ее логический, аксиоматический подход и строгие доказательства остаются краеугольным камнем математики.

В современной математике

Одно из самых заметных влияний Евклида на современную математику - обсуждение параллельный постулат. В Книге I Евклид перечисляет пять постулатов, пятый из которых предусматривает

Если отрезок пересекает две прямые линии образуя два внутренних угла на одной стороне, которые в сумме составляют менее двух прямые углы, то две прямые, если их удлинить бесконечно, встречаются на той стороне, на которой сумма углов меньше двух прямых углов.

Различные версии постулата параллельности приводят к разной геометрии.

Этот постулат веками мучил математиков из-за своей кажущейся сложности по сравнению с четырьмя другими постулатами. Было предпринято множество попыток доказать пятый постулат на основе четырех других, но они так и не увенчались успехом. В конце концов, в 1829 году математик Николай Лобачевский опубликовал описание острой геометрии (или гиперболическая геометрия ), геометрия, которая приняла иную форму постулата параллельности. Фактически возможно создать действительную геометрию без пятого постулата полностью или с различными версиями пятого постулата (эллиптическая геометрия ). Если принять пятый постулат как данность, результат будет Евклидова геометрия.

Содержание

• Книга 1 содержит 5 постулатов (в том числе знаменитый параллельный постулат ) и 5 ​​общих понятий, и охватывает важные темы плоской геометрии, такие как теорема Пифагора, равенство углов и области, параллельность, сумма углов в треугольнике и построение различных геометрических фигур.
• Книга 2 содержит ряд леммы относительно равенства прямоугольников и квадратов, иногда именуемого "геометрическая алгебра ", и завершается построением Золотое сечение и способ построения квадрата, равного по площади любой прямолинейной плоской фигуре.
• Книга 3 посвящена кругам и их свойствам: поиск центра, вписанный углы, касательные, сила точки, Теорема Фалеса.
• Книга 4 конструирует окружать и описанный круг треугольника, а также правильные многоугольники с 4, 5, 6 и 15 сторонами.
• Книга 5, о пропорциях величины, дает очень сложную теорию пропорции, вероятно, разработанную Евдокс, и доказывает такие свойства, как "чередование" (если а : б :: c : d, тогда а : c :: б : d).
• Книга 6 применяет пропорции к геометрии плоскости, особенно к построению и распознаванию похожий цифры.
• Книга 7 посвящена элементарной теории чисел: делимость, простые числа и их отношение к составные числа, Алгоритм Евклида для поиска наибольший общий делитель, находя наименьший общий множитель.
• Книга 8 посвящена созданию и существованию геометрические последовательности целых чисел.
• Книга 9 применяет результаты двух предыдущих книг и дает бесконечность простых чисел и строительство всех даже идеальные числа.
• Книга 10 доказывает иррациональность квадратных корней из неквадратных целых чисел (например, ${ displaystyle { sqrt {2}}}$) и классифицирует квадратные корни из несоизмеримый линий на тринадцать непересекающихся категорий. Евклид здесь вводит термин «иррациональный», который имеет иное значение, чем современная концепция иррациональные числа. Он также дает формула производить Пифагорейские тройки.^[14]
• Книга 11 обобщает результаты книги 6 на твердые фигуры: перпендикулярность, параллельность, объемность и подобие параллелепипеды.
• Книга 12 изучает тома шишки, пирамиды, и цилиндры подробно с помощью метод истощения, предшественник интеграция, и показывает, например, что объем конуса составляет треть объема соответствующего цилиндра. В заключение он показывает, что объем сфера пропорциональна кубу своего радиуса (на современном языке), аппроксимируя свой объем объединением множества пирамид.
• Книга 13 конструирует пять обычных Платоновы тела вписаны в сферу и сравнивают отношения их краев с радиусом сферы.

Метод Евклида и стиль изложения

Анимация, показывающая, как Евклид построил шестиугольник (Книга IV, предложение 15). Каждая двумерная фигура в Элементы можно построить только с помощью циркуля и линейки.^[15]

Кодекс Ватикана 190

Евклида аксиоматический подход и конструктивные методы были широко влиятельными.

Многие из предложений Евклида были конструктивными, они демонстрировали существование некоторой фигуры, подробно описывая шаги, которые он использовал для создания объекта с использованием компас и линейка. Его конструктивный подход проявляется даже в постулатах его геометрии, поскольку первый и третий постулаты, констатирующие существование прямой и окружности, конструктивны. Вместо того, чтобы утверждать, что линии и круги существуют согласно его предыдущим определениям, он заявляет, что можно «построить» линию и круг. Также кажется, что для того, чтобы использовать фигуру в одном из своих доказательств, ему необходимо построить ее в более раннем предложении. Например, он доказывает теорему Пифагора, сначала начертав квадрат на сторонах прямоугольного треугольника, но только после построения квадрата на заданной прямой одним утверждением ранее.^[16]

Как было принято в древних математических текстах, когда предложение требовало доказательство в нескольких разных случаях Евклид часто доказывал только один из них (часто самый трудный), оставляя остальные читателю. Поздние редакторы, такие как Теон часто вставляли собственные доказательства этих случаев.

Изложение Евклида было ограничено математическими идеями и обозначениями, принятыми в его эпоху, и это в некоторых местах вызывает неудобство для современного читателя. Например, не существовало понятия угла, превышающего два прямых угла,^[17] число 1 иногда рассматривалось отдельно от других положительных целых чисел, и, поскольку умножение рассматривалось геометрически, он не использовал произведение более трех различных чисел. Геометрическая трактовка теории чисел могла быть вызвана тем, что альтернатива была бы чрезвычайно неудобной. Александрийская система счисления.^[18]

Представление каждого результата дано в стилизованной форме, которая хоть и не была изобретена Евклидом, но признана типично классической. Он состоит из шести различных частей: первая - это «высказывание», в котором в общих чертах формулируется результат (то есть утверждение предложения). Затем идет «разметка», которая дает фигуру и обозначает определенные геометрические объекты буквами. Затем идет «определение» или «спецификация», которые повторяют формулировку в терминах конкретной фигуры. Затем следует «строительство» или «машины». Здесь исходный рисунок расширен для доказательства. Затем следует само «доказательство». Наконец, «заключение» связывает доказательство с высказыванием, формулируя конкретные выводы, сделанные в доказательстве, в общих условиях высказывания.^[19]

Никаких указаний на метод рассуждения, приведший к результату, не приводится, хотя Данные дает инструкции о том, как подходить к типам проблем, встречающихся в первых четырех книгах Элементы.^[5] Некоторые ученые пытались найти ошибку в использовании Евклидом цифр в своих доказательствах, обвиняя его в написании доказательств, которые зависели от конкретных рисунков, а не от общей лежащей в основе логики, особенно в отношении предложения II книги I. Однако первоначальное доказательство Евклида этого Предложение является общим, действительным и не зависит от рисунка, используемого в качестве примера для иллюстрации одной данной конфигурации.^[20]

Критика

Список аксиом Евклида в Элементы не был исчерпывающим, но отражал наиболее важные принципы. В его доказательствах часто используются аксиоматические понятия, которые изначально не были представлены в его списке аксиом. Более поздние редакторы вставили неявные аксиоматические предположения Евклида в список формальных аксиом.^[21]

Например, в первой конструкции Книги 1 Евклид использовал предпосылку, которая не была ни постулирована, ни доказана: две окружности с центрами на расстоянии их радиуса будут пересекаться в двух точках.^[22] Позже, в четвертой конструкции, он использовал суперпозицию (перемещение треугольников друг над другом), чтобы доказать, что если две стороны и их углы равны, то они равны. конгруэнтный; во время этих размышлений он использует некоторые свойства суперпозиции, но эти свойства не описаны в трактате явно. Если суперпозицию следует рассматривать как действенный метод геометрического доказательства, вся геометрия будет полна таких доказательств. Например, предложения I.1 - I.3 можно тривиально доказать с помощью суперпозиции.^[23]

Математик и историк У. В. Роуз Болл рассмотреть критику в перспективе, отметив, что «тот факт, что в течение двух тысяч лет [ Элементы] был обычным учебником по этому предмету, что дает основание предположить, что он не является непригодным для этой цели ».^[17]

Апокриф

В древности нередко приписывали прославленным авторам работы, написанные не ими. Именно таким образом апокрифический книги XIV и XV Элементы иногда попадали в сборник.^[24] Поддельная книга XIV, вероятно, была написана Гипсикл на основе трактата Аполлоний. Книга продолжает сравнение Евклида с правильными телами, вписанными в сферы, причем главный результат состоит в том, что отношение поверхностей додекаэдр и икосаэдр вписанные в одну и ту же сферу, то же самое, что и соотношение их объемов, причем соотношение

${ displaystyle { sqrt { tfrac {10} {3 (5 - { sqrt {5}})}}} = { sqrt { tfrac {5 + { sqrt {5}}} {6}} }.}$

Поддельная Книга XV, вероятно, была написана, по крайней мере частично, Исидор Милетский. В этой книге рассматриваются такие темы, как подсчет количества ребер и телесных углов в правильных телах, а также определение меры двугранных углов граней, которые встречаются на ребре.^[f]

Редакции

В Итальянский Иезуит Маттео Риччи (слева) и Китайский математик Сюй Гуанци (справа) опубликовал Китайский издание Элементы Евклида (幾何 原本) в 1607 г.

Доказательство теорема Пифагора в Бирн с Элементы Евклида и опубликована в цветном варианте в 1847 году.

• 1460-е годы, Региомонтан (неполный)
• 1482, Эрхард Ратдольт (Венеция), первое печатное издание^[25]
• 1533, Editio Princeps от Саймона Грюнауса
• 1557, Жан Маньен и Пьер де Монтдоре [fr ], рассмотрено Стефаном Грацилисом (только предложения, без полных доказательств, включая оригинальный греческий и латинский перевод)
• 1572, Commandinus Латинское издание
• 1574, Кристоф Клавиус

Переводы

• 1505, Бартоломео Замберти [де ] (Латинский)
• 1543, Никколо Тарталья (Итальянский)
• 1557, Жан Маньен и Пьер де Монтдоре, рецензия - Стефан Грасилис (с греческого на латинский)
• 1558, Иоганн Шойбель (Немецкий)
• 1562, Якоб Кюндиг (немец)
• 1562, Вильгельм Хольцманн (немец)
• 1564–1566, Пьер Форкадель [fr ] де Безье (французский)
• 1570, Генри Биллингсли (Английский)
• 1572, Commandinus (Латинский)
• 1575, Commandinus (итальянский)
• 1576, Родриго де Заморано (Испанский)
• 1594, Типография Medicea (издание арабского перевода Рецепция «стихий» Евклида^[26]
• 1604, Жан Эррард [fr ] де Бар-ле-Дюк (французский)
• 1606, Ян Питерсоон Доу (голландский)
• 1607, Маттео Риччи, Сюй Гуанци (Китайский)
• 1613, Пьетро Катальди (Итальянский)
• 1615, Денис Генрион (Французский)
• 1617, Франс ван Скутен (голландский)
• 1637, Л. Кардучи (испанский)
• 1639, Пьер Эригон (Французский)
• 1651, Генрих Гофманн (немец)
• 1651, Томас Радд (Английский)
• 1660, Исаак Барроу (Английский)
• 1661 г., Джон Лик и Гео. Serle (английский)
• 1663, Доменико Магни (итальянский от латинского)
• 1672, Клод Франсуа Миллиет Дешалес (Французский)
• 1680, Витале Джордано (итальянец)
• 1685, Уильям Галифакс (английский)
• 1689, Джейкоб Кнеса (испанский)
• 1690, Винченцо Вивиани (итальянец)
• 1694, Ант. Эрнст Бурх против Пиркенштейна (немецкий)
• 1695, К. Дж. Воогт (голландский)
• 1697, Сэмюэл Рейхер (Немецкий)
• 1702, Хендрик Коэтс (голландский)
• 1705, Чарльз Скарборо (Английский)
• 1708, Джон Кейл (Английский)
• 1714, Chr. Schessler (немецкий)
• 1714, У. Уистон (англ.)
• 1720-е годы, Джаганнатха Самрат (Санскрит, на основе арабского перевода Насир ад-Дин ат-Туси)^[27]
• 1731, Гвидо Гранди (сокращение от итальянского)
• 1738, Иван Сатаров (русский с французского)
• 1744, Мартен Стрёмер (Шведский)
• 1749, Дешалес (итальянский)
• 1745, Эрнест Готлиб Цигенбалг (датчанин)
• 1752, Леонардо Хименес (итальянец)
• 1756, Роберт Симсон (Английский)
• 1763, Pubo Steenstra (голландский)
• 1768, Анджело Брунелли (португальский)
• 1773, 1781, Дж. Ф. Лоренц (нем.)
• 1780, Барух Шик Шкловский (Иврит)^[28]
• 1781, 1788 Джеймс Уильямсон (английский)
• 1781, Уильям Остин (английский)
• 1789, пр. Суворов над Йос. Никитин (русский с греческого)
• 1795, Джон Плейфэр (Английский)
• 1803 г., Г. Linderup (датский)
• 1804, Франсуа Пейрар (Французский). Пейрард обнаружил в 1808 г. Ватикан Грек 190, что позволяет ему предоставить первую окончательную версию в 1814–1818 гг.
• 1807, Józef Czech (польский на основе греческого, латинского и английского изданий)
• 1807, Дж. К. Ф. Хауфф (нем.)
• 1818, Винченцо Флаути (Итальянский)
• 1820, Вениамин Лесбосский (новогреческий)
• 1826, Джордж Филлипс (английский)
• 1828 г., Joh. Джош и Игн. Хоффманн (немецкий)
• 1828, Дионисий Ларднер (Английский)
• 1833, Э. С. Унгер (нем.)
• 1833, Томас Перронет Томпсон (Английский)
• 1836, Х. Фальк (шведский)
• 1844, 1845, 1859, П. Р. Брокенхельм (шведский)
• 1850 г., Ф. А. А. Лундгрен (шведский)
• 1850, Х. А. Витт и М. Э. Аресконг (шведский)
• 1862, Исаак Тодхантер (Английский)
• 1865, Самуэль Брассай (Венгерский)
• 1873, Масакуни Ямада (японец)
• 1880, Вачченко-Захарченко (Русский)
• 1897, Тайра Эйбе (датчанин)
• 1901, Макс Саймон (немец)
• 1907, Франтишек Сервис (Чехия)^[29]
• 1908, Томас Литтл Хит (Английский)
• 1939, Р. Кейтсби Талиаферро (Английский)
• 1999, Maja Hudoletnjak Grgić (Книга I-VI) (хорватский)^[30]
• 2009, Иринеу Бикудо (бразильский португальский )
• 2019, Али Синан Сертёз (турецкий)^[31]

В настоящее время в печати

• Элементы Евклида - Все тринадцать книг собраны в одном томе, На основе перевода Хита, Green Lion Press ISBN  1-888009-18-7.
• Элементы: Книги I – XIII - полные и несокращенные, (2006) Перевод сэра Томаса Хита, Barnes & Noble ISBN  0-7607-6312-7.
• Тринадцать книг стихий Евклида, перевод и комментарии Хита, Томаса Л. (1956) в трех томах. Dover Publications. ISBN  0-486-60088-2 (том 1), ISBN  0-486-60089-0 (т. 2), ISBN  0-486-60090-4 (том 3)

Бесплатные версии

• Элементы Евклида Redux, Том 1, содержит книги I – III, основанные на переводе Джона Кейси.^[32]
• Элементы Евклида Redux, Том 2, содержит книги IV – VIII, основанные на переводе Джона Кейси.^[32]

Рекомендации

Примечания

Цитаты

Источники

внешняя ссылка

• Многоязычное издание Elementa в Bibliotheca Polyglotta
• Евклид (1997) [ок. 300 г. до н.э.]. Дэвид Э. Джойс (ред.). «Элементы». Получено 2006-08-30. В HTML с интерактивными рисунками на основе Java.
• Двуязычное издание Ричарда Фицпатрика (бесплатно загружаемый PDF-файл, набранный в формате с двумя столбцами с греческим оригиналом рядом с современным английским переводом; также доступен в печатном виде как ISBN  978-0-615-17984-1)
• Английский перевод Хита (HTML, без цифр, общественное достояние) (по состоянию на 4 февраля 2010 г.)
  • Английский перевод и комментарии Хита с рисунками (Google Книги): т. 1, т. 2, т. 3, т. 3 в. 2
• Издание Оливера Бирна 1847 года (также размещен в archive.org ) - необычная версия автора Оливер Бирн кто использовал цвет, а не ярлыки, такие как ABC (отсканированные изображения страниц, общественное достояние)
• Веб-адаптированная версия Евклида Бирна дизайн Николаса Ружо
• Первые шесть книг Элементы Джон Кейси и Евклид отсканированы Проект Гутенберг.
• Чтение Евклида - курс чтения Евклида на греческом оригинале с английскими переводами и комментариями (HTML с рисунками)
• Сэр Томас Мор с рукопись
• Латинский перевод к Этельхард из Бата
• Евклид Элементы - Оригинальный греческий текст Греческий HTML
• Институт математики Клэя Исторический архив - Тринадцать книг Евклида Элементы скопировано Стефаном Клерком для Ареты Патрского в Константинополе в 888 г.
• Китаб Тахрир удул ли-Аглидис Арабский перевод тринадцати книг Евклида Элементы Насир ад-Дин аль-Хуси. Опубликовано Medici Oriental Press (также Typographia Medicea). Факсимильный аппарат размещен Проект исламского наследия.
• Евклида Элементы Redux, открытый учебник на основе Элементы
• 1607 перевод на китайский перепечатано как часть Сику Цюаньшу, или «Полная библиотека четырех сокровищниц».