Теорема гномона - Theorem of the gnomon

Гномон:

{ displaystyle ABFPGD}

Теорема Гномона: зеленая область = красная область,

{ Displaystyle | AHGD | = | ABFI |, , | HBFP | = | IPGD |}

В теорема гномона заявляет, что некоторые параллелограммы происходящее в гномон имеют области одинакового размера.

Теорема

В параллелограмме ${ displaystyle ABCD}$ с точкой ${ displaystyle P}$ по диагонали ${ displaystyle AC}$ параллель с ${ displaystyle AD}$ через ${ displaystyle P}$ пересекает сторону ${ displaystyle CD}$ в ${ displaystyle G}$ и сторона ${ displaystyle AB}$ в ${ displaystyle H}$ . Аналогично параллель стороне ${ displaystyle AB}$ через ${ displaystyle P}$ пересекает сторону ${ displaystyle AD}$ в ${ displaystyle I}$ и сторона ${ displaystyle BC}$ в ${ displaystyle F}$ . Теорема гномона теперь утверждает, что параллелограммы ${ displaystyle HBFP}$ и ${ displaystyle IPGD}$ имеют равные площади.^[1]^[2]

Гномон это название L-образной фигуры, состоящей из двух перекрывающихся параллелограммов ${ displaystyle ABFI}$ и ${ displaystyle AHGD}$ . Параллелограммы равной площади ${ displaystyle HBFP}$ и ${ displaystyle IPGD}$ называются дополняет (параллелограммов на диагонали ${ displaystyle PFCG}$ и ${ displaystyle AHPI}$ ).^[3]

Доказательство

Доказательство теоремы несложно, если рассмотреть площади главного параллелограмма и двух внутренних параллелограммов вокруг его диагонали:

во-первых, разница между главным параллелограммом и двумя внутренними параллелограммами в точности равна суммарной площади двух дополнительных;
во-вторых, все три делятся пополам по диагонали. Это дает:^[4]

{ displaystyle | IPGD | = { frac {| ABCD |} {2}} - { frac {| AHPI |} {2}} - { frac {| PFCG |} {2}} = | HBFP |}

Приложения и расширения

геометрическое изображение подразделения

Перенос отношения разбиения отрезка AB к отрезку HG:

{ Displaystyle { tfrac {| AH |} {| HB |}} = { tfrac {| HP |} {| PG |}}}

Теорема о гномоне может быть использована для построения нового параллелограмма или прямоугольника равной площади данному параллелограмму или прямоугольнику с помощью конструкции линейки и компаса. Это также позволяет представить деление двух чисел в геометрических терминах, что является важной особенностью для переформулирования геометрических задач в алгебраических терминах. Точнее, если два числа заданы как длины отрезков прямой, можно построить третий отрезок, длина которого совпадает с частным этих двух чисел (см. Диаграмму). Другое применение - перенос отношения разделения одного линейного сегмента на другой линейный сегмент (разной длины), таким образом разделяя этот другой линейный сегмент с тем же соотношением, что и данный линейный сегмент и его раздел (см. Диаграмму).^[1]

{ displaystyle mathbb {A}}

является (нижним) параллелепипедом по диагонали с

{ displaystyle P}

и его дополнения

{ displaystyle mathbb {B}}

,

{ displaystyle mathbb {C}}

и

{ Displaystyle mathbb {D}}

имеют одинаковый объем:

{ Displaystyle | mathbb {B} | = | mathbb {C} | = | mathbb {D} |}

Аналогичное заявление можно сделать в трех измерениях для параллелепипеды. В этом случае вы правы ${ displaystyle P}$ на диагональ пространства параллелепипеда, а вместо двух параллельных прямых у вас проходят три плоскости ${ displaystyle P}$ , каждая параллельна граням параллелепипеда. Три плоскости разделяют параллелепипед на восемь параллелепипедов меньшего размера; два из них окружают диагональ и встречаются в ${ displaystyle P}$ . Теперь к каждому из этих двух параллелепипедов по диагонали прикреплены три из оставшихся шести параллелепипедов, и эти три играют роль дополнений и имеют равный объем (см. Диаграмму).^[2]

Общая теорема о вложенных параллелограммах

общая теорема:
область grenn = синяя область - красная область

Теорема гномона является частным случаем более общего утверждения о вложенных параллелограммах с общей диагональю. Для данного параллелограмма ${ displaystyle ABCD}$ рассмотрим произвольный внутренний параллелограмм ${ displaystyle AFCE}$ имея ${ displaystyle AC}$ как диагональ. Кроме того, есть два однозначно определенных параллелограмма ${ displaystyle GFHD}$ и ${ displaystyle IBJF}$ стороны которого параллельны сторонам внешнего параллелограмма и которые имеют общую вершину ${ displaystyle F}$ с внутренним параллелограммом. Теперь разница площадей этих двух параллелограммов равна площади внутреннего параллелограмма, то есть:^[2]

{ displaystyle | AFCE | = | GFHD | - | IBJF |}

Из этого утверждения следует теорема гномона, если посмотреть на вырожденный внутренний параллелограмм ${ displaystyle AFCE}$ все вершины которого находятся на диагонали ${ displaystyle AC}$ . Это означает, в частности, для параллелограммов ${ displaystyle GFHD}$ и ${ displaystyle IBJF}$ , что их общая точка ${ displaystyle F}$ находится на диагонали и что разность их площадей равна нулю, что и утверждает теорема гномона.

Исторические аспекты

Теорема о гномоне была описана еще в Элементы Евклида (около 300 г. до н.э.), и здесь он играет важную роль в выводе других теорем. Он дан как предложение 43 в Книге I Элементов, где он сформулирован как утверждение о параллелограммах без использования термина гномон. Последнее введено Евклидом как второе определение второй книги Элементов. Дальнейшие теоремы, для которых важную роль играют гномон и его свойства, - это предложение 6 книги II, предложение 29 книги VI и предложения 1–4 книги XIII.^[5]^[4]^[6]

внешняя ссылка

Теорема гномона и Определение гномона в Элементы Евклида

Примечания

^ ^а ^б Лоренц Хальбайзен, Норберт Хунгербюлер, Хуан Лаухли: Mit harmingischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, стр. 190-191.
^ ^а ^б ^c Уильям Дж. Азард: Обобщения теоремы Пифагора и Евклида о гномоне. The American Mathematical Monthly, том 36, вып. 1 (январь 1929 г.), стр. 32–34 (JSTOR )
^ Йоханнес Тропфке: Geschichte der Elementarmathematik Ebene Geometrie - Band 4: Ebene Geometrie. Вальтер де Грюйтер, 2011 год, ISBN 9783111626932, стр. 134-135 (Немецкий)
^ ^а ^б Роджер Герц-Фишлер: Математическая история золотого числа. Дувр, 2013, ISBN 9780486152325, стр.35–36
^ Паоло Виги, Игино Аскиери: От искусства к математике в картинах Тео ван Дусбурга. В: Витторио Капеччи, Массимо Бушема, Пьерлуиджи Контуччи, Бруно Д'Аморе (редакторы): Применение математики в моделях, искусственных нейронных сетях и искусстве. Springer, 2010 г., ISBN 9789048185818, стр. 601–610, в частности стр. 603–606
^ Джордж В. Эванс: Некоторые из алгебры Евклида. Учитель математики, Том 20, вып. 3 (март 1927 г.), стр. 127–141 (JSTOR )

[HNL-1] а ^б Лоренц Хальбайзен, Норберт Хунгербюлер, Хуан Лаухли: Mit harmingischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, стр. 190-191.

[Hazard-2] а ^б ^c Уильям Дж. Азард: Обобщения теоремы Пифагора и Евклида о гномоне. The American Mathematical Monthly, том 36, вып. 1 (январь 1929 г.), стр. 32–34 (JSTOR )

[Tropfke-3] Йоханнес Тропфке: Geschichte der Elementarmathematik Ebene Geometrie - Band 4: Ebene Geometrie. Вальтер де Грюйтер, 2011 год, ISBN 9783111626932, стр. 134-135 (Немецкий)

[Fischler-4] а ^б Роджер Герц-Фишлер: Математическая история золотого числа. Дувр, 2013, ISBN 9780486152325, стр.35–36

[VA-5] Паоло Виги, Игино Аскиери: От искусства к математике в картинах Тео ван Дусбурга. В: Витторио Капеччи, Массимо Бушема, Пьерлуиджи Контуччи, Бруно Д'Аморе (редакторы): Применение математики в моделях, искусственных нейронных сетях и искусстве. Springer, 2010 г., ISBN 9789048185818, стр. 601–610, в частности стр. 603–606

[Evans-6] Джордж В. Эванс: Некоторые из алгебры Евклида. Учитель математики, Том 20, вып. 3 (март 1927 г.), стр. 127–141 (JSTOR )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]