Диофантово уравнение - Википедия - Diophantine equation

Найти все прямоугольные треугольники с целыми сторонами эквивалентно решению диофантова уравнения а² + б² = c².

В математика, а Диофантово уравнение это полиномиальное уравнение, обычно с участием двух или более неизвестные, так что единственный решения представляют интерес целое число единицы (целочисленное решение такое, что все неизвестные принимают целые значения). А линейное диофантово уравнение приравнивает к константе сумму двух или более мономы, каждый из степень один. An экспоненциальное диофантово уравнение тот, в котором неизвестные могут появиться в экспоненты.

Диофантовы проблемы иметь меньше уравнений, чем неизвестных, и включать поиск целых чисел, которые одновременно решают все уравнения. В качестве таких системы уравнений определять алгебраические кривые, алгебраические поверхности, или, в более общем смысле, алгебраические множества, их исследование является частью алгебраическая геометрия это называется Диофантова геометрия.

Слово Диофантин относится к Эллинистический математик III века, Диофант из Александрия, который изучил такие уравнения и был одним из первых математиков, которые представили символизм в алгебра. Математическое исследование диофантовых проблем, начатое Диофантом, теперь называется Диофантов анализ.

Хотя отдельные уравнения представляют собой своего рода загадку и рассматривались на протяжении всей истории, формулировка общих теорий диофантовых уравнений (помимо линейных и квадратичный уравнений) было достижением ХХ века.

Примеры

В следующих диофантовых уравнениях ш, Икс, у, и z - неизвестные, а другим буквам даны константы:

Линейные диофантовы уравнения

Одно уравнение

Простейшее линейное диофантово уравнение принимает вид топор + к = c, куда а, б и c даны целые числа. Решения описываются следующей теоремой:

Это диофантово уравнение имеет решение (куда Икс и у целые числа) если и только если c кратно наибольший общий делитель из а и б. Более того, если (Икс, у) является решением, то остальные решения имеют вид (Икс + кв, у − ку), куда k - произвольное целое число, а ты и v являются частными от а и б (соответственно) на наибольший общий делитель числа а и б.

Доказательство: Если d это наибольший общий делитель, Личность Безу утверждает существование целых чисел е и ж такой, что ае + парень = d. Если c кратно d, тогда c = dh для некоторого целого числа час, и (а, fh) это решение. С другой стороны, для каждой пары целых чисел Икс и у, наибольший общий делитель d из а и б разделяет топор + к. Таким образом, если уравнение имеет решение, то c должно быть кратно d. Если а = уд и б = vd, то для каждого решения (Икс, у), у нас есть

а(Икс + кв) + б(у − ку) = топор + к + k(средний − бу) = топор + к + k(удв − вд) = топор + к,

показывая это (Икс + кв, у − ку) другое решение. Наконец, учитывая два решения, такие что топор₁ + к₁ = топор₂ + к₂ = c, можно сделать вывод, что ты(Икс₂ − Икс₁) + v(у₂ − у₁) = 0. В качестве ты и v находятся совмещать, Лемма евклида показывает, что v разделяет Икс₂ − Икс₁, а значит, существует целое число k такой, что Икс₂ − Икс₁ = кв и у₂ − у₁ = −ку. Следовательно, Икс₂ = Икс₁ + кв и у₂ = у₁ − ку, что завершает доказательство.

Китайская теорема об остатках

В Китайская теорема об остатках описывает важный класс линейных диофантовых систем уравнений: пусть п₁, …, п_k быть k попарно взаимно просты целые числа больше единицы, а₁, …, а_k быть k произвольные целые числа и N быть продуктом п₁ ··· п_k. Китайская теорема об остатках утверждает, что следующая линейная диофантова система имеет ровно одно решение (Икс, Икс₁, …, Икс_k) такой, что 0 ≤ Икс < N, а остальные решения получаются добавлением к Икс кратный N:

${ displaystyle { begin {align} x & = a_ {1} + n_ {1} , x_ {1} & vdots x & = a_ {k} + n_ {k} , x_ {k} конец {выровнено}}}$

Система линейных диофантовых уравнений

В более общем смысле, любая система линейных диофантовых уравнений может быть решена путем вычисления Нормальная форма Смита матрицы, аналогично использованию сокращенная форма эшелона строки решить система линейных уравнений над полем. С помощью матричная запись любая система линейных диофантовых уравнений может быть записана

А Икс = C,

куда А является м × п матрица целых чисел, Икс является п × 1 матрица столбцов неизвестных и C является м × 1 матрица-столбец целых чисел.

Вычисление нормальной формы Смита А предоставляет два унимодулярные матрицы (то есть матрицы, обратимые по целым числам и имеющие в качестве определителя ± 1) U и V соответствующих размеров м × м и п × п, такая, что матрица

B = [б_я,j] = БПЛА

таково, что б_я,я не ноль для я не больше некоторого целого числа k, а все остальные записи равны нулю. Таким образом, решаемая система может быть переписана как

B (V⁻¹Икс) = UC.

Вызов у_я записи V⁻¹Икс и d_я те из D = UC, это приводит к системе

б_я,я у_я = d_я за 1 ≤ я ≤ k,

0 у_я = d_я за k < я ≤ п.

Эта система эквивалентна данной в следующем смысле: матрица-столбец целых чисел Икс является решением данной системы тогда и только тогда, когда Икс = Vy для некоторой матрицы-столбца целых чисел у такой, что К = D.

Отсюда следует, что система имеет решение тогда и только тогда, когда б_я,я разделяет d_я за я ≤ k и d_я = 0 за я > k. При выполнении этого условия решения данной системы имеют вид

${ displaystyle V , left [{ begin {array} {c} { frac {d_ {1}} {b_ {1,1}}} vdots { frac {d_ {k}} } {b_ {k, k}}} h_ {k + 1} vdots h_ {n} end {array}} right] ,,}$

куда час_k+1, ..., час_п - произвольные целые числа.

Нормальная форма Эрмита может также использоваться для решения систем линейных диофантовых уравнений. Однако нормальная форма Эрмита напрямую не дает решения; чтобы получить решения из нормальной формы Эрмита, необходимо последовательно решить несколько линейных уравнений. Тем не менее, Ричард Зиппель писал, что нормальная форма Смита «несколько больше, чем фактически требуется для решения линейных диофантовых уравнений. Вместо того, чтобы приводить уравнение к диагональной форме, нам нужно только сделать его треугольным, что называется нормальной формой Эрмита. Нормальную форму Эрмита вычислить значительно проще, чем нормальную форму Смита ».^[5]

Целочисленное линейное программирование сводится к нахождению некоторых целочисленных решений (оптимальных в некотором смысле) линейных систем, которые также включают неравенства. Таким образом, системы линейных диофантовых уравнений являются базовыми в этом контексте, а учебники по целочисленному программированию обычно имеют трактовку систем линейных диофантовых уравнений.^[6]

Однородные уравнения

Однородное диофантово уравнение - это диофантово уравнение, которое определяется однородный многочлен. Типичным таким уравнением является уравнение Последняя теорема Ферма

${ displaystyle x ^ {d} + y ^ {d} -z ^ {d} = 0.}$

Как однородный многочлен от п undeterminates определяет гиперповерхность в проективное пространство измерения п – 1, решение однородного диофантова уравнения аналогично нахождению рациональные точки проективной гиперповерхности.

Решение однородного диофантова уравнения, как правило, является очень сложной задачей даже в простейшем нетривиальном случае трех неопределенных (в случае двух неопределенных проблема эквивалентна проверке, если Рациональное число это d-я степень другого рационального числа). Свидетельством сложности проблемы является Великая теорема Ферма (для d > 2, не существует целочисленного решения вышеуказанного уравнения), на решение которого математики потратили более трех столетий усилий.

Для степеней выше трех наиболее известными результатами являются теоремы, утверждающие, что решений не существует (например, Великая теорема Ферма) или что число решений конечно (например, Теорема Фальтинга ).

Для третьей степени существуют общие методы решения, которые работают почти со всеми уравнениями, встречающимися на практике, но не известен алгоритм, который работал бы для каждого кубического уравнения.^{[нужна цитата ]}

Степень два

Однородные диофантовы уравнения второй степени решить проще. Стандартный метод решения состоит из двух шагов. Сначала нужно найти одно решение или доказать, что решения нет. Когда решение найдено, выводятся все решения.

Для доказательства отсутствия решения можно сократить уравнение по модулю п. Например, диофантово уравнение

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 3z ^ {2},}$

не имеет другого решения, кроме тривиального решения (0, 0, 0). Фактически, разделив Икс, у и z по их наибольший общий делитель, можно предположить, что они совмещать. Квадраты по модулю 4 сравнимы с 0 и 1. Таким образом, левая часть уравнения конгруэнтна 0, 1 или 2, а правая часть конгруэнтна 0 или 3. Таким образом, равенство может быть получено только если Икс, у и z все четны и, следовательно, не взаимно просты. Таким образом, единственное решение - это тривиальное решение (0, 0, 0). Это показывает, что нет рациональная точка на круг радиуса ${ displaystyle { sqrt {3}},}$ с центром в начале координат.

В более общем смысле, Принцип Хассе позволяет решить, имеет ли однородное диофантово уравнение степени два целочисленное решение, и вычислить решение, если оно существует.

Если известно нетривиальное целочисленное решение, все остальные решения можно получить следующим образом.

Геометрическая интерпретация

Позволять

${ Displaystyle Q (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0}$

- однородное диофантово уравнение, где ${ Displaystyle Q (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ это квадратичная форма (то есть однородный многочлен степени 2) с целыми коэффициентами. В простое решение это решение, в котором все ${ displaystyle x_ {i}}$ равны нулю. Если ${ Displaystyle (а_ {1}, ldots, а_ {п})}$ является нетривиальным целочисленным решением этого уравнения, то ${ displaystyle left (a_ {1}, ldots, a_ {n} right)}$ являются однородные координаты из рациональная точка гиперповерхности, определяемой Q. Наоборот, если ${ displaystyle left ({ frac {p_ {1}} {q}}, ldots, { frac {p_ {n}} {q}} right)}$ - однородные координаты рациональной точки этой гиперповерхности, где ${ displaystyle q, p_ {1}, ldots, p_ {n}}$ целые числа, тогда ${ displaystyle left (p_ {1}, ldots, p_ {n} right)}$ является целочисленным решением диофантова уравнения. Более того, все целочисленные решения, определяющие данную рациональную точку, представляют собой последовательности вида

${ displaystyle left (к { гидроразрыва {p_ {1}} {d}}, ldots, k { frac {p_ {n}} {d}} right),}$

куда k любое целое число, и d является наибольшим общим делителем ${ displaystyle p_ {1}.}$

Отсюда следует, что решение диофантова уравнения ${ Displaystyle Q (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0}$ полностью сводится к нахождению рациональных точек соответствующей проективной гиперповерхности.

Параметризация

Пусть сейчас ${ displaystyle A = left (a_ {1}, ldots, a_ {n} right)}$ - целочисленное решение уравнения ${ displaystyle Q (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0.}$ В качестве Q - многочлен второй степени, прямая, проходящая через А пересекает гиперповерхность в одной другой точке, которая является рациональной тогда и только тогда, когда линия рациональна (то есть, если линия определяется рациональными параметрами). Это позволяет параметризовать гиперповерхность линиями, проходящими через А, а рациональные точки - это те, которые получены из рациональных линий, то есть те, которые соответствуют рациональным значениям параметров.

Точнее, можно поступить следующим образом.

Переставляя индексы, можно без ограничения общности предположить, что ${ displaystyle a_ {n} neq 0.}$ Тогда можно перейти к аффинному случаю, рассматривая аффинная гиперповерхность определяется

${ Displaystyle q (x_ {1}, ldots, x_ {n-1}) = Q (x_ {1}, ldots, x_ {n-1}, 1),}$

который имеет рациональную точку

${ displaystyle R = (r_ {1}, ldots, r_ {n-1}) = left ({ frac {a_ {1}} {a_ {n}}}, ldots, { frac {a_) {n-1}} {a_ {n}}} right).}$

Если эта рациональная точка особая точка, то есть если все частные производные равны нулю в р, все строки, проходящие через р содержатся в гиперповерхности, и конус. Замена переменных

${ displaystyle y_ {i} = x_ {i} -r_ {i}}$

не меняет рациональных точек и преобразует q в однородный многочлен от п – 1 переменные. В этом случае проблема может быть решена путем применения метода к уравнению с меньшим количеством переменных.

Если многочлен q является произведением линейных многочленов (возможно, с нерациональными коэффициентами), то он определяет два гиперплоскости. Пересечение этих гиперплоскостей является рациональным плоский, и содержит рациональные особые точки. Таким образом, этот случай является частным случаем предыдущего.

В общем случае рассмотрим параметрическое уравнение линии, проходящей через р:

${ displaystyle { begin {align} x_ {2} & = r_ {2} + t_ {2} (x_ {1} -r_ {1}) vdots & x_ {n-1} & = r_ {n-1} + t_ {n-1} (x_ {1} -r_ {1}). end {align}}}$

Подставив это в q, получается полином второй степени от ${ displaystyle x_ {1},}$ это ноль для ${ displaystyle x_ {1} = r_ {1}.}$ Таким образом, он делится на ${ displaystyle x_ {1} -r_ {1},}$. Фактор линейен по ${ displaystyle x_ {1},}$ и может быть решена для выражения ${ displaystyle x_ {1}}$ как частное двух многочленов степени не выше двух от ${ displaystyle t_ {2}, ldots, t_ {n-1},}$ с целыми коэффициентами:

${ displaystyle x_ {1} = { frac {f_ {1} (t_ {2}, ldots, t_ {n-1})} {f_ {n} (t_ {2}, ldots, t_ {n -1})}}.}$

Подставляя это в выражения для ${ displaystyle x_ {2}, ldots, x_ {n-1},}$ один получает, для я = 1, ..., п – 1,

${ displaystyle x_ {i} = { frac {f_ {i} (t_ {2}, ldots, t_ {n-1})} {f_ {n} (t_ {2}, ldots, t_ {n) -1})}},}$

куда ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {n}}$ являются многочленами степени не выше двух с целыми коэффициентами.

Затем можно вернуться к однородному случаю. Пусть для я = 1, ..., п,

${ displaystyle F_ {i} (t_ {1}, ldots, t_ {n-1}) = t_ {1} ^ {2} f_ {i} left ({ frac {t_ {2}} {t_ {1}}}, ldots, { frac {t_ {n-1}} {t_ {1}}} right),}$

быть гомогенизация из ${ displaystyle f_ {i}.}$ Эти квадратичные полиномы с целыми коэффициентами образуют параметризацию проективной гиперповерхности, определяемой формулой Q:

${ displaystyle { begin {align} x_ {1} & = F_ {1} (t_ {1}, ldots, t_ {n-1}) vdots & x_ {n} & = F_ { n} (t_ {1}, ldots, t_ {n-1}). end {align}}}$

Точка проективной гиперповерхности, определяемая формулой Q рационально тогда и только тогда, когда оно может быть получено из рациональных значений ${ displaystyle t_ {1}, ldots, t_ {n-1}.}$ В качестве ${ Displaystyle F_ {1}, ldots, F_ {n}}$ однородные многочлены, точка не меняется, если все ${ displaystyle t_ {i}}$ умножаются на одно и то же рациональное число. Таким образом, можно предположить, что ${ displaystyle t_ {1}, ldots, t_ {n-1}}$ находятся взаимно простые целые числа. Отсюда следует, что целочисленные решения диофантова уравнения - это в точности последовательности ${ displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ где, для я = 1, ..., п,

${ displaystyle x_ {i} = k , { frac {F_ {i} (t_ {1}, ldots, t_ {n-1})} {d}},}$

куда k целое число, ${ Displaystyle т_ {1}, ldots, т_ {п-1}}$ взаимно простые целые числа, и d является наибольшим общим делителем п целые числа ${ displaystyle F_ {i} (t_ {1}, ldots, t_ {n-1}).}$

Можно было надеяться, что совпадение ${ displaystyle t_ {i}}$ может означать, что d = 1. К сожалению, это не так, как показано в следующем разделе.

Пример троек Пифагора

Уравнение

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 0}$

вероятно, первое изученное однородное диофантово уравнение степени два. Его решения - это Пифагорейские тройки. Это тоже однородное уравнение единичный круг. В этом разделе мы покажем, как указанный выше метод позволяет получать Формула евклида для генерации пифагоровых троек.

Чтобы получить точную формулу Евклида, мы начнем с решения (-1, 0, 1), соответствующий точке (-1, 0) единичной окружности. Линия, проходящая через эту точку, может быть параметризована своим наклоном:

${ displaystyle y = t (x + 1).}$

Помещая это в уравнение круга

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0,}$

один получает

${ displaystyle x ^ {2} -1 + t ^ {2} (x + 1) ^ {2} = 0.}$

Деление на Икс + 1, приводит к

${ Displaystyle х-1 + т ^ {2} (х + 1) = 0,}$

который легко решить в Икс:

${ displaystyle x = { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}.}$

Следует

${ displaystyle y = t (x + 1) = { frac {2t} {1 + t ^ {2}}}.}$

Гомогенизируя, как описано выше, все решения получают как

${ displaystyle { begin {align} x & = k , { frac {s ^ {2} -t ^ {2}} {d}} y & = k , { frac {2st} {d} } z & = k , { frac {s ^ {2} + t ^ {2}} {d}}, end {align}}}$

куда k любое целое число, s и т взаимно простые целые числа, и d является наибольшим общим делителем трех числителей. Фактически, d = 2 если s и т оба нечетные, и d = 1 если один нечетный, а другой четный.

В примитивные тройки решения, где k = 1 и s > т > 0.

Это описание решений немного отличается от формулы Евклида, поскольку формула Евклида рассматривает только такие решения, что Икс, у и z все положительны, и не различает две тройки, различающиеся заменой Икс и у,

Диофантов анализ

Типичные вопросы

Вопросы, задаваемые при диофантовом анализе, включают:

1. Есть какие-нибудь решения?
2. Есть ли какие-либо решения помимо тех, которые легко найти осмотр ?
3. Есть ли конечно или бесконечно много решений?
4. Можно ли теоретически найти все решения?
5. Можно ли на практике вычислить полный список решений?

Эти традиционные проблемы часто оставались нерешенными на протяжении веков, и математики постепенно приходили к пониманию их глубины (в некоторых случаях), вместо того, чтобы рассматривать их как головоломки.

Типичная проблема

Приведенная информация заключается в том, что возраст отца на 1 год меньше, чем его сын, и что цифры AB возраст отца меняется на противоположный в возрасте сына (т. е. BA). Это приводит к уравнению 10А + B = 2(10B + А) − 1, таким образом 19B − 8А = 1. Осмотр дает результат А = 7, B = 3, и поэтому AB равняется 73 годам и BA равно 37 годам. Легко показать, что другого решения с А и B целые положительные числа меньше 10.

Многие известные головоломки в области развлекательная математика приводят к диофантовым уравнениям. Примеры включают Проблема с пушечным ядром, Проблема архимеда о скоте и Обезьяна и кокосы.

17 и 18 веков

В 1637 г. Пьер де Ферма нацарапал на полях его копии Арифметика: «Невозможно разделить куб на два куба, или четвертую степень на две четвертых, или вообще любую степень выше второй на две одинаковые степени». Говоря более современным языком: «Уравнение а^п + б^п = c^п не имеет решений ни для каких п выше 2. "После этого он написал:" Я обнаружил поистине изумительное доказательство этого утверждения, которое на этом поле слишком мало, чтобы вместить его ". Однако такое доказательство ускользало от математиков на протяжении веков, и как таковое его утверждение стало известным в качестве Последняя теорема Ферма. Только в 1995 году это было доказано британским математиком. Эндрю Уайлс.

В 1657 году Ферма попытался решить диофантово уравнение 61Икс² + 1 = у² (решено Брахмагупта более 1000 лет назад). Уравнение в конечном итоге было решено Эйлер в начале 18 века, который также решил ряд других диофантовых уравнений. Наименьшее решение этого уравнения в натуральных числах есть Икс = 226153980, у = 1766319049 (видеть Метод чакравалы ).

Десятая проблема Гильберта

В 1900 г. Дэвид Гильберт предложил разрешимость всех диофантовых уравнений как десятый его фундаментальные проблемы. В 1970 г. Юрий Матиясевич решил это отрицательно, опираясь на работу Джулия Робинсон, Мартин Дэвис, и Хилари Патнэм доказать, что генерал алгоритм для решения всех диофантовых уравнений не может существовать.

Диофантова геометрия

Диофантова геометрия, который представляет собой применение техник из алгебраическая геометрия в этой области, в результате, продолжила расти; Поскольку рассмотрение произвольных уравнений - это тупик, внимание обращается на уравнения, которые также имеют геометрический смысл. Центральная идея диофантовой геометрии - идея рациональная точка, а именно решение полиномиального уравнения или система полиномиальных уравнений, который является вектором в заданном поле K, когда K является нет алгебраически замкнутый.

Современные исследования

Один из немногих общих подходов - использование Принцип Хассе. Бесконечный спуск - это традиционный метод, который уже давно получил широкое распространение.

Глубина изучения общих диофантовых уравнений демонстрируется характеристикой Диофантовы множества как эквивалентно описано как рекурсивно перечислимый. Другими словами, общая проблема диофантова анализа благословлена ​​или проклята универсальностью, и в любом случае это не что-то, что можно решить, кроме как переформулировать ее в других терминах.

Поле Диофантово приближение занимается случаями Диофантовы неравенства. Здесь переменные по-прежнему должны быть целыми, но некоторые коэффициенты могут быть иррациональными числами, а знак равенства заменен верхней и нижней границами.

Самый известный вопрос в этой области - догадка известный как Последняя теорема Ферма, был решено Эндрю Уайлсом,^[3] используя инструменты алгебраической геометрии, разработанные в прошлом веке, а не теорию чисел, в которой изначально была сформулирована гипотеза. Другие важные результаты, такие как Теорема Фальтингса, избавились от старых домыслов.

Бесконечные диофантовы уравнения

Пример бесконечного диофантова уравнения:

п = а² + 2б² + 3c² + 4d² + 5е² + …,

который можно выразить как "Сколько способов может заданное целое число п быть записанным как сумма квадрата плюс два квадрата плюс три квадрата и т. д.? »Количество способов, которыми это можно сделать для каждого п образует целочисленную последовательность. Бесконечные диофантовы уравнения связаны с тета-функции и бесконечномерные решетки. Это уравнение всегда имеет решение для любого положительного п. Сравните это с:

п = а² + 4б² + 9c² + 16d² + 25е² + …,

который не всегда имеет решение для положительного п.

Экспоненциальные диофантовы уравнения

Если диофантово уравнение имеет дополнительную переменную или переменные, встречающиеся как экспоненты, это экспоненциальное диофантово уравнение. Примеры включают Уравнение Рамануджана – Нагелла, 2^п − 7 = Икс², а уравнение Гипотеза Ферма-Каталонии и Гипотеза Била, а^м + б^п = c^k с ограничениями неравенства на показатели. Общая теория для таких уравнений отсутствует; частные случаи, такие как Гипотеза Каталана были решены. Однако большинство из них решаются специальными методами, такими как Теорема Стёрмера или даже методом проб и ошибок.

Смотрите также

• Kuṭṭaka, Арьябхата алгоритм решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными

Примечания

Рекомендации

• Морделл, Л. Дж. (1969). Диофантовы уравнения. Чистая и прикладная математика. 30. Академическая пресса. ISBN  0-12-506250-8. Zbl  0188.34503.
• Шмидт, Вольфганг М. (1991). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения. Конспект лекций по математике. 1467. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-54058-Х. Zbl  0754.11020.
• Shorey, T. N .; Тийдеман, Р. (1986). Экспоненциальные диофантовы уравнения. Кембриджские трактаты по математике. 87. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-26826-5. Zbl  0606.10011.
• Смарт, Найджел П. (1998). Алгоритмическое разрешение диофантовых уравнений. Тексты студентов Лондонского математического общества. 41. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-64156-X. Zbl  0907.11001.
• Стиллвелл, Джон (2004). Математика и ее история (Второе изд.). Springer Science + Business Media Inc. ISBN  0-387-95336-1.

дальнейшее чтение

• Башмакова, Изабелла Г. "Diophante et Fermat", Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), стр. 289-306
• Башмакова Изабелла Г. Диофант и диофантовы уравнения. М .: Наука, 1972. Немецкий перевод: Diophant und diophantische Gleichungen. Биркхаузер, Базель / Штутгарт, 1974. Английский перевод: Диофант и диофантовы уравнения. Переведено Эйбом Шеницером при поддержке редакции Харди Гранта и обновлено Джозефом Сильверманом. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия. 1997 г.
• Башмакова, Изабелла Г. »Арифметика алгебраических кривых от Диофанта до Пуанкаре ” Historia Mathematica 8 (1981), 393–416.
• Башмакова, Изабелла Г., Славутин Е.И. История диофантового анализа от Диофанта до Ферма. М .: Наука, 1984.
• Башмакова, Изабелла Г. "Диофантовы уравнения и эволюция алгебры", Переводы Американского математического общества 147 (2), 1990, стр. 85–100. Перевод А. Шеницера и Х. Гранта.
• Диксон, Леонард Юджин (2005) [1920]. История теории чисел. Том II: Диофантов анализ. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-44233-4. МИСТЕР  0245500. Zbl  1214.11002.
• Рашед, Рошди, Хузель, Кристиан. Les Arithmétiques de Diophante: Лекция по истории и математике, Берлин, Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер, 2013.
• Рашед, Рошди, Histoire de l’analyse diophantienne classique: D’Abū Kāmil à Fermat, Берлин, Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер.

внешняя ссылка

• Диофантово уравнение. Из MathWorld в Wolfram Research.
• «Диофантовы уравнения», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Онлайн-калькулятор Дарио Альперна. Проверено 18 марта 2009 г.