Теорема Аполлониуса - Википедия - Apolloniuss theorem

зеленые / синие области = красная область

Пифагор как частный случай:
зеленая область = красная область

В геометрия, Теорема Аполлония это теорема относящейся к длине медиана из треугольник к длине его сторон. В нем говорится, что «сумма квадратов любых двух сторон любого треугольника равна удвоенному квадрату на половине третьей стороны вместе с удвоенным квадратом на медиане, делящей пополам третью сторону».

Конкретно в любом треугольнике $ABC$ , если $ОБЪЯВЛЕНИЕ$ это медиана, то

{ displaystyle | AB | ^ {2} + | AC | ^ {2} = 2 (| AD | ^ {2} + | BD | ^ {2}).}

Это особый случай из Теорема Стюарта. Для равнобедренный треугольник с $| AB | = | AC |$ , медиана $ОБЪЯВЛЕНИЕ$ перпендикулярно $до н.э$ и теорема сводится к теорема Пифагора для треугольника $АБР$ (или треугольник $АЦП$ ). Из того, что диагонали параллелограмм делят друг друга пополам, теорема эквивалентна закон параллелограмма.

Теорема названа в честь древнегреческого математика. Аполлоний Пергский.

Доказательство

Доказательство теоремы Аполлония.

Теорема может быть доказана как частный случай теоремы Стюарта или может быть доказана с использованием векторов (см. закон параллелограмма ). Следующее - независимое доказательство, использующее закон косинусов.^[1]

Пусть у треугольника есть стороны $а, б, c$ со средним $d$ обращается в сторону $а$ . Позволять $м$ быть длиной сегментов $а$ формируется медианной, поэтому $м$ половина $а$ . Пусть углы образовались между $а$ и $d$ быть θ и θ ′, куда θ включает $б$ и θ ′ включает $c$ . потом θ ′ это дополнение θ и потому θ ′ = −cos θ. В закон косинусов за θ и θ ′ утверждает, что

{ displaystyle { begin {align} b ^ {2} & = m ^ {2} + d ^ {2} -2dm cos theta c ^ {2} & = m ^ {2} + d ^ {2} -2dm cos theta ' & = m ^ {2} + d ^ {2} + 2dm cos theta. , End {align}}}

Складываем первое и третье уравнения, чтобы получить

{ displaystyle b ^ {2} + c ^ {2} = 2 (m ^ {2} + d ^ {2})}

как требуется.

внешняя ссылка

Теорема Аполлония в PlanetMath.
Дэвид Б. Суровски: Высшая математика для старших классов. п. 27

[1] Годфри, Чарльз; Сиддонс, Артур Уорри (1908). Современная геометрия. University Press. п.20.

[1]

Теорема Аполлониуса - Википедия - Apolloniuss theorem

Доказательство

Рекомендации

внешняя ссылка