Квадратура параболы - The Quadrature of the Parabola

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Октябрь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Параболический сегмент.

Квадратура параболы (Греческий: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) - это трактат о геометрия, написано Архимед в 3 веке до нашей эры. Написано как письмо своему другу Досифей, в работе представлено 24 предложения по параболы, завершающееся доказательством того, что площадь параболического сегмента (область, ограниченная параболой и линия ) составляет 4/3 от определенного вписанный треугольник.

В утверждение проблемы использовали метод истощения. Архимед мог разбить эту область на бесконечное множество треугольники чьи районы образуют геометрическая прогрессия. Он вычисляет сумму полученных геометрическая серия, и доказывает, что это площадь параболического сегмента. Это представляет собой наиболее изощренное использование метода исчерпания в древней математике и оставалось непревзойденным до тех пор, пока не появились интегральное исчисление в 17 веке, на смену Квадратурная формула Кавальери.

Основная теорема

Архимед вписывает в данный параболический отрезок некий треугольник.

А параболический сегмент - область, ограниченная параболой и линией. Чтобы найти площадь параболического сегмента, Архимед рассматривает некий вписанный треугольник. Основание этого треугольника - данное аккорд параболы, а третья вершина - это такая точка параболы, что касательная к параболе в этой точке параллельна хорде. В соответствии с предложением 1 (Квадратура параболы) прямая из третьей вершины, проведенная параллельно оси, делит хорду на равные отрезки. Основная теорема утверждает, что площадь параболического сегмента равна 4/3 площади вписанного треугольника.

Структура текста

Архимед приводит два доказательства основной теоремы. Первый использует абстрактные механика, с Архимедом, утверждающим, что вес сегмента уравновесит вес треугольника, когда его помещают на соответствующий рычаг. Второе, более известное доказательство использует чистую геометрию, в частности метод истощения.

Из двадцати четырех предложений первые три цитируются без доказательства из Евклид с Элементы Conics (утерянная работа Евклида на конические секции ). Предложения четвертый и пятый устанавливают элементарные свойства параболы; предложения с шестого по семнадцатый дают механическое доказательство основной теоремы; предложения с восемнадцатого по двадцать четвертый представляют геометрическое доказательство.

Геометрическое доказательство

Рассечение параболического сегмента

Архимедово разбиение параболического отрезка на произвольное количество треугольников.

Основная идея доказательства - разбиение параболического отрезка на бесконечное количество треугольников, как показано на рисунке справа. Каждый из этих треугольников вписан в свой собственный параболический сегмент так же, как синий треугольник вписан в большой сегмент.

Площади треугольников

В предложениях с восемнадцатого по двадцать один Архимед доказывает, что площадь каждого зеленого треугольника составляет одну восьмую площади синего треугольника. С современной точки зрения, это потому, что зеленый треугольник имеет половину ширины и четверть высоты:^[1]

В более широком смысле, каждый из желтых треугольников имеет одну восьмую площади зеленого треугольника, каждый из красных треугольников имеет одну восьмую площади желтого треугольника и так далее. С использованием метод истощения, следует, что общая площадь параболического отрезка равна

${displaystyle {ext {Area}}; =; T, +, 2left ({frac {T} {8}} ight), +, 4left ({frac {T} {8 ^ {2}}} ight), + , 8left ({frac {T} {8 ^ {3}}} ight), +, cdots.}$

Здесь Т представляет площадь большого синего треугольника, второй член представляет общую площадь двух зеленых треугольников, третий член представляет общую площадь четырех желтых треугольников и так далее. Это упрощает предоставление

${displaystyle {ext {Area}}; =; left (1, +, {frac {1} {4}}, +, {frac {1} {16}}, +, {frac {1} {64}}) , +, cdots ight) T.}$

Сумма серии

Доказательство Архимеда, что 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/3

Чтобы завершить доказательство, Архимед показывает, что

${displaystyle 1, +, {frac {1} {4}}, +, {frac {1} {16}}, +, {frac {1} {64}}, +, cdots; =; {frac {4 } {3}}.}$

Приведенная выше формула представляет собой геометрическая серия - каждый последующий срок составляет одну четвертую от предыдущего срока. В современной математике эта формула является частным случаем формула суммы для геометрического ряда.

Архимед вычисляет сумму, используя полностью геометрический метод,^[2] проиллюстрировано на соседнем рисунке. На этой картинке изображен единичный квадрат, разбитый на бесконечное множество меньших квадратов. Каждый последующий фиолетовый квадрат имеет одну четвертую площади предыдущего квадрата, а общая фиолетовая площадь является суммой.

${displaystyle {frac {1} {4}}, +, {frac {1} {16}}, +, {frac {1} {64}}, +, cdots.}$

Однако фиолетовые квадраты соответствуют любому набору желтых квадратов и, таким образом, покрывают 1/3 площади единичного квадрата. Следовательно, сумма приведенного выше ряда составляет 4/3.

Смотрите также

• История исчисления

Примечания

дальнейшее чтение

• Айосе, Сандей и Роджер Нельсен (июнь 1994 г.). «Доказательство без слов: геометрические ряды». Математический журнал. 67 (3): 230. Дои:10.2307/2690617. JSTOR  2690617.
• Анкора, Лучано (2014). «Квадратура параболы с квадратным пирамидальным числом». Архимед. 66 (3).
• Брессуд, Дэвид М. (2006). Радикальный подход к реальному анализу (2-е изд.). Математическая ассоциация Америки. ISBN  0-88385-747-2..
• Dijksterhuis, E.J. (1987) "Архимед", Princeton U. Press ISBN  0-691-08421-1
• Эдвардс-младший, К. Х. (1994). Историческое развитие математического анализа (3-е изд.). Springer. ISBN  0-387-94313-7..
• Хит, Томас Л. (2011). Произведения Архимеда (2-е изд.). CreateSpace. ISBN  978-1-4637-4473-1.
• Симмонс, Джордж Ф. (2007). Исчисление драгоценных камней. Математическая ассоциация Америки. ISBN  978-0-88385-561-4..
• Штейн, Шерман К. (1999). Архимед: Чем он занимался, кроме «Плач Эврики»?. Математическая ассоциация Америки. ISBN  0-88385-718-9.
• Стиллвелл, Джон (2004). Математика и ее история (2-е изд.). Springer. ISBN  0-387-95336-1..
• Суэйн, Гордон и Томас Денс (апрель 1998 г.). "Квадратура Архимеда параболы снова и снова". Математический журнал. 71 (2): 123–30. Дои:10.2307/2691014. JSTOR  2691014.
• Уилсон, Алистер Макинтош (1995). Бесконечное в конечном. Oxford University Press. ISBN  0-19-853950-9..

внешняя ссылка

• Кассельман, Билл. "Квадратура Архимеда параболы". Полный текст в переводе Т.Л. Хит.
• Xavier University Кафедра математики и информатики. «Архимед Сиракузский». Текст предложений 1–3 и 20–24 с комментариями.
• http://planetmath.org/ArchimedesCalculus