Геометрическая серия - Geometric series

Каждый из фиолетовых квадратов имеет 1/4 площади следующего большего квадрата (1/2 ×1/2 = 1/4, 1/4 × 1/4 = 1/16 и т. Д.). Сумма площадей фиолетовых квадратов составляет одну треть площади большого квадрата.

Другой геометрический ряд (общий масштаб a = 4/9 и стандартное отношение r = 1/9) показан как области фиолетовых квадратов. Общая фиолетовая площадь равна S = a / (1 - r) = (4/9) / (1 - (1/9)) = 1/2, что можно подтвердить, наблюдая, что внешний квадрат разделен на бесконечные количество L-образных областей, каждая с четырьмя фиолетовыми квадратами и четырьмя желтыми квадратами, которые наполовину фиолетовые.

В математика, а геометрическая серия это серии с постоянным соотношением между последовательными термины. Например, сериал

${ displaystyle { frac {1} {2}} , + , { frac {1} {4}} , + , { frac {1} {8}} , + , { гидроразрыв {1} {16}} , + , cdots}$

является геометрическим, поскольку каждый последующий член может быть получен умножением предыдущего члена на 1/2.

Геометрические ряды являются одними из самых простых примеров бесконечная серия с конечными суммами, хотя не все из них обладают этим свойством. Исторически геометрические ряды играли важную роль в раннем развитии исчисление, и они по-прежнему занимают центральное место в изучении конвергенция серии. Геометрические ряды используются в математике и имеют важные приложения в физика, инженерное дело, биология, экономика, Информатика, теория массового обслуживания, и финансы.

Общее соотношение

Сходимость геометрического ряда с r = 1/2 и a = 1/2

Сходимость геометрического ряда с r = 1/2 и a = 1

Члены геометрического ряда образуют геометрическая прогрессия, что означает, что соотношение следующих друг за другом членов в ряду постоянно. Это соотношение позволяет представить геометрический ряд, используя только два члена, р и а. Период, термин р это обычное отношение, а а это первый член ряда. В качестве примера геометрический ряд, приведенный во введении,

${ displaystyle { frac {1} {2}} , + , { frac {1} {4}} , + , { frac {1} {8}} , + , { гидроразрыв {1} {16}} , + , cdots}$

можно просто записать как

${ Displaystyle а + ар + ар ^ {2} + ар ^ {3} + cdots}$ , с ${ displaystyle a = { frac {1} {2}}}$ и ${ displaystyle r = { frac {1} {2}}}$.

В следующей таблице показано несколько геометрических рядов с разными начальными членами и общими отношениями:

Поведение терминов зависит от общего отношения р:

Если р находится между -1 и +1, члены ряда стремятся к нулю в пределе (становятся все меньше и меньше в величина ), и ряд сходится к сумме. В случае выше, где р равен 1/2, ряд сходится к 1.

Если р является больше одного или же меньше чем минус один члены ряда становятся все больше и больше по величине. Сумма членов также становится все больше и больше, и в серии нет суммы. (Сериал расходится.)

Если р является равно одному, все термины серии такие же. Сериал расходится.

Если р является минус один члены принимают два значения поочередно (например, 2, −2, 2, −2, 2, ...). Сумма сроков колеблется между двумя значениями (например, 2, 0, 2, 0, 2, ...). Это другой тип дивергенции, и снова в серии нет суммы. См. Например Серия Гранди: 1 − 1 + 1 − 1 + ···.

Сумма

В сумма геометрического ряда конечно, пока абсолютное значение отношения меньше 1; когда числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на ряд, содержащий бесконечно много членов. Сумму можно вычислить с помощью самоподобие серии.

Пример

Визуальный вывод суммы бесконечных членов геометрического ряда

Рассмотрим сумму следующих геометрических рядов:

${ Displaystyle s ; = ; 1 , + , { frac {2} {3}} , + , { frac {4} {9}} , + , { frac {8 } {27}} , + , cdots.}$

Эта серия имеет общее отношение 2/3. Если мы умножим на это обычное соотношение, то начальная 1 станет 2/3, 2/3 станет 4/9 и так далее:

${ displaystyle { frac {2} {3}} s ; = ; { frac {2} {3}} , + , { frac {4} {9}} , + , { frac {8} {27}} , + , { frac {16} {81}} , + , cdots.}$

Эта новая серия такая же, как и оригинал, за исключением того, что отсутствует первый термин. Вычитание нового ряда (2/3)s из оригинальной серии s отменяет все термины в оригинале, кроме первого,

${ displaystyle s , - , { frac {2} {3}} s ; = ; 1, ; ; ; { mbox {so}} s = 3.}$

Подобный метод можно использовать для оценки любого самоподобный выражение.

Формула

Ниже приводится геометрический вывод формулы замкнутой формы для частного геометрического ряда S = r^м + г^{м + 1} + ... + г^п-1 + г^п когда m 1. Каждый член ряда r^я представлен площадью перекрывающегося квадрата области A_я которая может быть преобразована в неперекрывающуюся L-образную область L_я = А_я - А_я-1 или, что то же самое, L_{я + 1} = А_{я + 1} - А_я. Поскольку A_{я + 1} = r A_я. Следовательно, L_{я + 1} = А_{я + 1} - А_я = (г - 1) А_я, или A_я = L_{я + 1} / (г - 1).

Другими словами, каждый квадрат перекрывается, но может быть преобразован в неперекрывающуюся L-образную область в следующем большем квадрате (следующая степень r) и масштабирован на 1 / (r - 1), так что преобразование из перекрытого квадрата в неперекрывающийся квадрат -заблокированная L-образная область сохраняет ту же площадь. Следовательно, сумма S = A_м + А_{м + 1} + ... + А_п-1 + А_п = (L_{м + 1} + L_{м + 2} + ... + L_п + L_{п + 1}) / (г - 1). Обратите внимание, что неперекрывающиеся L-образные области от L-образной области n + 1 до L-образной области m + 1 являются разделом неперекрывающегося квадрата A_{п + 1} меньше верхнего правого квадрата A_м, потому что нет перекрывающихся меньших квадратов, которые можно было бы преобразовать в этот вырез области A_м. Следовательно, подставляя A_я = г^я и применяя общую шкалу a, получаем замкнутую форму S = (r^{п + 1} - р^м) a / (r - 1) при m 1.

Хотя в приведенном выше геометрическом доказательстве предполагается, что r> 1, можно показать, что та же формула закрытой формы применима к любому значению r, за возможным исключением r = 0 (в зависимости от того, как вы решите определить ноль в степени нуля ). Например, для случая r = 1, S = (1^{п + 1} - 1^м) a / (1 - 1) = 0 / 0. Однако, применяя Правило L'Hôpital приводит к S = (n + 1 - m) a, когда r = 1.

В случае 0 п + 1 - р^м) a / (r - 1), когда m 1, и пусть m = -∞ и n = 0, поэтому S = ar / (r - 1), когда r> 1. Деление числителя и знаменателя на r дает S = a / (1 - (1 / r)), когда r> 1, что эквивалентно S = a / (1 - r), когда 0
Диапазон 0 2) + a r / (1 - r²) = а (1 + г) / ((1 + г) (1 - г)) = а / (1 - г).

За ${ displaystyle r neq 1}$, то сумма первого п члены геометрического ряда является

${ displaystyle a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots + ar ^ {n-1} = sum _ {k = 0} ^ {n-1} ar ^ {k} = a left ({ frac {1-r ^ {n}} {1-r}} right),}$

куда а - первый член ряда, а р это обычное отношение. Можно вывести формулу суммы, s, следующее:

${ displaystyle { begin {align} s & = a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots + ar ^ {n-1}, rs & = ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots + ar ^ {n-1} + ar ^ {n}, s-rs & = a-ar ^ {n}, s (1-r) & = a (1 -r ^ {n}), s & = a left ({ frac {1-r ^ {n}} {1-r}} right) quad { text {(if}} r neq 1 { text {)}}. End {align}}}$

В качестве п уходит в бесконечность, абсолютное значение р должно быть меньше единицы, чтобы ряды сходились. Тогда сумма станет

${ displaystyle a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + ar ^ {4} + cdots = sum _ {k = 0} ^ { infty} ar ^ {k} = { frac {a} {1-r}}, { text {for}} | r | <1.}$

Когда а = 1, это можно упростить до

${ displaystyle 1 , + , r , + , r ^ {2} , + , r ^ {3} , + , cdots ; = ; { frac {1} {1 -р}},}$

левая часть представляет собой геометрический ряд с общим отношением р.

Формула верна и для комплексных р, с соответствующим ограничением модуль из р строго меньше единицы.

Доказательство сходимости

Можно доказать, что геометрический ряд сходится используя формулу суммы для геометрическая прогрессия:

${ displaystyle { begin {align} 1 + r + r ^ {2} + r ^ {3} + cdots & = lim _ {n rightarrow infty} left (1 + r + r ^ { 2} + cdots + r ^ {n} right) & = lim _ {n rightarrow infty} { frac {1-r ^ {n + 1}} {1-r}}. конец {выровнен}}}$

Поскольку (1 + р + р² + ... + р^п)(1−р)

= ((1-г) + (г - р²) + (р² - р³) + ... + (р^п - р^{п + 1}))

= ((1-r) + (г - р²) + (р² - р³) + ... + (р^п - р^{п + 1}))

= 1−р^п+1 и р^п+1 → 0 для |р | < 1.

Сходимость геометрических рядов также можно продемонстрировать, переписав ряд как эквивалентный телескопическая серия. Рассмотрим функцию,

${ displaystyle g (K) = { frac {r ^ {K}} {1-r}}.}$

Обратите внимание, что

${ Displaystyle 1 = г (0) -g (1) , r = g (1) -g (2) , r ^ {2} = g (2) -g (3) , ldots }$

Таким образом,

${ displaystyle S = 1 + r + r ^ {2} + r ^ {3} + cdots = (g (0) -g (1)) + (g (1) -g (2)) + (g (2) -g (3)) + cdots.}$

Если

${ Displaystyle | г | <1}$

тогда

${ displaystyle g (K) longrightarrow 0 { text {as}} K to infty.}$

Так S сходится к

${ displaystyle g (0) = { frac {1} {1-r}}.}$

Приложения

Повторяющиеся десятичные дроби

Повторяющуюся десятичную дробь можно представить себе как геометрический ряд, общее отношение которого равно степени 1/10. Например:

${ displaystyle 0.7777 ldots ; = ; { frac {7} {10}} , + , { frac {7} {100}} , + , { frac {7} {1000} } , + , { frac {7} {10000}} , + , cdots.}$

Формулу суммы геометрического ряда можно использовать для преобразования десятичной дроби в дробь,

${ displaystyle 0.7777 ldots ; = ; { frac {a} {1-r}} ; = ; { frac {7/10} {1-1 / 10}} ; = ; { frac {7/10} {9/10}} ; = ; { frac {7} {9}}.}$

Формула работает не только для одной повторяющейся фигуры, но и для повторяющейся группы фигур. Например:

${ displaystyle 0.123412341234 ldots ; = ; { frac {a} {1-r}} ; = ; { frac {1234/10000} {1-1 / 10000}} ; = ; { frac {1234/10000} {9999/10000}} ; = ; { frac {1234} {9999}}.}$

Обратите внимание, что каждую серию повторяющихся последовательных десятичных знаков можно удобно упростить следующим образом:

${ displaystyle 0.09090909 ldots ; = ; { frac {09} {99}} ; = ; { frac {1} {11}}.}$

${ displaystyle 0.143814381438 ldots ; = ; { frac {1438} {9999}}.}$

${ displaystyle 0.9999 ldots ; = ; { frac {9} {9}} ; = ; 1.}$

То есть повторяющаяся десятичная дробь с длиной повтора п равно частному повторяющейся части (как целое число) и 10^п - 1.

Квадратура архимеда параболы

Архимедовское разложение параболического отрезка на бесконечное число треугольников

Архимед использовали сумму геометрического ряда для вычисления площади, заключенной парабола и прямая линия. Его метод заключался в том, чтобы разрезать область на бесконечное количество треугольников.

Теорема Архимеда утверждает, что общая площадь под параболой составляет 4/3 площади синего треугольника.

Архимед определил, что каждый зеленый треугольник имеет 1/8 площади синего треугольника, каждый желтый треугольник имеет 1/8 площади зеленого треугольника и так далее.

Предполагая, что синий треугольник имеет площадь 1, общая площадь представляет собой бесконечную сумму:

${ displaystyle 1 , + , 2 left ({ frac {1} {8}} right) , + , 4 left ({ frac {1} {8}} right) ^ { 2} , + , 8 left ({ frac {1} {8}} right) ^ {3} , + , cdots.}$

Первый член представляет площадь синего треугольника, второй член - площади двух зеленых треугольников, третий член - площади четырех желтых треугольников и т. Д. Упрощение дробей дает

${ displaystyle 1 , + , { frac {1} {4}} , + , { frac {1} {16}} , + , { frac {1} {64}} , + , cdots.}$

Это геометрический ряд с обычным отношением 1/4 а дробная часть равна

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} 4 ^ {- n} = 1 + 4 ^ {- 1} +4 ^ {- 2} +4 ^ {- 3} + cdots = { 4 более 3}.}$

Сумма

${ displaystyle { frac {1} {1-r}} ; = ; { frac {1} {1 - { frac {1} {4}}}} ; = ; { frac { 4} {3}}.}$

Это вычисление использует метод истощения, ранняя версия интеграция. С помощью исчисление, ту же площадь можно найти определенный интеграл.

Фрактальная геометрия

Интерьер Коха снежинка представляет собой объединение бесконечного числа треугольников.

При изучении фракталы, геометрические ряды часто возникают как периметр, площадь, или же объем из самоподобный фигура.

Например, область внутри Коха снежинка можно описать как объединение бесконечно многих равносторонние треугольники (см. рисунок). Каждая сторона зеленого треугольника составляет ровно 1/3 размера стороны большого синего треугольника и, следовательно, имеет ровно 1/9 площади. Точно так же каждый желтый треугольник имеет 1/9 площади зеленого треугольника и так далее. Принимая синий треугольник за единицу площади, общая площадь снежинки равна

${ displaystyle 1 , + , 3 left ({ frac {1} {9}} right) , + , 12 left ({ frac {1} {9}} right) ^ { 2} , + , 48 left ({ frac {1} {9}} right) ^ {3} , + , cdots.}$

Первый член этого ряда представляет площадь синего треугольника, второй член - общую площадь трех зеленых треугольников, третий член - общую площадь двенадцати желтых треугольников и так далее. За исключением начальной 1, этот ряд геометрический с постоянным соотношением р = 4/9. Первый член геометрического ряда равен а = 3 (1/9) = 1/3, поэтому сумма равна

${ displaystyle 1 , + , { frac {a} {1-r}} ; = ; 1 , + , { frac { frac {1} {3}} {1 - { frac {4} {9}}}} ; = ; { frac {8} {5}}.}$

Таким образом, снежинка Коха занимает 8/5 площади основного треугольника.

Парадоксы Зенона

Сходимость геометрического ряда показывает, что сумма, содержащая бесконечное число слагаемых, действительно может быть конечной, и, таким образом, позволяет разрешить многие из Зенон парадоксы. Например, парадокс дихотомии Зенона утверждает, что движение невозможно, поскольку любой конечный путь можно разделить на бесконечное количество шагов, при этом каждый шаг равен половине оставшегося расстояния. Ошибка Зенона заключается в предположении, что сумма бесконечного числа конечных шагов не может быть конечной. Это, конечно, не так, о чем свидетельствует сходимость геометрического ряда с ${ displaystyle r = 1/2}$.

Это, однако, не полное разрешение парадокса дихотомии Зенона. Строго говоря, если мы не даем времени двигаться в обратном направлении, где размер шага начинается с ${ displaystyle r = 1/2}$ и приближается к нулю как предел, в противном случае этот бесконечный ряд должен был бы начинаться с бесконечно малого шага. Такое рассмотрение бесконечно малых величин обычно не является чем-то, что строго определяется математически, за пределами Нестандартное исчисление. Итак, хотя верно то, что все бесконечное суммирование дает конечное число, мы не можем создать простой порядок членов, начиная с бесконечно малого, и поэтому мы не можем адекватно описать первый шаг любого данного действия.

Евклид

Книга IX, Предложение 35^[1] из Евклида Элементы выражает частичную сумму геометрического ряда через элементы ряда. Это эквивалент современной формулы.

Экономика

В экономика, геометрические ряды используются для представления приведенная стоимость из рента (сумма, подлежащая выплате через определенные промежутки времени).

Например, предположим, что платеж в размере 100 долларов будет производиться владельцу аннуитета один раз в год (в конце года) в вечность. Получение 100 долларов через год будет меньше, чем немедленные 100 долларов, потому что нельзя вкладывать деньги деньги, пока их не получат. В частности, приведенная стоимость 100 долларов на один год в будущем составляет 100 долларов / (1 +${ displaystyle I}$ ), куда ${ displaystyle I}$ годовая процентная ставка.

Аналогичным образом, платеж в размере 100 долларов через два года в будущем имеет приведенную стоимость 100 долларов / (1 +${ displaystyle I}$)² (в квадрате, потому что проценты за два года потеряны из-за того, что деньги не поступят прямо сейчас). Следовательно, приведенная стоимость получения 100 долларов в год бессрочно составляет

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { $ 100} {(1 + I) ^ {n}}},}$

что представляет собой бесконечную серию:

${ displaystyle { frac { $ 100} {(1 + I)}} , + , { frac { $ 100} {(1 + I) ^ {2}}} , + , { frac { $ 100} {(1 + I) ^ {3}}} , + , { frac { $ 100} {(1 + I) ^ {4}}} , + , cdots.}$

Это геометрический ряд со знаменателем 1 / (1 +${ displaystyle I}$ ). Сумма - это первое слагаемое, деленное на (единица минус обычное отношение):

${ displaystyle { frac { $ 100 / (1 + I)} {1-1 / (1 + I)}} ; = ; { frac { $ 100} {I}}.}$

Например, если годовая процентная ставка составляет 10% (${ displaystyle I}$ = 0,10), то приведенная стоимость всей аннуитета составляет 100 долларов / 0,10 = 1000 долларов.

Такой вид вычислений используется для вычисления APR кредита (например, ипотечный заем ). Его также можно использовать для оценки приведенной стоимости ожидаемых дивиденды по акциям, или конечная стоимость из безопасность.

Геометрический степенной ряд

Формула геометрического ряда

${ displaystyle { frac {1} {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + cdots}$

можно интерпретировать как степенной ряд в Теорема Тейлора смысл, сходящийся где ${ Displaystyle | х | <1}$. Отсюда можно экстраполировать и получить другой степенной ряд. Например,

${ Displaystyle { begin {align} tan ^ {- 1} (x) & = int { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} & = int { frac {dx } {1 - (- x ^ {2})}} & = int left (1+ left (-x ^ {2} right) + left (-x ^ {2} right) ^ {2} + left (-x ^ {2} right) ^ {3} + cdots right) dx & = int left (1-x ^ {2} + x ^ {4} -x ^ {6} + cdots right) dx & = x - { frac {x ^ {3}} {3}} + { frac {x ^ {5}} {5}} - { frac {x ^ {7}} {7}} + cdots & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1 }} x ^ {2n + 1}. end {выравнивается}}}$

Дифференцируя геометрический ряд, получаем вариант^[2]

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} nx ^ {n-1} = { frac {1} {(1-x) ^ {2}}} quad { text {for} } | x | <1.}$

Аналогичным образом получаются:

${ displaystyle sum _ {n = 2} ^ { infty} n (n-1) x ^ {n-2} = { frac {2} {(1-x) ^ {3}}} quad { text {for}} | x | <1,}$ и

${ Displaystyle сумма _ {п = 3} ^ { infty} п (п-1) (п-2) х ^ {п-3} = { гидроразрыва {6} {(1-х) ^ {4 }}} quad { text {for}} | x | <1.}$

Смотрите также

• 0.999... - Альтернативное десятичное расширение числа 1
• Асимптота - В геометрии предел касательной в точке, стремящейся к бесконечности
• Расходящиеся геометрические серии
• Обобщенная гипергеометрическая функция
• Геометрическая прогрессия
• Серия Неймана
• Соотношение тест
• Корневой тест
• Серии (математика) - Бесконечная сумма

Определенная геометрическая серия

• Серия Гранди: 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
• Геометрический ряд является единичным рядом (сумма ряда сходится к единице) тогда и только тогда, когда | r | <1 и a + r = 1 (эквивалент более знакомой формы S = a / (1-r) = 1, когда | r | <1). Следовательно, чередующийся ряд также является единичной серией, когда -1
• Члены геометрического ряда также являются членами обобщенного Последовательность Фибоначчи (F_п = F_п-1 + F_п-2 но без требования F₀ = 0 и F₁ = 1), когда знаменатель геометрического ряда r удовлетворяет ограничению 1 + r = r², что согласно квадратичная формула когда обычное отношение r равно Золотое сечение (т. е. обычное отношение r = (1 ± √5) / 2).
• Единственный геометрический ряд, который является единичным рядом и также имеет члены обобщенного Последовательность Фибоначчи имеет Золотое сечение как его общая шкала а и сопряженная Золотое сечение как его обыкновенное отношение r (т.е. a = (1 + √5) / 2 и r = (1 - √5) / 2). Это единичный ряд, потому что a + r = 1 и | r | <1, это обобщенная Последовательность Фибоначчи потому что 1 + r = r², и это чередующийся ряд потому что r <0.

Рекомендации

внешняя ссылка

• «Геометрическая прогрессия», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Геометрическая серия». MathWorld.
• Геометрическая серия в PlanetMath.
• Пеппард, Ким. "Учебник по алгебре геометрических последовательностей и рядов в колледже". Западный Техасский университет A&M.
• Кассельман, Билл. «Геометрическая интерпретация геометрического ряда». Архивировано из оригинал (Аплет) 29 сентября 2007 г.
• «Геометрическая серия» Майкл Шрайбер, Вольфрам Демонстрационный проект, 2007.