Интеграл обратных функций - Википедия - Integral of inverse functions

В математика, интегралы из обратные функции можно вычислить с помощью формулы, которая выражает первообразные обратного ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ из непрерывный и обратимая функция ${ displaystyle f}$, с точки зрения ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ и первообразная ${ displaystyle f}$. Эта формула была опубликована в 1905 г. Шарль-Анж Лезан.^[1]

Формулировка теоремы

Позволять ${ displaystyle I_ {1}}$ и ${ displaystyle I_ {2}}$ быть двумя интервалы из ${ Displaystyle mathbb {R}}$. Предположить, что ${ displaystyle f: I_ {1} to I_ {2}}$ - непрерывная и обратимая функция. Это следует из теорема о промежуточном значении который ${ displaystyle f}$ является строго монотонный. Как следствие, ${ displaystyle f}$ отображает интервалы в интервалы, так что это открытое отображение и, следовательно, гомеоморфизм. С ${ displaystyle f}$ и обратная функция ${ displaystyle f ^ {- 1}: I_ {2} to I_ {1}}$ непрерывны, у них есть первообразные по основная теорема исчисления.

Лайзан доказал, что если ${ displaystyle F}$ является первообразной от ${ displaystyle f}$, то первообразные ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ находятся:

${ displaystyle int f ^ {- 1} (y) , dy = yf ^ {- 1} (y) -F circ f ^ {- 1} (y) + C,}$

куда ${ displaystyle C}$ - произвольное действительное число. Обратите внимание, что не предполагается, что ${ displaystyle f ^ {- 1}}$дифференцируема.

Иллюстрация теоремы

В своей статье 1905 года Лайзан приводит три доказательства. Во-первых, при дополнительной гипотезе, что ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ является дифференцируемый, можно дифференцировать приведенную выше формулу, что немедленно завершает доказательство. Его второе доказательство было геометрическим. Если ${ Displaystyle f (а) = с}$ и ${ Displaystyle f (b) = d}$, теорему можно записать:

${ displaystyle int _ {c} ^ {d} f ^ {- 1} (y) , dy + int _ {a} ^ {b} f (x) , dx = bd-ac.}$

Фигура справа - это доказательство без слов этой формулы. Лейсан не обсуждает гипотезы, необходимые для того, чтобы сделать это доказательство строгим, но это можно доказать, если ${ displaystyle f}$ предполагается только строго монотонным (не обязательно непрерывным, не говоря уже о дифференцируемом). В этом случае оба ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ интегрируемы по Риману, и тождество следует из биекции между нижним и верхним Суммы Дарбу из ${ displaystyle f}$ и верхняя / нижняя суммы Дарбу ${ displaystyle f ^ {- 1}}$.^[2][3] Тогда первообразная версия теоремы следует из основной теоремы исчисления в случае, когда ${ displaystyle f}$ также предполагается непрерывным. Третье доказательство Лайзана использует дополнительную гипотезу, что ${ displaystyle f}$ дифференцируема. Начиная с ${ Displaystyle е ^ {- 1} (е (х)) = х}$, один умножается на ${ displaystyle f '(x)}$ и объединяет обе стороны. Правая часть вычисляется путем интегрирования по частям, чтобы ${ Displaystyle xf (x) - textstyle int f (x) , dx}$, и формула следует.

Тем не менее можно показать, что эта теорема верна, даже если ${ displaystyle f}$ или же ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ не дифференцируема:^[3][4] достаточно, например, использовать интеграл Стилтьеса в предыдущем рассуждении. С другой стороны, хотя общие монотонные функции дифференцируемы почти всюду, доказательство общей формулы не следует, если только ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ является абсолютно непрерывный.^[4]

Также можно проверить, что для каждого ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle I_ {2}}$, производная функции ${ displaystyle y to yf ^ {- 1} (y) -F (f ^ {- 1} (y))}$ равно ${ displaystyle f ^ {- 1} (у)}$.^{[нужна цитата ]} Другими словами:

${ displaystyle forall x in I_ {1} quad lim _ {h to 0} { frac {(x + h) f (x + h) -xf (x) - left (F (x + h) -F (x) right)} {f (x + h) -f (x)}} = x.}$

Для этого достаточно применить теорема о среднем значении к ${ displaystyle F}$ между ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle x + h}$, учитывая, что ${ displaystyle f}$ монотонный.

Примеры

1. Предположить, что ${ Displaystyle е (х) = ехр (х)}$, следовательно ${ displaystyle f ^ {- 1} (y) = ln (y).}$ Приведенная выше формула сразу дает
   ${ Displaystyle quad int ln (y) , dy = y ln (y) -y + C.}$
2. Аналогично с ${ Displaystyle е (х) = соз (х)}$ и ${ displaystyle f ^ {- 1} (y) = arccos (y),}$
   ${ displaystyle quad int arccos (y) , dy = y arccos (y) - sin ( arccos (y)) + C.}$
3. С ${ Displaystyle е (х) = загар (х)}$ и ${ displaystyle f ^ {- 1} (y) = arctan (y),}$
   ${ displaystyle quad int arctan (y) , dy = y arctan (y) + ln | cos ( arctan (y)) | + C.}$

История

По-видимому, эту теорему интегрирования впервые открыл в 1905 г. Шарль-Анж Лезан,^[1] кто «с трудом мог поверить в то, что эта теорема новая», и надеялся, что отныне ее использование распространится среди студентов и учителей. Этот результат был независимо опубликован в 1912 году итальянским инженером Альберто Каприлли в опуске под названием «Nuove formole d'integrazione».^[5] Он был заново открыт в 1955 году Паркером,^[6] и рядом математиков, следующих за ним.^[7] Тем не менее, все они предполагают, что ж или же ж⁻¹ является дифференцируемый. Общая версия теорема, свободный от этого дополнительного предположения, был предложен Майклом Спиваком в 1965 году в качестве упражнения в Исчисление,^[2] и довольно полное доказательство в том же духе было опубликовано Эриком Ки в 1994 году.^[3]Это доказательство опирается на само определение Интеграл Дарбу, и состоит в том, чтобы показать, что верхняя Суммы Дарбу функции ж находятся в соответствии 1-1 с нижними суммами Дарбу ж⁻¹. В 2013 году Майкл Бенсимхаун, оценив, что общая теорема еще недостаточно известна, привел еще два доказательства:^[4] Второе доказательство, основанное на Интеграл Стилтьеса и на его формулах интеграция по частям и из гомеоморфный замена переменных, является наиболее подходящим для создания более сложных формул.

Обобщение на голоморфные функции

Приведенная выше теорема очевидным образом обобщается на голоморфные функции: пусть ${ displaystyle U}$ и ${ displaystyle V}$ быть двумя открытыми и односвязными наборами ${ displaystyle mathbb {C}}$, и предположим, что ${ displaystyle f: U to V}$ это биголоморфизм. потом ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ есть первообразные, и если ${ displaystyle F}$ является первообразной от ${ displaystyle f}$, общая первообразная ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ является

${ Displaystyle G (z) = zf ^ {- 1} (z) -F circ f ^ {- 1} (z) + C.}$

Поскольку все голоморфные функции дифференцируемы, доказательство немедленно проводится комплексным дифференцированием.

Смотрите также

• Интеграция по частям
• Превращение Лежандра
• Неравенство Юнга для продуктов

Рекомендации