Геометрическое исчисление - Википедия - Geometric calculus

В математика, геометрическое исчисление расширяет геометрическая алгебра включать дифференциация и интеграция. Этот формализм мощен и, как можно показать, охватывает другие математические теории, включая дифференциальная геометрия и дифференциальные формы.^[1]

Дифференциация

Для данной геометрической алгебры пусть ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ быть векторов и разреши ${ displaystyle F}$ быть многовекторный -значная функция вектора. В производная по направлению из ${ displaystyle F}$ вдоль ${ displaystyle b}$ в ${ displaystyle a}$ определяется как

${ displaystyle ( nabla _ {b} F) (a) = lim _ { epsilon rightarrow 0} { frac {F (a + epsilon b) -F (a)} { epsilon}},}$

при условии, что лимит существует для всех ${ displaystyle b}$, где берется предел для скалярных ${ displaystyle epsilon}$. Это похоже на обычное определение производной по направлению, но расширяет его на функции, которые не обязательно являются скалярными.

Затем выберите набор базисные векторы ${ Displaystyle {е_ {я} }}$ и рассмотрим операторы, обозначенные ${ displaystyle partial _ {я}}$, которые совершают производные по направлениям ${ displaystyle e_ {i}}$:

${ displaystyle partial _ {i}: F mapsto (x mapsto ( nabla _ {e_ {i}} F) (x)).}$

Затем, используя Обозначение суммирования Эйнштейна, рассмотрим оператора:

${ displaystyle e ^ {i} partial _ {i},}$

что значит

${ Displaystyle F mapsto е ^ {я} partial _ {я} F,}$

где геометрическое произведение нанесено после производной по направлению. Более подробно:

${ displaystyle F mapsto (x mapsto e ^ {i} ( nabla _ {e_ {i}} F) (x)).}$

Этот оператор не зависит от выбора кадра и, таким образом, может использоваться для определения геометрическая производная:

${ displaystyle nabla = e ^ {i} partial _ {i}.}$

Это похоже на обычное определение градиент, но он также распространяется на функции, которые не обязательно являются скалярными.

Производная по направлению линейна относительно своего направления, то есть:

${ displaystyle nabla _ { alpha a + beta b} = alpha nabla _ {a} + beta nabla _ {b}.}$

Из этого следует, что производная по направлению является внутренним произведением ее направления на геометрическую производную. Все, что нужно соблюдать, - это то, что направление ${ displaystyle a}$ можно написать ${ Displaystyle а = (а cdot е ^ {я}) е_ {я}}$, так что:

${ displaystyle nabla _ {a} = nabla _ {(a cdot e ^ {i}) e_ {i}} = (a cdot e ^ {i}) nabla _ {e_ {i}} = a cdot (e ^ {i} nabla _ {e_ {i}}) = a cdot nabla.}$

По этой причине, ${ displaystyle nabla _ {a} F (x)}$ часто отмечается ${ Displaystyle а cdot набла F (х)}$.

Стандарт порядок действий поскольку геометрическая производная заключается в том, что она действует только на ближайшую справа от нее функцию. Учитывая две функции ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$, то, например, имеем

${ Displaystyle nabla FG = ( nabla F) G.}$

Правило продукта

Хотя частная производная показывает правило продукта, геометрическая производная наследует это свойство лишь частично. Рассмотрим две функции ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$:

${ Displaystyle { begin {align} nabla (FG) & = e ^ {i} partial _ {i} (FG) & = e ^ {i} (( partial _ {i} F) G + F ( partial _ {i} G)) & = e ^ {i} ( partial _ {i} F) G + e ^ {i} F ( partial _ {i} G). End {выровнено}}}$

Поскольку геометрическое произведение не коммутативный с ${ displaystyle e ^ {i} F neq Fe ^ {i}}$ в общем, чтобы продолжить, нам нужны новые обозначения. Решение состоит в том, чтобы принять переборщить обозначение, в котором объем геометрической производной с наложенной точкой - это функция с несколькими значениями, имеющая одну и ту же точку. В этом случае, если мы определим

${ displaystyle { dot { nabla}} F { dot {G}} = e ^ {i} F ( partial _ {i} G),}$

то правило произведения для геометрической производной

${ displaystyle nabla (FG) = nabla FG + { dot { nabla}} F { dot {G}}.}$

Внутренняя и внешняя производная

Позволять ${ displaystyle F}$ быть ${ displaystyle r}$-сезонный мультивектор. Затем мы можем определить дополнительную пару операторов, внутренние и внешние производные,

${ displaystyle nabla cdot F = langle nabla F rangle _ {r-1} = e ^ {i} cdot partial _ {i} F,}$

${ Displaystyle nabla клин F = langle nabla F rangle _ {r + 1} = e ^ {i} клин partial _ {i} F.}$

В частности, если ${ displaystyle F}$ является классом 1 (векторнозначная функция), то мы можем написать

${ Displaystyle набла F = набла CDOT F + набла клин F}$

и определить расхождение и завиток в качестве

${ displaystyle nabla cdot F = operatorname {div} F,}$

${ Displaystyle набла клин F = I , operatorname {curl} F.}$

В отличие от геометрической производной, ни оператор внутренней производной, ни оператор внешней производной не обратимы.

Интеграция

Позволять ${ Displaystyle {е_ {1}, ldots, е_ {п} }}$ быть набором базисных векторов, которые охватывают ${ displaystyle n}$-мерное векторное пространство. Из геометрической алгебры мы интерпретируем псевдоскалярный ${ Displaystyle е_ {1} клин е_ {2} клин cdots клин е_ {п}}$ быть подписанный том из ${ displaystyle n}$-параллелоэдр подчинены этим базисным векторам. Если базисные векторы ортонормированный, то это единичный псевдоскаляр.

В более общем плане мы можем ограничиться подмножеством ${ displaystyle k}$ базисных векторов, где ${ Displaystyle 1 Leq К Leq N}$, чтобы обработать длину, площадь или другие общие ${ displaystyle k}$-объем подпространства в целом ${ displaystyle n}$-мерное векторное пространство. Обозначим эти выбранные базисные векторы через ${ Displaystyle {е_ {я_ {1}}, ldots, е_ {я_ {к}} }}$. Генерал ${ displaystyle k}$-объем ${ displaystyle k}$-параллелотоп, которому подчиняются эти базисные векторы, является степенью ${ displaystyle k}$ многовекторный ${ Displaystyle е_ {я_ {1}} клин е_ {я_ {2}} клин cdots клин е_ {я_ {к}}}$.

В более общем плане мы можем рассмотреть новый набор векторов ${ displaystyle {x ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}}, ldots, x ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} }}$ пропорционально ${ displaystyle k}$ базисные векторы, где каждый из ${ Displaystyle {х ^ {я_ {j}} }}$ компонент, масштабирующий один из базисных векторов. Мы вольны выбирать настолько бесконечно малые компоненты, насколько захотим, пока они не равны нулю. Поскольку внешний продукт этих терминов можно интерпретировать как ${ displaystyle k}$-volume, естественный способ определения мера является

${ displaystyle { begin {align} d ^ {k} X & = left (dx ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}} right) wedge left (dx ^ {i_ {2}} e_ {i_ {2}} right) wedge cdots wedge left (dx ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} right) & = left (e_ {i_ {1} } wedge e_ {i_ {2}} wedge cdots wedge e_ {i_ {k}} right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} cdots dx ^ {i_ {k }}. end {выравнивается}}}$

Следовательно, мера всегда пропорциональна псевдоскалярной единице ${ displaystyle k}$-мерное подпространство векторного пространства. Сравните Риманова форма объема в теории дифференциальных форм. Интеграл берется по этой мере:

${ Displaystyle int _ {V} F (x) , d ^ {k} X = int _ {V} F (x) left (e_ {i_ {1}} wedge e_ {i_ {2}) } wedge cdots wedge e_ {i_ {k}} right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} cdots dx ^ {i_ {k}}.}$

Более формально, рассмотрим некоторый направленный объем ${ displaystyle V}$ подпространства. Мы можем разделить этот объем на сумму симплексы. Позволять ${ displaystyle {x_ {i} }}$ - координаты вершин. Каждой вершине присваиваем меру ${ displaystyle Delta U_ {i} (x)}$ как средняя мера симплексов, разделяющих вершину. Тогда интеграл от ${ Displaystyle F (х)}$ относительно ${ Displaystyle U (х)}$ над этим объемом получается в пределе более тонкого разбиения объема на более мелкие симплексы:

${ displaystyle int _ {V} F , dU = lim _ {n rightarrow infty} sum _ {i = 1} ^ {n} F (x_ {i}) , Delta U_ {i }(Икс).}$

Основная теорема геометрического исчисления

Причина определения геометрической производной и интеграла, как указано выше, заключается в том, что они допускают сильное обобщение Теорема Стокса. Позволять ${ Displaystyle { mathsf {L}} (А; х)}$ - многовекторнозначная функция от ${ displaystyle r}$-градиентный ввод ${ displaystyle A}$ и общее положение ${ displaystyle x}$, линейная по первому аргументу. Тогда основная теорема геометрического исчисления связывает интеграл от производной по объему ${ displaystyle V}$ интегралу по его границе:

В качестве примера пусть ${ Displaystyle { mathsf {L}} (A; x) = langle F (x) AI ^ {- 1} rangle}$ для векторной функции ${ Displaystyle F (х)}$ и (${ displaystyle n-1}$) -сорт мультивекторный ${ displaystyle A}$. Мы находим, что

${ Displaystyle { begin {align} int _ {V} { dot { mathsf {L}}} left ({ dot { nabla}} dX; x right) & = int _ {V } langle { dot {F}} (x) { dot { nabla}} , dX , I ^ {- 1} rangle & = int _ {V} langle { dot { F}} (x) { dot { nabla}} , | dX | rangle & = int _ {V} nabla cdot F (x) , | dX |. End {выровнено} }}$

Так же,

${ Displaystyle { begin {align} oint _ { partial V} { mathsf {L}} (dS; x) & = oint _ { partial V} langle F (x) , dS , I ^ {- 1} rangle & = oint _ { partial V} langle F (x) { hat {n}} , | dS | rangle & = oint _ { partial V} F (x) cdot { hat {n}} , | dS |. End {align}}}$

Таким образом мы восстанавливаем теорема расходимости,

${ displaystyle int _ {V} nabla cdot F (x) , | dX | = oint _ { partial V} F (x) cdot { hat {n}} , | dS |. }$

Ковариантная производная

Достаточно гладкая ${ displaystyle k}$-поверхность в ${ displaystyle n}$-мерное пространство считается многообразие. К каждой точке многообразия мы можем прикрепить ${ displaystyle k}$-лезвие ${ displaystyle B}$ это касается многообразия. Локально, ${ displaystyle B}$ действует как псевдоскаляр ${ displaystyle k}$-мерное пространство. Это лезвие определяет проекция векторов на многообразие:

${ displaystyle { mathcal {P}} _ {B} (A) = (A cdot B ^ {- 1}) B.}$

Так же, как геометрическая производная ${ displaystyle nabla}$ определяется на всем ${ displaystyle n}$-мерное пространство, мы можем захотеть определить внутренняя производная ${ displaystyle partial}$, локально определенные на многообразии:

${ Displaystyle partial F = { mathcal {P}} _ {B} ( nabla) F.}$

(Примечание: правая часть вышеупомянутого может не лежать в касательном пространстве к коллектору. Следовательно, это не то же самое, что ${ Displaystyle { mathcal {P}} _ {B} ( nabla F)}$, которое обязательно лежит в касательном пространстве.)

Если ${ displaystyle a}$ является вектором, касательным к многообразию, то и геометрическая производная, и внутренняя производная дают одну и ту же производную по направлению:

${ displaystyle a cdot partial F = a cdot nabla F.}$

Хотя эта операция вполне допустима, она не всегда полезна, потому что ${ displaystyle partial F}$ сам по себе не обязательно находится на коллекторе. Поэтому мы определяем ковариантная производная быть вынужденной проекцией внутренней производной обратно на многообразие:

${ displaystyle a cdot DF = { mathcal {P}} _ {B} (a cdot partial F) = { mathcal {P}} _ {B} (a cdot { mathcal {P}} _ {B} ( nabla) F).}$

Поскольку любой общий многовектор может быть выражен как сумма проекции и отклонения, в этом случае

${ displaystyle a cdot partial F = { mathcal {P}} _ {B} (a cdot partial F) + { mathcal {P}} _ {B} ^ { perp} (a cdot partial F),}$

мы вводим новую функцию, тензор формы ${ Displaystyle { mathsf {S}} (а)}$, что удовлетворяет

${ displaystyle F times { mathsf {S}} (a) = { mathcal {P}} _ {B} ^ { perp} (a cdot partial F),}$

куда ${ displaystyle times}$ это коммутаторный продукт. В локальной системе координат ${ Displaystyle {е_ {я} }}$ покрывающий касательную поверхность, тензор формы задается формулой

${ displaystyle { mathsf {S}} (a) = e ^ {i} wedge { mathcal {P}} _ {B} ^ { perp} (a cdot partial e_ {i}).}$

Важно отметить, что на общем многообразии ковариантная производная не коммутирует. В частности, коммутатор связана с тензором формы соотношением

${ displaystyle [a cdot D, , b cdot D] F = - ({ mathsf {S}} (a) times { mathsf {S}} (b)) ​​times F.}$

Ясно термин ${ Displaystyle { mathsf {S}} (а) раз { mathsf {S}} (б)}$ представляет интерес. Однако она, как и собственная производная, не обязательно находится на многообразии. Следовательно, мы можем определить Тензор Римана чтобы быть проекцией обратно на коллектор:

${ displaystyle { mathsf {R}} (a wedge b) = - { mathcal {P}} _ {B} ({ mathsf {S}} (a) times { mathsf {S}} ( б)).}$

Наконец, если ${ displaystyle F}$ класса ${ displaystyle r}$, то мы можем определить внутренние и внешние ковариантные производные как

${ Displaystyle D cdot F = langle DF rangle _ {r-1},}$

${ Displaystyle D клин F = langle DF rangle _ {r + 1},}$

и аналогично для внутренней производной.

Отношение к дифференциальной геометрии

На многообразии локально мы можем сопоставить касательную поверхность, натянутую на набор базисных векторов ${ Displaystyle {е_ {я} }}$. Мы можем связать компоненты метрический тензор, то Символы Кристоффеля, а Тензор кривизны Римана следующее:

${ displaystyle g_ {ij} = e_ {i} cdot e_ {j},}$

${ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k} = (e_ {i} cdot De_ {j}) cdot e ^ {k},}$

${ displaystyle R_ {ijkl} = ({ mathsf {R}} (e_ {i} wedge e_ {j}) cdot e_ {k}) cdot e_ {l}.}$

Эти соотношения включают теорию дифференциальной геометрии в геометрическое исчисление.

Отношение к дифференциальным формам

В местная система координат (${ Displaystyle х ^ {1}, ldots, х ^ {п}}$) координатные дифференциалы ${ displaystyle dx ^ {1}}$, ..., ${ displaystyle dx ^ {n}}$ сформировать базовый набор однокомпонентных форм внутри карта координат. Учитывая мультииндекс ${ displaystyle I = (i_ {1}, ldots, i_ {k})}$ с ${ displaystyle 1 leq i_ {p} leq n}$ за ${ displaystyle 1 leq p leq k}$, мы можем определить ${ displaystyle k}$-форма

${ displaystyle omega = f_ {I} , dx ^ {I} = f_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {k}} , dx ^ {i_ {1}} wedge dx ^ { i_ {2}} wedge cdots wedge dx ^ {i_ {k}}.}$

В качестве альтернативы мы можем ввести ${ displaystyle k}$-сорт мультивектор ${ displaystyle A}$ в качестве

${ displaystyle A = f_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {k}} e ^ {i_ {1}} wedge e ^ {i_ {2}} wedge cdots wedge e ^ {i_ {k}}}$

и мера

${ displaystyle { begin {align} d ^ {k} X & = left (dx ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}} right) wedge left (dx ^ {i_ {2}} e_ {i_ {2}} right) wedge cdots wedge left (dx ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} right) & = left (e_ {i_ {1} } wedge e_ {i_ {2}} wedge cdots wedge e_ {i_ {k}} right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} cdots dx ^ {i_ {k }}. end {выровнены}}}$

Помимо тонкой разницы в значении внешнего продукта в отношении дифференциальных форм и внешнего продукта в отношении векторов (в первом случае приращения ковекторы, тогда как в последних они представляют собой скаляры), мы видим соответствия дифференциальной формы

${ displaystyle omega cong A ^ { dagger} cdot d ^ {k} X = A cdot left (d ^ {k} X right) ^ { dagger},}$

его производная

${ displaystyle d omega cong (D wedge A) ^ { dagger} cdot d ^ {k + 1} X = (D wedge A) cdot left (d ^ {k + 1} X справа) ^ { dagger},}$

и это Ходж Дуал

${ displaystyle star omega cong (I ^ {- 1} A) ^ { dagger} cdot d ^ {k} X,}$

встроить теорию дифференциальных форм в геометрическое исчисление.

История

Ниже представлена ​​диаграмма, обобщающая историю геометрического исчисления.

История геометрического исчисления.

Ссылки и дополнительная литература

• Макдональд, Алан (2012). Векторное и геометрическое исчисление. Чарльстон: CreateSpace. ISBN  9781480132450. OCLC  829395829.