Полилинейная алгебра - Multilinear algebra

В математика, полилинейная алгебра расширяет методы линейная алгебра. Так же, как линейная алгебра построена на концепции вектор и развивает теорию векторные пространства, полилинейная алгебра основывается на понятиях п-векторы и мультивекторы с Алгебра грассмана.

Источник

В векторном пространстве измерение п, обычно рассматриваются только векторы. В соответствии с Герман Грассманн и других, это предположение упускает из виду сложность рассмотрения структур пар, троек и общих многовекторы. Поскольку существует несколько комбинаторных возможностей, в пространстве мультивекторов оказывается 2п размеры. В абстрактная формулировка определителя это самое непосредственное приложение. Полилинейная алгебра также находит применение в механическом исследовании реакции материалов на напряжения и деформации с различными модулями упругости. Эта практическая ссылка привела к использованию слова тензор для описания элементов полилинейного пространства. Дополнительная структура в полилинейном пространстве привела к тому, что оно играет важную роль в различных исследованиях по высшей математике. Хотя Грассманн начал эту тему в 1844 г. Ausdehnungslehre, и переизданный в 1862 году, его работа медленно нашла признание, поскольку обычная линейная алгебра давала достаточно проблем для понимания.

Тема полилинейной алгебры применяется в некоторых исследованиях многомерное исчисление и коллекторы где Матрица якобиана вступает в игру. В бесконечно малые дифференциалы одного переменного исчисления становятся дифференциальные формы в многомерном исчислении, и их манипуляции выполняются с помощью внешняя алгебра.

После Грассмана развитие полилинейной алгебры было сделано в 1872 г. Виктор Шлегель когда он опубликовал первую часть своей System der Raumlehre, и по Элвин Бруно Кристоффель. Значительный прогресс в полилинейной алгебре произошел в работах Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита (см. ссылки). Это было абсолютное дифференциальное исчисление форма полилинейной алгебры, которая Марсель Гроссманн и Мишель Бессо представил Альберт Эйнштейн. Публикация Эйнштейном в 1915 г. общая теория относительности объяснение прецессия перигелия Меркурия, установил полилинейную алгебру и тензоры как физически важную математику.

Использование в алгебраической топологии

Примерно в середине 20 века исследование тензоров было переформулировано более абстрактно. В Бурбаки групповой трактат Полилинейная алгебра был особенно влиятельным - фактически, термин полилинейная алгебра вероятно, был придуман там.[нужна цитата ]

Одной из причин в то время была новая область применения, гомологическая алгебра. Развитие алгебраическая топология в 1940-х годах дало дополнительный стимул для развития чисто алгебраической трактовки тензорное произведение. Расчет группы гомологии из товар из двух топологические пространства включает тензорное произведение; но только в самых простых случаях, таких как тор, рассчитывается ли он таким образом напрямую (см. Теорема Кюннета ). Топологические явления были достаточно тонкими, чтобы требовать более основательных концепций; технически говоря, Функторы Tor нужно было определить.

Материал для организации был довольно обширным, включая идеи, восходящие к Герман Грассманн, идеи из теории дифференциальные формы это привело к когомологии де Рама, а также более элементарные идеи, такие как клин это обобщает перекрестное произведение.

Получившееся довольно жесткое описание темы (Бурбаки) полностью отвергло один подход в векторном исчислении (метод кватернион маршрут, т. е. в общем случае связь с Группы Ли ). Вместо этого они применили новый подход, используя теория категорий, при этом групповой подход Ли рассматривается как отдельный вопрос. Поскольку это приводит к гораздо более чистому обращению, вероятно, не было никакого возврата в чисто математическом плане. (Строго говоря, универсальная собственность был задействован подход; это несколько более общий характер, чем теория категорий, и одновременно выяснялась взаимосвязь между ними как альтернативными путями.)

Действительно, то, что было сделано, почти точно объясняет, что тензорные пространства - конструкции, необходимые для сведения полилинейных задач к линейным. Эта чисто алгебраическая атака не дает геометрической интуиции.

Его преимущество в том, что переформулируя проблемы в терминах полилинейной алгебры, можно получить ясное и четко определенное «лучшее решение»: ограничения, которые налагает решение, являются именно теми, которые вам нужны на практике. Как правило, вызывать какие-либо для этого случая конструкция, геометрическая идея или обращение к системам координат. На теоретико-категориальном жаргоне все полностью естественный.

Заключение об абстрактном подходе

В принципе абстрактный подход может восстановить все, что было сделано традиционным подходом. На практике это может показаться не таким простым. С другой стороны, понятие естественность согласуется с общая ковариация принцип общая теория относительности. Последний занимается тензорные поля (тензоры меняются от точки к точке на многообразие ), но ковариация утверждает, что язык тензоров необходим для правильной формулировки общей теории относительности.

Спустя несколько десятилетий довольно абстрактный взгляд, исходящий из теории категорий, был привязан к подходу, разработанному в 1930-х гг. Герман Вейль[как? ] (работая через общую теорию относительности с помощью абстрактного тензорного анализа, а также в своей книге Классические группы). В некотором смысле это замкнуло полный круг теории, еще раз соединив содержание старых и новых точек зрения.

Темы полилинейной алгебры

Тематика полилинейной алгебры за эти годы изменилась меньше, чем ее изложение. Вот и другие страницы, относящиеся к нему:

Также есть глоссарий тензорной теории.

Приложения

Некоторые способы применения концепций полилинейной алгебры:

Рекомендации

Издание второе (1977) Springer ISBN  3-540-90206-6.
Глава: Внешняя алгебра и дифференциальное исчисление # 6 в первом издании, # 7 во втором издании.