Обозначение абстрактного индекса - Abstract index notation

Обозначение абстрактного индекса математическое обозначение для тензоры и спиноры который использует индексы для обозначения их типов, а не их компонентов на определенной основе. Индексы - это просто заполнители, не связанные с какой-либо базой и, в частности, не числовые. Таким образом, его не следует путать с Исчисление Риччи. Обозначения были введены Роджер Пенроуз как способ использовать формальные аспекты Соглашение о суммировании Эйнштейна чтобы компенсировать сложность описания схватки и ковариантное дифференцирование в современных абстрактных тензорных обозначениях, сохраняя при этом явное ковариация используемых выражений.

Позволять ${ displaystyle V}$ быть векторное пространство, и ${ Displaystyle V ^ {*}}$ это двойной. Рассмотрим, например, порядок-2 ковариантный тензор ${ displaystyle h in V ^ {*} otimes V ^ {*}}$. потом ${ displaystyle h}$ можно отождествить с билинейная форма на ${ displaystyle V}$. Другими словами, это функция двух аргументов в ${ displaystyle V}$ которые можно представить в виде пары слоты:

${ displaystyle h = h (-, -).}$

Обозначение абстрактного индекса - это просто маркировка слотов латинскими буквами, которые не имеют значения, кроме их обозначения как метки слотов (т.е. они нечисловые):

${ displaystyle h = h_ {ab}.}$

А тензорное сжатие (или трасса) между двумя тензорами представлена ​​повторением индексной метки, где одна метка контравариантна ( верхний индекс соответствующий коэффициенту ${ displaystyle V}$) и одна метка ковариантна (a нижний индекс соответствующий коэффициенту ${ Displaystyle V ^ {*}}$). Так, например,

${ displaystyle {t_ {ab}} ^ {b}}$

это след тензора ${ displaystyle t = {t_ {ab}} ^ {c}}$ за последние два слота. Такой способ представления тензорных сжатий повторяющимися индексами формально аналогичен Соглашение о суммировании Эйнштейна. Однако, поскольку индексы не являются числовыми, это не подразумевает суммирования: скорее, это соответствует абстрактной операции трассировки, не зависящей от базиса (или естественное соединение ) между тензорными множителями типа ${ displaystyle V}$ и типа ${ Displaystyle V ^ {*}}$.

Абстрактные индексы и тензорные пространства

Общий однородный тензор - это элемент тензорное произведение копий ${ displaystyle V}$ и ${ Displaystyle V ^ {*}}$, Такие как

${ displaystyle V otimes V ^ {*} otimes V ^ {*} otimes V otimes V ^ {*}.}$

Обозначьте каждый множитель в этом тензорном произведении латинской буквой в верхнем положении для каждого контраварианта. ${ displaystyle V}$ фактор, и в пониженном положении для каждого коварианта ${ Displaystyle V ^ {*}}$ позиция. Таким образом, напишите продукт как

${ displaystyle V ^ {a} V_ {b} V_ {c} V ^ {d} V_ {e}}$

или просто

${ displaystyle {{{V ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e}.}$

Последние два выражения обозначают тот же объект, что и первое. Тензоры этого типа обозначаются аналогичными обозначениями, например:

${ displaystyle {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e} in {{{V ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e } = V время V ^ {*} время V ^ {*} время V время V ^ {*}.}$

Сокращение

В общем, всякий раз, когда один контравариантный и один ковариантный факторы встречаются в тензорном произведении пространств, существует связанный сокращение (или же след) карта. Например,

${ displaystyle mathrm {Tr} _ {12}: V otimes V ^ {*} otimes V ^ {*} otimes V otimes V ^ {*} to V ^ {*} otimes V otimes V ^ {*}}$

- след на первых двух пространствах тензорного произведения.

${ displaystyle mathrm {Tr} _ {15}: V otimes V ^ {*} otimes V ^ {*} otimes V otimes V ^ {*} to V ^ {*} otimes V ^ { *} otimes V}$

это след на первом и последнем пробелах.

Эти операции трассировки обозначаются на тензорах повторением индекса. Таким образом, первая карта трассировки дается формулой

${ displaystyle mathrm {Tr} _ {12}: {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e} mapsto {{{h ^ {a}} _ {ac }} ^ {d}} _ {e}}$

а второй

${ displaystyle mathrm {Tr} _ {15}: {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e} mapsto {{{h ^ {a}} _ {bc }} ^ {d}} _ {a}.}$

Плетение

Любому тензорному произведению в единственном векторном пространстве соответствуют карты плетения. Например, карта плетения

${ displaystyle tau _ {(12)}: V otimes V rightarrow V otimes V}$

меняет местами два тензорных фактора (так что его действие на простые тензоры дается ${ Displaystyle тау _ {(12)} (v otimes w) = w otimes v}$). В целом карты плетения находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами симметричная группа, действуя путем перестановки тензорных множителей. Здесь мы используем ${ Displaystyle тау _ { sigma}}$ для обозначения карта плетения связанный с перестановкой ${ displaystyle sigma}$ (представлен как произведение непересекающихся циклические перестановки ).

Карты плетения важны в дифференциальная геометрия, например, чтобы выразить Бьянки идентичность. Здесь пусть ${ displaystyle R}$ обозначим тензор Римана, рассматриваемый как тензор в ${ displaystyle V ^ {*} время V ^ {*} время V ^ {*} время V}$. Тогда первое тождество Бьянки утверждает, что

${ Displaystyle R + tau _ {(123)} R + tau _ {(132)} R = 0.}$

Обозначение абстрактного индекса обрабатывает плетение следующим образом. На конкретном тензорном произведении фиксируется порядок абстрактных индексов (обычно это лексикографический порядок ). Затем коса представлена ​​в обозначениях путем перестановки меток индексов. Так, например, с тензором Римана

${ displaystyle R = {R_ {abc}} ^ {d} in {V_ {abc}} ^ {d} = V ^ {*} otimes V ^ {*} otimes V ^ {*} otimes V ,}$

идентичность Бьянки становится

${ displaystyle {R_ {abc}} ^ {d} + {R_ {cab}} ^ {d} + {R_ {bca}} ^ {d} = 0.}$

Антисимметризация и симметризация

Общий тензор может быть антисимметричным или симметризованным, и существуют соответствующие обозначения.

Продемонстрируем обозначения на примере. Антисимметризуем тензор типа (0,3) ${ displaystyle omega _ {abc}}$, куда ${ displaystyle Sigma _ {3}}$ - симметрическая группа на трех элементах.

${ displaystyle omega _ {[abc]}: = { frac {1} {3!}} sum _ { sigma in Sigma _ {3}} (- 1) ^ {{ text {sgn }} ( sigma)} omega _ { sigma (a) sigma (b) sigma (c)}}$

Точно так же мы можем симметризовать:

${ displaystyle omega _ {(abc)}: = { frac {1} {3!}} sum _ { sigma in Sigma _ {3}} omega _ { sigma (a) sigma (б) sigma (c)}}$

Смотрите также

• Графическое обозначение Пенроуза
• Обозначения Эйнштейна
• Обозначение индекса
• Тензор
• Антисимметричный тензор
• Повышение и понижение показателей
• Ковариация и контравариантность векторов

Рекомендации

• Роджер Пенроуз, Дорога к реальности: полное руководство по законам Вселенной, 2004, есть глава, объясняющая это.
• Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер, Спиноры и пространство-время, том I, двухспиновое исчисление и релятивистские поля.