Тензор Эйнштейна - Einstein tensor

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Точка зрения Инерциальная система отсчета Рама отдыха Рамка центра импульса Световой конус Принцип эквивалентности Эквивалентность массы и энергии Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Мировая линия Подходящее время Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синий сдвиг Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Космос Время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая времениподобная кривая (СТС) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Лоренцево многообразие Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Шварцшильд (интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие

В дифференциальная геометрия, то Тензор Эйнштейна (названный в честь Альберт Эйнштейн; также известный как обратный след Тензор Риччи) используется для выражения кривизна из псевдориманово многообразие. В общая теория относительности, это происходит в Уравнения поля Эйнштейна за гравитация которые описывают пространство-время искривление таким образом, чтобы это соответствовало закону сохранения энергии и количества движения.

Определение

Тензор Эйнштейна ${ displaystyle mathbf {G}}$ это тензор порядка 2, определенного над псевдоримановы многообразия. В безиндексная запись это определяется как

${ displaystyle mathbf {G} = mathbf {R} - { frac {1} {2}} mathbf {g} R,}$

куда ${ displaystyle mathbf {R}}$ это Тензор Риччи, ${ displaystyle mathbf {g}}$ это метрический тензор и ${ displaystyle R}$ это скалярная кривизна. В компонентной форме предыдущее уравнение читается как

${ displaystyle G _ { mu nu} = R _ { mu nu} - {1 over 2} g _ { mu nu} R.}$

Тензор Эйнштейна симметричен

${ Displaystyle G _ { mu nu} = G _ { nu mu}}$

и, как и на оболочке тензор энергии-импульса, без расхождения

${ displaystyle nabla _ { mu} G ^ { mu nu} = 0 ,.}$

Явная форма

Тензор Риччи зависит только от метрического тензора, поэтому тензор Эйнштейна можно определить непосредственно с помощью только метрического тензора. Однако это выражение сложно и редко цитируется в учебниках. Сложность этого выражения можно показать, используя формулу тензора Риччи в терминах Символы Кристоффеля:

${ displaystyle { begin {align} G _ { alpha beta} & = R _ { alpha beta} - { frac {1} {2}} g _ { alpha beta} R & = R_ { alpha beta} - { frac {1} {2}} g _ { alpha beta} g ^ { gamma zeta} R _ { gamma zeta} & = ( delta _ { alpha} ^ { gamma} delta _ { beta} ^ { zeta} - { frac {1} {2}} g _ { alpha beta} g ^ { gamma zeta}) R _ { gamma zeta } & = ( delta _ { alpha} ^ { gamma} delta _ { beta} ^ { zeta} - { frac {1} {2}} g _ { alpha beta} g ^ { gamma zeta}) ( Gamma ^ { epsilon} {} _ { gamma zeta, epsilon} - Gamma ^ { epsilon} {} _ { gamma epsilon, zeta} + Gamma ^ { epsilon} {} _ { epsilon sigma} Gamma ^ { sigma} {} _ { gamma zeta} - Gamma ^ { epsilon} {} _ { zeta sigma} Gamma ^ { sigma} {} _ { epsilon gamma}), G ^ { alpha beta} & = (g ^ { alpha gamma} g ^ { beta zeta} - { frac {1 } {2}} g ^ { alpha beta} g ^ { gamma zeta}) ( Gamma ^ { epsilon} {} _ { gamma zeta, epsilon} - Gamma ^ { epsilon} {} _ { gamma epsilon, zeta} + Gamma ^ { epsilon} {} _ { epsilon sigma} Gamma ^ { sigma} {} _ { gamma zeta} - Gamma ^ { epsilon} {} _ { zeta sigma} Gamma ^ { sigma } {} _ { epsilon gamma}), end {align}}}$

куда ${ displaystyle delta _ { beta} ^ { alpha}}$ это Тензор Кронекера и символ Кристоффеля ${ Displaystyle Gamma ^ { alpha} {} _ { beta gamma}}$ определяется как

${ displaystyle Gamma ^ { alpha} {} _ { beta gamma} = { frac {1} {2}} g ^ { alpha epsilon} (g _ { beta epsilon, gamma} + g _ { gamma epsilon, beta} -g _ { beta gamma, epsilon}).}$

До отмены эта формула приводит к ${ Displaystyle 2 раз (6 + 6 + 9 + 9) = 60}$ индивидуальные условия. Отмена несколько снижает это число.

В частном случае локально инерциальная система отсчета вблизи точки первые производные метрического тензора обращаются в нуль и компонентная форма тензора Эйнштейна значительно упрощается:

${ Displaystyle { begin {выровнено} G _ { alpha beta} & = g ^ { gamma mu} { bigl [} g _ { gamma [ beta, mu] alpha} + g _ { alpha} [ mu, beta] gamma} - { frac {1} {2}} g _ { alpha beta} g ^ { epsilon sigma} (g _ { epsilon [ mu, sigma] gamma } + g _ { gamma [ sigma, mu] epsilon}) { bigr]} & = g ^ { gamma mu} ( delta _ { alpha} ^ { epsilon} delta _ { beta} ^ { sigma} - { frac {1} {2}} g ^ { epsilon sigma} g _ { alpha beta}) (g _ { epsilon [ mu, sigma] gamma } + g _ { gamma [ sigma, mu] epsilon}), end {align}}}$

где квадратные скобки условно обозначают антисимметризация над индексами в квадратных скобках, т.е.

${ displaystyle g _ { alpha [ beta, gamma] epsilon} , = { frac {1} {2}} (g _ { alpha beta, gamma epsilon} -g _ { alpha gamma , beta epsilon}).}$

След

В след тензора Эйнштейна можно вычислить как договор уравнение в определение с метрический тензор ${ displaystyle g ^ { mu nu}}$. В ${ displaystyle n}$ размеры (произвольной подписи):

${ displaystyle { begin {align} g ^ { mu nu} G _ { mu nu} & = g ^ { mu nu} R _ { mu nu} - {1 over 2} g ^ { mu nu} g _ { mu nu} R G & = R- {1 over 2} (nR) G & = {{2-n} over 2} R end {выровнено}} }$

Следовательно, в частном случае п = 4 размеры, ${ Displaystyle G = -R}$. То есть след тензора Эйнштейна является отрицательным Тензор Риччи след. Таким образом, другое название тензора Эйнштейна - это тензор Риччи с обращенным следом. Этот ${ displaystyle n = 4}$ случай особенно актуален в общая теория относительности.

Использование в общей теории относительности

Тензор Эйнштейна позволяет Уравнения поля Эйнштейна записать в краткой форме:

${ Displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = kappa T _ { mu nu},}$

куда ${ displaystyle Lambda}$ это космологическая постоянная и ${ displaystyle kappa}$ это Гравитационная постоянная Эйнштейна.

От явный вид тензора Эйнштейна, тензор Эйнштейна является нелинейный функция метрического тензора, но линейна во втором частные производные метрики. Как симметричный тензор второго порядка, тензор Эйнштейна имеет 10 независимых компонент в 4-мерном пространстве. Отсюда следует, что уравнения поля Эйнштейна представляют собой набор из 10 квазилинейный уравнения в частных производных второго порядка для метрического тензора.

В сокращенные идентичности Бьянки также легко выражается с помощью тензора Эйнштейна:

${ displaystyle nabla _ { mu} G ^ { mu nu} = 0.}$

(Сжатые) тождества Бианки автоматически обеспечивают ковариантное сохранение тензор энергии-импульса в искривленном пространстве-времени:

${ displaystyle nabla _ { mu} T ^ { mu nu} = 0.}$

Это тождество подчеркивает физическое значение тензора Эйнштейна. В терминах тензора уплотненных напряжений, сжатых на Вектор убийства ${ Displaystyle xi ^ { mu}}$, выполняется обычный закон сохранения:

${ displaystyle partial _ { mu} ({ sqrt {-g}} T ^ { mu} {} _ { nu} xi ^ { nu}) = 0}$.

Уникальность

Дэвид Лавлок показал, что в четырехмерном дифференцируемое многообразие, тензор Эйнштейна - единственный тензорный и расхождение -свободная функция ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ и самое большее их первая и вторая частные производные.^{[1][2][3][4][5]}

Тем не менее Уравнение поля Эйнштейна это не единственное уравнение, которое удовлетворяет трем условиям:^[6]

1. Напоминать, но обобщать Уравнение гравитации Ньютона – Пуассона.
2. Применить ко всем системам координат и
3. Гарантировать локальное ковариантное сохранение энергии-импульса для любого метрического тензора.

Было предложено много альтернативных теорий, таких как Теория Эйнштейна – Картана, которые также удовлетворяют указанным выше условиям.

Смотрите также

• Контрактные личности Бьянки
• Теорема Вермейля
• Математика общей теории относительности
• Ресурсы по общей теории относительности

Примечания

Рекомендации

• Ohanian, Hans C .; Ремо Руффини (1994). Гравитация и пространство-время (Второе изд.). W. W. Norton & Company. ISBN  978-0-393-96501-8.
• Мартин, Джон Легат (1995). Общая теория относительности: первый курс для физиков. Международная серия Prentice Hall по физике и прикладной физике (пересмотренная редакция). Prentice Hall. ISBN  978-0-13-291196-2.