След (линейная алгебра) - Википедия - Trace (linear algebra)

В линейная алгебра, то след из квадратная матрица $А$ , обозначенный ${ Displaystyle OperatorName {tr} ( mathbf {A})}$ ,^[1]^[2] определяется как сумма элементов на главная диагональ (из верхнего левого угла в нижний правый) $А$ .

След матрицы - это сумма ее (комплексного) собственные значения, и это инвариантный по отношению к изменение основы. Эта характеризация может быть использована для определения следа линейного оператора в целом. Трасса определена только для квадратной матрицы ( $п \times п$ ).

След относится к производной от детерминант (видеть Формула Якоби ).

Определение

В след из $п \times п$ квадратная матрица $А$ определяется как^[2]^[3]^[4]^:34

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ii} = a_ {11} + a_ {22} + dots + a_ {nn} }

куда $а ii$ обозначает запись на $я$ й ряд и $я$ -й столбец $А$ .

Пример

Позволять $А$ матрица, с

{ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} a_ {31} и a_ {32 } & a_ {33} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 0 & 3 11 & 5 & 2 6 & 12 & -5 end {pmatrix}}}

потом

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) = sum _ {i = 1} ^ {3} a_ {ii} = a_ {11} + a_ {22} + a_ {33} =}

-1 + 5 + (-5) = -1

Характеристики

Основные свойства

След - это линейное отображение. То есть,^[2]^[3]

{ displaystyle { begin {align} operatorname {tr} ( mathbf {A} + mathbf {B}) & = operatorname {tr} ( mathbf {A}) + operatorname {tr} ( mathbf {B}) operatorname {tr} (c mathbf {A}) & = c operatorname {tr} ( mathbf {A}) end {align}}}

для всех квадратных матриц $А$ и $B$ , и все скаляры $c$ .^[4]^:34

Матрица и ее транспонировать имеют такой же след:^[2]^[3]^[4]^:34

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) = operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { mathsf {T}} right).}

Это сразу следует из того, что транспонирование квадратной матрицы не влияет на элементы по главной диагонали.

След продукта

След квадратной матрицы, которая является произведением двух матриц, можно переписать как сумму произведений их элементов по элементам. Точнее, если $А$ и $B$ два м × п матрицы, то:

{ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { mathsf {T}} mathbf {B} right) = operatorname {tr} left ( mathbf {A} mathbf {B } ^ { mathsf {T}} right) = operatorname {tr} left ( mathbf {B} ^ { mathsf {T}} mathbf {A} right) = operatorname {tr} left ( mathbf {B} mathbf {A} ^ { mathsf {T}} right) = sum _ {i, j} a_ {ij} b_ {ij}.}

Это означает, что след произведения матриц одинакового размера функционирует аналогично скалярное произведение векторов (представьте $А$ и $B$ как длинные векторы со столбцами, наложенными друг на друга). По этой причине обобщения векторных операций на матрицы (например, в матричное исчисление и статистика ) часто включают след матричных произведений.

Для реальных матриц $А$ и $B$ , след продукта также можно записать в следующих формах:

${ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { mathsf {T}} mathbf {B} right) = sum _ {i, j} ( mathbf {A} circ mathbf {B}) _ {ij}}$	(с использованием Произведение Адамара, также известный как начальный продукт).
${ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { mathsf {T}} mathbf {B} right) = operatorname {vec} ( mathbf {B}) ^ { mathsf { T}} operatorname {vec} ( mathbf {A}) = operatorname {vec} ( mathbf {A}) ^ { mathsf {T}} operatorname {vec} ( mathbf {B})}$	(с использованием векторизация оператор).

Матрицы в следе продукта можно переключать без изменения результата: Если $А$ является $м \times п$ матрица и $B$ является $п \times м$ матрица, тогда^[2]^[3]^[4]^:34^{[примечание 1]}

${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = operatorname {tr} ( mathbf {B} mathbf {A})}$

Кроме того, для вещественных матриц столбцов ${ displaystyle mathbf {a} in mathbb {R} ^ {n}}$ и ${ displaystyle mathbf {b} in mathbb {R} ^ {n}}$ , след внешнего продукта эквивалентен внутреннему продукту:

${ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {b} mathbf {a} ^ { extf {T}} right) = mathbf {a} ^ { extf {T}} mathbf {b }}$

Циклическое свойство

В более общем смысле след инвариантен относительно циклические перестановки, то есть,

${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B} mathbf {C} mathbf {D}) = operatorname {tr} ( mathbf {B} mathbf {C} mathbf { D} mathbf {A}) = operatorname {tr} ( mathbf {C} mathbf {D} mathbf {A} mathbf {B}) = operatorname {tr} ( mathbf {D} mathbf {A} mathbf {B} mathbf {C}).}$

Это известно как циклическое свойство.

Произвольные перестановки не допускаются: как правило,

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B} mathbf {C}) neq operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {C} mathbf {B}). }

Однако если продукты трех симметричный матрицы рассматриваются, допускается любая перестановка, так как:

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B} mathbf {C}) = operatorname {tr} left ( left ( mathbf {A} mathbf {B} mathbf { C} right) ^ { mathsf {T}} right) = operatorname {tr} ( mathbf {C} mathbf {B} mathbf {A}) = operatorname {tr} ( mathbf {A } mathbf {C} mathbf {B}),}

где первое равенство связано с тем, что следы матрицы и ее транспонирования равны. Обратите внимание, что в целом это неверно для более чем трех факторов.

След матричного произведения

в отличие от детерминант, след продукта не является произведением следов, то есть существуют матрицы $А$ и $B$ такой, что

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) neq operatorname {tr} ( mathbf {A}) operatorname {tr} ( mathbf {B})}

Например, если

{ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}}, mathbf {B} = { begin {pmatrix} 0 & 0 1 & 0 end {pmatrix}} ,}

тогда продукт

{ displaystyle mathbf {AB} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}},}

и следы ${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = 1 neq 0 cdot 0 = operatorname {tr} ( mathbf {A}) operatorname {tr} ( mathbf { B}).}$

Более того:

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = operatorname {tr} ( mathbf {B} mathbf {A})}

След продукта Кронекера

След Кронекер продукт двух матриц является произведением их следов:

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} otimes mathbf {B}) = operatorname {tr} ( mathbf {A}) operatorname {tr} ( mathbf {B}).}

Полная характеристика следа

Следующие три свойства:

{ displaystyle { begin {align} operatorname {tr} ( mathbf {A} + mathbf {B}) & = operatorname {tr} ( mathbf {A}) + operatorname {tr} ( mathbf {B}), operatorname {tr} (c mathbf {A}) & = c operatorname {tr} ( mathbf {A}), operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) & = operatorname {tr} ( mathbf {B} mathbf {A}), end {align}}}

полностью охарактеризовать след в следующем смысле. Позволять $ж$ быть линейный функционал на пространстве квадратных матриц, удовлетворяющих $ж (ху) = ж (yx)$ . потом $ж$ и $tr$ пропорциональны.^{[заметка 2]}

Инвариантность подобия

След инвариантный к подобию, что означает, что для любой квадратной матрицы $А$ и любая обратимая матрица $п$ одинаковых размеров, матрицы $А$ и $п -1 AP$ имеют такой же след. Это потому что

{ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {P} ^ {- 1} mathbf {A} mathbf {P} right) = operatorname {tr} left ( mathbf {P} ^ { -1} ( mathbf {A} mathbf {P}) right) = operatorname {tr} left (( mathbf {A} mathbf {P}) mathbf {P} ^ {- 1} right) = operatorname {tr} left ( mathbf {A} left ( mathbf {P} mathbf {P} ^ {- 1} right) right) = operatorname {tr} ( mathbf { A}).}

След произведения симметричной и кососимметричной матрицы

Если $А$ является симметричный и $B$ является кососимметричный, тогда

{ Displaystyle OperatorName {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = 0}

.

Отношение к собственным значениям

След единичной матрицы

След $п \times п$ единичная матрица это размерность пространства, а именно $п$ .^[1]

{ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {I} _ {n} right) = n}

Это ведет к обобщения размерности с использованием трассировки.

След идемпотентной матрицы

След идемпотентная матрица $А$ (матрица, для которой $А 2 = А$ ) это классифицировать из $А$ .

След нильпотентной матрицы

След нильпотентная матрица равно нулю.

Когда характеристика основного поля равна нулю, верно и обратное: если $tr (А k) = 0$ для всех $k$ , тогда $А$ нильпотентен.

Когда характеристика $п > 0$ положительно, тождество в $п$ размеры - контрпример, так как ${ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {I} _ {n} ^ {k} right) = operatorname {tr} left ( mathbf {I} _ {n} right) = n Equiv 0}$ , но личность не является нильпотентной.

Трассировка равна сумме собственных значений

В более общем смысле, если

{ displaystyle f (x) = prod _ {i = 1} ^ {k} left (x- lambda _ {i} right) ^ {d_ {i}}}

это характеристический многочлен матрицы $А$ , тогда

${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) = sum _ {i = 1} ^ {k} d_ {i} lambda _ {i}}$

то есть след квадратной матрицы равен сумме собственных значений, подсчитанных с кратностями.

След коммутатора

Когда оба $А$ и $B$ находятся $п \times п$ матриц, след (теоретико-кольцевой) коммутатор из $А$ и $B$ исчезает: $tr ([А, B]) = 0$ , потому что $tr (AB) = tr (BA)$ и $tr$ линейно. Можно сказать, что «след - это отображение алгебр Ли. $gl п \to k$ от операторов к скалярам », так как коммутатор скаляров тривиален (это абелева алгебра Ли). В частности, используя инвариантность подобия, следует, что единичная матрица никогда не похожа на коммутатор любой пары матриц.

Наоборот, любая квадратная матрица с нулевым следом представляет собой линейную комбинацию коммутаторов пар матриц.^{[заметка 3]} Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом является унитарно эквивалентный в квадратную матрицу с диагональю, состоящей из нулей.

След эрмитовой матрицы

След Эрмитова матрица реально, потому что элементы на диагонали настоящие.

След матрицы перестановок

След матрица перестановок это количество фиксированные точки, поскольку диагональный член $а ii$ равно 1, если $я$ -я точка фиксирована, в противном случае - 0.

След матрицы проекции

След матрица проекции размер целевого пространства.

{ displaystyle { begin {align} mathbf {P} _ { mathbf {X}} & = mathbf {X} left ( mathbf {X} ^ { mathsf {T}} mathbf {X} right) ^ {- 1} mathbf {X} ^ { mathsf {T}} [3pt] Longrightarrow operatorname {tr} left ( mathbf {P} _ { mathbf {X}} справа) & = operatorname {rank} ( mathbf {X}). end {align}}}

Матрица $п Икс$ идемпотент, и в более общем смысле, след любого идемпотентная матрица равно своему рангу.

Экспоненциальный след

Выражения вроде $тр (ехр (А))$ , куда $А$ представляет собой квадратную матрицу, встречается так часто в некоторых областях (например, в многомерной статистической теории), что сокращенное обозначение стало обычным явлением:

{ displaystyle operatorname {tre} (A): = operatorname {tr} ( exp (A)).}

$Tre$ иногда называют экспоненциальный след функция; он используется в Неравенство Голдена – Томпсона.

След линейного оператора

В общем, по некоторой линейной карте $ж : V \to V$ (куда $V$ является конечнымразмерный векторное пространство ), мы можем определить след этого отображения, рассматривая след матричное представление из $ж$ , то есть выбор основа за $V$ и описывая $ж$ в качестве матрицы относительно этого базиса и взяв след этой квадратной матрицы. Результат не будет зависеть от выбранной основы, так как разные основы приведут к аналогичные матрицы, что дает возможность независимого от базиса определения следа линейного отображения.

Такое определение можно дать, используя канонический изоморфизм между пространством $Конец(V)$ линейных карт на $V$ и $V \otimes V *$ , куда $V *$ это двойное пространство из $V$ . Позволять $v$ быть в $V$ и разреши $ж$ быть в $V *$ . Тогда след неразложимого элемента $v \otimes ж$ определяется как $ж (v)$ ; след общего элемента определяется линейностью. Используя явную основу для $V$ и соответствующий дуальный базис для $V *$ , можно показать, что это дает то же определение следа, что и выше.

Отношения собственных значений

Если $А$ - линейный оператор, представленный квадратной матрицей с настоящий или же сложный записи и если $λ 1, \dots, λ п$ являются собственные значения из $А$ (перечислены в соответствии с их алгебраические кратности ), тогда

${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) = sum _ {i} lambda _ {i}}$

Это следует из того, что $А$ всегда похожий к его Иорданская форма, верхний треугольная матрица имея $λ 1, \dots, λ п$ по главной диагонали. Напротив, детерминант из $А$ это товар собственных значений; то есть,

{ displaystyle det ( mathbf {A}) = prod _ {i} lambda _ {i}.}

В более общем смысле,

{ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ {k} right) = sum _ {i} lambda _ {i} ^ {k}.}

Производные

След соответствует производной определителя: это Алгебра Ли аналог (Группа Ли ) карта определителя. Это уточняется в Формула Якоби для производная из детерминант.

Как частный случай, на личности, производная определителя фактически составляет след: $tr = det ' я$ . Из этого (или из связи между следом и собственными значениями) можно вывести связь между функцией следа, экспоненциальным отображением между алгеброй Ли и ее группой Ли (или, конкретно, матричная экспонента функция), а детерминант:

{ Displaystyle det ( ехр ( mathbf {A})) = ехр ( OperatorName {tr} ( mathbf {A})).}

Например, рассмотрим однопараметрическое семейство линейных преобразований, задаваемых поворотом на угол $θ$ ,

{ displaystyle mathbf {R} _ { theta} = { begin {pmatrix} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {pmatrix}}.}

Все эти преобразования имеют определитель 1, поэтому они сохраняют площадь. Производная этого семейства при $θ = 0$ , единичный поворот, - антисимметричная матрица

{ displaystyle A = { begin {pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {pmatrix}}}

который явно имеет нулевой след, что указывает на то, что эта матрица представляет собой бесконечно малое преобразование, сохраняющее площадь.

Соответствующая характеристика трассы применяется к линейному векторные поля. Учитывая матрицу $А$ , определим векторное поле $F$ на $р п$ к $F (Икс) = Топор$ . Компоненты этого векторного поля являются линейными функциями (заданными строками $А$ ). Его расхождение $div F$ - постоянная функция, значение которой равно $tr (А)$ .

Посредством теорема расходимости, это можно интерпретировать в терминах потоков: если $F (Икс)$ представляет скорость жидкости в точке $Икс$ и $U$ это регион в $р п$ , то поток данных, передающихся по сети жидкости из $U$ дан кем-то $tr (А) \cdot Объем (U)$ , куда $объем (U)$ это объем из $U$ .

След - линейный оператор, поэтому он коммутирует с производной:

{ displaystyle operatorname {d} operatorname {tr} ( mathbf {X}) = operatorname {tr} ( operatorname {d} mathbf {X}).}

Приложения

След 2 × 2 комплексная матрица используется для классификации Преобразования Мебиуса. Сначала матрица нормализуется так, чтобы ее детерминант равно единице. Тогда, если квадрат следа равен 4, соответствующее преобразование будет параболический. Если квадрат находится в интервале [0,4), это эллиптический. Наконец, если квадрат больше 4, преобразование будет локсодромный. Видеть классификация преобразований Мёбиуса.

Трассировка используется для определения символы из групповые представления. Два представления $А, B : грамм \to GL (V)$ группы $грамм$ равноценны (до смены базы на $V$ ) если $tr (А (грамм)) = tr (B (грамм))$ для всех $грамм \in грамм$ .

След также играет центральную роль в распределении квадратичные формы.

Алгебра Ли

След - это отображение алгебр Ли ${ displaystyle operatorname {tr}: { mathfrak {gl}} _ {n} to K}$ из алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$ линейных операторов на $п$ -мерное пространство ( $п \times п$ матрицы с записями в ${ displaystyle K}$ ) в алгебру Ли $K$ скаляров; в качестве $K$ абелева (скобка Ли равна нулю), то, что это отображение алгебр Ли, в точности означает, что след скобки равен нулю:

{ displaystyle operatorname {tr} ([ mathbf {A}, mathbf {B}]) = 0 { text {для каждого}} mathbf {A}, mathbf {B} in { mathfrak { gl}} _ {n}.}

Ядро этой карты, матрица, след которой нуль, часто говорят, что бесследный или же без следов, и эти матрицы образуют простая алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n}}$ , какой Алгебра Ли из специальная линейная группа матриц с определителем 1. Специальная линейная группа состоит из матриц, не меняющих объема, а специальная линейная алгебра Ли - матрицы, не меняющие объема бесконечно малый наборы.

На самом деле есть внутренний прямая сумма разложение ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n} = { mathfrak {sl}} _ {n} oplus K}$ операторов / матриц в бесследные операторы / матрицы и скалярные операторы / матрицы. Карта проекции на скалярные операторы может быть выражена в терминах следа, в частности, как:

{ displaystyle mathbf {A} mapsto { frac {1} {n}} operatorname {tr} ( mathbf {A}) mathbf {I}.}

Формально можно составить след ( графство map) с картой объекта ${ displaystyle K to { mathfrak {gl}} _ {n}}$ "включения скаляры "получить карту ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n} to { mathfrak {gl}} _ {n}}$ отображение на скаляры и умножение на $п$ . Деление на $п$ делает это проекцией, получая формулу выше.

С точки зрения короткие точные последовательности, надо

{ displaystyle 0 to { mathfrak {sl}} _ {n} to { mathfrak {gl}} _ {n} { overset { operatorname {tr}} { to}} K to 0}

что аналогично

{ displaystyle 1 to operatorname {SL} _ {n} to operatorname {GL} _ {n} { overset { det} { to}} K ^ {*} to 1}

(куда ${ Displaystyle К ^ {*} = К setminus {0 }}$ ) для групп Ли. Однако след расщепляется естественным образом (через ${ displaystyle 1 / n}$ умножить на скаляры) так ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n} = { mathfrak {sl}} _ {n} oplus K}$ , но расщепление определителя будет как $п$ умножение корня th на скаляры, и это в общем случае не определяет функцию, поэтому определитель не разбивается, и общая линейная группа не распадается:

{ displaystyle operatorname {GL} _ {n} neq operatorname {SL} _ {n} times K ^ {*}.}

Билинейные формы

В билинейная форма (куда $Икс$ , $Y$ квадратные матрицы)

{ displaystyle B ( mathbf {X}, mathbf {Y}) = operatorname {tr} ( operatorname {ad} ( mathbf {X}) operatorname {ad} ( mathbf {Y})) quad { text {where}} operatorname {ad} ( mathbf {X}) mathbf {Y} = [ mathbf {X}, mathbf {Y}] = mathbf {X} mathbf {Y} - mathbf {Y} mathbf {X}}

называется Форма убийства, который используется для классификации алгебр Ли.

След определяет билинейную форму:

{ displaystyle ( mathbf {X}, mathbf {Y}) mapsto operatorname {tr} ( mathbf {X} mathbf {Y}).}

Форма симметричная, невырожденная.^{[примечание 4]} и ассоциативным в том смысле, что:

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {X} [ mathbf {Y}, mathbf {Z}]) = operatorname {tr} ([ mathbf {X}, mathbf {Y}] mathbf {Z}).}

Для сложной простой алгебры Ли (такой как ${ displaystyle { mathfrak {sl}}}$ ) каждая такая билинейная форма пропорциональна друг другу; в частности, к форме убийства.

Две матрицы $Икс$ и $Y$ как говорят след ортогональный если

{ Displaystyle OperatorName {tr} ( mathbf {X} mathbf {Y}) = 0}

.

Внутренний продукт

Для $м \times п$ матрица $А$ со сложными (или реальными) записями и ^ЧАС будучи сопряженным транспонированием, мы имеем

{ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { mathsf {H}} mathbf {A} right) geq 0}

с равенством если и только если $А = 0$ .^[5]^:7

Назначение

{ displaystyle langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle = operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { mathsf {H}} mathbf {B} right)}

дает внутренний продукт на пространстве всего сложного (или реального) $м \times п$ матрицы.

В норма полученный из указанного выше внутреннего продукта, называется Норма Фробениуса, который удовлетворяет субмультипликативному свойству как матричная норма. Действительно, это просто Евклидова норма если матрица рассматривается как вектор длины $м \cdot п$ .

Отсюда следует, что если $А$ и $B$ настоящие положительные полуопределенные матрицы того же размера тогда

{ displaystyle 0 leq left [ operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) right] ^ {2} leq operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { 2} right) operatorname {tr} left ( mathbf {B} ^ {2} right) leq left [ operatorname {tr} ( mathbf {A}) right] ^ {2} left [ operatorname {tr} ( mathbf {B}) right] ^ {2}.}

^{[примечание 5]}

Обобщения

Понятие следа матрицы обобщается на класс трассировки из компактные операторы на Гильбертовы пространства, и аналог Норма Фробениуса называется Гильберта-Шмидта норма.

Если $K$ является трассировочным, то для любого ортонормированный базис ${ displaystyle ( varphi _ {n}) _ {n}}$ , след задается

{ displaystyle operatorname {tr} (K) = sum _ {n} left langle varphi _ {n}, K varphi _ {n} right rangle,}

и конечна и не зависит от ортонормированного базиса.^[6]

В частичный след является еще одним операторнозначным обобщением следа. След линейного оператора $Z$ который живет на пространстве продукта $А \otimes B$ равна частичным трассам по $А$ и $B$ :

{ displaystyle operatorname {tr} (Z) = operatorname {tr} _ {A} left ( operatorname {tr} _ {B} (Z) right) = operatorname {tr} _ {B} left ( operatorname {tr} _ {A} (Z) right).}

Дополнительные свойства и обобщение частичного следа см. отслеживаемые моноидальные категории.

Если $А$ генерал ассоциативная алгебра над полем $k$ , затем след на $А$ часто определяется как любая карта $tr: А \mapsto k$ который обращается в нуль на коммутаторах: $tr ([а, б])$ для всех $а, б \in А$ . Такой след не определяется однозначно; его всегда можно изменить, по крайней мере, умножением на ненулевой скаляр.

А суперслед является обобщением следа на установку супералгебры.

Работа тензорное сжатие обобщает след на произвольные тензоры.

Безкоординатное определение

К следу можно также подойти безкоординатным способом, т.е. без обращения к выбору базиса, следующим образом: пространство линейных операторов в конечномерном векторном пространстве $V$ (определяется по полю $F$ ) изоморфно пространству $V \otimes V *$ через линейную карту

{ Displaystyle V otimes V ^ {*} to operatorname {Hom} (V, V), v otimes h mapsto (w mapsto h (w) v).}

Также существует каноническая билинейная функция $т : V \times V * \to F$ который состоит из применения элемента $ш *$ из $V *$ к элементу $v$ из $V$ получить элемент $F$ :

{ displaystyle t left (v, w ^ {*} right): = w ^ {*} (v) in F.}

Это индуцирует линейную функцию на тензорное произведение (к его универсальное свойство ) $т : V \otimes V * \to F$ , который, как оказывается, если рассматривать это тензорное произведение как пространство операторов, равен следу.

В частности, учитывая оператор первого ранга $А$ (эквивалентно, a простой тензор ${ displaystyle v otimes w ^ {*}}$ ) квадрат ${ displaystyle A ^ {2} = lambda A,}$ потому что на его одномерном изображении $А$ это просто скалярное умножение. В терминах тензорного выражения ${ displaystyle lambda = w ^ {*} (v),}$ и это след (и только ненулевое собственное значение) $А$ ; это дает безкоординатную интерпретацию диагонального входа. Каждый оператор на $п$ -мерное пространство можно выразить как сумму $п$ операторы первого ранга; это дает версию суммы диагональных элементов без координат.

Это также проясняет, почему $tr (AB) = tr (BA)$ и почему $tr (AB) \neq tr (А) tr (B)$ , как композицию операторов (умножение матриц) и след можно интерпретировать как одинаковый спаривание. Просмотр

{ displaystyle operatorname {End} (V) cong V otimes V ^ {*},}

можно интерпретировать композиционную карту

{ displaystyle operatorname {End} (V) times operatorname {End} (V) to operatorname {End} (V)}

в качестве

{ displaystyle (V otimes V ^ {*}) times (V otimes V ^ {*}) to (V otimes V ^ {*})}

исходящий из пары $V * \times V \to F$ на средние сроки. Отслеживание следа продукта происходит в результате спаривания по внешним терминам, при взятии продукта в обратном порядке и последующем взятии следа просто выбирается, какое спаривание применяется первым. С другой стороны, взяв след $А$ и след $B$ соответствует применению спаривания к левым и правым элементам (а не к внутренним и внешним) и, таким образом, отличается.

В координатах это соответствует индексам: умножение дается на

{ displaystyle ( mathbf {A} mathbf {B}) _ {ik} = sum _ {j} a_ {ij} b_ {jk},}

так

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = sum _ {ij} a_ {ij} b_ {ji} quad { text {and}} quad operatorname {tr } ( mathbf {B} mathbf {A}) = sum _ {ij} b_ {ij} a_ {ji}}

что то же самое, а

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) cdot operatorname {tr} ( mathbf {B}) = sum _ {i} a_ {ii} cdot sum _ {j} b_ { jj},}

что другое.

Для конечномерных $V$ , с основанием ${е я}$ и двойная основа ${е я}$ , тогда $е я \otimes е j$ это $ij$ -ввод матрицы оператора относительно этого базиса. Любой оператор $А$ поэтому является суммой вида

{ displaystyle mathbf {A} = a_ {ij} e_ {i} otimes e ^ {j}.}

С $т$ определено, как указано выше,

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) = a_ {ij} operatorname {tr} left (e_ {i} otimes e ^ {j} right).}

Последнее, однако, как раз Дельта Кронекера, равный 1, если $я = j$ и 0 в противном случае. Это показывает, что $tr (А)$ представляет собой просто сумму коэффициентов по диагонали. Однако этот метод делает координатную инвариантность прямым следствием определения.

Двойной

Далее, можно дуализировать эту карту, получив карту

{ displaystyle F ^ {*} = F to V otimes V ^ {*} cong operatorname {End} (V).}

Это отображение и есть включение скаляры, отправка $1 \in F$ к единичной матрице: «след двойственен скалярам». На языке биалгебры, скаляры - это единица измерения, а след - это графство.

Затем можно составить их,

{ displaystyle F ~ { overset {I} { to}} ~ operatorname {End} (V) ~ { overset { operatorname {tr}} { to}} ~ F,}

что дает умножение на $п$ , поскольку след идентичности - это размерность векторного пространства.

Обобщения

Используя понятие дуализируемые объекты и категоричные следы этот подход к следам может быть плодотворно аксиоматизирован и применен к другим областям математики.

Смотрите также

Примечания

^ Это сразу следует из определения матричный продукт:
${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = sum _ {i = 1} ^ {m} left ( mathbf {A} mathbf {B} right) _ {ii} = sum _ {i = 1} ^ {m} sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} b_ {ji} = sum _ {j = 1} ^ {n} сумма _ {i = 1} ^ {m} b_ {ji} a_ {ij} = sum _ {j = 1} ^ {n} left ( mathbf {B} mathbf {A} right) _ { jj} = operatorname {tr} ( mathbf {B} mathbf {A})}$ .
^ Доказательство: $ж (е ij) = 0$ если и только если $я \neq j$ и $ж (е jj) = ж (е 11)$ (со стандартной базой $е ij$ ), и поэтому
${ displaystyle f ( mathbf {A}) = sum _ {i, j} [ mathbf {A}] _ {ij} f left (e_ {ij} right) = sum _ {i} [ mathbf {A}] _ {ii} f left (e_ {11} right) = f left (e_ {11} right) operatorname {tr} ( mathbf {A}).}$
Более абстрактно это соответствует разложению
${ displaystyle { mathit {gl}} _ {n} = { mathit {sl}} _ {n} oplus k,}$
в качестве $tr (AB) = tr (BA)$ (эквивалентно, $tr ([А, B]) = 0$ ) определяет след на $сл п$ , который дополняет скалярные матрицы и оставляет одну степень свободы: любая такая карта определяется своим значением на скалярах, которое является одним скалярным параметром и, следовательно, все они кратны следу, ненулевое такое отображение.
^ Доказательство: ${ displaystyle { mathfrak {sl}}}$ это полупростая алгебра Ли и, таким образом, каждый элемент в нем является линейной комбинацией коммутаторов некоторых пар элементов, в противном случае производная алгебра было бы подходящим идеалом.
^ Это следует из того, что $tr (А * А) = 0$ если и только если $А = 0$ .
^ Это можно доказать с помощью Неравенство Коши – Шварца.

внешняя ссылка

«След квадратной матрицы», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[5] Это сразу следует из определения матричный продукт:
${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = sum _ {i = 1} ^ {m} left ( mathbf {A} mathbf {B} right) _ {ii} = sum _ {i = 1} ^ {m} sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} b_ {ji} = sum _ {j = 1} ^ {n} сумма _ {i = 1} ^ {m} b_ {ji} a_ {ij} = sum _ {j = 1} ^ {n} left ( mathbf {B} mathbf {A} right) _ { jj} = operatorname {tr} ( mathbf {B} mathbf {A})}$ .

[6] Доказательство: $ж (е ij) = 0$ если и только если $я \neq j$ и $ж (е jj) = ж (е 11)$ (со стандартной базой $е ij$ ), и поэтому
${ displaystyle f ( mathbf {A}) = sum _ {i, j} [ mathbf {A}] _ {ij} f left (e_ {ij} right) = sum _ {i} [ mathbf {A}] _ {ii} f left (e_ {11} right) = f left (e_ {11} right) operatorname {tr} ( mathbf {A}).}$
Более абстрактно это соответствует разложению
${ displaystyle { mathit {gl}} _ {n} = { mathit {sl}} _ {n} oplus k,}$
в качестве $tr (AB) = tr (BA)$ (эквивалентно, $tr ([А, B]) = 0$ ) определяет след на $сл п$ , который дополняет скалярные матрицы и оставляет одну степень свободы: любая такая карта определяется своим значением на скалярах, которое является одним скалярным параметром и, следовательно, все они кратны следу, ненулевое такое отображение.

[7] Доказательство: ${ displaystyle { mathfrak {sl}}}$ это полупростая алгебра Ли и, таким образом, каждый элемент в нем является линейной комбинацией коммутаторов некоторых пар элементов, в противном случае производная алгебра было бы подходящим идеалом.

[8] Это следует из того, что $tr (А * А) = 0$ если и только если $А = 0$ .

[10] Это можно доказать с помощью Неравенство Коши – Шварца.

[:0-1] а ^б «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-09-09.

[:1-2] а ^б ^c ^d ^е «Ранг, след, определитель, транспонирование и инверсия матриц». fourier.eng.hmc.edu. Получено 2020-09-09.

[:2-3] а ^б ^c ^d Вайсштейн, Эрик В. «Матричный след». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-09-09.

[LipschutzLipson-4] а ^б ^c ^d Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (сентябрь 2005 г.). Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума. Макгроу-Хилл. ISBN 9780070605022.

[HornJohnson-9] Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521839402.

[11] Тешл, Г. (30 октября 2014 г.). Математические методы в квантовой механике. Аспирантура по математике. 157 (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-1470417048.

[1]

[2]

[3]

[4]

[примечание 1]

[заметка 2]

[заметка 3]

[примечание 4]

[5]

[примечание 5]

[6]

След (линейная алгебра) - Википедия - Trace (linear algebra)

Содержание

Определение

Пример

Характеристики

Основные свойства

След продукта

Циклическое свойство

След матричного произведения

След продукта Кронекера

Полная характеристика следа

Инвариантность подобия

След произведения симметричной и кососимметричной матрицы

Отношение к собственным значениям

След единичной матрицы

След идемпотентной матрицы

След нильпотентной матрицы

Трассировка равна сумме собственных значений

След коммутатора

След эрмитовой матрицы

След матрицы перестановок

След матрицы проекции

Экспоненциальный след

След линейного оператора

Отношения собственных значений

Производные

Приложения

Алгебра Ли

Билинейные формы

Внутренний продукт

Обобщения

Безкоординатное определение

Двойной

Обобщения

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка