Скалярное произведение - Dot product

В математика, то скалярное произведение или скалярное произведение^{[примечание 1]} является алгебраическая операция который принимает две последовательности чисел одинаковой длины (обычно векторы координат ) и возвращает одно число. В Евклидова геометрия, точечный продукт Декартовы координаты из двух векторов широко используется. Его часто называют "The" внутренний продукт (или редко проекционный продукт) евклидова пространства, хотя это не единственный внутренний продукт, который может быть определен на евклидовом пространстве (см. Внутреннее пространство продукта для большего).

Алгебраически скалярное произведение - это сумма продукты соответствующих записей двух последовательностей чисел. Геометрически это продукт Евклидовы величины двух векторов и косинус угла между ними. Эти определения эквивалентны при использовании декартовых координат. В современном геометрия, Евклидовы пространства часто определяются с помощью векторные пространства. В этом случае скалярное произведение используется для определения длин (длина вектора - это квадратный корень скалярного произведения вектора на себя самого) и углов (косинус угла двух векторов равен частное их скалярного произведения на произведение их длин).

Название «скалярный продукт» происходит от центрированная точка " · ", что часто используется для обозначения этой операции;^[1][2] альтернативное название «скалярный продукт» подчеркивает, что результатом является скаляр, а не вектор, как и в случае векторный продукт в трехмерном пространстве.

Определение

Скалярное произведение может быть определено алгебраически или геометрически. Геометрическое определение основано на понятиях угла и расстояния (величины векторов). Эквивалентность этих двух определений зависит от наличия Декартова система координат для евклидова пространства.

В современных представлениях Евклидова геометрия, точки пространства определяются в терминах их Декартовы координаты, и Евклидово пространство сам по себе обычно отождествляется с реальное координатное пространство р^п. В таком представлении понятия длины и углов определяются посредством скалярного произведения. Длина вектора определяется как квадратный корень скалярного произведения вектора, а косинус (неориентированного) угла двух векторов длины один определяется как их скалярное произведение. Таким образом, эквивалентность двух определений скалярного произведения является частью эквивалентности классической и современной формулировок евклидовой геометрии.

Алгебраическое определение

Скалярное произведение двух векторов а = [а₁, а₂, …, а_п] и б = [б₁, б₂, …, б_п] определяется как:^[3]

${ displaystyle mathbf { color {red} a} cdot mathbf { color {blue} b} = sum _ {i = 1} ^ {n} { color {red} a} _ {i} { color {blue} b} _ {i} = { color {red} a} _ {1} { color {blue} b} _ {1} + { color {red} a} _ {2} { color {blue} b} _ {2} + cdots + { color {red} a} _ {n} { color {blue} b} _ {n}}$

где Σ обозначает суммирование и п это измерение из векторное пространство. Например, в трехмерное пространство, скалярное произведение векторов [1, 3, −5] и [4, −2, −1] является:

${ displaystyle { begin {align} [{ color {red} 1,3, -5}] cdot [{ color {blue} 4, -2, -1}] & = ({ color { красный} 1} times { color {blue} 4}) + ({ color {red} 3} times { color {blue} -2}) + ({ color {red} -5} times { color {blue} -1}) & = 4-6 + 5 & = 3 end {align}}}$

Если векторы отождествляются с матрицы строк, скалярное произведение также можно записать как матричный продукт

${ displaystyle mathbf { color {красный} a} cdot mathbf { color {blue} b} = mathbf { color {red} a} mathbf { color {blue} b} ^ { mathsf {T}},}$

где ${ displaystyle mathbf { color {синий} b} ^ { mathsf {T}}}$ обозначает транспонировать из ${ displaystyle mathbf { color {синий} b}}$.

Выражая приведенный выше пример таким образом, матрица размером 1 × 3 (вектор строки ) умножается на матрицу 3 × 1 (вектор столбца ), чтобы получить матрицу 1 × 1, которая идентифицируется с ее уникальной записью:

${ displaystyle { begin {bmatrix} color {red} 1 & color {red} 3 & color {red} -5 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} color {blue} 4 цвет {синий} -2 цвет {синий} -1 end {bmatrix}} = color {фиолетовый} 3}$.

Геометрическое определение

Иллюстрация, показывающая, как найти угол между векторами с помощью скалярного произведения

Расчет валентных углов симметричной тетраэдрическая молекулярная геометрия с использованием точечного произведения

В Евклидово пространство, а Евклидов вектор - геометрический объект, обладающий как величиной, так и направлением. Вектор можно представить в виде стрелки. Его величина - это его длина, а его направление - это направление, на которое указывает стрелка. Величина вектора а обозначается ${ Displaystyle влево | mathbf {а} вправо |}$. Скалярное произведение двух евклидовых векторов а и б определяется^[4][5][2]

${ Displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = | mathbf {a} | | mathbf {b} | cos theta,}$

где θ это угол между а и б.

В частности, если векторы а и б находятся ортогональный (т.е. их угол π / 2 или 90 °), то ${ displaystyle cos { frac { pi} {2}} = 0}$, откуда следует, что

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = 0.}$

С другой стороны, если они сонаправлены, то угол между ними равен нулю с ${ Displaystyle соз 0 = 1}$ и

${ Displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = left | mathbf {a} right | , left | mathbf {b} right |}$

Это означает, что скалярное произведение вектора а сам с собой

${ Displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {a} = left | mathbf {a} right | ^ {2},}$

который дает

${ displaystyle left | mathbf {a} right | = { sqrt { mathbf {a} cdot mathbf {a}}},}$

формула для Евклидова длина вектора.

Скалярная проекция и первые свойства

Скалярная проекция

В скалярная проекция (или скалярная составляющая) евклидова вектора а в направлении евклидова вектора б дан кем-то

${ displaystyle a_ {b} = left | mathbf {a} right | cos theta,}$

где θ угол между а и б.

С точки зрения геометрического определения скалярного произведения это можно переписать

${ displaystyle a_ {b} = mathbf {a} cdot { widehat { mathbf {b}}},}$

где ${ displaystyle { widehat { mathbf {b}}} = mathbf {b} / left | mathbf {b} right |}$ это единичный вектор в направлении б.

Закон распределения для скалярного произведения

Таким образом, скалярное произведение геометрически характеризуется^[6]

${ Displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = a_ {b} left | mathbf {b} right | = b_ {a} left | mathbf {a} right |.}$

Скалярное произведение, определенное таким образом, является однородным при масштабировании по каждой переменной, что означает, что для любого скаляра α,

${ Displaystyle ( альфа mathbf {a}) cdot mathbf {b} = alpha ( mathbf {a} cdot mathbf {b}) = mathbf {a} cdot ( alpha mathbf { б}).}$

Он также удовлетворяет распределительный закон, означающий, что

${ displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b} + mathbf {c}) = mathbf {a} cdot mathbf {b} + mathbf {a} cdot mathbf {c}. }$

Эти свойства можно резюмировать, сказав, что скалярное произведение - это билинейная форма. Более того, эта билинейная форма положительно определенный, которое значит что${ Displaystyle mathbf {а} cdot mathbf {а}}$никогда не бывает отрицательным и равен нулю тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle mathbf {а} = mathbf {0}}$- нулевой вектор.

Таким образом, скалярное произведение эквивалентно умножению нормы (длины) б по норме проекции а над б.

Эквивалентность определений

Если е₁, ..., е_п являются стандартные базисные векторы в р^п, тогда мы можем написать

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a} & = [a_ {1}, dots, a_ {n}] = sum _ {i} a_ {i} mathbf {e} _ {i} mathbf {b} & = [b_ {1}, dots, b_ {n}] = sum _ {i} b_ {i} mathbf {e} _ {i}. end {выравнивается}} }$

Векторы е_я являются ортонормированный базис, что означает, что они имеют единичную длину и расположены под прямым углом друг к другу. Следовательно, поскольку эти векторы имеют единичную длину

${ Displaystyle mathbf {е} _ {я} cdot mathbf {е} _ {я} = 1}$

и поскольку они образуют прямые углы друг с другом, если я ≠ j,

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {j} = 0.}$

Таким образом, в целом можно сказать, что:

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {j} = delta _ {ij}.}$

Где δ _ij это Дельта Кронекера.

Компоненты вектора в ортонормированном базисе

Также по геометрическому определению для любого вектора е_я и вектор а, мы заметили

${ Displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {e} _ {i} = left | mathbf {a} right | , left | mathbf {e} _ {i} right | cos theta _ {i} = left | mathbf {a} right | cos theta _ {i} = a_ {i},}$

где а_я компонент вектора а в направлении е_я. Последний шаг в равенстве видно из рисунка.

Теперь применение дистрибутивности геометрической версии скалярного произведения дает

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = mathbf {a} cdot sum _ {i} b_ {i} mathbf {e} _ {i} = sum _ {i} b_ {i} ( mathbf {a} cdot mathbf {e} _ {i}) = sum _ {i} b_ {i} a_ {i} = sum _ {i} a_ {i} b_ {i },}$

что и есть алгебраическое определение скалярного произведения. Таким образом, геометрическое скалярное произведение равно алгебраическому скалярному произведению.

Свойства

Скалярное произведение выполняет следующие свойства, если а, б, и c настоящие векторов и р это скаляр.^[3][4]

1. Коммутативный:

   ${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = mathbf {b} cdot mathbf {a},}$

   что следует из определения (θ угол между а и б):^[7]

   ${ Displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = left | mathbf {a} right | left | mathbf {b} right | cos theta = left | mathbf {b} right | left | mathbf {a} right | cos theta = mathbf {b} cdot mathbf {a}.}$

2. Распределительный над векторным сложением:

   ${ displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b} + mathbf {c}) = mathbf {a} cdot mathbf {b} + mathbf {a} cdot mathbf {c}. }$

3. Билинейный:

   ${ displaystyle mathbf {a} cdot (r mathbf {b} + mathbf {c}) = r ( mathbf {a} cdot mathbf {b}) + ( mathbf {a} cdot mathbf {c}).}$

4. Скалярное умножение:

   ${ Displaystyle (c_ {1} mathbf {a}) cdot (c_ {2} mathbf {b}) = c_ {1} c_ {2} ( mathbf {a} cdot mathbf {b}) .}$

5. Не ассоциативный потому что скалярное произведение между скаляром (а ⋅ б) и вектор (c) не определено, что означает, что выражения, участвующие в ассоциативном свойстве, (а ⋅ б) ⋅ c или а ⋅ (b ⋅ c) оба плохо определены.^[8] Обратите внимание, однако, что ранее упомянутое свойство скалярного умножения иногда называют «законом ассоциации для скалярного и скалярного произведения».^[9] или можно сказать, что «скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного умножения», потому что c (а ⋅ б) = (c а) ⋅ б = а ⋅ (c б).^[10]
6. Ортогональный:

   Два ненулевых вектора а и б находятся ортогональный если и только если а ⋅ б = 0.

7. Нет отмена:

   В отличие от умножения обычных чисел, где если ab = ac, тогда б всегда равно c если только а равно нулю, точечное произведение не подчиняется закон об отмене:

   Если а ⋅ б = а ⋅ c и а ≠ 0, то мы можем написать: а ⋅ (б − c) = 0 посредством распределительный закон; результат выше говорит, что это просто означает, что а перпендикулярно (б − c), что по-прежнему позволяет (б − c) ≠ 0, и поэтому позволяет б ≠ c.

8. Правило продукта:

   Если а и б являются (векторнозначными) дифференцируемые функции, то производная (обозначается штрихом ′) Из а ⋅ б дается правилом (а ⋅ б)′ = а′ ⋅ б + а ⋅ б′.

Приложение к закону косинусов

Треугольник с векторными краями а и б, разделенные углом θ.

Учитывая два вектора а и б разделены углом θ (см. изображение справа), они образуют треугольник с третьей стороной c = а − б. Точечный продукт этого с самим собой:

${ displaystyle { begin {align} mathbf { color {gold} c} cdot mathbf { color {gold} c} & = ( mathbf { color {red} a} - mathbf { color {синий} b}) cdot ( mathbf { color {red} a} - mathbf { color {blue} b}) & = mathbf { color {red} a} cdot mathbf { color {red} a} - mathbf { color {red} a} cdot mathbf { color {blue} b} - mathbf { color {blue} b} cdot mathbf { color {red } a} + mathbf { color {blue} b} cdot mathbf { color {blue} b} & = { color {red} a} ^ {2} - mathbf { color {красный } a} cdot mathbf { color {blue} b} - mathbf { color {red} a} cdot mathbf { color {blue} b} + { color {blue} b} ^ {2 } & = { color {red} a} ^ {2} -2 mathbf { color {red} a} cdot mathbf { color {blue} b} + { color {blue} b} ^ {2} { color {gold} c} ^ {2} & = { color {red} a} ^ {2} + { color {blue} b} ^ {2} -2 { color {красный} a} { color {синий} b} cos { color {purple} theta} конец {выровненный}}}$

какой закон косинусов.

Тройной продукт

Есть два тернарные операции с использованием скалярного произведения и перекрестное произведение.

В скалярное тройное произведение трех векторов определяется как

${ Displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}) = mathbf {b} cdot ( mathbf {c} times mathbf {a}) = mathbf { c} cdot ( mathbf {a} times mathbf {b}).}$

Его ценность - это детерминант матрицы, столбцы которой являются Декартовы координаты из трех векторов. Это подписанный объем из Параллелепипед определяется тремя векторами.

В вектор тройное произведение определяется^[3][4]

${ displaystyle mathbf {a} times ( mathbf {b} times mathbf {c}) = mathbf {b} ( mathbf {a} cdot mathbf {c}) - mathbf {c} ( mathbf {a} cdot mathbf {b}).}$

Эта личность, также известная как Формула Лагранжа, можно вспомнить как «BAC минус CAB», имея в виду, какие векторы соединены точками. Эта формула может применяться для упрощения векторных вычислений в физика.

Физика

В физика, величина вектора равна скаляр в физическом смысле (т.е. физическое количество независимо от системы координат), выраженное как товар из численная величина и физическая единица, а не просто число. Скалярное произведение также является скаляром в этом смысле, задаваемым формулой, независимо от системы координат. Например:^[11][12]

• Механическая работа это точечный продукт сила и смещение векторы,
• Мощность скалярное произведение сила и скорость.

Обобщения

Комплексные векторы

Для векторов с сложный записи, используя данное определение скалярного произведения, приведет к совершенно другим свойствам. Например, скалярное произведение вектора с самим собой было бы произвольным комплексным числом и могло бы быть равным нулю, если бы вектор не был нулевым вектором (такие векторы называются изотропный ); это, в свою очередь, будет иметь последствия для таких понятий, как длина и угол. Такие свойства, как положительно определенная норма, могут быть сохранены за счет отказа от симметричных и билинейных свойств скалярного произведения с помощью альтернативного определения^[13][3]

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = sum {a_ {i} { overline {b_ {i}}}},}$

где б_я это комплексно сопряженный из б_я. Это также может быть выражено через сопряженный транспонировать (обозначается надстрочным индексом ЧАС):

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = mathbf {a} mathbf {b} ^ {H}.}$

где векторы были представлены в виде векторов-строк. Тогда скалярное произведение любого вектора на себя является неотрицательным действительным числом и отличным от нуля, за исключением нулевого вектора. Однако это скалярное произведение, таким образом, полуторалинейный а не билинейный: это сопряженный линейный и не линейно по а, а скалярное произведение не симметрично, так как

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = { overline { mathbf {b} cdot mathbf {a}}}.}$

Угол между двумя комплексными векторами тогда определяется как

${ displaystyle cos theta = { frac { operatorname {Re} ( mathbf {a} cdot mathbf {b})} { left | mathbf {a} right | , left | mathbf {b} right |}}.}$

Тем не менее, этот тип скалярного произведения полезен и приводит к понятиям Эрмитова форма и вообще внутренние пространства продукта Самостоятельное скалярное произведение комплексного вектора ${ Displaystyle mathbf {а} cdot mathbf {а}}$ является обобщением абсолютный квадрат комплексного скаляра.

Внутренний продукт

Внутренний продукт обобщает скалярный продукт на абстрактные векторные пространства через поле из скаляры, являясь либо областью действительные числа ${ Displaystyle mathbb {R}}$ или поле сложные числа ${ Displaystyle mathbb {C}}$. Обычно обозначается с помощью угловые скобки от ${ displaystyle left langle mathbf {a} ,, mathbf {b} right rangle}$.^[1]

Внутреннее произведение двух векторов над полем комплексных чисел, как правило, является комплексным числом и равно полуторалинейный вместо билинейного. Внутреннее пространство продукта - это нормированное векторное пространство, а внутреннее произведение вектора на себя является действительным и положительно определенным.

Функции

Скалярное произведение определяется для векторов, которые имеют конечное число записи. Таким образом, эти векторы можно рассматривать как дискретные функции: длина-п вектор ты является функцией с домен {k ∈ ℕ ∣ 1 ≤ k ≤ п}, и ты_я обозначение изображения я функцией / вектором ты.

Это понятие можно обобщить на непрерывные функции: так же, как внутреннее произведение векторов использует сумму по соответствующим компонентам, внутреннее произведение функций определяется как интеграл по некоторым интервал а ≤ Икс ≤ б (также обозначается [а, б]):^[3]

${ displaystyle left langle u, v right rangle = int _ {a} ^ {b} u (x) v (x) dx}$

Обобщено далее на сложные функции ψ(Икс) и χ(Икс)по аналогии со сложным внутренним продуктом выше дает^[3]

${ displaystyle left langle psi, chi right rangle = int _ {a} ^ {b} psi (x) { overline { chi (x)}} dx.}$

Весовая функция

Внутренние продукты могут иметь весовая функция (то есть функция, которая взвешивает каждый член внутреннего продукта со значением). Явно внутренний продукт функций ${ Displaystyle и (х)}$ и ${ Displaystyle v (х)}$ относительно весовой функции ${ Displaystyle г (х)> 0}$ является

${ displaystyle left langle u, v right rangle = int _ {a} ^ {b} r (x) u (x) v (x) dx.}$

Диадики и матрицы

Матрицы иметь Внутренний продукт Фробениуса, который аналогичен векторному внутреннему произведению. Он определяется как сумма произведений соответствующих компонентов двух матриц А и B одинакового размера:

${ displaystyle mathbf {A}: mathbf {B} = sum _ {i} sum _ {j} A_ {ij} { overline {B_ {ij}}} = mathrm {tr} ( mathbf {B} ^ { mathrm {H}} mathbf {A}) = mathrm {tr} ( mathbf {A} mathbf {B} ^ { mathrm {H}}).}$

${ displaystyle mathbf {A}: mathbf {B} = sum _ {i} sum _ {j} A_ {ij} B_ {ij} = mathrm {tr} ( mathbf {B} ^ { mathrm {T}} mathbf {A}) = mathrm {tr} ( mathbf {A} mathbf {B} ^ { mathrm {T}}) = mathrm {tr} ( mathbf {A} ^ { mathrm {T}} mathbf {B}) = mathrm {tr} ( mathbf {B} mathbf {A} ^ { mathrm {T}}).}$ (Для реальных матриц)

Диадики на них определены скалярное произведение и «двойной» скалярный продукт, см. Диадика § Продукт диадики и диадики за их определения.

Тензоры

Внутренний продукт между тензор порядка п и тензор порядка м тензор порядка п + м − 2, увидеть Тензорное сжатие для подробностей.

Вычисление

Алгоритмы

Простой алгоритм вычисления скалярного произведения векторов с плавающей запятой может страдать от катастрофическая отмена. Чтобы избежать этого, такие подходы, как Алгоритм суммирования Кахана используются.

Библиотеки

Функция скалярного произведения включена в BLAS 1-й уровень.

Смотрите также

• Неравенство Коши – Шварца
• Перекрестное произведение
• Точечное произведение графа
• Евклидова норма, квадратный корень из собственного скалярного произведения
• Умножение матриц
• Метрический тензор
• Умножение векторов
• Внешний продукт

Заметки

использованная литература

внешние ссылки

• "Внутренний продукт", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Объяснение скалярного произведения, в том числе со сложными векторами
• "Скалярное произведение" Брюс Торренс, Вольфрам Демонстрационный проект, 2007.