Алгебраическая операция - Википедия - Algebraic operation

Алгебраические операции в решении задачи квадратное уровненеие. Знак радикала √ обозначает квадратный корень, эквивалентно возведение в степень в степени ½. В ± знак означает, что уравнение может быть записано либо со знаком +, либо со знаком -.

В математика, базовый алгебраическая операция один из распространенных операции из арифметика, который включает в себя добавление, вычитание, умножение, разделение, возводя в целое число мощность, и принимая корни (дробная мощность).^[1][2] Эти операции могут выполняться на числа, и в этом случае их часто называют арифметические операции. Подобным же образом они могут выполняться на переменные, алгебраические выражения,^[3] и в более общем плане по элементам алгебраические структуры, Такие как группы и поля.^[4] Алгебраическая операция также может быть определена просто как функция от Декартова степень из набор к тому же набору.^[5]

Период, термин алгебраическая операция может также использоваться для операций, которые могут быть определены путем сложения основных алгебраических операций, таких как скалярное произведение. В исчисление и математический анализ, алгебраическая операция также используется для операций, которые могут быть определены чисто алгебраические методы. Например, возведение в степень с целое число или же рациональный экспонента - это алгебраическая операция, но не общее возведение в степень с настоящий или же сложный экспонента. Так же производная это операция, которая не является алгебраической.

Обозначение

Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда нет оператора между двумя переменными или членами, или когда коэффициент используется. Например, 3 × Икс² записывается как 3Икс², и 2 × Икс × у записывается как 2ху.^[6] Иногда символы умножения заменяются точкой или центральной точкой,^[1] так что Икс × у записывается как Икс . у или же Икс · у. Простой текст, языки программирования, и калькуляторы также используйте одну звездочку для обозначения символа умножения,^[7] и он должен использоваться явно; например, 3Икс записывается как 3 * Икс.

Вместо использования двусмысленного знак деления (÷),^[а] подразделение обычно представлено винкулум, горизонтальная линия, как в 3/Икс + 1. В обычном тексте и языках программирования косая черта (также называемая солидус ), например 3 / (Икс + 1).

Экспоненты обычно форматируются с использованием надстрочных индексов,^[1] как в Икс². В простой текст, а в TeX язык разметки, каретка символ ^ представляет экспоненты, поэтому Икс² записывается как Икс ^ 2.^[9][10] В языках программирования, таких как Ада,^[11] Фортран,^[12] Perl,^[13] Python^[14] и Рубин,^[15] используется двойная звездочка, поэтому Икс² записывается как Икс ** 2.

В знак плюс-минус, ±, используется как сокращенное обозначение для двух выражений, записанных как одно, представляющих одно выражение со знаком плюс, а другое - со знаком минус.^[1] Например, у = Икс ± 1 представляет два уравнения у = Икс + 1 и у = Икс - 1. Иногда он используется для обозначения положительного или отрицательного термина, например ±Икс.

Арифметические и алгебраические операции

Алгебраические операции работают так же, как арифметические операции, как показано в таблице ниже.

Операция	Арифметика Пример	Алгебра Пример	Комментарии ≡ означает «эквивалент» ≢ означает «не эквивалентно»
Добавление	${ Displaystyle (5 раз 5) + 5 + 5 + 3}$ эквивалент: ${ displaystyle 5 ^ {2} + (2 times 5) +3}$	${ displaystyle (b times b) + b + b + a}$ эквивалент: ${ displaystyle b ^ {2} + 2b + a}$	${ displaystyle { begin {align} 2 times b & Equiv 2b b + b + b & Equiv 3b b times b & Equiv b ^ {2} end {align}}}$
Вычитание	${ displaystyle (7 times 7) -7-5}$ эквивалент: ${ displaystyle 7 ^ {2} -7-5}$	${ displaystyle (b times b) -b-a}$ эквивалент: ${ displaystyle b ^ {2} -b-a}$	${ Displaystyle { begin {выровнено} b ^ {2} -b & not эквив б 3b-b & эквив 2b b ^ {2} -b & эквив б (б-1) конец {выровнено }}}$
Умножение	${ displaystyle 3 times 5}$ или же ${ Displaystyle 3 . 5}$ или же ${ displaystyle 3 cdot 5}$ или же ${ Displaystyle (3) (5)}$	${ displaystyle a times b}$ или же ${ displaystyle a.b}$ или же ${ displaystyle a cdot b}$ или же ${ displaystyle ab}$	${ Displaystyle а раз а раз а}$ такой же как ${ displaystyle a ^ {3}}$
Разделение	${ displaystyle 12 div 4}$ или же   ${ displaystyle 12/4}$ или же   ${ displaystyle { frac {12} {4}}}$	${ displaystyle b div a}$ или же   ${ displaystyle b / a}$ или же   ${ displaystyle { frac {b} {a}}}$	${ displaystyle { frac {(a + b)} {3}} Equiv { tfrac {1} {3}} times (a + b)}$
Возведение в степень	${ displaystyle 3 ^ { frac {1} {2}}}$   ${ displaystyle 2 ^ {3}}$	${ Displaystyle а ^ { гидроразрыва {1} {2}}}$   ${ displaystyle a ^ {3}}$	${ Displaystyle а ^ { гидроразрыва {1} {2}}}$ такой же как ${ displaystyle { sqrt {a}}}$   ${ displaystyle a ^ {3}}$ такой же как ${ Displaystyle а раз а раз а}$

Примечание: использование букв ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ произвольно, и примеры были бы одинаково верными, если бы ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ были использованы.

Свойства арифметических и алгебраических операций

Свойство	Арифметика Пример	Алгебра Пример	Комментарии ≡ означает «эквивалент» ≢ означает «не эквивалентно»
Коммутативность	${ Displaystyle 3 + 5 = 5 + 3}$ ${ Displaystyle 3 раз 5 = 5 раз 3}$	${ Displaystyle а + Ь = Ь + а}$ ${ Displaystyle а раз Ь = Ь раз а}$	Сложение и умножение коммутативный и ассоциативный[16] Вычитание и деление не являются: например ${ Displaystyle (а-б) не эквив (б-а)}$
Ассоциативность	${ Displaystyle (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7)}$ ${ Displaystyle (3 раз 5) раз 7 = 3 раз (5 раз 7)}$	${ displaystyle (a + b) + c = a + (b + c)}$ ${ Displaystyle (а раз Ь) раз с = а раз (Ь раз с)}$

Смотрите также

• Алгебраическое выражение
• Алгебраическая функция
• Элементарная алгебра
• Факторизация квадратичного выражения
• Порядок действий

Примечания

Рекомендации