Квадратный корень - Square root

Обозначение (главного) квадратного корня из Икс

Например, √25 = 5, поскольку 25 = 5 ⋅ 5, или же 5² (5 в квадрате).

В математика, а квадратный корень из числа Икс это число у такой, что у² = Икс; другими словами, число у чей квадрат (результат умножения числа на само себя, или у ⋅ у) является Икс.^[1] Например, 4 и −4 - квадратные корни из 16, потому что 4² = (−4)² = 16.Каждый неотрицательный настоящий номер Икс имеет уникальный неотрицательный квадратный корень, называемый главный квадратный корень, который обозначается ${displaystyle {sqrt {x}},}$^[2] где символ ${displaystyle {sqrt {}}}$ называется радикальный знак^[3] или же основание. Например, главный квадратный корень из 9 равен 3, что обозначается как ${displaystyle {sqrt {9}} = 3,}$ потому что 3² = 3 ⋅ 3 = 9 и 3 неотрицательно. Термин (или число), квадратный корень которого рассматривается, известен как прикорневой. Подкоренное выражение - это число или выражение под знаком радикала, в данном случае 9.

Каждый положительное число Икс имеет два квадратных корня: ${displaystyle {sqrt {x}},}$ что положительно, и ${displaystyle - {sqrt {x}},}$ что отрицательно. Вместе эти два корня обозначаются как ${displaystyle pm {sqrt {x}}}$ (видеть ± стенография ). Хотя главный квадратный корень положительного числа является лишь одним из двух квадратных корней, обозначение "то квадратный корень "часто используется для обозначения главный квадратный корень. Для положительного Икс, главный квадратный корень также можно записать в виде показатель степени обозначение, как Икс^1/2.^[4][5]

Квадратные корни из отрицательных чисел можно обсуждать в рамках сложные числа. В более общем смысле, квадратные корни можно рассматривать в любом контексте, в котором определяется понятие «возведения в квадрат» некоторых математических объектов. К ним относятся функциональные пространства и квадратные матрицы, среди прочего математические структуры.

История

В Йельский вавилонский сборник YBC 7289 глиняная табличка была создана между 1800 и 1600 годами до нашей эры, показывая ${displaystyle {sqrt {2}}}$ и ${extstyle {frac {sqrt {2}} {2}} = {frac {1} {sqrt {2}}}}$ соответственно как 1; 24,51,10 и 0; 42,25,35 база 60 числа на квадрате, пересеченном двумя диагоналями.^[6] (1; 24,51,10) основание 60 соответствует 1,41421296, что является правильным значением с точностью до 5 десятичных знаков (1,41421356 ...).

В Математический папирус Райнда является копией с 1650 г. до н.э. более раннего Берлинский папирус и другие тексты - возможно, Кахун Папирус - это показывает, как египтяне извлекали квадратные корни методом обратной пропорции.^[7]

В Древняя Индия, знания теоретических и прикладных аспектов квадратного и квадратного корня были по крайней мере такими же старыми, как Сульба Сутры датируется примерно 800–500 гг. до н.э. (возможно, намного раньше).^{[нужна цитата ]} Метод нахождения очень хороших приближений к квадратным корням из 2 и 3 приведен в Баудхаяна Сульба Сутра.^[8] Арьябхата, в Арьябхатия (раздел 2.4) дал метод нахождения квадратного корня из чисел, состоящих из многих цифр.

Древним грекам было известно, что квадратные корни из положительные целые числа это не идеальные квадраты всегда иррациональные числа: числа, не выражаемые как соотношение двух целых чисел (то есть их нельзя записать в точности как м / п, куда м и п целые числа). Это теорема Евклид X, 9, почти наверняка из-за Theaetetus датируется примерно 380 г. до н. э.^[9]Частный случай квадратный корень из 2 предполагается, что он датируется Пифагорейцы, и традиционно относят к Гиппас.^{[нужна цитата ]} Это точно длина диагональ из квадрат со стороной 1.

В китайской математической работе Письма о расплате, написанный между 202 г. и 186 г. до н. э. во время раннего династия Хан, квадратный корень аппроксимируется методом «избытка и недостатка», который гласит: «... объединить избыток и недостаток в качестве делителя; (взяв) числитель недостатка, умноженный на знаменатель избытка, и числитель избытка, умноженный на недостаток знаменатель, объедините их как дивиденд ".^[10]

Символ квадратного корня, записанный в виде сложной R, был изобретен Региомонтан (1436–1476). R также использовался для системы счисления для обозначения квадратных корней в Джероламо Кардано с Арс Магна.^[11]

По словам историка математики D.E. Смит, Метод Арьябхаты для нахождения квадратного корня был впервые представлен в Европе Катанео —В 1546 г.

По словам Джеффри А. Оукса, арабы использовали букву jīm / ĝīm (ج), первая буква слова "جذر"(транслитерируется как Jar, jiḏr, ar или же ǧiḏr, "корень"), помещенный в исходную форму (ﺟ) над числом, чтобы указать его квадратный корень. Письмо Джим напоминает нынешнюю форму квадратного корня. Его использование продолжается до конца XII века в трудах марокканского математика. Ибн аль-Ясамин.^[12]

Символ «√» для квадратного корня впервые был использован в печати в 1525 году в Кристоф Рудольф с Coss.^[13]

Свойства и использование

График функции ж(Икс) = √Икс, состоящий из половины парабола с вертикальной директриса

Функция главного квадратного корня ${displaystyle f (x) = {sqrt {x}}}$ (обычно называемая "функцией квадратного корня") - это функция что отображает набор неотрицательных действительных чисел на себя. В геометрический термины, функция квадратного корня отображает площадь квадрата к его длине стороны.

Квадратный корень из Икс рационально тогда и только тогда, когда Икс это Рациональное число который можно представить как отношение двух полных квадратов. (Видеть квадратный корень из 2 для доказательства того, что это иррациональное число, и квадратичный иррациональный для доказательства для всех неквадратных натуральных чисел.) Функция квадратного корня отображает рациональные числа в алгебраические числа, последний суперсет рациональных чисел).

Для всех реальных чисел Икс,

${displaystyle {sqrt {x ^ {2}}} = left | xight | = {egin {case} x, & {mbox {if}} xgeq 0 -x, & {mbox {if}} x <0.end {случаи}}}$ (видеть абсолютная величина )

Для всех неотрицательных действительных чисел Икс и у,

${displaystyle {sqrt {xy}} = {sqrt {x}} {sqrt {y}}}$

и

${displaystyle {sqrt {x}} = x ^ {1/2}.}$

Функция квадратного корня: непрерывный для всех неотрицательных Икс, и дифференцируемый для всех положительных Икс. Если ж обозначает функцию квадратного корня, производная которой определяется выражением:

${displaystyle f '(x) = {frac {1} {2 {sqrt {x}}}}.}$

В Серия Тейлор из ${displaystyle {sqrt {1 + x}}}$ о Икс = 0 сходится при |Икс| ≤ 1, и определяется выражением

${displaystyle {sqrt {1 + x}} = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(1-2n) (n!) ^ { 2} (4 ^ {n})}} x ^ {n} = 1 + {frac {1} {2}} x- {frac {1} {8}} x ^ {2} + {frac {1} {16}} x ^ {3} - {frac {5} {128}} x ^ {4} + cdots,}$

Квадратный корень из неотрицательного числа используется в определении Евклидова норма (и расстояние ), а также в таких обобщениях, как Гильбертовы пространства. Он определяет важную концепцию стандартное отклонение используется в теория вероятности и статистика. Он широко используется в формуле для корней растения квадратное уровненеие; квадратичные поля и кольца квадратичные целые числа, основанные на квадратных корнях, важны в алгебре и используются в геометрии. Квадратные корни часто встречаются в математических формулах в других местах, а также во многих других физический законы.

Квадратные корни из натуральных чисел

Положительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный, которые противоположный друг другу. Говоря о то квадратный корень из положительного целого числа, обычно подразумевается положительный квадратный корень.

Квадратные корни целого числа равны алгебраические целые числа - более конкретно квадратичные целые числа.

Квадратный корень из положительного целого числа - это произведение корней его основной факторов, потому что квадратный корень из продукта является произведением квадратных корней из факторов. С ${displaystyle {sqrt {p ^ {2k}}} = p ^ {k},}$ только корни тех простых чисел, имеющих нечетную мощность в факторизация необходимы. Точнее, квадратный корень из разложения на простые множители равен

${displaystyle {sqrt {p_ {1} ^ {2e_ {1} +1} cdots p_ {k} ^ {2e_ {k} +1} p_ {k + 1} ^ {2e_ {k + 1}} dots p_ { n} ^ {2e_ {n}}}} = p_ {1} ^ {e_ {1}} точки p_ {n} ^ {e_ {n}} {sqrt {p_ {1} точки p_ {k}}}. }$

В виде десятичных разложений

Квадратные корни из идеальные квадраты (например, 0, 1, 4, 9, 16) являются целые числа. Во всех остальных случаях квадратные корни из натуральных чисел равны иррациональные числа, и, следовательно, не-повторяющиеся десятичные дроби в их десятичные представления. Десятичные приближения квадратных корней из первых нескольких натуральных чисел приведены в следующей таблице.

п	${displaystyle {sqrt {n}},}$ усечено до 50 знаков после запятой
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

Как расширения в других системах счисления

Как и раньше, квадратные корни из идеальные квадраты (например, 1, 4, 9, 16) - целые числа. Во всех остальных случаях квадратные корни из натуральных чисел равны иррациональные числа, и, следовательно, иметь неповторяющиеся цифры в любом стандарте позиционная запись система.

Квадратные корни из малых целых чисел используются как в SHA-1 и SHA-2 хэш-функции для обеспечения ничего в моем рукаве номера.

Как периодические непрерывные дроби

Один из самых интригующих результатов исследования иррациональные числа в качестве непрерывные дроби был получен Жозеф Луи Лагранж c. 1780. Лагранж обнаружил, что представление квадратного корня из любого положительного целого числа, не являющегося квадратом, в виде непрерывной дроби имеет вид периодический. То есть определенный образец частичных знаменателей бесконечно повторяется в непрерывной дроби. В каком-то смысле эти квадратные корни являются простейшими иррациональными числами, потому что они могут быть представлены простым повторяющимся шаблоном целых чисел.

${displaystyle {sqrt {2}}}$	= [1; 2, 2, ...]
${displaystyle {sqrt {3}}}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${displaystyle {sqrt {4}}}$	= [2]
${displaystyle {sqrt {5}}}$	= [2; 4, 4, ...]
${displaystyle {sqrt {6}}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
${displaystyle {sqrt {7}}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${displaystyle {sqrt {8}}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${displaystyle {sqrt {9}}}$	= [3]
${displaystyle {sqrt {10}}}$	= [3; 6, 6, ...]
${displaystyle {sqrt {11}}}$	= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
${displaystyle {sqrt {12}}}$	= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
${displaystyle {sqrt {13}}}$	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
${displaystyle {sqrt {14}}}$	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
${displaystyle {sqrt {15}}}$	= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
${displaystyle {sqrt {16}}}$	= [4]
${displaystyle {sqrt {17}}}$	= [4; 8, 8, ...]
${displaystyle {sqrt {18}}}$	= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
${displaystyle {sqrt {19}}}$	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
${displaystyle {sqrt {20}}}$	= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

В квадратная скобка обозначения, использованные выше, являются сокращенной формой для непрерывной дроби. Написанная в более сложной алгебраической форме, простая непрерывная дробь для квадратного корня из 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], выглядит так:

${displaystyle {sqrt {11}} = 3+ {cfrac {1} {3+ {cfrac {1} {6+ {cfrac {1} {3+ {cfrac {1} {6+ {cfrac {1} {3}) + точки}}}}}}}}}}}$

где двузначный образец {3, 6} повторяется снова и снова в частичных знаменателях. С 11 = 3² + 2, приведенное выше также идентично следующему обобщенные непрерывные дроби:

${displaystyle {sqrt {11}} = 3+ {cfrac {2} {6+ {cfrac {2} {6+ {cfrac {2} {6+ {cfrac {2} {6+ {cfrac {2} {6}) + ddots}}}}}}}}}} = 3+ {cfrac {6} {20-1- {cfrac {1} {20- {cfrac {1} {20- {cfrac {1} {20- { cfrac {1} {20 точек}}}}}}}}}}.}$

Вычисление

Квадратные корни из положительных чисел, как правило, не рациональное число, и поэтому не может быть записано как завершающее или повторяющееся десятичное выражение. Поэтому в целом любая попытка вычислить квадратный корень, выраженный в десятичной форме, может дать только приближение, хотя может быть получена последовательность все более точных приближений.

Наиболее карманные калькуляторы иметь ключ квадратного корня. Компьютер электронные таблицы и другие программного обеспечения также часто используются для вычисления квадратных корней. Карманные калькуляторы обычно реализуют эффективные процедуры, такие как Метод Ньютона (часто с начальным предположением 1), чтобы вычислить квадратный корень из положительного действительного числа.^[14][15] При вычислении квадратных корней с таблицы логарифмов или же правила слайдов, можно использовать идентичности

${displaystyle {sqrt {a}} = e ^ {(ln a) / 2} = 10 ^ {(log _ {10} a) / 2},}$

куда пер и бревно₁₀ являются естественный и логарифмы по основанию 10.

Методом проб и ошибок,^[16] можно возвести оценку для ${displaystyle {sqrt {a}}}$ и повышайте или понижайте оценку до тех пор, пока она не станет достаточно точной. Для этой техники целесообразно использовать идентификацию

${displaystyle (x + c) ^ {2} = x ^ {2} + 2xc + c ^ {2},}$

поскольку это позволяет скорректировать оценку Икс на некоторую сумму c и измерьте квадрат корректировки с точки зрения исходной оценки и ее квадрата. Более того, (Икс + c)² ≈ Икс² + 2xc когда c близко к 0, потому что касательная линия к графику Икс² + 2xc + c² в c = 0, как функция c один, это у = 2xc + Икс². Таким образом, небольшие корректировки Икс можно спланировать, установив 2xc к а, или же c = а/(2Икс).

Самый распространенный итерационный метод ручного вычисления квадратного корня называется "Вавилонский метод "или" метод Герона "в честь греческого философа I века Цапля Александрийская, который первым описал это.^[17]Метод использует ту же итерационную схему, что и Метод Ньютона – Рафсона дает при применении к функции y = ж(Икс) = Икс² − а, используя тот факт, что его наклон в любой точке равен dy/dx = ж′(Икс) = 2Икс, но предшествует ему на много веков.^[18]Алгоритм состоит в том, чтобы повторять простое вычисление, которое приводит к числу, близкому к фактическому квадратному корню, каждый раз, когда оно повторяется с его результатом в качестве нового ввода. Мотивация в том, что если Икс является завышением квадратного корня из неотрицательного действительного числа а тогда а/Икс будет заниженной оценкой, поэтому среднее этих двух чисел является лучшим приближением, чем любое из них. Тем не менее неравенство средних арифметических и геометрических показывает, что это среднее всегда является завышением квадратного корня (как отмечено ниже ), и поэтому он может служить новой переоценкой, с которой можно повторить процесс, который сходится как следствие того, что последовательные переоценки и недооценки становятся ближе друг к другу после каждой итерации. Найти Икс:

1. Начните с произвольного положительного начального значения Икс. Чем ближе к квадратному корню из а, тем меньше итераций потребуется для достижения желаемой точности.
2. Заменять Икс в среднем (Икс + а/Икс) / 2 между Икс и а/Икс.
3. Повторите действия, начиная с шага 2, используя это среднее значение в качестве нового значения Икс.

То есть, если произвольное предположение для ${displaystyle {sqrt {a}}}$ является Икс₀, и Икс_{п + 1} = (Икс_п + а/Икс_п) / 2, то каждый x_п является приближением ${displaystyle {sqrt {a}}}$ что лучше для больших п чем для маленьких п. Если а положительна, сходимость квадратичный, что означает, что по мере приближения к пределу количество правильных цифр примерно удваивается на каждой следующей итерации. Если а = 0, сходимость только линейная.

Используя личность

${displaystyle {sqrt {a}} = 2 ^ {- n} {sqrt {4 ^ {n} a}},}$

вычисление квадратного корня из положительного числа можно свести к вычислению числа в диапазоне [1,4). Это упрощает поиск начального значения для итеративного метода, близкого к квадратному корню, для которого многочлен или же кусочно-линейный приближение может быть использован.

В временная сложность для вычисления квадратного корня с п цифры точности эквивалентны умножению двух п-значные числа.

Еще один полезный метод вычисления квадратного корня - это алгоритм смещения корня n-й степени, подал заявку на п = 2.

Название квадратного корня функция варьируется от язык программирования на язык программирования, с sqrt^[19] (часто произносится как "шприц" ^[20]) является обычным, используется в C, C ++, и производные языки, такие как JavaScript, PHP, и Python.

Квадратные корни из отрицательных и комплексных чисел

Первый лист сложного квадратного корня

Второй лист комплексного квадратного корня

С использованием Риманова поверхность квадратного корня, показано, как два листа подходят друг к другу

Квадрат любого положительного или отрицательного числа положителен, а квадрат 0 равен 0. Следовательно, никакое отрицательное число не может иметь настоящий квадратный корень. Однако можно работать с более обширным набором чисел, называемым сложные числа, который действительно содержит решения квадратного корня из отрицательного числа. Это делается путем введения нового числа, обозначенного я (иногда j, особенно в контексте электричество куда "я"традиционно представляет электрический ток) и называется мнимая единица, который определенный такой, что я² = −1. Используя эти обозначения, мы можем думать о я как квадратный корень из −1, но мы также имеем (−я)² = я² = −1 и так -я также является квадратным корнем из −1. По соглашению, главный квадратный корень из −1 равен я, или в более общем смысле, если Икс - любое неотрицательное число, то главный квадратный корень из -Икс является

${displaystyle {sqrt {-x}} = i {sqrt {x}}.}$

Правая часть (а также ее отрицательная сторона) действительно является квадратным корнем из -Икс, поскольку

${displaystyle (i {sqrt {x}}) ^ {2} = i ^ {2} ({sqrt {x}}) ^ {2} = (- 1) x = -x.}$

Для каждого ненулевого комплексного числа z существует ровно два числа ш такой, что ш² = z: главный квадратный корень из z (определено ниже), и его отрицательный.

Главный квадратный корень комплексного числа

Геометрическое представление корней 2–6 комплексного числа z, в полярной форме повторно^iφ  куда р = |z | и φ = arg z. Если z реально, φ = 0 или π. Основные корни показаны черным.

Чтобы найти определение квадратного корня, которое позволяет нам последовательно выбирать одно значение, называемое основная стоимость, мы начнем с наблюдения, что любое комплексное число Икс + иу можно рассматривать как точку на плоскости, (Икс, у), выраженный через Декартовы координаты. То же самое можно интерпретировать заново, используя полярные координаты как пара ${displaystyle (r, varphi})$), куда р ≥ 0 - расстояние от точки до начала координат, а ${displaystyle varphi}$ это угол, который линия от начала координат до точки составляет с положительным вещественным (Икс) ось. В комплексном анализе расположение этой точки условно записывается ${displaystyle re ^ {ivarphi}.}$ Если

${displaystyle z = re ^ {ivarphi} {ext {with}} - pi$

затем мы определяем главный квадратный корень из z следующее:

${displaystyle {sqrt {z}} = {sqrt {r}} e ^ {ivarphi / 2}.}$

Таким образом, функция главного квадратного корня определяется с использованием неположительной вещественной оси как срезанная ветка. Функция главного квадратного корня голоморфный везде, кроме множества неположительных действительных чисел (на строго отрицательных вещественных числах это даже не непрерывный ). Приведенный выше ряд Тейлора для ${displaystyle {sqrt {1 + x}}}$ остается действительным для комплексных чисел Икс с |Икс| < 1.

Вышесказанное также может быть выражено в терминах тригонометрические функции:

${displaystyle {sqrt {rleft (cos varphi + isin varphi ight)}} = {sqrt {r}} left (cos {frac {varphi} {2}} + isin {frac {varphi} {2}} ight).}$

Алгебраическая формула

Квадратные корни из я

Когда число выражается с использованием декартовых координат, для вычисления главного квадратного корня можно использовать следующую формулу:^[21][22]

${displaystyle {sqrt {x + iy}} = {sqrt {frac {{sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + x} {2}}} pm i {sqrt {frac {{sqrt { x ^ {2} + y ^ {2}}} - x} {2}}},}$

где знак мнимой части корня принимается равным знаку мнимой части исходного числа или положительным при нуле. Реальная часть основной стоимости всегда неотрицательна.

Например, главные квадратные корни из ±я даны:

${displaystyle {egin {выравнивается} {sqrt {i}} & = {frac {1} {sqrt {2}}} + i {frac {1} {sqrt {2}}} = {frac {sqrt {2}} {2}} (1 + i), {sqrt {-i}} & = {frac {1} {sqrt {2}}} - i {frac {1} {sqrt {2}}} = {frac { sqrt {2}} {2}} (1-i) .end {выровнено}}}$

Примечания

В дальнейшем комплекс z и ш может быть выражено как:

• ${displaystyle z = | z | e ^ {i heta _ {z}}}$
• ${displaystyle w = | w | e ^ {i heta _ {w}}}$

куда ${displaystyle -pi$ и ${displaystyle -pi$.

Из-за прерывистого характера функции квадратного корня в комплексной плоскости следующие законы: не правда в целом.

• ${displaystyle {sqrt {zw}} = {sqrt {z}} {sqrt {w}}}$ (Контрпример для главного квадратного корня: z = −1 и ш = −1) Это равенство справедливо только тогда, когда ${displaystyle -pi$
• ${displaystyle {frac {sqrt {w}} {sqrt {z}}} = {sqrt {frac {w} {z}}}}$ (Контрпример для главного квадратного корня: ш = 1 и z = −1) Это равенство справедливо только тогда, когда ${displaystyle -pi$
• ${displaystyle {sqrt {z ^ {*}}} = left ({sqrt {z}} ight) ^ {*}}$ (Контрпример для главного квадратного корня: z = −1) Это равенство справедливо только тогда, когда ${displaystyle heta _ {z} eq pi}$

Аналогичная проблема возникает и с другими сложными функциями с разрезами ветвей, например, комплексный логарифм и отношения бревноz + журналш = журнал (zw) или же бревно(z^*) = журнал (z)^* которые в целом не соответствуют действительности.

Неверное предположение об одном из этих законов лежит в основе нескольких ошибочных «доказательств», например следующего, показывающего, что −1 = 1:

${displaystyle {egin {align} -1 & = icdot i & = {sqrt {-1}} cdot {sqrt {-1}} & = {sqrt {left (-1ight) cdot left (-1ight)}} & = {sqrt {1}} & = 1end {выровнено}}}$

Третье равенство не может быть оправдано (см. недействительное доказательство ). Его можно сохранить, изменив значение √ так, чтобы оно больше не представляло главный квадратный корень (см. Выше), а выбирало ветвь для квадратного корня, содержащую ${displaystyle {sqrt {1}} cdot {sqrt {-1}}.}$ Левая часть становится либо

${displaystyle {sqrt {-1}} cdot {sqrt {-1}} = icdot i = -1}$

если ветка включает +я или же

${displaystyle {sqrt {-1}} cdot {sqrt {-1}} = (- i) cdot (-i) = - 1}$

если ветка включает -я, а правая часть принимает вид

${displaystyle {sqrt {left (-1ight) cdot left (-1ight)}} = {sqrt {1}} = - 1,}$

где последнее равенство, ${displaystyle {sqrt {1}} = - 1,}$ является следствием выбора ветви при переопределении √.

Корни N-й степени и полиномиальные корни

Определение квадратного корня из ${displaystyle x}$ как число ${displaystyle y}$ такой, что ${displaystyle y ^ {2} = x}$ был обобщен следующим образом.

А кубический корень из ${displaystyle x}$ это число ${displaystyle y}$ такой, что ${displaystyle y ^ {3} = x}$; это обозначено ${displaystyle {sqrt [{3}] {x}}.}$

Если п целое число больше двух, a пй корень из ${displaystyle x}$ это число ${displaystyle y}$ такой, что ${displaystyle y ^ {n} = x}$; это обозначено ${displaystyle {sqrt [{n}] {x}}.}$

Учитывая любые многочлен п, а корень из п это число у такой, что п(у) = 0. Например, пкорни Икс являются корнями многочлена (в у) ${displaystyle y ^ {n} -x.}$

Теорема Абеля – Руффини утверждает, что, как правило, корни многочлена пятой степени или выше не могут быть выражены через пй корни.

Квадратные корни из матриц и операторов

Если А это положительно определенная матрица или оператор, то существует ровно одна положительно определенная матрица или оператор B с B² = А; затем мы определяем А^1/2 = B. В общем случае матрицы могут иметь несколько квадратных корней или даже бесконечное их количество. Например, 2 × 2 единичная матрица имеет бесконечное количество квадратных корней,^[23] хотя только один из них является положительно определенным.

В целостных областях, включая поля

Каждый элемент область целостности имеет не более двух квадратных корней. В разница двух квадратов личность ты² − v² = (ты − v)(ты + v) доказывается с использованием коммутативность умножения. Если ты и v квадратные корни из одного и того же элемента, тогда ты² − v² = 0. Потому что нет делители нуля Из этого следует ты = v или же ты + v = 0, где последнее означает, что два корня аддитивное обратное друг друга. Другими словами, если элемент квадратный корень ты элемента а существует, то единственные квадратные корни из а находятся ты и −u. Единственный квадратный корень из 0 в области целостности - это сам 0.

В области характеристика 2, элемент либо имеет один квадратный корень, либо не имеет его вообще, потому что каждый элемент является его собственным аддитивным обратным, так что −ты = ты. Если поле конечный характеристики 2, то каждый элемент имеет единственный квадратный корень. В поле любой другой характеристики любой ненулевой элемент либо имеет два квадратных корня, как объяснено выше, либо не имеет ни одного.

Учитывая странный простое число п, позволять q = п^е для некоторого положительного целого числа е. Ненулевой элемент поля F_q с q элементы это квадратичный вычет если он имеет квадратный корень в F_q. В противном случае это квадратичный невычет. Есть (q − 1)/2 квадратичные вычеты и (q − 1)/2 квадратичные невычеты; ноль не засчитывается ни в одном из классов. Квадратичные вычеты образуют группа при умножении. Свойства квадратичных вычетов широко используются в теория чисел.

В кольцах вообще

В отличие от области целостности, квадратный корень в произвольном (унитальном) кольце не обязательно должен быть уникальным с точностью до знака. Например, на ринге ${displaystyle mathbb {Z} / 8mathbb {Z}}$ целых чисел по модулю 8 (который является коммутативным, но имеет делители нуля), элемент 1 имеет четыре различных квадратных корня: ± 1 и ± 3.

Другой пример - кольцо кватернионы ${displaystyle mathbb {H},}$ который не имеет делителей нуля, но не коммутативен. Здесь элемент −1 имеет бесконечно много квадратных корней, включая ±я, ±j, и ±k. Фактически, набор квадратных корней из −1 в точности равен

${displaystyle {ai + bj + ckmid a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 1}.}$

Квадратный корень из 0 равен 0 или делителю нуля. Таким образом, в кольцах, где не существует делителей нуля, это однозначно 0. Однако кольца с делителями нуля могут иметь кратные квадратные корни из 0. Например, в ${displaystyle mathbb {Z} / n ^ {2} mathbb {Z},}$ любое кратное п является квадратным корнем из 0.

Геометрическое построение квадратного корня

В Спираль Теодора до треугольника с гипотенузой √4

Квадратный корень из положительного числа обычно определяется как длина стороны квадрат с площадь равно заданному числу. Но квадратная форма ему не нужна: если один из двух похожий планарный евклидов объекты имеют площадь а раз больше другого, то отношение их линейных размеров равно ${displaystyle {sqrt {a}}}$.

Квадратный корень можно построить с помощью циркуля и линейки. В его Элементы, Евклид (эт. 300 г. до н.э.) дала постройку среднее геометрическое двух величин в двух разных местах: Предложение II.14. и Предложение VI.13.. Поскольку среднее геометрическое а и б является ${displaystyle {sqrt {ab}}}$, можно построить ${displaystyle {sqrt {a}}}$ просто взяв б = 1.

Конструкция также дается Декарт в его La Géométrie см. рисунок 2 на страница 2. Однако Декарт не претендовал на оригинальность, и его аудитория была хорошо знакома с Евклидом.

Второе доказательство Евклида в Книге VI зависит от теории похожие треугольники. Пусть AHB будет отрезком длины а + б с AH = а и HB = б. Постройте окружность с диаметром AB и пусть C будет одним из двух пересечений перпендикулярной хорды в точке H с окружностью, и обозначьте длину CH как час. Затем, используя Теорема Фалеса и, как в доказательство теоремы Пифагора аналогичными треугольниками, треугольник AHC похож на треугольник CHB (как и на треугольник ACB, хотя нам это не нужно, но это суть доказательства теоремы Пифагора), так что AH: CH есть как HC: HB, т.е. а/час = час/б, откуда путем перекрестного умножения заключаем, что час² = ab, и, наконец, что ${displaystyle h = {sqrt {ab}}}$. При нанесении средней точки O отрезка AB и нанесении радиуса OC длины (а + б)/2, то очевидно, что OC> CH, т.е. ${extstyle {frac {a + b} {2}} geq {sqrt {ab}}}$ (с равенством тогда и только тогда, когда а = б), какой неравенство среднего арифметико-геометрического для двух переменных и, как уже отмечалось над, является основой Древнегреческий понимание «метода Герона».

Другой метод геометрического построения использует прямоугольные треугольники и индукция: ${displaystyle {sqrt {1}}}$ можно построить, и однажды ${displaystyle {sqrt {x}}}$ прямоугольный треугольник с катетами 1 и ${displaystyle {sqrt {x}}}$ имеет гипотенуза из ${displaystyle {sqrt {x + 1}}}$. Построение последовательных квадратных корней таким образом дает Спираль Теодора изображено выше.

Смотрите также

• Апотом (математика)
• кубический корень
• Функциональный квадратный корень
• Целочисленный квадратный корень
• Вложенный радикал
• N-й корень
• Корень единства
• Решение квадратных уравнений с цепными дробями
• Принцип квадратного корня
• Квантовый вентиль § Квадратный корень из логического элемента НЕ (√NOT)

Примечания

Рекомендации

• Даубен, Джозеф В. (2007). «Китайская математика I». В Каце, Виктор Дж. (Ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-11485-9.
• Гельфанд, Израэль М.; Шен, Александр (1993). Алгебра (3-е изд.). Birkhäuser. п. 120. ISBN  0-8176-3677-3.
• Джозеф, Джордж (2000). Герб Павлина. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-00659-8.
• Смит, Дэвид (1958). История математики. 2. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-20430-7.
• Селин, Хелайн (2008), Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах, Спрингер, Bibcode:2008ест.книга ..... S, ISBN  978-1-4020-4559-2.

внешняя ссылка

• Алгоритмы, реализации и многое другое - Веб-страница Поля Се о квадратных корнях
• Как найти квадратный корень вручную
• Избранная колонка AMS, Арифметика Галилея, Тони Филипс - включает раздел о том, как Галилей нашел квадратные корни