Прямоугольный треугольник - Right triangle

А прямоугольный треугольник (Американский английский ) или же прямоугольный треугольник (Британский английский ) это треугольник в каком угол это прямой угол (то есть 90-степень угол). Соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника является основой для тригонометрия.

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенуза (сторона c на рисунке). Стороны, прилегающие к прямому углу, называются ноги (или же катети, единственное число: катет ). Сторона а может быть идентифицирован как сторона рядом с углом B и в отличие от (или же противоположный) угол А, а сторона б сторона рядом с углом A и в отличие от угла B.

Если длины всех трех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, треугольник называется Пифагоров треугольник и длина его сторон вместе известны как Пифагорейская тройка.

Основные свойства

Площадь

Как и в случае с любым треугольником, площадь равна половине основания, умноженной на соответствующую высоту. В прямоугольном треугольнике, если за основу берется одна ножка, тогда другая имеет высоту, поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух ножек. В качестве формулы площадь Т является

{ displaystyle T = { tfrac {1} {2}} ab}

куда а и б ноги треугольника.

Если окружать касается гипотенузы AB в точке P, то обозначая полупериметр (а + б + c) / 2 в качестве s, у нас есть PA = s − а и PB = s − б, а площадь равна

{ displaystyle T = { text {PA}} cdot { text {PB}} = (s-a) (s-b).}

Эта формула применима только к прямоугольным треугольникам.^[1]

Высоты

Высота прямоугольного треугольника

Если высота нарисован из вершины с прямым углом к гипотенузе, затем треугольник делится на два меньших треугольника, которые оба являются похожий к оригиналу и поэтому похожи друг на друга. Из этого:

Высота до гипотенузы равна среднее геометрическое (средний пропорциональный ) двух отрезков гипотенузы.^[2]^:243
Каждый катет треугольника является средним, пропорциональным гипотенузе и сегменту гипотенузы, примыкающему к катету.

В уравнениях

{ displaystyle displaystyle f ^ {2} = de,}

(это иногда называют теорема о высоте прямоугольного треугольника )

{ displaystyle displaystyle b ^ {2} = ce,}

{ displaystyle displaystyle a ^ {2} = cd}

куда а, б, c, d, е, ж как показано на схеме.^[3] Таким образом

{ displaystyle f = { frac {ab} {c}}.}

Кроме того, высота гипотенузы связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением^[4]^[5]

{ displaystyle { frac {1} {a ^ {2}}} + { frac {1} {b ^ {2}}} = { frac {1} {f ^ {2}}}.}

Для решений этого уравнения в целых значениях а, б, е, и c, видеть здесь.

Высота каждой ноги совпадает с другой ногой. Поскольку они пересекаются в прямоугольной вершине, прямоугольный треугольник ортоцентр - пересечение трех его высот - совпадает с прямоугольной вершиной.

теорема Пифагора

В теорема Пифагора утверждает, что:

В любом прямоугольном треугольнике площадь квадрат сторона которого является гипотенузой (сторона, противоположная прямому углу), равна сумме площадей квадратов, стороны которых являются двумя катетами (двумя сторонами, которые встречаются под прямым углом).

Это можно сформулировать в виде уравнения как

{ displaystyle displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}

куда c - длина гипотенузы, а а и б - длины двух оставшихся сторон.

Пифагорейские тройки целые значения а, б, в удовлетворяющий этому уравнению.

Внутренний и окружной радиус

Иллюстрация Теорема Пифагора

Радиус окружать прямоугольного треугольника с ногами а и б и гипотенуза c является

{ displaystyle r = { frac {a + b-c} {2}} = { frac {ab} {a + b + c}}.}

Радиус описанный круг составляет половину длины гипотенузы,

{ displaystyle R = { frac {c} {2}}.}

Таким образом, сумма радиуса описанной окружности и внутреннего радиуса равна половине суммы катетов:^[6]

{ displaystyle R + r = { frac {a + b} {2}}.}

Одна из ножек может быть выражена через внутренний радиус, а другая - как

{ displaystyle displaystyle a = { frac {2r (b-r)} {b-2r}}.}

Характеристики

Треугольник ABC с боков ${ displaystyle a leq b$ , полупериметр s, площадь Т, высота час напротив самой длинной стороны, по окружности р, inradius р, Exradii р_а, р_б, р_c (по касательной к а, б, c соответственно), и медианы м_а, м_б, м_c прямоугольный треугольник если и только если верно любое из утверждений в следующих шести категориях. Все они, конечно же, также являются свойствами прямоугольного треугольника, поскольку характеризации являются эквивалентностями.

Борта и полупериметр

${ displaystyle displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} quad ({ text {теорема Пифагора}})}$
${ Displaystyle Displaystyle (s-a) (s-b) = s (s-c)}$
${ displaystyle displaystyle s = 2R + r.}$ ^[7]
${ displaystyle displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 8R ^ {2}.}$ ^[8]

Углы

А и B находятся дополнительный.^[9]
${ displaystyle displaystyle cos {A} cos {B} cos {C} = 0.}$ ^[8]^[10]
${ displaystyle displaystyle sin ^ {2} {A} + sin ^ {2} {B} + sin ^ {2} {C} = 2.}$ ^[8]^[10]
${ displaystyle displaystyle cos ^ {2} {A} + cos ^ {2} {B} + cos ^ {2} {C} = 1.}$ ^[10]
${ displaystyle displaystyle sin {2A} = sin {2B} = 2 sin {A} sin {B}.}$

Площадь

${ displaystyle displaystyle T = { frac {ab} {2}}}$
${ displaystyle displaystyle T = r_ {a} r_ {b} = rr_ {c}}$
${ Displaystyle Displaystyle Т = г (2R + г)}$
${ Displaystyle Displaystyle T = { frac {(2s-c) ^ {2} -c ^ {2}} {4}} = s (s-c)}$
${ Displaystyle T = PA cdot PB,}$ куда п точка касания окружать на самой длинной стороне AB.^[11]

Inradius и exradii

${ Displaystyle Displaystyle г = s-c = (a + b-c) / 2}$
${ displaystyle displaystyle r_ {a} = s-b = (a-b + c) / 2}$
${ displaystyle displaystyle r_ {b} = s-a = (- a + b + c) / 2}$
${ displaystyle displaystyle r_ {c} = s = (a + b + c) / 2}$
${ displaystyle displaystyle r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} + r = a + b + c}$
${ displaystyle displaystyle r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} + r ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + с ^ {2}}$
${ displaystyle displaystyle r = { frac {r_ {a} r_ {b}} {r_ {c}}}.}$ ^[12]

Высота и медианы

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до гипотенузы - это среднее геометрическое длин отрезков, на которые разбита гипотенуза. С помощью Теорема Пифагора на 3-х сторонах треугольника (п + q, р, s ), (р, п, час ) и (s, час, q ),

{ Displaystyle { begin {align} (p + q) ^ {2} ; ; & = quad r ^ {2} ; ; , + quad s ^ {2} p ^ { 2} ! ! + ! 2pq ! + ! Q ^ {2} & = overbrace {p ^ {2} ! ! + ! H ^ {2}} + overbrace {h ^ { 2} ! ! + ! Q ^ {2}} 2pq quad ; ; ; & = 2h ^ {2} ; поэтому h ! = ! { Sqrt {pq}} конец {выровнен}}}

${ displaystyle displaystyle h = { frac {ab} {c}}}$
${ displaystyle displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2} = 6R ^ {2}.}$ ^[6]^{:Вероятность. 954, стр. 26}
Длина одного медиана равно по окружности.
Кратчайший высота (тот из вершины с наибольшим углом) - это среднее геометрическое из отрезки линии он разделяет противоположную (самую длинную) сторону на. Это теорема о высоте прямоугольного треугольника.

Окружность и вписанная окружность

Треугольник можно вписать в полукруг, с одной стороной, совпадающей на всем диаметре (Теорема Фалеса ).
В центр окружности это середина самой длинной стороны.
Самая длинная сторона - это диаметр из описанный круг ${ displaystyle displaystyle (c = 2R).}$
Описанная окружность касательная к круг из девяти точек.^[8]
В ортоцентр лежит на описанной окружности.^[6]
Расстояние между стимулятор а ортоцентр равен ${ displaystyle { sqrt {2}} r}$ .^[6]

Тригонометрические отношения

В тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для данного угла может быть построен прямоугольный треугольник с этим углом, а стороны, обозначенные противоположными, смежными и гипотенузами, относятся к этому углу в соответствии с определениями, приведенными выше. Эти соотношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а только от данного угла, поскольку все треугольники, построенные таким образом, являются похожий. Если для заданного угла α противоположная сторона, прилегающая сторона и гипотенуза помечены О, А и ЧАС соответственно, то тригонометрические функции равны

{ displaystyle sin alpha = { frac {O} {H}}, , cos alpha = { frac {A} {H}}, , tan alpha = { frac {O} {A}}, , sec alpha = { frac {H} {A}}, , cot alpha = { frac {A} {O}}, , csc alpha = { frac {H} {O}}.}

Для выражения гиперболические функции как отношение сторон прямоугольного треугольника, см. гиперболический треугольник из гиперболический сектор.

Специальные прямоугольные треугольники

Значения тригонометрических функций можно вычислить точно для определенных углов, используя прямоугольные треугольники со специальными углами. К ним относятся 30-60-90 треугольник который можно использовать для вычисления тригонометрических функций для любого кратного π / 6, и 45-45-90 треугольник который можно использовать для вычисления тригонометрических функций для любого кратного π / 4.

Треугольник Кеплера

Позволять ЧАС, грамм, и А быть гармоническое среднее, то среднее геометрическое, а среднее арифметическое двух положительных чисел а и б с а > б. Если у прямоугольного треугольника есть ноги ЧАС и грамм и гипотенуза А, тогда^[13]

{ displaystyle { frac {A} {H}} = { frac {A ^ {2}} {G ^ {2}}} = { frac {G ^ {2}} {H ^ {2}} } = phi ,}

и

{ displaystyle { frac {a} {b}} = phi ^ {3}, ,}

куда ${ displaystyle phi}$ это Золотое сечение ${ displaystyle { tfrac {1 + { sqrt {5}}} {2}}. ,}$ Поскольку стороны этого прямоугольного треугольника находятся в геометрическая прогрессия, это Треугольник Кеплера.

Теорема Фалеса

Медиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса заявляет, что если А любая точка окружности с диаметром до н.э (Кроме B или же C самих себя) ABC прямоугольный треугольник, где А это прямой угол. Обратное утверждает, что если прямоугольный треугольник вписан в круг, то гипотенуза будет диаметром круга. Следствие состоит в том, что длина гипотенузы в два раза больше расстояния от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Кроме того, центр круга, который ограничивает прямоугольный треугольник - это середина гипотенузы, а его радиус равен половине длины гипотенузы.

Медианы

Следующие формулы верны для медианы прямоугольного треугольника:

{ displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} = 5m_ {c} ^ {2} = { frac {5} {4}} c ^ {2}.}

Медиана на гипотенузе прямоугольного треугольника делит треугольник на два равнобедренных треугольника, потому что медиана равна половине гипотенузы.

Медианы м_а и м_б от ног удовлетворить^[6]^{:стр.136, # 3110}

{ displaystyle 4c ^ {4} + 9a ^ {2} b ^ {2} = 16m_ {a} ^ {2} m_ {b} ^ {2}.}

Линия Эйлера

В прямоугольном треугольнике Линия Эйлера содержит медиану гипотенузы, то есть проходит как через прямоугольную вершину, так и через середину стороны, противоположной этой вершине. Это потому, что ортоцентр прямоугольного треугольника, пересечение его высот, падает на прямоугольную вершину, в то время как его центр описанной окружности, пересечение его биссектрисы сторон, попадает в середину гипотенузы.

Неравенства

В любом прямоугольном треугольнике диаметр вписанной окружности меньше половины гипотенузы, и, более того, он меньше или равен временам гипотенузы. ${ displaystyle ({ sqrt {2}} - 1).}$ ^[14]^:стр.281

В прямоугольном треугольнике с ногами а, б и гипотенуза c,

{ displaystyle c geq { frac { sqrt {2}} {2}} (а + b)}

с равенством только в равнобедренном случае.^[14]^{:стр.282, стр.358}

Если обозначить высоту от гипотенузы час_c, тогда

{ displaystyle h_ {c} leq { frac { sqrt {2}} {4}} (а + b)}

с равенством только в равнобедренном случае.^[14]^:стр.282

Другие свойства

Если отрезки длины п и q исходящий из вершины C разрезать гипотенузу на отрезки длины c/ 3, то^[2]^{:стр. 216–217}

{ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} = 5 left ({ frac {c} {3}} right) ^ {2}.}

Прямоугольный треугольник - единственный треугольник, имеющий два, а не один или три отдельных вписанных квадрата.^[15]

Данный час > k. Позволять час и k быть сторонами двух вписанных квадратов в прямоугольный треугольник с гипотенузой c. потом

{ displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}} + { frac {1} {h ^ {2}}} = { frac {1} {k ^ {2}}}.}

Эти стороны и радиус вписанной окружности р связаны аналогичной формулой:

{ displaystyle displaystyle { frac {1} {r}} = - { frac {1} {c}} + { frac {1} {h}} + { frac {1} {k}}. }

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанная окружность и три вневписанные окружности:

{ displaystyle a + b + c = r + r_ {a} + r_ {b} + r_ {c}.}

Смотрите также

Острые и тупые треугольники (косые треугольники)

внешняя ссылка

[1] Ди Доменико, Анджело С., "Свойство треугольников, связанных с площадью", Математический вестник 87, июль 2003 г., стр. 323-324.

[Posamentier-2] а ^б Посаментьер, Альфред С., и Залкинд, Чарльз Т. Сложные задачи геометрии, Дувр, 1996.

[3] Wentworth p. 156

[4] Воулс, Роджер, "Целочисленные решения ${ displaystyle a ^ {- 2} + b ^ {- 2} = d ^ {- 2}}$ ," Математический вестник 83, июль 1999 г., стр. 269–271.

[5] Ричиник, Дженнифер, "Перевернутая теорема Пифагора", Математический вестник 92, июль 2008 г., 313–317.

[Crux-6] а ^б ^c ^d ^е Неравенства, предложенные в «Crux Mathematicorum ”, [1].

[7] Треугольник вправо тогда и только тогда, когда s = 2R + r, Искусство решения проблем, 2011

[Andreescu-8] а ^б ^c ^d Андрееску, Титу и Андрица, Дориан, "Комплексные числа от А до ... Я", Биркхойзер, 2006, стр. 109-110.

[9] Свойства прямоугольных треугольников

[CTK-10] а ^б ^c CTK Wiki Math, Вариант теоремы Пифагора, 2011, [2].

[11] Дарваси, Дьюла (март 2005 г.), "Конверс свойства прямоугольных треугольников", Математический вестник, 89 (514): 72–76.

[Bell-12] Белл, Эми (2006), "Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обратное и обобщение" (PDF), Форум Geometricorum, 6: 335–342

[13] Ди Доменико, А., «Золотое сечение - прямоугольный треугольник - арифметические, геометрические и гармонические средства», Математический вестник 89, июль 2005 г., 261. Также Митчелл, Дуглас В., «Отзыв о 89.41», том 90, март 2006 г., 153–154.

[PL-14] а ^б ^c Посаментьер, Альфред С., и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников. Книги Прометея, 2012.

[15] Бейли, Герберт и ДеТемпл, Дуэйн, «Квадраты, вписанные в углы и треугольники», Математический журнал 71(4), 1998, 278-284.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

Прямоугольный треугольник - Right triangle

Содержание

Основные свойства

Площадь

Высоты

теорема Пифагора

Внутренний и окружной радиус

Характеристики

Борта и полупериметр

Углы

Площадь

Inradius и exradii

Высота и медианы

Окружность и вписанная окружность

Тригонометрические отношения

Специальные прямоугольные треугольники

Треугольник Кеплера

Теорема Фалеса

Медианы

Линия Эйлера

Неравенства

Другие свойства

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка