Сходство (геометрия) - Similarity (geometry)

Для использования в других целях см. Сходство (значения) и Преобразование подобия (значения).
Подобные цифры

В Евклидова геометрия, два объекта похожий если у них то же самое форма, либо один из них имеет ту же форму, что и зеркальное отражение другого. Точнее, одно можно получить из другого равномерно масштабирование (увеличение или уменьшение), возможно с дополнительными перевод, вращение и отражение. Это означает, что любой объект можно масштабировать, перемещать и отражать таким образом, чтобы он точно совпадал с другим объектом. Если два объекта похожи, каждый конгруэнтный к результату конкретного равномерного масштабирования другого.

Перевод
Вращение
Отражение
Масштабирование

Например, все круги похожи друг на друга, все квадраты похожи друг на друга, и все равносторонние треугольники похожи друг на друга. С другой стороны, эллипсы не все похожи друг на друга, прямоугольники не все похожи друг на друга, и равнобедренные треугольники не все похожи друг на друга.

Цифры, показанные в одном цвете, похожи

Если два угла треугольника имеют меры, равные размерам двух углов другого треугольника, то треугольники подобны. Соответствующие стороны похожих многоугольников пропорциональны, а соответствующие углы подобных многоугольников имеют одинаковую меру.

В этой статье предполагается, что масштабирование может иметь коэффициент масштабирования, равный 1, так что все конгруэнтные формы также похожи, но некоторые школьные учебники специально исключают конгруэнтные треугольники из своего определения похожих треугольников, настаивая на том, что размеры должны быть разными, если треугольники должны быть одинаковыми. квалифицируются как похожие.[нужна цитата ]

Подобные треугольники

Два треугольника, △ABC и △A′B′C ′, подобны тогда и только тогда, когда соответствующие углы имеют одинаковую меру: это означает, что они подобны тогда и только тогда, когда длины соответствующие стороны находятся пропорциональный.[1] Можно показать, что два треугольника с равными углами (равносторонние треугольники) подобны, т. е. можно доказать, что соответствующие стороны пропорциональны. Это известно как теорема подобия AAA.[2] Обратите внимание, что «AAA» является мнемоническим символом: каждая из трех A относится к «углу». Из-за этой теоремы несколько авторов упрощают определение похожих треугольников, требуя только, чтобы соответствующие три угла были конгруэнтными.[3]

Есть несколько утверждений, каждое из которых необходимо и достаточно для того, чтобы два треугольника были похожими:

  • Треугольники имеют два равных угла,[4] что в евклидовой геометрии подразумевает, что все их углы конгруэнтны.[5] То есть:
Если ∠BAC равен по мере ∠B′A′C ′, и ∠ABC равен по мере ∠A′B′C ′, то отсюда следует, что ∠ACB равен по мере ∠A′C′B ′ и треугольники похожи.
  • Все соответствующие стороны имеют длину в одинаковом соотношении:[6]
AB/A′B ′ = до н.э/ДО Н.Э' = AC/A′C ′. Это равносильно утверждению, что один треугольник (или его зеркальное отображение) является увеличение другого.
  • Две стороны имеют одинаковую длину, и углы между этими сторонами имеют одинаковую меру.[7] Например:
AB/A′B ′ = до н.э/ДО Н.Э' и ∠ABC равен по мере ∠A′B′C ′.

Это известно как критерий подобия SAS.[8] «SAS» - это мнемоника: каждая из двух S относится к «стороне»; «А» обозначает «угол» между двумя сторонами.

Когда два треугольника △ABC и △A′B′C ′ похожи, один пишет[9]:п. 22

△ABC ∼ △A′B′C ′.

Есть несколько элементарных результатов, касающихся подобных треугольников в евклидовой геометрии:[10]

Учитывая треугольник △ABC и отрезок линии DE можно, с линейка и компас, найди точку F такой, что △ABC ∼ △DEF. Утверждение, что точка F удовлетворение этому условию существует - постулат Уоллиса[12] и логически эквивалентен Параллельный постулат Евклида.[13] В гиперболическая геометрия (где постулат Уоллиса неверен) подобные треугольники конгруэнтны.

В аксиоматической трактовке евклидовой геометрии, данной Г. Д. Биркгоф (видеть Аксиомы Биркгофа ) критерий подобия SAS, приведенный выше, был использован для замены постулата параллельности Евклида и аксиомы SAS, что позволило резко сократить Аксиомы Гильберта.[8]

Подобные треугольники служат основой для многих синтетический (без использования координат) доказательства в евклидовой геометрии. Среди элементарных результатов, которые могут быть доказаны таким образом: теорема о биссектрисе угла, то теорема о среднем геометрическом, Теорема Чевы, Теорема Менелая и теорема Пифагора. Подобные треугольники также служат основой для тригонометрия прямоугольного треугольника.[14]

Другие похожие полигоны

Понятие сходства распространяется на полигоны с более чем трех сторон. Для любых двух похожих многоугольников соответствующие стороны, взятые в той же последовательности (даже если по часовой стрелке для одного многоугольника и против часовой стрелки для другого) пропорциональный и соответствующие углы, взятые в той же последовательности, равны по мере. Однако пропорциональности соответствующих сторон недостаточно для доказательства подобия многоугольников вне треугольников (в противном случае, например, все ромбовидные было бы похоже). Точно так же равенства всех углов в последовательности недостаточно, чтобы гарантировать подобие (в противном случае все прямоугольники было бы похоже). Достаточным условием подобия многоугольников является пропорциональность соответствующих сторон и диагоналей.

Для данного п, все обычный п-угольники похожи.

Подобные кривые

Некоторые типы кривых обладают тем свойством, что все примеры этого типа похожи друг на друга. К ним относятся:

В евклидовом пространстве

А сходство (также называемый преобразование подобия или же подобие) из Евклидово пространство это биекция ж из пространства на себя, которое умножает все расстояния на такое же положительное настоящий номер р, так что для любых двух точек Икс и у у нас есть

куда "d(Икс,у)" это Евклидово расстояние из Икс к у.[18] В скаляр р имеет много имен в литературе, в том числе; то соотношение сходства, то коэффициент растяжения и коэффициент подобия. Когда р = 1 подобие называется изометрия (жесткая трансформация ). Два набора называются похожий если одно изображение другого при подобии.

Как карта ж : ℝп → ℝп, подобие соотношения р принимает форму

куда А ∈ Оп(ℝ) является п × п ортогональная матрица и т ∈ ℝп вектор перевода.

Сходства сохраняют плоскости, линии, перпендикулярность, параллельность, середины, неравенства между расстояниями и отрезками линий.[19] Сходства сохраняют углы, но не обязательно сохраняют ориентацию, прямые сравнения сохранять ориентацию и противоположные сходства Измени это.[20]

Сходство евклидова пространства образует группа под действием композиции, называемой группа сходства S.[21] Прямые сравнения образуют нормальная подгруппа из S и Евклидова группа E(п) изометрий также образует нормальную подгруппу.[22] Группа сходства S сам является подгруппой аффинная группа, поэтому каждое сходство аффинное преобразование.

Евклидову плоскость можно рассматривать как комплексная плоскость,[23] то есть как двумерное пространство над реалы. Двумерные преобразования подобия могут быть выражены в терминах сложной арифметики и задаются формулой ж(z) = az + б (прямые сравнения) и ж(z) = аz + б (противоположные сравнения), где а и б комплексные числа, а ≠ 0. Когда |а| = 1, эти сходства являются изометриями.

Соотношения сторон, площадей и объемов

Основная статья: Закон квадрата-куба

Соотношение между области одинаковых фигур равно квадрату отношения соответствующих длин этих фигур (например, когда сторона квадрата или радиус круга умножаются на три, его площадь умножается на девять, то есть на три в квадрате) . У одинаковых треугольников такое же соотношение высот, как у соответствующих сторон. Если у треугольника есть сторона длины б и высота, обращенная к этой стороне длины час то подобный треугольник с соответствующей стороной длины kb будет иметь высоту, нарисованную на той стороне длины кх. Площадь первого треугольника равна, А = 1/2бх, а площадь аналогичного треугольника будет A ′ = 1/2(kb)(кх) = k2А. Подобные фигуры, которые можно разложить на похожие треугольники, будут иметь одинаковые области, связанные между собой. Это соотношение сохраняется и для цифр, которые нельзя исправить.

Соотношение между тома одинаковых фигур равен кубу отношения соответствующих длин этих фигур (например, когда край куба или радиус сферы умножается на три, его объем умножается на 27, т.е. на три куба) .

Закон квадрата-куба Галилея касается подобных тел. Если отношение подобия (отношение соответствующих сторон) между твердыми телами равно k, то отношение площадей поверхностей твердых тел будет k2, а соотношение объемов будет k3.

В общих метрических пространствах

Серпинский треугольник. Пространство, имеющее размерность самоподобия журнал 3/журнал 2 = журнал23, что примерно равно 1,58. (Из Хаусдорфово измерение.)

В общем метрическое пространство (Икс, d), точный подобие это функция ж из метрического пространства Икс в себя, которая умножает все расстояния на такое же положительное скаляр р, называется ж коэффициент сжатия, так что для любых двух точек Икс и у у нас есть

Например, более слабые версии подобия имели бы ж быть би-Липшиц функция и скаляр р предел

Эта более слабая версия применяется, когда метрика является эффективным сопротивлением на топологически самоподобном множестве.

Самоподобное подмножество метрического пространства (Икс, d) это набор K для которого существует конечный набор подобий { жs }s∈S с коэффициентами сжатия 0 ≤ рs < 1 такой, что K - единственное компактное подмножество Икс для которого

Самоподобный набор, построенный с двумя подобиями z '= 0,1 [(4 + i) z + 4] и z' = 0,1 [(4 + 7i) z * + 5-2i]

Эти самоподобные множества имеют самоподобный мера μD с размером D задается формулой

что часто (но не всегда) равно множеству Хаусдорфово измерение и размер упаковки. Если перекрытие между жs(K) являются «маленькими», мы имеем следующую простую формулу меры:

Топология

В топология, а метрическое пространство можно построить, задав сходство вместо расстояние. Сходство - это функция, значение которой тем больше, чем ближе две точки (в отличие от расстояния, которое является мерой несходство: чем ближе точки, тем меньше расстояние).

Определение сходства может варьироваться среди авторов в зависимости от желаемых свойств. Основные общие свойства:

  1. Положительно определено:
  2. Обладает подобием одного элемента самому себе (автоподобие):

Могут быть вызваны другие свойства, например отражательная способность () или же конечность (). Верхнее значение часто устанавливается равным 1 (что создает возможность для вероятностной интерпретации подобия).

Отметим, что в используемом здесь топологическом смысле подобие - это своего рода мера. Это использование нет так же, как преобразование подобия из § В евклидовом пространстве и § В общих метрических пространствах разделы этой статьи.

Самоподобие

Самоподобие означает, что узор нетривиально похожий самому себе, например, множество {…, 0.5, 0.75, 1, 1.5, 2, 3, 4, 6, 8, 12, …} номеров формы {2я, 3·2я} куда я распространяется на все целые числа. Когда этот набор нанесен на логарифмическая шкала он имеет одномерный поступательная симметрия: добавление или вычитание логарифма двух к логарифму одного из этих чисел дает логарифм другого из этих чисел. В данном наборе чисел это соответствует преобразованию подобия, при котором числа умножаются или делятся на два.

Психология

Интуиция к понятию геометрического подобия уже появляется у человеческих детей, как это видно на их рисунках.[24]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Сибли 1998, п. 35 год
  2. ^ Шталь 2003, п. 127. Это также доказано в Элементы Евклида, Книга VI, Предложение 4.
  3. ^ Например, Венема 2006, п. 122 и Хендерсон и Тайминя 2005, п. 123
  4. ^ Элементы Евклида Книга VI Предложение 4.
  5. ^ Это утверждение неверно в Неевклидова геометрия где сумма углов треугольника не равна 180 градусам.
  6. ^ Элементы Евклида Книга VI Предложение 5
  7. ^ Элементы Евклида Книга VI Предложение 6
  8. ^ а б Венема 2006, п. 143
  9. ^ Позаментьер, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников, Книги Прометея, 2012.
  10. ^ Джейкобс 1974, стр. 384 - 393
  11. ^ Адамар, Жак (2008), Уроки геометрии, Vol. I: Плоская геометрия, Американское математическое общество, теорема 120, стр. 125, ISBN  9780821843673.
  12. ^ Названный для Джон Уоллис (1616–1703)
  13. ^ Венема 2006, п. 122
  14. ^ Венема 2006, п. 145
  15. ^ доказательство от academia.edu
  16. ^ а б Форма эллипса или гиперболы зависит только от отношения b / a
  17. ^ "Контактная сеть". Xahlee.org. 2003-05-28. Получено 2010-11-17.
  18. ^ Умный 1998, п. 92
  19. ^ Йель 1968, п. 47 Теорема 2.1.
  20. ^ Педое 1988, стр. 179-181
  21. ^ Йель 1968, п. 46
  22. ^ Педое 1988, п. 182
  23. ^ Этот традиционный термин, как объясняется в его статье, неверен. На самом деле это одномерная сложная линия.
  24. ^ Кокс, Дана Кристина (2008). Понимание сходства: соединение геометрического и числового контекстов для пропорционального рассуждения (Кандидат наук.). ISBN  9780549756576. Архивировано из оригинал на 2016-06-01.

Рекомендации

  • Хендерсон, Дэвид В .; Таймина, Дайна (2005), Опыт геометрии / Евклидово и неевклидово с историей (3-е изд.), Пирсон Прентис-Холл, ISBN  978-0-13-143748-7
  • Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия, W.H. Фриман и Ко, ISBN  0-7167-0456-0
  • Педо, Дэн (1988) [1970], Геометрия / Комплексный курс, Дувр, ISBN  0-486-65812-0
  • Сибли, Томас К. (1998), Геометрическая точка зрения / Обзор геометрии, Эддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-87450-1
  • Смарт, Джеймс Р. (1998), Современная геометрия (5-е изд.), Брукс / Коул, ISBN  0-534-35188-3
  • Шталь, Саул (2003), Геометрия / От Евклида к узлам, Прентис-Холл, ISBN  978-0-13-032927-1
  • Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии, Пирсон Прентис-Холл, ISBN  978-0-13-143700-5
  • Йель, Пол Б. (1968), Геометрия и симметрия, Холден-Дэй

дальнейшее чтение

  • Джудит Н. Седерберг (1989, 2001) Курс современной геометрии, Глава 3.12 Преобразования подобия, стр. 183–9, Springer ISBN  0-387-98972-2 .
  • H.S.M. Coxeter (1961,9) Введение в геометрию, §5 Подобие в евклидовой плоскости, стр. 67–76, §7 Изометрия и подобие в евклидовом пространстве, стр. 96–104, Джон Уайли и сыновья.
  • Гюнтер Эвальд (1971) Геометрия: введение, стр 106, 181, Wadsworth Publishing.
  • Джордж Э. Мартин (1982) Преобразовательная геометрия: введение в симметрию, Глава 13 Сходства на плоскости, стр. 136–46, Springer ISBN  0-387-90636-3 .

внешняя ссылка