Эксцентриситет (математика) - Eccentricity (mathematics)

Все типы конических секций, расположенных с возрастающим эксцентриситетом. Обратите внимание, что кривизна уменьшается с увеличением эксцентриситета, и ни одна из этих кривых не пересекается.

В математика, то эксцентриситет из коническая секция неотрицательное действительное число, однозначно характеризующее его форму.

Более формально две конические секции похожий если и только если у них такая же неординарность.

Можно представить себе эксцентриситет как меру того, насколько коническое сечение отклоняется от круглого. Особенно:

Эксцентриситет круг является нуль.
Эксцентричность эллипс который не является кругом больше нуля, но меньше 1.
Эксцентриситет парабола равно 1.
Эксцентриситет гипербола больше 1.

Определения

плоское сечение конуса

Любое коническое сечение можно определить как геометрическое место точек, расстояние от которых до точки (фокус) и линии (директриса) находится в постоянном соотношении. Это отношение называется эксцентриситетом, обычно обозначаемым как $е$ .

Эксцентриситет также можно определить в терминах пересечения плоскости и конус с двойным ворсом связанный с коническим сечением. Если конус ориентирован так, чтобы его ось была вертикальной, эксцентриситет равен^[1]

{ displaystyle e = { frac { sin beta} { sin alpha}}, 0 < alpha <90 ^ { circ}, 0 leq beta leq 90 ^ { circ} ,}

где β - угол между плоскостью и горизонталью, а α - угол между образующей наклона конуса и горизонталью. За ${ displaystyle beta = 0}$ плоское сечение - круг, для ${ Displaystyle бета = альфа}$ парабола. (Плоскость не должна совпадать с вершиной конуса.)

В линейный эксцентриситет эллипса или гиперболы, обозначаемой $c$ (или иногда $ж$ или же $е$ ), это расстояние между его центром и любым из двух фокусы. Эксцентриситет можно определить как отношение линейного эксцентриситета к большая полуось $а$ : то есть, ${ displaystyle e = { frac {c} {a}}}$ (без центра линейный эксцентриситет для парабол не определен).

Альтернативные названия

Эксцентриситет иногда называют первая эксцентриситет отличить его от второй эксцентриситет и третий эксцентриситет определен для эллипсов (см. ниже). Эксцентриситет также иногда называют числовой эксцентриситет.

В случае эллипсов и гипербол линейный эксцентриситет иногда называют полуфокальное разделение.

Обозначение

Обычно используются три условных обозначения:

$е$ за неординарность и $c$ для линейного эксцентриситета.
$ε$ за неординарность и $е$ для линейного эксцентриситета.
$е$ или же $ϵ <$ за неординарность и $ж$ для линейного эксцентриситета (мнемоника для полу-жокальное разделение).

В этой статье используются первые обозначения.

Значения

Коническое сечение	Уравнение	Эксцентриситет ( $е$ )	Линейный эксцентриситет ( $c$ )
Круг	${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$
Эллипс	${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ или же ${ displaystyle { frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {x ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ куда ${ displaystyle a> b}$	${ displaystyle { sqrt {1 - { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${ displaystyle { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$
Парабола	${ displaystyle x ^ {2} = 4ay}$	${ displaystyle 1}$	–
Гипербола	${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ или же ${ displaystyle { frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac {x ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${ displaystyle { sqrt {1 + { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${ displaystyle { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

Здесь для эллипса и гиперболы $а$ - длина большой полуоси и $б$ - длина малой полуоси.

Когда коническое сечение задано в общей квадратичной форме

{ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,}

следующая формула дает эксцентриситет $е$ если коническое сечение не является параболой (с эксцентриситетом, равным 1), не вырожденная гипербола или вырожденный эллипс, а не воображаемый эллипс:^[2]

{ Displaystyle е = { sqrt { frac {2 { sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}} { eta (A + C) + { sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}}}}}

куда ${ displaystyle eta = 1}$ если детерминант матрицы 3 × 3

{ displaystyle { begin {bmatrix} A & B / 2 & D / 2 B / 2 & C & E / 2 D / 2 & E / 2 & F end {bmatrix}}}

отрицательный или ${ displaystyle eta = -1}$ если этот определитель положительный.

Эллипс и гипербола с постоянной

а

и изменение эксцентриситета

е

.

Эллипсы

Эксцентричность эллипс строго меньше 1. Когда круги (с эксцентриситетом 0) считаются эллипсами, эксцентриситет эллипса больше или равен 0; если кругам присвоена специальная категория и они исключены из категории эллипсов, то эксцентриситет эллипса строго больше 0.

Пусть для любого эллипса $а$ быть длиной его большая полуось и $б$ быть длиной его малая полуось.

Мы определяем ряд связанных дополнительных понятий (только для эллипсов):

Имя	Символ	с точки зрения $а$ и $б$	с точки зрения $е$
Первая эксцентриситет	${ displaystyle e}$	${ displaystyle { sqrt {1 - { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${ displaystyle e}$
Второй эксцентриситет	${ displaystyle e '}$	${ displaystyle { sqrt {{ frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} - 1}}}$	${ displaystyle { frac {e} { sqrt {1-e ^ {2}}}}}$
Третья эксцентриситет	${ displaystyle e '' = { sqrt {m}}}$	${ displaystyle { frac { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$	${ displaystyle { frac {e} { sqrt {2-e ^ {2}}}}}$
Угловой эксцентриситет	${ displaystyle alpha}$	${ displaystyle cos ^ {- 1} left ({ frac {b} {a}} right)}$	${ displaystyle sin ^ {- 1} e}$

Другие формулы эксцентриситета эллипса

Эксцентриситет эллипса - это, проще всего, отношение расстояния $c$ между центром эллипса и каждым фокусом до длины большой полуоси $а$ .

{ displaystyle e = { frac {c} {a}}.}

Эксцентриситет - это также отношение большой полуоси. $а$ на расстоянии $d$ от центра к директрисе:

{ displaystyle e = { frac {a} {d}}.}

Эксцентриситет можно выразить через сплющивание $ж$ (определяется как ${ displaystyle f = 1-b / a}$ для большой полуоси $а$ и малая полуось $б$ ):

{ displaystyle e = { sqrt {f (2-f)}}.}

(Уплощение можно обозначить как $грамм$ в некоторых предметных областях, если $ж$ линейный эксцентриситет.)

Определите максимальный и минимальный радиус ${ displaystyle r _ { text {max}}}$ и ${ displaystyle r _ { text {min}}}$ как максимальное и минимальное расстояния от любого фокуса до эллипса (то есть расстояния от любого фокуса до двух концов большой оси). Затем с большой полуосью $а$ , эксцентриситет определяется выражением

{ displaystyle e = { frac {r _ { text {max}} - r _ { text {min}}} {r _ { text {max}} + r _ { text {min}}}} = { frac {r _ { text {max}} - r _ { text {min}}} {2a}},}

это расстояние между фокусами, деленное на длину большой оси.

Гиперболы

Эксцентриситет гипербола может быть любым действительным числом больше 1 без верхней границы. Эксцентриситет прямоугольная гипербола является ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ .

Квадрики

Эллипсы, гиперболы со всеми возможными эксцентриситетами от нуля до бесконечности и парабола на одной кубической поверхности.

Эксцентриситет трехмерного квадрика эксцентриситет назначенного раздел этого. Например, на трехосном эллипсоиде меридиональный эксцентриситет представляет собой эллипс, образованный сечением, содержащим как самую длинную, так и самую короткую оси (одна из которых будет полярной осью), и экваториальный эксцентриситет представляет собой эксцентриситет эллипса, образованного сечением, проходящим через центр, перпендикулярным полярной оси (т.е. в экваториальной плоскости). Но: конические сечения могут встречаться и на поверхностях более высокого порядка (см. Изображение).

Небесная механика

В небесная механика для связанных орбит в сферическом потенциале приведенное выше определение неформально обобщено. Когда апоцентр расстояние близко к перицентр расстояние, считается, что орбита имеет низкий эксцентриситет; когда они сильно различаются, орбита считается эксцентричной или имеет эксцентриситет, близкий к единице. Это определение совпадает с математическим определением эксцентриситета эллипсов в Кеплерове, т. Е. ${ displaystyle 1 / r}$ потенциалы.

Аналогичные классификации

Ряд классификаций в математике используют терминологию, полученную из классификации конических сечений по эксцентриситету:

Классификация элементов из SL₂(Р) как эллиптический, параболический и гиперболический - и аналогично для классификация элементов PSL₂(R), настоящий Преобразования Мебиуса.
Классификация дискретных распределений по отношение дисперсии к среднему; видеть кумулянты некоторых дискретных распределений вероятностей для подробностей.
Классификация уравнения в частных производных по аналогии с классификацией конических сечений; видеть эллиптический, параболический и гиперболический уравнения в частных производных.^[3]

Смотрите также

внешняя ссылка

MathWorld: эксцентриситет

[1] Томас, Джордж Б .; Финни, Росс Л. (1979), Исчисление и аналитическая геометрия (пятое изд.), Addison-Wesley, p. 434. ISBN 0-201-07540-7

[2] Аюб, Аюб Б., "Эксцентриситет конического сечения", Математический журнал колледжа 34 (2), март 2003 г., 116-121.

[ornl.gov-3] «Классификация линейных УЧП от двух независимых переменных». Получено 2 июля 2013.

[1]

[2]

[3]