Уравнение орбиты - Orbit equation

В астродинамика ан орбита уравнение определяет путь вращающееся тело ${ displaystyle m_ {2} , !}$ вокруг центральный орган ${ Displaystyle м_ {1} , !}$ относительно ${ Displaystyle м_ {1} , !}$ , без указания положения как функции времени. Согласно стандартным предположениям, тело, движущееся под действием силы, направленной к центральному телу, с величиной, обратно пропорциональной квадрату расстояния (например, гравитации), имеет орбиту, которая является коническая секция (т.е. круговая орбита, эллиптическая орбита, параболическая траектория, гиперболическая траектория, или же радиальная траектория ) с центральным корпусом, расположенным в одном из двух фокусы, или же то фокус (Первый закон Кеплера ).

Если коническое сечение пересекает центральное тело, то фактическая траектория может быть только частью над поверхностью, но для этой части по-прежнему применяется уравнение орбиты и многие связанные формулы, если это свободное падение (ситуация невесомость ).

Центральная сила закона обратных квадратов

Рассмотрим двухчастная система состоящий из центрального тела массы M и гораздо меньшее, вращающееся тело массой м, и предположим, что два тела взаимодействуют через центральный, закон обратных квадратов сила (например, гравитация ). В полярные координаты, уравнение орбиты можно записать как^[1]

{ displaystyle r = { frac { ell ^ {2}} {m ^ {2} mu}} { frac {1} {1 + e cos theta}}}

куда ${ displaystyle r}$ расстояние между двумя телами и ${ displaystyle theta}$ угол, который ${ displaystyle mathbf {r}}$ делает с осью перицентр (также называемый истинная аномалия ). Параметр ${ displaystyle ell}$ это угловой момент вращающегося тела вокруг центрального тела, и равна ${ displaystyle mr ^ {2} { dot { theta}}}$ .^{[примечание 1]} Параметр ${ displaystyle mu}$ постоянная, для которой ${ displaystyle mu / r ^ {2}}$ равно ускорению меньшего тела (для гравитации ${ displaystyle mu}$ это стандартный гравитационный параметр, ${ displaystyle -GM}$ ). Для данной орбиты большее ${ displaystyle mu}$ , тем быстрее движется в нем орбитальное тело: вдвое быстрее, если притяжение в четыре раза сильнее. Параметр ${ displaystyle e}$ это эксцентриситет орбиты и определяется выражением^[1]

{ displaystyle e = { sqrt {1 + { frac {2E ell ^ {2}} {m ^ {3} mu ^ {2}}}}}}

куда ${ displaystyle E}$ это энергия орбиты.

Указанная выше связь между ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle theta}$ описывает коническая секция.^[1] Значение ${ displaystyle e}$ определяет, в каком коническом сечении находится орбита:

когда ${ Displaystyle е <1}$ , орбита эллиптический;
когда ${ displaystyle e = 1}$ , орбита параболический;
когда ${ displaystyle e> 1}$ , орбита гиперболический.

Минимальное значение ${ displaystyle r}$ в уравнении:

${ displaystyle r = {{ ell ^ {2}} over {m ^ {2} mu}} {{1} over {1 + e}}}$

а если ${ Displaystyle е <1}$ , максимальное значение:

${ displaystyle r = {{ ell ^ {2}} over {m ^ {2} mu}} {{1} over {1-e}}}$

Если максимум меньше радиуса центрального тела, то коническое сечение представляет собой эллипс, который полностью находится внутри центрального тела, и никакая его часть не является возможной траекторией. Если максимум больше, а минимум меньше радиуса, возможна часть траектории:

если энергия неотрицательна (параболическая или гиперболическая орбита): движение идет либо от центрального тела, либо к нему.
если энергия отрицательная: движение может быть сначала от центрального тела, до

{ displaystyle r = {{ ell ^ {2}} over {m ^ {2} mu}} {{1} over {1-e}}}

после чего объект падает обратно.

Если ${ displaystyle r}$ становится таким, что орбитальное тело входит в атмосферу, тогда стандартные допущения больше не применяются, как в вход в атмосферу.

Траектории с низкой энергией

Если центральным телом является Земля, а энергия лишь немного превышает потенциальную энергию на поверхности Земли, тогда орбита эллиптическая с эксцентриситетом, близким к 1, и один конец эллипса находится сразу за центром Земли, а другой конец чуть выше поверхности. Применима только небольшая часть эллипса.

Если горизонтальная скорость ${ Displaystyle v , !}$ , то перицентрическое расстояние является ${ displaystyle { frac {v ^ {2}} {2g}}}$ . Энергия на поверхности Земли соответствует энергии эллиптической орбиты с ${ Displaystyle а = R / 2 , !}$ (с ${ Displaystyle R , !}$ радиус Земли), который на самом деле не может существовать, потому что он представляет собой эллипс, полностью находящийся под поверхностью. В энергия увеличивается с увеличением из ${ displaystyle a}$ по норме ${ Displaystyle 2g , !}$ . Максимальная высота над поверхностью орбиты равна длине эллипса минус ${ Displaystyle R , !}$ , минус часть "ниже" центра Земли, следовательно, увеличение вдвое больше ${ Displaystyle а , !}$ минус перицентрическое расстояние. На вершине^{[которого? ]} потенциальная энергия ${ displaystyle g}$ умноженной на эту высоту, а кинетическая энергия равна ${ displaystyle { frac {v ^ {2}} {2}}}$ . Это добавляет к только что упомянутому увеличению энергии. Ширина эллипса 19 минут.^{[Почему? ]} раз ${ Displaystyle v , !}$ .

Часть эллипса над поверхностью может быть аппроксимирована частью параболы, которая получается в модели, в которой сила тяжести считается постоянной. Это следует отличать от параболической орбиты в смысле астродинамики, где скорость - это скорость убегания.

Смотрите также траектория.

Категоризация орбит

Рассмотрим орбиты, которые в одной точке находятся горизонтально у поверхности Земли. Для увеличения скорости в этот момент орбиты будут следующими:

часть эллипса с вертикальной большой осью с центром Земли в качестве дальнего фокуса (бросание камня, суборбитальный космический полет, баллистическая ракета )
круг прямо над поверхностью Земли (Низкая околоземная орбита )
эллипс с вертикальной большой осью, с центром Земли в качестве ближнего фокуса
парабола
гипербола

Обратите внимание, что в приведенной выше последовательности^{[куда? ]}, ${ displaystyle h}$ , ${ displaystyle epsilon}$ и ${ displaystyle a}$ монотонно возрастают, но ${ displaystyle e}$ сначала уменьшается от 1 до 0, затем увеличивается от 0 до бесконечности. Инверсия - это когда центр Земли меняется с дальнего на ближний фокус (другой фокус начинается около поверхности и проходит через центр Земли). У нас есть

{ displaystyle e = left | { frac {R} {a}} - 1 right |}

Распространяя это на орбиты, которые являются горизонтальными на другой высоте, и орбиты, экстраполяция которых горизонтальна ниже поверхности Земли, мы получаем категоризацию всех орбит, кроме радиальные траектории, для которого, кстати, уравнение орбиты использовать нельзя. В этой классификации эллипсы считаются дважды, так что для эллипсов с обеих сторон над поверхностью можно ограничиться, чтобы на сторону, которая ниже в качестве опорной части, в то время как для эллипсов, из которых только одна сторона над поверхностью, с этой стороны.

Смотрите также

Примечания

^ Есть связанный параметр, известный как удельный относительный угловой момент, ${ displaystyle h}$ . Это связано с ${ displaystyle ell}$ к ${ displaystyle h = ell / m}$ .