Орбитальная механика - Orbital mechanics

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Февраль 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Спутник, вращающийся вокруг Земли, имеет тангенциальная скорость и внутрь ускорение.

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Параметры орбиты Апсис Аргумент периапсиса Азимут Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичные орбиты, к эксцентриситет Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита (Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки (Гало-орбиты ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта

Орбитальная механика или астродинамика это применение баллистика и небесная механика к практическим проблемам движения ракеты и другие космический корабль. Движение этих объектов обычно рассчитывается из Законы движения Ньютона и закон всемирного тяготения. Орбитальная механика - ключевая дисциплина внутри космический полет дизайн и контроль.

Небесная механика рассматривает более широко орбитальный динамика систем под воздействием сила тяжести, включая как космические, так и природные астрономические тела такие как звездные системы, планеты, луны, и кометы. Орбитальная механика фокусируется на космических аппаратах траектории, в том числе орбитальные маневры, орбитальный самолет изменений и межпланетных перемещений, и используется разработчиками миссий для прогнозирования результатов пропульсивные маневры. Общая теория относительности является более точной теорией, чем законы Ньютона для расчета орбит, и иногда требуется для большей точности или в ситуациях с высокой гравитацией (например, орбиты около Солнца).

История

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Август 2008 г.)

До подъема космическое путешествие в двадцатом веке не существовало различий между орбитальной и небесной механикой. В момент Спутник поле получило название «космическая динамика».^[1] Основные методы, такие как те, которые используются для решения Кеплеровская проблема (определение положения как функции времени), поэтому одинаковы в обоих полях. Кроме того, история полей почти полностью разделяется.

Иоганн Кеплер был первым, кто успешно смоделировал планетные орбиты с высокой степенью точности, опубликовав его законы в 1605 г. Исаак Ньютон опубликовал более общие законы движения небесных тел в первом издании Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), который дал метод определения орбиты тела, следующего за параболический путь из трех наблюдений.^[2] Это использовалось Эдмунд Галлей установить орбиты различных кометы, в том числе и то, что носит его имя. Метод последовательных приближений Ньютона был формализован в аналитический метод Эйлер в 1744 г., работа которого, в свою очередь, была обобщена на эллиптические и гиперболические орбиты Ламберт в 1761–1777 гг.

Еще одной важной вехой в определении орбиты стало Карл Фридрих Гаусс помощь в «восстановлении» карликовая планета Церера в 1801 г. Метод Гаусса смог использовать всего три наблюдения (в виде пар прямое восхождение и склонение ), чтобы найти шесть орбитальные элементы которые полностью описывают орбиту. Теория определения орбиты впоследствии была развита до такой степени, что сегодня она применяется в приемниках GPS, а также для отслеживания и каталогизации вновь наблюдаемых малые планеты. Современные методы определения и прогнозирования орбиты используются для работы всех типов спутников и космических зондов, поскольку необходимо знать их будущее положение с высокой степенью точности.

Астродинамика была разработана астрономом. Сэмюэл Херрик начиная с 1930-х гг. Он посоветовался с ученым-ракетчиком Роберт Годдард и ему было предложено продолжить свою работу над методами космической навигации, поскольку Годдард считал, что они потребуются в будущем. В 1960-х годах численные методы астродинамики были соединены с новыми мощными компьютерами, и человек был готов отправиться на Луну и вернуться.

Практические приемы

Эмпирические правила

Следующие практические правила полезны для ситуаций, приближенных к классическая механика при стандартных предположениях астродинамики, изложенных ниже в правилах. Рассмотренный конкретный пример касается спутника, вращающегося вокруг планеты, но практические правила могут также применяться к другим ситуациям, например, орбитам малых тел вокруг звезды, такой как Солнце.

• Законы движения планет Кеплера:
  • Орбиты эллиптический, с более тяжелым телом на одном фокус эллипса. Частным случаем этого является круговая орбита (круг - это частный случай эллипса) с планетой в центре.
  • Линия, проведенная от планеты к спутнику, выметает равные площади в равное время независимо от того, какая часть орбиты измеряется.
  • Квадрат периода обращения спутника пропорционален кубу его среднего расстояния от планеты.
• Без применения сила (например, запуск ракетного двигателя) период и форма орбиты спутника не изменятся.
• Спутник на низкой орбите (или нижней части эллиптической орбиты) движется быстрее относительно поверхности планеты, чем спутник на более высокой орбите (или высокой части эллиптической орбиты), из-за более сильного гравитационного притяжения. ближе к планете.
• Если тяга применяется только в одной точке орбиты спутника, он будет возвращаться в эту же точку на каждой последующей орбите, хотя остальная часть его пути изменится. Таким образом, невозможно перейти с одной круговой орбиты на другую с помощью только одного краткого приложения тяги.
• С круговой орбиты тяга, приложенная в направлении, противоположном движению спутника, изменяет орбиту на эллиптическую; спутник опустится и достигнет самой низкой точки орбиты ( периапс ) на 180 градусов от огневой точки; тогда он поднимется обратно. Тяга, приложенная в направлении движения спутника, создает эллиптическую орбиту с самой высокой точкой (апоапс ) 180 градусов от огневой точки.

Последствия правил орбитальной механики иногда противоречат интуиции. Например, если два космических корабля находятся на одной круговой орбите и хотят состыковаться, если они не находятся очень близко, ведомый корабль не может просто запустить свои двигатели, чтобы двигаться быстрее. Это изменит форму его орбиты, в результате чего он наберет высоту и фактически замедлится относительно ведущего корабля, не попав в цель. В космическое рандеву перед стыковкой обычно требуется несколько точно рассчитанных запусков двигателя за несколько орбитальных периодов, требующих часов или даже дней.

В той степени, в которой стандартные предположения астродинамики не выполняются, фактические траектории будут отличаться от рассчитанных. Например, простой атмосферное сопротивление является еще одним осложняющим фактором для объектов с низким Околоземная орбита. Эти эмпирические правила явно неточны при описании двух или более тел одинаковой массы, таких как двойная звездная система (увидеть проблема н-тела ). Небесная механика использует более общие правила, применимые к большему количеству ситуаций. Законы движения планет Кеплера, которые могут быть математически выведены из законов Ньютона, строго соблюдаются только при описании движения двух гравитирующих тел в отсутствие негравитационных сил; они также описывают параболические и гиперболические траектории. В непосредственной близости от крупных объектов, таких как звезды, различия между классическая механика и общая теория относительности также становятся важными.

Законы астродинамики

Основные законы астродинамики: Закон всемирного тяготения Ньютона и Законы движения Ньютона, а основным математическим инструментом является дифференциальный исчисление.

Каждая орбита и траектория вне атмосферы в принципе обратимы, т. Е. В пространственно-временной функции время перевернуто. Скорости поменялись местами, а ускорения остались прежними, в том числе от ракетных взрывов. Таким образом, если взрыв ракеты происходит в направлении скорости, в обратном случае он противоположен скорости. Конечно, в случае ракетных взрывов нет полного разворота событий, в обоих случаях используется одна и та же дельта-v и одна и та же соотношение масс применяется.

Стандартные допущения в астродинамике включают невмешательство со стороны внешних тел, пренебрежимо малую массу одного из тел и пренебрежимо малые другие силы (такие как солнечный ветер, сопротивление атмосферы и т. Д.). Более точные вычисления могут быть выполнены без этих упрощающих предположений, но они более сложные. Повышенная точность часто не оказывает существенного влияния на расчеты.

Законы движения планет Кеплера может быть получено из законов Ньютона, когда предполагается, что вращающееся тело подвержено только гравитационной силе центрального аттрактора. Когда присутствует тяга двигателя или движущая сила, законы Ньютона все еще применяются, но законы Кеплера недействительны. Когда тяга прекратится, результирующая орбита будет другой, но снова будет описана законами Кеплера. Вот три закона:

1. В орбита каждого планета является эллипс с солнцем на одном из фокусы.
2. А линия присоединяясь к планете, солнце сметает равные области за равные промежутки времени.
3. В квадраты из орбитальные периоды планет прямо пропорциональный к кубики из большая полуось орбит.

Скорость убегания

Формула для скорость убегания выводится следующим образом. В удельная энергия (энергия на единицу масса ) любого космического корабля состоит из двух компонентов: потенциальная энергия и конкретные кинетическая энергия. Удельная потенциальная энергия, связанная с планетой масса M дан кем-то

${ displaystyle epsilon _ {p} = - { frac {GM} {r}} ,}$

в то время удельная кинетическая энергия объекта дается

${ displaystyle epsilon _ {k} = { frac {v ^ {2}} {2}} ,}$

итак общая удельная орбитальная энергия является

${ displaystyle epsilon = epsilon _ {k} + epsilon _ {p} = { frac {v ^ {2}} {2}} - { frac {GM} {r}} ,}$

С энергия сохраняется, ${ displaystyle epsilon}$ не может зависеть от расстояния, ${ displaystyle r}$, от центра центрального тела к рассматриваемому космическому аппарату, т.е. v должно меняться в зависимости от р чтобы удельная орбитальная энергия оставалась постоянной. Следовательно, объект может достигать бесконечного ${ displaystyle r}$ только если эта величина неотрицательна, что означает

${ displaystyle v geq { sqrt { frac {2GM} {r}}}.}$

Скорость убегания от поверхности Земли составляет около 11 км / с, но этого недостаточно, чтобы отправить тело на бесконечное расстояние из-за гравитационного притяжения Солнца. Чтобы покинуть Солнечную систему из места, находящегося на расстоянии от Солнца, равном расстоянию Солнце-Земля, но не близко к Земле, требуется скорость около 42 км / с, но будет «частичная заслуга» орбитальной скорости Земли. для космических кораблей, запускаемых с Земли, если их дальнейшее ускорение (из-за двигательной установки) приводит их в том же направлении, что и Земля движется по своей орбите.

Формулы свободных орбит

Орбиты конические секции, поэтому формула для расстояния до тела для заданного угла соответствует формуле для этой кривой в полярные координаты, который:

${ Displaystyle г = { гидроразрыва {р} {1 + е соз тета}}}$

${ Displaystyle му = г (м_ {1} + м_ {2}) ,}$

${ Displaystyle р = ч ^ {2} / му ,}$

${ displaystyle mu}$ называется гравитационный параметр. ${ displaystyle m_ {1}}$ и ${ displaystyle m_ {2}}$ - массы объектов 1 и 2, а ${ displaystyle h}$ это удельный угловой момент объекта 2 по отношению к объекту 1. Параметр ${ displaystyle theta}$ известен как истинная аномалия, ${ displaystyle p}$ это полу-латусная прямая кишка, в то время как ${ displaystyle e}$ это орбитальный эксцентриситет, все это можно получить из различных форм шести независимых орбитальные элементы.

Круговые орбиты

Все ограниченные орбиты, на которых преобладает гравитация центрального тела, имеют эллиптическую природу. Частным случаем этого является круговая орбита, представляющая собой эллипс с нулевым эксцентриситетом. Формула скорости тела на круговой орбите на расстоянии р от центра тяжести масс M можно получить следующим образом:

Центробежное ускорение соответствует ускорению свободного падения.

Так, ${ displaystyle v ^ {2} / r = GM / r ^ {2}}$

Следовательно,

${ displaystyle v = { sqrt {{ frac {GM} {r}} }}}$

где ${ displaystyle G}$ это гравитационная постоянная, равно

6.673 84 × 10⁻¹¹ м³/ (кг · с²)

Чтобы правильно использовать эту формулу, единицы должны быть согласованы; Например, ${ displaystyle M}$ должно быть в килограммах, и ${ displaystyle r}$ должно быть в метрах. Ответ будет в метрах в секунду.

Количество ${ displaystyle GM}$ часто называют стандартный гравитационный параметр, который имеет разное значение для каждой планеты или луны в Солнечная система.

Как только круговая орбитальная скорость известна, скорость убегания легко найти, умножив на квадратный корень из 2:

${ displaystyle v = { sqrt {2}} { sqrt {{ frac {GM} {r}} }} = { sqrt {{ frac {2GM} {r}} }}.}$

Чтобы избежать гравитации, кинетическая энергия должна как минимум соответствовать отрицательной потенциальной энергии. ${ displaystyle 1 / 2mv ^ {2} = GMm / r}$ и поэтому,

${ displaystyle v = { sqrt {{ frac {2GM} {r}} }}.}$

Эллиптические орбиты

Если ${ Displaystyle 0 <е <1}$, то знаменатель уравнения свободных орбит меняется в зависимости от истинной аномалии ${ displaystyle theta}$, но остается положительным и никогда не становится нулевым. Таким образом, вектор относительного положения остается ограниченным, имея наименьшую величину в перицентре. ${ displaystyle r_ {p}}$, который определяется как:

${ displaystyle r_ {p} = { frac {p} {1 + e}}}$

Максимальное значение ${ displaystyle r}$ достигается, когда ${ Displaystyle theta = 180 ^ { circ}}$. Эта точка называется апоапсисом, а ее радиальная координата обозначается ${ displaystyle r_ {a}}$, является

${ displaystyle r_ {a} = { frac {p} {1-e}}}$

Позволять ${ displaystyle 2a}$ быть расстоянием, измеренным по линии апсиды от перицентра ${ displaystyle P}$ к апоапсису ${ displaystyle A}$, как показано в уравнении ниже:

${ displaystyle 2a = r_ {p} + r_ {a}}$

Подставляя приведенные выше уравнения, получаем:

${ displaystyle a = { frac {p} {1-e ^ {2}}}}$

а - большая полуось эллипса. Решение для ${ displaystyle p}$, и подставив результат в формулу кривой конического сечения выше, мы получим:

${ Displaystyle г = { гидроразрыва {а (1-е ^ {2})} {1 + е соз тета}}}$

Орбитальный период

При стандартных предположениях орбитальный период (${ Displaystyle Т , !}$) тела, движущегося по эллиптической орбите, можно вычислить как:

${ displaystyle T = 2 pi { sqrt {a ^ {3} over { mu}}}}$

куда:

• ${ displaystyle mu ,}$ является стандартный гравитационный параметр,
• ${ Displaystyle а , !}$ длина большая полуось.

Выводы:

• Орбитальный период равен периоду обращения круговая орбита с радиусом орбиты равным большая полуось (${ Displaystyle а , !}$),
• Для данной большой полуоси орбитальный период не зависит от эксцентриситета (см. Также: Третий закон Кеплера ).

Скорость

При стандартных предположениях орбитальная скорость (${ displaystyle v ,}$) тела, движущегося по эллиптическая орбита можно вычислить из Уравнение Vis-viva в качестве:

${ displaystyle v = { sqrt { mu left ({2 over {r}} - {1 over {a}} right)}}}$

куда:

• ${ displaystyle mu ,}$ это стандартный гравитационный параметр,
• ${ Displaystyle г ,}$ расстояние между вращающимися телами.
• ${ Displaystyle а , !}$ это длина большая полуось.

Уравнение скорости для гиперболическая траектория имеет либо + ${ displaystyle {1 over {a}}}$, или то же самое с соглашением, что в этом случае а отрицательный.

Энергия

При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия (${ displaystyle epsilon ,}$) эллиптической орбиты отрицательна и уравнение сохранения орбитальной энергии ( Уравнение Vis-viva ) для этой орбиты может иметь вид:

${ displaystyle {v ^ {2} over {2}} - { mu over {r}} = - { mu over {2a}} = epsilon <0}$

куда:

• ${ displaystyle v ,}$ скорость движущегося по орбите тела,
• ${ Displaystyle г ,}$ это расстояние орбитального тела от центра масс центральный орган,
• ${ Displaystyle а ,}$ это большая полуось,
• ${ displaystyle mu ,}$ это стандартный гравитационный параметр.

Выводы:

• Для данной большой полуоси удельная орбитальная энергия не зависит от эксцентриситета.

С использованием теорема вириала мы нашли:

• среднее по времени удельной потенциальной энергии равно 2ε
  • среднее время р⁻¹ является а⁻¹
• среднее по времени удельной кинетической энергии равно -ε

Параболические орбиты

Если эксцентриситет равен 1, то уравнение орбиты принимает следующий вид:

${ displaystyle r = {{h ^ {2}} over { mu}} {{1} over {1+ cos theta}}}$

куда:

• ${ Displaystyle г ,}$ - радиальное расстояние орбитального тела от центра масс центральный орган,
• ${ displaystyle h ,}$ является удельный угловой момент из вращающееся тело,
• ${ displaystyle theta ,}$ это истинная аномалия орбитального тела,
• ${ displaystyle mu ,}$ это стандартный гравитационный параметр.

Когда истинная аномалия θ приближается к 180 °, знаменатель приближается к нулю, так что р стремится к бесконечности. Следовательно, энергия траектории, для которой е= 1 равно нулю и определяется выражением:

${ displaystyle epsilon = {v ^ {2} over 2} - { mu over {r}} = 0}$

куда:

• ${ displaystyle v ,}$ скорость движущегося по орбите тела.

Другими словами, скорость в любом месте параболической траектории равна:

${ displaystyle v = { sqrt {2 mu over {r}}}}$

Гиперболические орбиты

Если ${ displaystyle e> 1}$, формула орбиты,

${ displaystyle r = {{h ^ {2}} over { mu}} {{1} over {1 + e cos theta}}}$

описывает геометрию гиперболической орбиты. Система состоит из двух симметричных кривых. Вращающееся тело занимает одно из них; другой - пустой математический образ. Ясно, что знаменатель приведенного выше уравнения стремится к нулю, когда ${ Displaystyle соз тета = -1 / е}$. обозначим это значение истинной аномалии

${ displaystyle theta _ { infty} = cos ^ {- 1} left (- { frac {1} {e}} right)}$

поскольку радиальное расстояние приближается к бесконечности по мере приближения истинной аномалии ${ displaystyle theta _ { infty}}$, известный как истинная аномалия асимптоты. Заметьте, что ${ displaystyle theta _ { infty}}$ лежит между 90 ° и 180 °. Из тригонометрического тождества ${ Displaystyle грех ^ {2} тета + соз ^ {2} тета = 1}$ следует, что:

${ displaystyle sin theta _ { infty} = { frac {1} {e}} { sqrt {e ^ {2} -1}}}$

Энергия

При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия (${ displaystyle epsilon ,}$) из гиперболическая траектория больше нуля и уравнение сохранения орбитальной энергии для такого рода траектория принимает вид:

${ displaystyle epsilon = {v ^ {2} over 2} - { mu over {r}} = { mu over {-2a}}}$

куда:

• ${ displaystyle v ,}$ это орбитальная скорость орбитального тела,
• ${ Displaystyle г ,}$ радиальное расстояние орбитального тела от центральный орган,
• ${ Displaystyle а ,}$ это отрицательный большая полуось из орбита с гипербола,
• ${ displaystyle mu ,}$ является стандартный гравитационный параметр.

Гиперболическая избыточная скорость

При стандартных предположениях тело, движущееся по гиперболической траектории, достигнет ${ displaystyle r =}$ бесконечность орбитальная скорость называется гиперболической избыточной скоростью (${ Displaystyle v _ { infty} , !}$), который можно вычислить как:

${ displaystyle v _ { infty} = { sqrt { mu over {-a}}} , !}$

куда:

• ${ displaystyle mu , !}$ является стандартный гравитационный параметр,
• ${ Displaystyle а , !}$ это отрицательный большая полуось из орбита с гипербола.

Гиперболическая избыточная скорость связана с удельная орбитальная энергия или характеристическая энергия

${ Displaystyle 2 epsilon = C_ {3} = v _ { infty} ^ {2} , !}$

Расчет траекторий

Уравнение Кеплера

Один из подходов к вычислению орбит (в основном используемый исторически) заключается в использовании Уравнение Кеплера:

${ Displaystyle M = E- epsilon cdot sin E}$.

где M это средняя аномалия, E это эксцентрическая аномалия, и ${ displaystyle displaystyle epsilon}$ это эксцентриситет.

С помощью формулы Кеплера, нахождение времени пролета для достижения угла (истинная аномалия ) из ${ displaystyle theta}$ из перицентр разбивается на два этапа:

1. Вычислить эксцентрическую аномалию ${ displaystyle E}$ от истинной аномалии ${ displaystyle theta}$
2. Вычислить время пролета ${ displaystyle t}$ от эксцентрической аномалии ${ displaystyle E}$

Нахождение эксцентрической аномалии в данный момент времени (обратная задача ) сложнее. Уравнение Кеплера трансцендентный в ${ displaystyle E}$, то есть это не может быть решено за ${ displaystyle E}$ алгебраически. Уравнение Кеплера можно решить относительно ${ displaystyle E}$ аналитически инверсией.

Решение уравнения Кеплера, справедливое для всех реальных значений ${ displaystyle textstyle epsilon}$ является:

${ displaystyle E = { begin {case} displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {M ^ { frac {n} {3}}} {n!}} lim _ { theta to 0} left ({ frac { mathrm {d} ^ {, n-1}} { mathrm {d} theta ^ {, n-1}}}} left ( { гидроразрыва { theta} { sqrt [{3}] { theta - sin ( theta)}}} ^ {n} right) right), & epsilon = 1 displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {M ^ {n}} {n!}} lim _ { theta to 0} left ({ frac { mathrm {d} ^ { , n-1}} { mathrm {d} theta ^ {, n-1}}} left ({ frac { theta} { theta - epsilon cdot sin ( theta)} } ^ {n} right) right), & epsilon neq 1 end {case}}}$

Оценка этого урожая:

${ displaystyle E = { begin {cases} displaystyle x + { frac {1} {60}} x ^ {3} + { frac {1} {1400}} x ^ {5} + { frac { 1} {25200}} x ^ {7} + { frac {43} {17248000}} x ^ {9} + { frac {1213} {7207200000}} x ^ {11} + { frac {151439} {12713500800000}} x ^ {13} cdots | x = (6M) ^ { frac {1} {3}}, & epsilon = 1 \ displaystyle { frac {1} {1 - epsilon}} M - { frac { epsilon} {(1- epsilon) ^ {4}}} { frac {M ^ {3}} {3!}} + { frac {(9 эпсилон ^ {2} + эпсилон)} {(1- эпсилон) ^ {7}}} { frac {M ^ {5}} {5!}} - { frac {(225 эпсилон ^ {3 } +54 epsilon ^ {2} + epsilon)} {(1- epsilon) ^ {10}}} { frac {M ^ {7}} {7!}} + { Frac {(11025 эпсилон ^ {4} +4131 эпсилон ^ {3} +243 эпсилон ^ {2} + эпсилон)} {(1- эпсилон) ^ {13}}} { frac {M ^ {9}} { 9!}} Cdots, & epsilon neq 1 end {case}}}$

В качестве альтернативы уравнение Кеплера можно решить численно. Сначала нужно угадать значение ${ displaystyle E}$ и решить для времени пролета; затем отрегулируйте ${ displaystyle E}$ по мере необходимости, чтобы приблизить вычисленное время пролета к желаемому значению, пока не будет достигнута требуемая точность. Обычно, Метод Ньютона используется для достижения относительно быстрой сходимости.

Основная трудность этого подхода состоит в том, что для схождения на экстремальных эллиптических орбитах может потребоваться слишком много времени. Для почти параболических орбит эксцентриситет ${ displaystyle epsilon}$ почти 1, и подключение ${ displaystyle e = 1}$ в формулу для средней аномалии, ${ Displaystyle E- sin E}$, мы обнаруживаем, что вычитаем два почти равных значения, и точность страдает. Для почти круговых орбит трудно найти перицентр (а на истинно круговых орбитах перицентр вообще отсутствует). Кроме того, уравнение было выведено на основе предположения об эллиптической орбите, поэтому оно не выполняется для параболических или гиперболических орбит. Эти трудности и привели к развитию универсальная формулировка переменных, описано ниже.

Конические орбиты

Для простых процедур, таких как вычисление дельта-v для копланарных переносных эллипсов традиционные подходы^{[требуется разъяснение ]} довольно эффективны. Другие, такие как время пролета, намного сложнее, особенно для почти круговых и гиперболических орбит.

Приближение конических слитков

В Переходная орбита Хомана Само по себе это плохое приближение для межпланетных траекторий, потому что оно не учитывает собственную гравитацию планет. Планетарная гравитация доминирует в поведении космического корабля в непосредственной близости от планеты, и в большинстве случаев Хоманн сильно переоценивает дельта-v и дает очень неточные предписания для времени сгорания.

Относительно простой способ получить приближение первого порядка delta-v основан на методе «аппроксимации конической формы с заплатами». Нужно выбрать одно доминирующее гравитирующее тело в каждой области пространства, через которую будет проходить траектория, и смоделировать эффекты только этого тела в этой области. Например, на траектории от Земли к Марсу можно было бы начать с рассмотрения только гравитации Земли, пока траектория не достигнет расстояния, на котором гравитация Земли больше не будет преобладать над гравитацией Солнца. Космический корабль будет отдан скорость убегания чтобы отправить его в межпланетное пространство. Далее, можно было бы рассматривать только гравитацию Солнца, пока траектория не достигнет окрестностей Марса. На этом этапе уместна модель переходной орбиты. Наконец, только гравитация Марса учитывается на последнем участке траектории, где гравитация Марса определяет поведение космического корабля. Космический корабль приблизится к Марсу по гиперболической орбите, и окончательное ретроградное горение замедлит космический корабль настолько, чтобы он был захвачен Марсом.

Размер «кварталов» (или сферы влияния ) зависят от радиуса ${ displaystyle r_ {SOI}}$:

${ displaystyle r_ {SOI} = a_ {p} left ({ frac {m_ {p}} {m_ {s}}} right) ^ {2/5}}$

где ${ displaystyle a_ {p}}$ это большая полуось орбиты планеты относительно солнце; ${ displaystyle m_ {p}}$ и ${ displaystyle m_ {s}}$ являются массы планеты и Солнца соответственно.

Этого упрощения достаточно для вычисления приблизительных оценок потребностей в топливе и приблизительных оценок времени полета, но, как правило, оно недостаточно точно для направления космического корабля к месту назначения. Для этого требуются численные методы.

Формулировка универсальной переменной

Чтобы устранить вычислительные недостатки традиционных подходов к решению задачи двух тел, универсальная формулировка переменных был развит. Он одинаково хорошо работает для кругового, эллиптического, параболического и гиперболического случаев, дифференциальные уравнения хорошо сходятся при интегрировании для любой орбиты. Он также хорошо обобщается на задачи, включающие теорию возмущений.

Возмущения

Формулировка универсальной переменной хорошо работает с техникой изменения параметров, за исключением того, что теперь вместо шести кеплеровских орбитальных элементов мы используем другой набор орбитальных элементов: а именно, начальное положение спутника и векторы скорости. ${ displaystyle x_ {0}}$ и ${ displaystyle v_ {0}}$ в данную эпоху ${ displaystyle t = 0}$. В моделировании двух тел этих элементов достаточно для вычисления положения и скорости спутника в любое время в будущем, используя формулировку универсальной переменной. И наоборот, в любой момент на орбите спутника мы можем измерить его положение и скорость, а затем использовать подход универсальных переменных, чтобы определить его начальное положение и скорость. был бы в эпоху. В идеальном движении двух тел эти орбитальные элементы были бы инвариантными (как и кеплеровские элементы).

Однако возмущения заставляют элементы орбиты со временем изменяться. Следовательно, мы запишем элемент позиции как ${ Displaystyle x_ {0} (т)}$ а элемент скорости - как ${ Displaystyle v_ {0} (т)}$, указывая на то, что они меняются со временем. Методика вычисления влияния возмущений сводится к нахождению точных или приближенных выражений для функций ${ Displaystyle x_ {0} (т)}$ и ${ Displaystyle v_ {0} (т)}$.

Ниже приведены некоторые эффекты, которые отличают реальные орбиты от простых моделей, основанных на сферической Земле. Большинство из них можно обработать в коротких временных масштабах (возможно, менее нескольких тысяч витков) с помощью теории возмущений, потому что они малы по сравнению с соответствующими эффектами двух тел.

• Причина экваториальных выпуклостей прецессия узла и перигея
• Тессеральные гармоники^[3] гравитационного поля вносят дополнительные возмущения
• Возмущения лунной и солнечной гравитации изменяют орбиты
• Атмосферное сопротивление уменьшает большую полуось, если не используется тяга подпитки.

В очень длительных временных масштабах (возможно, миллионы оборотов) даже небольшие возмущения могут преобладать, и поведение может измениться. хаотичный. С другой стороны, различные возмущения могут быть организованы умными астродинамиками, чтобы помочь с задачами по поддержанию орбиты, такими как стационарный, наземный путь обслуживание или корректировка, или фазировка перигея для прикрытия выбранных целей на малой высоте.

Орбитальный маневр

В космический полет, орбитальный маневр это использование движение системы для изменения орбита из космический корабль. Для космических аппаратов, далеких от Земли, например, находящихся на орбитах вокруг Солнца, орбитальный маневр называется маневр в дальнем космосе (DSM).^{[не проверено в теле ]}

Орбитальная передача

Переходные орбиты обычно представляют собой эллиптические орбиты, которые позволяют космическим аппаратам перемещаться с одной (обычно круговой) орбиты на другую. Обычно они требуют ожога в начале, ожога в конце, а иногда и одного или нескольких ожогов посередине.

• В Переходная орбита Хомана требует минимального дельта-v.
• А двухэллиптический перенос может потребовать меньше энергии, чем передача Хомана, если отношение орбит 11,94 или больше,^[4] но это происходит за счет увеличения времени поездки по сравнению с трансфером Хоманна.
• Более быстрые передачи могут использовать любую орбиту, которая пересекает как исходную, так и конечную орбиты, за счет более высокого значения delta-v.
• Использование двигателей малой тяги (например, электрическая силовая установка ), если начальная орбита суперсинхронна конечной желаемой круговой орбите, то оптимальная переходная орбита достигается за счет непрерывной тяги в направлении скорости в апогее. Однако этот метод занимает гораздо больше времени из-за низкой тяги.^[5]

В случае перехода между некопланарными орбитами изменение тяги должен быть выполнен в точке пересечения орбитальных плоскостей («узел»). Поскольку цель состоит в том, чтобы изменить направление вектора скорости на угол, равный углу между плоскостями, почти вся эта тяга должна создаваться, когда космический корабль находится в узле вблизи апоапса, когда величина вектора скорости равна на самом низком уровне. Однако небольшая часть изменения наклона орбиты может быть произведена в узле вблизи периапса, слегка наклонив тягу инжекции переходной орбиты в направлении желаемого изменения наклона. Это работает, потому что косинус малого угла очень близок к единице, что приводит к тому, что небольшое изменение плоскости фактически "свободное", несмотря на высокую скорость космического корабля около периапса, поскольку эффект Оберта из-за увеличенной, слегка наклоненной тяги превышает стоимость тяги по нормали к орбите.

А Передача Хоманна с низкой круговой орбиты на более высокую круговую орбиту

А двухэллиптический перенос с низкой круговой стартовой орбиты (темно-синий) на более высокую круговую орбиту (красный)

Типовой двухимпульсный эллиптический переход между двумя круговыми орбитами

Общий переход с низкой круговой орбиты на более высокую круговую орбиту

Оптимальная последовательность перевода спутника с суперсинхронной на геостационарную орбиту с использованием электродвигателя.

Помощь гравитации и эффект Оберта

В помощь гравитации, космический корабль пролетает мимо планеты и улетает в другом направлении с другой скоростью. Это полезно для ускорения или замедления космического корабля вместо того, чтобы нести больше топлива.

Этот маневр можно аппроксимировать упругое столкновение на больших расстояниях, хотя пролет не предполагает физического контакта. Согласно третьему закону Ньютона (равная и противоположная реакция) любой импульс, набранный космическим кораблем, должен быть потерян планетой, или наоборот. Однако, поскольку планета намного массивнее космического корабля, влияние на орбиту планеты незначительно.

В Эффект Оберта могут использоваться, в частности, во время работы с гравитационным усилием. Этот эффект заключается в том, что использование двигательной установки лучше работает на высоких скоростях, и, следовательно, изменение курса лучше всего производить, когда оно приближается к гравитирующему телу; это может увеличить эффективный дельта-v.

Межпланетная транспортная сеть и нечеткие орбиты

Теперь можно использовать компьютеры для поиска маршрутов, используя нелинейности гравитации планет и лун Солнечной системы. Например, можно построить орбиту от высокой околоземной орбиты до Марса, проходя вблизи одной из земных орбит. Троянские точки.^{[нужна цитата ]} В совокупности именуемые Межпланетная транспортная сеть эти крайне пертурбативные, даже хаотические орбитальные траектории в принципе не нуждаются в топливе, кроме того, которое необходимо для достижения точки Лагранжа (на практике сохранение траектории требует некоторых корректировок курса). Самая большая проблема с ними в том, что они могут работать очень медленно и занимать много лет. Кроме того, окна запуска могут быть очень далеко друг от друга.

Однако они были задействованы в таких проектах, как Бытие. Этот космический корабль посетил Землю-Солнце L₁ точка и вернулся с очень небольшим количеством топлива.

Смотрите также

Рекомендации

• Кертис, Ховард Д. (2009). Орбитальная механика для студентов инженерных специальностей, 2e. Нью-Йорк: Эльзевир. ISBN  978-0-12-374778-5.
• Бейт, Роджер Р .; Мюллер, Дональд Д .; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-60061-0.

• Продавцы, Джерри Дж .; Астор, Уильям Дж .; Гиффен, Роберт Б .; Ларсон, Уайли Дж. (2004). Киркпатрик, Дуглас Х. (ред.). Понимание космоса: введение в космонавтику (2-е изд.). Макгроу Хилл. п. 228. ISBN  0-07-242468-0.

• "Учебник по космосу в Воздушном университете, Глава 8 - Орбитальная механика" (PDF). USAF. Архивировано из оригинал (PDF) на 2013-02-14. Получено 2007-10-13.

дальнейшее чтение

Многие варианты, процедуры и вспомогательная теория описаны в стандартных работах, таких как:

• Bate, R.R .; Mueller, D.D .; Уайт, Дж. Э. (1971). Основы астродинамики. Dover Publications, Нью-Йорк. ISBN  978-0-486-60061-1.
• Валладо, Д. А. (2001). Основы астродинамики и приложений (2-е изд.). Springer. ISBN  978-0-7923-6903-5.
• Баттин, Р.Х. (1999). Введение в математику и методы астродинамики. Американский институт аэронавтики и астрономии, Вашингтон, округ Колумбия ISBN  978-1-56347-342-5.
• Чоботов В.А. / Под ред. (2002). Орбитальная механика (3-е изд.). Американский институт аэронавтики и астрономии, Вашингтон, округ Колумбия ISBN  978-1-56347-537-5.
• Херрик, С. (1971). Астродинамика: определение орбиты, космическая навигация, небесная механика, том 1. Ван Ностранд Рейнхольд, Лондон. ISBN  978-0-442-03370-5.
• Херрик, С. (1972). Астродинамика: коррекция орбиты, теория возмущений, интегрирование, том 2. Ван Ностранд Рейнхольд, Лондон. ISBN  978-0-442-03371-2.
• Каплан, М. (1976). Динамика и управление современных космических аппаратов. Вили, Нью-Йорк. ISBN  978-0-471-45703-9.
• Том Логсдон (1997). Орбитальная механика. Wiley-Interscience, Нью-Йорк. ISBN  978-0-471-14636-0.
• Джон Э. Пруссинг и Брюс А. Конвей (1993). Орбитальная механика. Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк. ISBN  978-0-19-507834-3.
• М.Дж. Сиди (2000). Динамика и управление космическим аппаратом. Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк. ISBN  978-0-521-78780-2.
• МЫ. Визель (1996). Динамика космического полета (2-е изд.). Макгроу-Хилл, Нью-Йорк. ISBN  978-0-07-070110-6.
• Дж. П. Винти (1998). Орбитальная и небесная механика. Американский институт аэронавтики и астрономии, Рестон, Вирджиния. ISBN  978-1-56347-256-5.
• П. Гурфил (2006). Современная астродинамика. Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  978-0-12-373562-1.

внешняя ссылка

• ОРБИТАЛЬНАЯ МЕХАНИКА (Ракетно-космическая техника)
• Набор инструментов Java Astrodynamics
• График знаний о космическом движении и событиях на основе астродинамики