Предел Роша - Roche limit

Эта статья возможно содержит оригинальные исследования. Пожалуйста Улучши это к проверка заявленные претензии и добавление встроенные цитаты. Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. (Июль 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Небесное тело (желтое) вращается вокруг массы жидкости (синего цвета), удерживаемой вместе гравитацией, здесь если смотреть сверху на плоскость орбиты. Вдали от предела Роша (белая линия) масса практически сферическая.

Ближе к пределу Роша тело деформируется приливные силы.

В пределах Роша собственная гравитация массы больше не может противостоять приливным силам, и тело распадается.

Частицы, расположенные ближе к основному элементу, движутся быстрее, чем частицы, находящиеся дальше, как показано красными стрелками.

Различная орбитальная скорость материала в конечном итоге заставляет его образовывать кольцо.

В небесная механика, то Предел Роша, также называемый Радиус Роша, - это расстояние от небесного тела, в пределах которого второе небесное тело, удерживаемое вместе только своей собственной силой сила тяжести, распадется из-за первого тела приливные силы превышение гравитационного самопритяжения второго тела.^[1] Внутри предела Роша вращающийся по орбите материал диспергируется и образует кольца, тогда как за пределами предела материал стремится к объединяться. Радиус Роша зависит от радиуса первого тела и от соотношения плотностей тел.

Термин назван в честь Эдуард Рош (произносится [ʁɔʃ] (Французский), /рɔːʃ/ сырость (Английский)), кто был Французский астроном кто первым вычислил этот теоретический предел в 1848 г.^[2]

Объяснение

Комета Сапожник-Леви 9 был разрушен приливными силами Юпитер в цепочку более мелких тел в 1992 году, прежде чем столкнуться с планетой в 1994 году.

Предел Роша обычно применяется к спутник распадается из-за приливные силы вызванный его начальный, тело, вокруг которого орбиты. Части спутника, расположенные ближе к первичной обмотке, сильнее притягиваются гравитацией от первичной обмотки, чем части, расположенные дальше; это несоответствие эффективно отделяет ближнюю и дальнюю части спутника друг от друга, и если несоответствие (в сочетании с любыми центробежными эффектами из-за вращения объекта) больше, чем сила тяжести, удерживающая спутник вместе, оно может тянуть спутник Кроме. Какие-то настоящие спутники, оба естественный и искусственный, могут вращаться в пределах их Роша, потому что они удерживаются вместе силами, отличными от гравитации. Объекты, лежащие на поверхности такого спутника, будут подниматься приливными силами. Более слабый спутник, например комета, может быть разбит, когда он выйдет за пределы своего предела Роша.

Поскольку в пределах предела Роша приливные силы преодолевают гравитационные силы, которые в противном случае могли бы удерживать спутник вместе, ни один спутник не может гравитационно объединиться из более мелких частиц в этом пределе. Действительно, почти все известные планетарные кольца находятся в пределах их границ Рош. (Заметными исключениями являются Сатурн E-Ring и Кольцо фиби. Эти два кольца могли быть остатками протопланетной планеты. аккреционный диск которые не смогли слиться в лунки или, наоборот, образовались, когда луна прошла в пределах своего Роша и распалась.)

Предел Роша - не единственный фактор, заставляющий кометы распадаться. Разделение по тепловая нагрузка, внутренний давление газа и вращательное расщепление - другие способы расщепления кометы под действием напряжения.

Избранные примеры

В таблице ниже показаны средняя плотность и экваториальный радиус для выбранных объектов в Солнечная система.^{[нужна цитата ]}

Уравнения для пределов Роша связывают минимальный устойчивый радиус орбиты с отношением плотностей двух объектов и радиуса основного тела. Следовательно, используя приведенные выше данные, можно рассчитать пределы Роша для этих объектов. Это было проделано дважды для каждого из них, принимая во внимание крайности случаев жесткого и жидкого тела. Средняя плотность кометы принимается около 500 кг / м³.

В таблице ниже приведены пределы Роша, выраженные в километрах и первичных радиусах.^{[нужна цитата ]} В средний радиус орбиты можно сравнить с пределами Роша. Для удобства в таблице указан средний радиус орбиты для каждой, исключая кометы, орбиты которых чрезвычайно изменчивы и эксцентричны.

Эти тела выходят далеко за пределы Роша по разным причинам: от 21 для Луны (выше ее предела Роша с жидким телом) как части системы Земля-Луна до сотен для Земли и Юпитера.

В приведенной ниже таблице указаны значения максимального сближения каждого спутника на его орбите, разделенные на его собственный предел Роша.^{[нужна цитата ]} Опять же, даны расчеты как твердых, так и жидких тел. Обратите внимание, что Сковорода, Корделия и Наяда, в частности, могут быть довольно близки к их фактическим точкам разрыва.

На практике плотность большинства внутренних спутников планет-гигантов неизвестна. В этих случаях, показанных на курсив, вероятные значения были приняты, но их действительный Предел Рош может отличаться от указанного значения.

Определение

Предельное расстояние, на которое спутник может приблизиться без разрыва, зависит от его жесткости. С одной стороны, полностью жесткий спутник будет сохранять свою форму до тех пор, пока приливные силы не разорвут его на части. С другой стороны, спутник с высокой текучестью постепенно деформируется, что приводит к увеличению приливных сил, в результате чего спутник удлиняется, еще больше усугубляя приливные силы и заставляя его более легко разрушаться.

Большинство реальных спутников лежат где-то между этими двумя крайностями, при этом прочность на растяжение не делает спутник ни идеально жестким, ни идеально текучим. Например, астероид из груды щебня будет вести себя больше как жидкость, чем твердый камень; ледяное тело сначала будет вести себя довольно жестко, но станет более жидким по мере накопления приливного тепла и его льдов, которые начнут таять.

Но обратите внимание, что, как определено выше, предел Роша относится к телу, удерживаемому вместе исключительно силами гравитации, которые заставляют иначе несвязанные частицы объединяться, образуя, таким образом, рассматриваемое тело. Предел Роша также обычно вычисляется для случая круговой орбиты, хотя его несложно изменить для применения к случаю (например) тела, проходящего через первичный элемент по параболической или гиперболической траектории.

Расчет жесткого спутника

В жесткое тело Предел Роша - это упрощенный расчет для сферический спутник. Неправильные формы, такие как формы приливной деформации на теле или первичной орбите, игнорируются. Предполагается, что он находится в гидростатическое равновесие. Эти предположения, хотя и нереалистичные, значительно упрощают расчеты.

Предел Роша для жесткого сферического спутника - это расстояние, ${ displaystyle d}$, от первичной обмотки, при которой гравитационная сила, действующая на пробную массу на поверхности объекта, в точности равна приливной силе, отталкивающей массу от объекта:^[3][4]

${ displaystyle d = R_ {M} left (2 { frac { rho _ {M}} { rho _ {m}}} right) ^ { frac {1} {3}}}$

куда ${ displaystyle R_ {M}}$ это радиус первичной, ${ displaystyle rho _ {M}}$ это плотность первичной, и ${ displaystyle rho _ {m}}$ это плотность спутника. Это может быть эквивалентно записано как

${ displaystyle d = R_ {m} left (2 { frac {M_ {M}} {M_ {m}}} right) ^ { frac {1} {3}}}$

куда ${ displaystyle R_ {m}}$ это радиус вторичного, ${ displaystyle M_ {M}}$ это масса первичной, и ${ displaystyle M_ {m}}$ это масса вторичного.

Это зависит не от размеров объектов, а от соотношения плотностей. Это орбитальное расстояние, внутри которого сыпучий материал (например, реголит ) на поверхности спутника, ближайшего к первичной обмотке, будет отодвигаться, и аналогично материал на стороне, противоположной первичной обмотке, также будет оттягиваться от спутника, а не к нему.

Обратите внимание, что это приблизительный результат, поскольку при его выводе не учитываются сила инерции и жесткая конструкция.

Вывод формулы

Вывод предела Роша

Чтобы определить предел Роша, рассмотрим небольшую массу ${ displaystyle u}$ на поверхности спутника, ближайшего к главному. В этой массе есть две силы ${ displaystyle u}$: гравитационное притяжение к спутнику и гравитационное притяжение к первичному элементу. Предположим, что спутник находится в свободное падение вокруг первичной и что приливная сила является единственным релевантным термином гравитационного притяжения первичной обмотки. Это предположение является упрощением, поскольку свободное падение действительно применимо только к центру планеты, но его будет достаточно для этого вывода.^[5]

Гравитационное притяжение ${ displaystyle F _ { text {G}}}$ по массе ${ displaystyle u}$ к спутнику с массой ${ displaystyle m}$ и радиус ${ displaystyle r}$ можно выразить согласно Закон всемирного тяготения Ньютона.

${ displaystyle F _ { text {G}} = { frac {Gmu} {r ^ {2}}}}$

то приливная сила ${ displaystyle F _ { text {T}}}$ по массе ${ displaystyle u}$ к первичному элементу с радиусом ${ displaystyle R}$ и масса ${ displaystyle M}$, На расстоянии ${ displaystyle d}$ между центрами двух тел, можно приблизительно выразить как

${ displaystyle F _ { text {T}} = { frac {2GMur} {d ^ {3}}}}$.

Чтобы получить это приближение, найдите разницу в гравитационном притяжении главного компонента в центре спутника и на краю спутника, ближайшего к главному:

${ displaystyle F _ { text {T}} = { frac {GMu} {(d-r) ^ {2}}} - { frac {GMu} {d ^ {2}}}}$

${ displaystyle F _ { text {T}} = GMu { frac {d ^ {2} - (d-r) ^ {2}} {d ^ {2} (d-r) ^ {2}}}}$

${ displaystyle F _ { text {T}} = GMu { frac {2dr-r ^ {2}} {d ^ {4} -2d ^ {3} r + r ^ {2} d ^ {2}} }}$

В приближении где ${ displaystyle r ll R}$ и ${ Displaystyle R$можно сказать, что ${ displaystyle r ^ {2}}$ в числителе и каждом члене с ${ displaystyle r}$ в знаменателе идет к нулю, что дает нам:

${ displaystyle F _ { text {T}} = GMu { frac {2dr} {d ^ {4}}}}$

${ displaystyle F _ { text {T}} = { frac {2GMur} {d ^ {3}}}}$

Предел Роша достигается, когда гравитационная сила и приливная сила уравновешивают друг друга.

${ displaystyle F _ { text {G}} = F _ { text {T}} ;}$

или же

${ displaystyle { frac {Gmu} {r ^ {2}}} = { frac {2GMur} {d ^ {3}}}}$,

что дает предел Роша, ${ displaystyle d}$, в качестве

${ displaystyle d = r left (2 , { frac {M} {m}} right) ^ { frac {1} {3}}}$

Радиус спутника не должен фигурировать в выражении для предела, поэтому его переписывают в терминах плотности.

Для сферы масса ${ displaystyle M}$ можно записать как

${ displaystyle M = { frac {4 pi rho _ {M} R ^ {3}} {3}}}$ куда ${ displaystyle R}$ - радиус первичной обмотки.

И так же

${ displaystyle m = { frac {4 pi rho _ {m} r ^ {3}} {3}}}$ куда ${ displaystyle r}$ - радиус спутника.

Подставляя массы в уравнение для предела Роша и сокращая ${ displaystyle 4 pi / 3}$ дает

${ displaystyle d = r left ({ frac {2 rho _ {M} R ^ {3}} { rho _ {m} r ^ {3}}} right) ^ {1/3}}$,

который можно упростить до следующего предела Роша:

${ displaystyle d = R left (2 , { frac { rho _ {M}} { rho _ {m}}} right) ^ { frac {1} {3}} приблизительно 1,26R left ({ frac { rho _ {M}} { rho _ {m}}} right) ^ { frac {1} {3}}}$.

Более точная формула

Поскольку близкий спутник, вероятно, будет вращаться по почти круговой орбите с синхронное вращение рассмотрим, как центробежная сила от вращения повлияет на результаты.^{[нужна цитата ]} Эта сила

${ Displaystyle F_ {C} = omega ^ {2} ur = { frac {GMur} {d ^ {3}}}}$

и добавляется к F_Т. Выполнение расчета баланса сил дает следующий результат для предела Роша:

${ displaystyle d = R_ {M} left (3 ; { frac { rho _ {M}} { rho _ {m}}} right) ^ { frac {1} {3}} около 1,442R_ {M} left ({ frac { rho _ {M}} { rho _ {m}}} right) ^ { frac {1} {3}}}$ .......... (1)

или же: ${ displaystyle d = R_ {m} left (3 ; { frac {M_ {M}} {M_ {m}}} right) ^ { frac {1} {3}} приблизительно 1.442R_ { m} left ({ frac {M_ {M}} {M_ {m}}} right) ^ { frac {1} {3}}}$ .......... (2)

Использовать ${ displaystyle m = { frac {4 pi rho _ {m} r ^ {3}} {3}}}$ (куда ${ displaystyle r}$ - радиус спутника) заменить ${ displaystyle rho _ {m}}$ в формуле (1) может быть третья формула:

${ displaystyle d = left ({ frac {9M_ {M}} {4 pi rho _ {m}}} right) ^ { frac {1} {3}} приблизительно 0,8947 left ({ frac {M_ {M}} { rho _ {m}}} right) ^ { frac {1} {3}}}$ .......... (3)

Таким образом, достаточно наблюдать массу звезды (планеты) и оценить плотность планеты (спутника), чтобы вычислить предел Роша для планеты (спутника) в звездной (планетной) системе.^{[нужна цитата ]}

Предел Роша, сфера Хилла и радиус планеты

Сравнение сфер Хилла и пределов Роша системы Солнце-Земля-Луна (не в масштабе) с заштрихованными областями, обозначающими стабильные орбиты спутников каждого тела

Рассмотрим планету с плотностью ${ displaystyle rho _ {m}}$ и радиус ${ displaystyle r}$, вращаясь вокруг звезды с массой M на расстоянии R,
Поместим планету на ее предел Роша: ${ displaystyle R _ { mathrm {Roche}} = { sqrt [{3}] { frac {9M} {4 pi rho _ {m}}}}}$
Сфера холма планеты здесь находится около L1 (или L2): ${ displaystyle R _ { mathrm {Hill}} = R _ { mathrm {Roche}} { sqrt [{3}] { frac {m} {3M}}}}$, Сфера Хилла .......... (4)
видеть Сфера холма, или же Лобе Роша.

${ displaystyle ell = { sqrt [{3}] {{ frac {9M} {4 pi rho _ {m}}}. { frac {m} {3M}}}} = r}$

поверхность планеты совпадает с полостью Роша (или планета полностью заполняет полость Роша)!

Небесное тело не может поглотить мелочь или даже больше, потерять свой материал. Это физический смысл предела Роша, полости Роша и сферы Хилла.

Формулу (2) можно описать как: ${ displaystyle R _ { text {Roche}} = R _ { text {Hill}} { sqrt [{3}] { frac {3M} {m}}} = R _ { text {secondary}} { sqrt [{3}] { frac {3M} {m}}}}$, совершенная математическая симметрия.
Это астрономическое значение предела Роша и сферы Хилла.

Жидкие спутники

Более точный подход к вычислению предела Роша учитывает деформацию спутника. Крайним примером может быть приливно заблокирован жидкий спутник, вращающийся вокруг планеты, где любая сила, действующая на спутник, деформирует его в вытянутую сфероид.

Расчет сложен, и его результат не может быть представлен в точной алгебраической формуле. Сам Рош получил следующее приближенное решение для предела Роша:

${ displaystyle d приблизительно 2.44R left ({ frac { rho _ {M}} { rho _ {m}}} right) ^ {1/3}}$

Однако лучшее приближение, учитывающее сжатие первичной обмотки и массу спутника:

${ displaystyle d приблизительно 2,423R left ({ frac { rho _ {M}} { rho _ {m}}} right) ^ {1/3} left ({ frac {(1+ { frac {m} {3M}}) + { frac {c} {3R}} (1 + { frac {m} {M}})} {1-c / R}} right) ^ { 1/3}}$

куда ${ displaystyle c / R}$ это сжатие первичной. Числовой коэффициент рассчитывается с помощью компьютера.

Жидкий раствор подходит для тел, которые только слабо удерживаются вместе, таких как комета. Например, комета Шумейкер – Леви 9 Затухающая орбита вокруг Юпитера в июле 1992 года прошла в пределах своего предела Роша, в результате чего он распался на несколько более мелких частей. При его следующем приближении в 1994 году осколки врезались в планету. Шумейкер-Леви 9 был впервые обнаружен в 1993 году, но его орбита указала на то, что он был захвачен Юпитером за несколько десятилетий до этого.^[6]

Вывод формулы

Поскольку случай жидкого спутника более тонкий, чем жесткий, спутник описывается с некоторыми упрощающими предположениями. Сначала предположим, что объект состоит из несжимаемой жидкости с постоянной плотностью. ${ displaystyle rho _ {m}}$ и объем ${ displaystyle V}$ которые не зависят от внешних или внутренних сил.

Во-вторых, предположим, что спутник движется по круговой орбите и остается на синхронное вращение. Это означает, что угловая скорость ${ displaystyle omega}$ с которой он вращается вокруг своего центра масс, совпадает с угловой скоростью, с которой он движется вокруг всей системы барицентр.

Угловая скорость ${ displaystyle omega}$ дан кем-то Третий закон Кеплера:

${ displaystyle omega ^ {2} = G , { frac {M + m} {d ^ {3}}}.}.$

Когда M намного больше m, это будет близко к

${ displaystyle omega ^ {2} = G , { frac {M} {d ^ {3}}}.}$

Синхронное вращение означает, что жидкость не движется, и проблему можно рассматривать как статическую. Следовательно вязкость и трение жидкости в этой модели не играют роли, поскольку эти величины будут играть роль только для движущейся жидкости.

Принимая во внимание эти предположения, следует учитывать следующие силы:

• Сила притяжения за счет основного тела;
• то центробежная сила в поворотной системе отсчета; и
• поле самогравитации спутника.

Поскольку все эти силы консервативны, их можно выразить с помощью потенциала. Более того, поверхность спутника - эквипотенциальная. В противном случае разность потенциалов вызовет силы и движение некоторых частей жидкости на поверхности, что противоречит предположению статической модели. Учитывая расстояние от основного корпуса, необходимо определить форму поверхности, которая удовлетворяет условию эквипотенциальности.

Радиальное расстояние одной точки на поверхности эллипсоида до центра масс

Поскольку орбита была принята круговой, общая гравитационная сила и орбитальная центробежная сила, действующие на основное тело, сводятся к нулю. Остается две силы: приливная сила и вращательная центробежная сила. Приливная сила зависит от положения относительно центра масс, уже рассмотренного в жесткой модели. Для малых тел расстояние жидких частиц от центра тела мало по сравнению с расстоянием d к основному корпусу. Таким образом, приливная сила может быть линеаризована, что приведет к той же формуле для F_Т как указано выше.

В то время как эта сила в жесткой модели зависит только от радиуса р спутника, в случае жидкости необходимо учитывать все точки на поверхности, а приливная сила зависит от расстояния Δd от центра масс до данной частицы, проецируемой на линию, соединяющую спутник и основное тело. Мы называем Δd то радиальное расстояние. Поскольку приливная сила линейна по Δd, связанный потенциал пропорционален квадрату переменной и для ${ displaystyle m ll M}$ у нас есть

${ displaystyle V_ {T} = - { frac {3GM} {2d ^ {3}}} Delta d ^ {2} ,}$

Точно так же центробежная сила имеет потенциал

${ displaystyle V_ {C} = - { frac {1} {2}} omega ^ {2} Delta d ^ {2} = - { frac {GM} {2d ^ {3}}} Delta г ^ {2} ,}$

для угловой скорости вращения ${ displaystyle omega}$.

Мы хотим определить форму спутника, для которой сумма потенциала самогравитации и V_Т + V_C постоянно на поверхности тела. В общем, такую ​​задачу очень сложно решить, но в данном конкретном случае ее можно решить умелым предположением из-за квадратичной зависимости приливного потенциала от радиального расстояния. Δd В первом приближении центробежным потенциалом V_C и рассматривать только приливный потенциал V_Т.

Поскольку потенциал V_Т меняется только в одну сторону, т.е. В направлении к основному телу можно ожидать, что спутник примет осесимметричную форму. Точнее, мы можем предположить, что он принимает форму твердое тело революции. Автопотенциал на поверхности такого твердого тела вращения может зависеть только от радиального расстояния до центра масс. Действительно, пересечение спутника и плоскости, перпендикулярной линии, соединяющей тела, представляет собой диск, граница которого по нашим предположениям представляет собой круг постоянного потенциала. Если разница между потенциалом самогравитации и V_Т быть постоянным, оба потенциала должны одинаково зависеть от Δd. Другими словами, собственный потенциал должен быть пропорционален квадрату Δd. Тогда можно показать, что эквипотенциальное решение представляет собой эллипсоид вращения. При постоянной плотности и объеме собственный потенциал такого тела зависит только от эксцентриситет ε эллипсоида:

${ Displaystyle V_ {s} = V_ {s_ {0}} + G pi rho _ {m} cdot f ( varepsilon) cdot Delta d ^ {2},}$

куда ${ displaystyle V_ {s_ {0}}}$ - постоянный автопотенциал на пересечении кругового края тела и центральной плоскости симметрии, задаваемый уравнением Δd = 0.

Безразмерная функция ж должен быть определен из точного решения для потенциала эллипсоида

${ Displaystyle е ( varepsilon) = { frac {1- varepsilon ^ {2}} { varepsilon ^ {3}}} cdot left [ left (3- varepsilon ^ {2} right) cdot operatorname {artanh} varepsilon -3 varepsilon right]}$

и, как ни странно, не зависит от громкости спутника.

График безразмерной функции ж который показывает, как сила приливного потенциала зависит от эксцентриситета ε эллипсоида.

Хотя явный вид функции ж выглядит сложно, ясно, что мы можем и действительно выбираем значение ε так что потенциал V_Т равно V_S плюс константа, не зависящая от переменной Δd. При осмотре это происходит, когда

${ displaystyle { frac {2G pi rho _ {M} R ^ {3}} {d ^ {3}}} = G pi rho _ {m} f ( varepsilon)}$

Это уравнение можно решить численно. График показывает, что существует два решения, и поэтому меньшее из них представляет собой устойчивую форму равновесия (эллипсоид с меньшим эксцентриситетом). Это решение определяет эксцентриситет приливного эллипсоида как функцию расстояния до основного тела. Производная функции ж имеет нуль, где достигается максимальный эксцентриситет. Это соответствует пределу Роша.

Производная от ж определяет максимальный эксцентриситет. Это дает предел Роша.

Точнее, предел Роша определяется тем, что функция ж, который можно рассматривать как нелинейную меру силы, сжимающей эллипсоид до сферической формы, ограничен таким образом, что существует эксцентриситет, при котором эта сжимающая сила становится максимальной. Поскольку при приближении спутника к основному телу приливная сила увеличивается, очевидно, что существует критическое расстояние, на котором эллипсоид разрывается.

Максимальный эксцентриситет можно рассчитать численно как ноль производной от f '. Получается

${ displaystyle varepsilon _ { text {max}} приблизительно 0 {.} 86}$

что соответствует отношению осей эллипсоида 1: 1.95. Подставляя это в формулу для функции ж можно определить минимальное расстояние, на котором существует эллипсоид. Это предел Роша,

${ displaystyle d приблизительно 2 {.} 423 cdot R cdot { sqrt [{3}] { frac { rho _ {M}} { rho _ {m}}}} ,.}$

Удивительно, но учет центробежного потенциала имеет очень мало значения, хотя объект становится Эллипсоид Роша, генерал трехосный эллипсоид со всеми осями разной длины. Потенциал становится гораздо более сложной функцией длины оси, требующей эллиптические функции. Однако решение происходит так же, как и в случае только приливных волн, и мы находим

${ displaystyle d приблизительно 2 {.} 455 cdot R cdot { sqrt [{3}] { frac { rho _ {M}} { rho _ {m}}}} ,.}$

Отношение полярного направления к направлению орбиты и осям основного направления составляет 1: 1,06: 2,07.

Смотрите также

• Лобе Роша
• Предел Чандрасекара
• Сфера холма
• Спагеттификация (крайний случай приливного искажения)
• Черная дыра
• Тритон (луна) (Спутник Нептуна)
• Комета Шумейкера – Леви 9

Рекомендации

Источники

• Эдуард Рош: "La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné" (Фигура жидкой массы, подверженной притяжению далекой точки), часть 1, Académie des Sciences de Montpellier: Mémoires de la section des Sciences, Том 1 (1849) 243–262. 2.44 упоминается на странице 258. (На французском)
• Эдуард Рош: "La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné", часть 2, Académie des Sciences de Montpellier: Mémoires de la section des Sciences, Том 1 (1850) 333–348. (На французском)
• Эдуард Рош: "La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné", часть 3, Académie des Sciences de Montpellier: Mémoires de la section des Sciences, Том 2 (1851) 21–32. (На французском)
• Джордж Ховард Дарвин, «О фигуре и устойчивости жидкого спутника», Научные статьи, Том 3 (1910) 436–524.
• Джинсы Джеймса Хопвуда, Проблемы космогонии и звездной динамики, Глава III: Эллипсоидальные конфигурации равновесия, 1919.
• С. Чандрасекар, Эллипсоидальные фигуры равновесия (Нью-Хейвен: издательство Йельского университета, 1969), Глава 8: Эллипсоиды Роша (189–240).
• Чандрасекхар, С. (1963). «Равновесие и устойчивость эллипсоидов Роша». Астрофизический журнал. 138: 1182–1213. Bibcode:1963ApJ ... 138.1182C. Дои:10.1086/147716.

внешняя ссылка

• Обсуждение предела Роша
• Аудио: Каин / Гей - Астрономический состав Приливные силы во Вселенной - август 2007 г.
• Описание предела Роша из НАСА