Эллиптическая функция - Elliptic function

В комплексный анализ, эллиптическая функция это мероморфная функция это периодический в двух направлениях. Подобно тому, как периодическая функция действительной переменной определяется своими значениями на интервале, эллиптическая функция определяется своими значениями на некотором интервале. основной параллелограмм, которые затем повторяются в решетка. Такой двоякопериодическая функция не может быть голоморфный, как тогда было бы ограниченный вся функция, и по Теорема Лиувилля каждая такая функция должна быть постоянной. На самом деле эллиптическая функция должна иметь как минимум два полюса (с учетом кратности) в фундаментальном параллелограмме, как легко показать, используя периодичность, что a контурный интеграл вокруг его границы должен исчезнуть, подразумевая, что остатки всех простых полюсов надо отменить.

Исторически эллиптические функции были впервые открыты Нильс Хенрик Абель так как обратные функции из эллиптические интегралы, и их теория была улучшена Карл Густав Якоби; они, в свою очередь, изучались в связи с проблемой длина дуги из эллипс, откуда и произошло название. Эллиптические функции Якоби нашли многочисленные приложения в физике и были использованы Якоби для доказательства некоторых результатов в элементарной теории чисел. Более полное изучение эллиптических функций было позднее предпринято Карл Вейерштрасс, который нашел простую эллиптическую функцию, через которую можно выразить все остальные. Помимо их практического использования при вычислении интегралов и явном решении некоторых дифференциальных уравнений, они имеют глубокую связь с эллиптические кривые и модульные формы.

Определение

Формально эллиптическая функция - это функция $ж$ мероморфный на $ℂ$ для которого существуют два ненулевых комплексных числа $ω 1$ и $ω 2$ с участием $ω 1 / ω 2 \notin ℝ$ , так что $ж (z) = ж (z + ω 1)$ и $ж (z) = ж (z + ω 2)$ для всех $z \in ℂ$ .

Обозначая «решетку периодов» через $Λ = {mω 1 + nω 2 | м, п \in ℤ}$ , это можно перефразировать так: $ж (z) = ж (z + ω)$ для всех $ω \in Λ$ .

С точки зрения сложная геометрия, эллиптическая функция состоит из первого рода Риманова поверхность $Икс$ и голоморфное отображение $Икс \to ℂℙ 1$ . С этой точки зрения мы рассматриваем две решетки $Λ$ и $Λ '$ как эквивалент, если существует ненулевое комплексное число $α$ с участием $Λ '= αΛ$ .

Существует два семейства «канонических» эллиптических функций: функции Якоби и функции Вейерштрасса. Хотя эллиптические функции Якоби старше и имеют непосредственное отношение к приложениям, современные авторы в основном следуют Вейерштрассу при изложении элементарной теории, поскольку его функции проще,^{[нужна цитата ]} и любая эллиптическая функция может быть выражена через них.

Эллиптические функции Вейерштрасса

С приведенным выше определением эллиптических функций (которое принадлежит Вейерштрассу) эллиптическая функция Вейерштрасса $℘(z)$ строится наиболее очевидным образом: по решетке $Λ$ как указано выше, положите

{ displaystyle wp (z) = { frac {1} {z ^ {2}}} + sum _ { omega in Lambda setminus left {0 right }} left ({ frac {1} {(z- omega) ^ {2}}} - { frac {1} { omega ^ {2}}} right)}

Эта функция инвариантна относительно преобразования $z \mapsto z + ω$ для любого $ω \in Λ$ как видно из дифференцирования и четности функции, что означает, что постоянная интегрирования должна быть 0. Добавление $- 1 / ω 2$ условия необходимы, чтобы сумма сходилась. Техническое условие, гарантирующее, что такая бесконечная сумма сходится к мероморфной функции, заключается в том, что на любом компакте после исключения конечного числа членов, имеющих полюсы в этом наборе, оставшийся ряд сходится как обычно. На любом компакт-диске, определяемом $| z | \leq р$ , и для любого $| ω | > 2 р$ , надо

{ displaystyle left | { frac {1} { left (z- omega right) ^ {2}}} - { frac {1} { omega ^ {2}}} right | = left | { frac {2 omega zz ^ {2}} { omega ^ {2} ( omega -z) ^ {2}}} right | = left | { frac {z left (2 - { frac {z} { omega}} right)} { omega ^ {3} left (1 - { frac {z} { omega}} right) ^ {2}}} right | leq { frac {10R} { left | omega right | ^ {3}}}}

и можно показать, что сумма

{ displaystyle sum _ { omega neq 0} { frac {1} { left | omega right | ^ {3}}}}

сходится независимо от $Λ$ .^[1]

Написав $℘$ как Серия Laurent и явно сравнивая члены, можно убедиться, что он удовлетворяет соотношению

{ Displaystyle { bigl (} wp '(z) { bigr)} ^ {2} = 4 { bigl (} wp (z) { bigr)} ^ {3} -g_ {2} wp (z) -g_ {3}}

где

{ displaystyle g_ {2} = 60 sum _ { omega in Lambda smallsetminus left {0 right }} { frac {1} { omega ^ {4}}}}

и

{ displaystyle g_ {3} = 140 sum _ { omega in Lambda smallsetminus left {0 right }} { frac {1} { omega ^ {6}}}.}

Это означает, что пара $(℘,℘')$ параметризовать эллиптическую кривую.

Функции $℘$ принимать разные формы в зависимости от $Λ$ , и богатая теория развивается, когда $Λ$ варьироваться. Для этого положим $ω 1 = 1$ и $ω 2 = τ$ , с участием $Я(τ) > 0$ . (После поворота и масштабного коэффициента любая решетка может быть представлена в этом виде.)

Голоморфная функция в верхней полуплоскости $ЧАС = {z \in ℂ | Я(z) > 0}$ который инвариантен относительно дробно-линейные преобразования с целыми коэффициентами и определителем 1 называется модульная функция. То есть голоморфная функция $час : ЧАС \to ℂ$ является модульной функцией, если

{ displaystyle h left ( tau right) = h left ({ frac {a tau + b} {c tau + d}} right) quad { text {для всех}} left ({ begin {matrix} a & c b & d end {matrix}} right) in { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}

.

Одна из таких функций - Кляйна $j$ -инвариантный, определяется

{ displaystyle j left ( tau right) = { frac {1728g_ {2} ^ {3}} {g_ {2} ^ {3} -27g_ {3} ^ {2}}}}

где $г 2$ и $г 3$ такие же, как указано выше.

Эллиптические функции Якоби

Вспомогательная конструкция прямоугольника

Существует двенадцать эллиптических функций Якоби. Каждому из двенадцати соответствует стрелка, проведенная из одного угла прямоугольника в другой. Углы прямоугольника условно обозначены $s$ , $c$ , $d$ и $п$ . Подразумевается, что прямоугольник лежит на комплексная плоскость, так что $s$ находится в начале, $c$ находится в точке $K$ на действительной оси, $d$ находится в точке $K + iK'$ и $п$ находится в точке $iK'$ на мнимой оси. Число $K$ и $K'$ называются квартальные периоды. Тогда двенадцать эллиптических функций Якоби равны $pq$ , где $п$ и $q$ две разные буквы в $s, c, d, n$ .

Тогда эллиптические функции Якоби являются единственными двояковыпериодическими, мероморфный функции, удовлетворяющие следующим трем свойствам:

На углу простой ноль $п$ , и простой столб на углу $q$ .
Шаг от $п$ к $q$ равна половине периода функции $pq ты$ ; то есть функция $pq ты$ периодичен по направлению $pq$ , причем период вдвое больше расстояния от $п$ к $q$ . Функция $pq ты$ также периодичен в двух других направлениях, с периодом таким, что расстояние от $п$ к одному из других углов - четверть периода.
Если функция $pq ты$ расширяется с точки зрения $ты$ в одном из углов главный член разложения имеет коэффициент 1. Другими словами, главный член разложения $pq ты$ в углу $п$ является $ты$ ; ведущий член расширения на углу $q$ является $1 / ты$ , а главный член расширения в двух других углах равен 1.

В общем, прямоугольник накладывать не нужно; параллелограмм подойдет. Однако если $K$ и $iK'$ хранятся на действительной и мнимой оси соответственно, то эллиптические функции Якоби $pq ты$ будут настоящими функциями, когда $ты$ это реально.

Эллиптические функции Абеля

Эллиптические интегралы были детально изучены Legendre который свел их к трем основным типам. Абель написал интеграл первого рода как

{ displaystyle u = int _ {0} ^ {x} { frac {dt} { sqrt { left (1-c ^ {2} t ^ {2} right) left (1 + e ^ {2} t ^ {2} right)}}}}

где $c$ и $е$ два параметра.^[2] Это обобщение интеграла, дающего длина дуги из лемниската соответствующие особым значениям $c = е = 1$ и расследуется Карл Фридрих Гаусс. Длина дуги круга будет результатом установки $c = 1$ и $е = 0$ .

Значение $ты$ интеграла является возрастающей функцией верхнего предела для $0 < Икс < 1 / c$ и достигает максимума

{ displaystyle { frac { omega} {2}} = int _ {0} ^ { frac {1} {c}} { frac {dt} { sqrt { left (1-c ^ { 2} t ^ {2} right) left (1 + e ^ {2} t ^ {2} right)}}}}

Гениальный ход Абеля заключался в том, чтобы рассмотреть обратную функцию $Икс = φ (ты)$ который теперь хорошо определен в интервале $0 \leq ты \leq ω / 2$ . Поскольку определяющий интеграл является нечетной функцией от $Икс$ , функция $φ (ты)$ также нечетное со специальными значениями $φ (0) = 0$ и $φ (\pm ω / 2) = \pm 1 / c$ . Производная функции $φ'(ты) = dφ / ду$ следует также из интеграла как

{ displaystyle { frac {d varphi} {du}} = { sqrt { left (1-c ^ {2} varphi ^ {2} right) left (1 + e ^ {2} varphi ^ {2} right)}}}

и является четной функцией. Два квадратных корня можно рассматривать как новые, даже функции аргумента $ты$ . Авель определил их как

{ displaystyle { begin {align} f (u) & = { sqrt {1-c ^ {2} varphi ^ {2} (u)}} F (u) & = { sqrt {1 + e ^ {2} varphi ^ {2} (u)}} конец {выровнено}}}

Таким образом, производную можно записать в более компактном виде $φ'(ты) = ж (ты) F (ты)$ . Эти новые функции имеют производные $ж'(ты) = - c 2 φ (ты) F (ты)$ и $F'(ты) = е 2 φ (ты) ж (ты)$ . Все три эллиптические функции зависят от параметров $c$ и $е$ хотя обычно эта зависимость явно не выписывается.

Для тригонометрические функции Абель смог показать, что эти новые функции удовлетворяют теоремы сложения в согласии с чем Эйлер ранее были найдены из таких интегралов.^[2] Они позволяют выполнять функции на весь интервал $- ω \leq ты \leq ω$ и показать, что они периодичны с периодом $2 ω$ . Кроме того, позволяя $т \to Это$ в интеграле функции также могут быть определены для комплексных значений аргумента. Таким расширением параметры $c$ и $е$ поменяны местами и означает, что функции также имеют мнимый период $2 iω'$ с участием

{ displaystyle { frac { omega '} {2}} = int _ {0} ^ { frac {1} {e}} { frac {dt} { sqrt { left (1-e ^ {2} t ^ {2} right) left (1 + c ^ {2} t ^ {2} right)}}}.}

Таким образом, эллиптические функции имеют двойную периодичность. Эквивалентно можно сказать, что у них есть два сложных периода $ω 1,2 = ω \pm iω'$ . Таким образом, их нули и полюса образуют правильную двумерную решетку. Соответствующие свойства лемнискатические эллиптические функции также был установлен Гауссом, но не опубликован до его смерти.^[3]

Свойства

Набор всех эллиптических функций, которые разделяют одни и те же два периода, образуют поле.
В производная эллиптической функции снова является эллиптической функцией с теми же периодами.
Поле эллиптических функций относительно данной решетки порождается $℘$ и его производная $℘'$ .

Смотрите также

использованная литература

^ Картан, Анри (1995). Элементарная теория аналитических функций одной или нескольких комплексных переменных. Dover Publications. п. 154. ISBN 9780486685434.
^ ^а ^б Дж. Грей, Реальное и сложное: история анализа в XIX веке, Springer, Гейдельберг (2015). ISBN 978-3-319-23714-5.
^ Дж. Стиллвелл, Математика и ее история, Спрингер, Нью-Йорк (2010). ISBN 978-1441960528.

Литература

Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 16». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. С. 567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. Г-Н 0167642. LCCN 65-12253. Смотрите также Глава 18. (рассматривает только случай реальных инвариантов).
Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций., (1970) Москва, в переводе на английский как Переводы математических монографий AMS Том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2
Том М. Апостол, Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1976. ISBN 0-387-97127-0 (См. Главу 1.)
Э. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон. Курс современного анализа, Cambridge University Press, 1952 г.

внешние ссылки

«Эллиптическая функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
МАА, Перевод статьи Абеля об эллиптических функциях.
Эллиптические функции и эллиптические интегралы на YouTube, лекция Уильяма А. Швальма (4 часа)
Йоханссон, Фредрик (2018). «Численное вычисление эллиптических функций, эллиптических интегралов и модулярных форм». arXiv:1806.06725 [cs.NA ].

[Cartan-1] Картан, Анри (1995). Элементарная теория аналитических функций одной или нескольких комплексных переменных. Dover Publications. п. 154. ISBN 9780486685434.

[Gray-2] а ^б Дж. Грей, Реальное и сложное: история анализа в XIX веке, Springer, Гейдельберг (2015). ISBN 978-3-319-23714-5.

[Stillwell-3] Дж. Стиллвелл, Математика и ее история, Спрингер, Нью-Йорк (2010). ISBN 978-1441960528.

[1]

[2]

[3]