Длина дуги - Arc length

После исправления кривая дает отрезок прямой, длина которого равна длине дуги кривой.

Длина дуги s из логарифмическая спираль как функция его параметра θ.

Длина дуги расстояние между двумя точками на участке изгиб.

Определение длины сегмента неправильной дуги также называется исправление кривой. Появление исчисление бесконечно малых привели к общей формуле, которая обеспечивает закрытые решения в некоторых случаях.

Основной подход

Аппроксимация несколькими линейными отрезками

А изгиб в самолет можно аппроксимировать, подключив конечный количество точки на кривой с помощью отрезки линии создать многоугольный путь. Поскольку вычислить длина каждого линейного сегмента (используя теорема Пифагора в евклидовом пространстве, например), общая длина приближения может быть найдена как подведение итогов длины каждого линейного сегмента; это приближение известно как (совокупно) хордовый расстояние.^[1]

Если кривая еще не является многоугольной траекторией, использование все большего числа сегментов меньшей длины приведет к лучшему приближению. Длины последовательных приближений не будут уменьшаться и могут увеличиваться бесконечно, но для гладких кривых они будут стремиться к конечному пределу по мере того, как длины сегментов становятся произвольно маленький.

Для некоторых кривых есть наименьшее число ${ displaystyle L}$ это верхняя граница длины любого полигонального приближения. Эти кривые называются исправимый и число ${ displaystyle L}$ определяется как длина дуги.

Определение гладкой кривой

Позволять ${ displaystyle f двоеточие [a, b] to mathbb {R} ^ {n}}$ быть непрерывно дифференцируемый функция. Длина кривой, определяемая ${ displaystyle f}$ можно определить как предел суммы длин отрезков для регулярного разбиения ${ Displaystyle [а, б]}$ поскольку количество сегментов приближается к бесконечности. Это означает

{ displaystyle L (f) = lim _ {N to infty} sum _ {i = 1} ^ {N} { bigg |} f (t_ {i}) - f (t_ {i-1 }) { bigg |}}

куда ${ displaystyle t_ {i} = a + i (b-a) / N = a + i Delta t}$ за ${ Displaystyle я = 0,1, dotsc, N.}$ Это определение эквивалентно стандартному определению длины дуги как интеграла:

{ displaystyle lim _ {N to infty} sum _ {i = 1} ^ {N} { bigg |} f (t_ {i}) - f (t_ {i-1}) { bigg |} = lim _ {N to infty} sum _ {i = 1} ^ {N} left | { frac {f (t_ {i}) - f (t_ {i-1})} { Delta t}} right | Delta t = int _ {a} ^ {b} { Big |} f '(t) { Big |} dt.}

Последнее равенство выше верно по следующим причинам: (i) посредством теорема о среднем значении, ${ displaystyle { frac {f (t_ {i}) - f (t_ {i-1})} { Delta t}} = f '(t_ {i-1} + theta _ {i} (t_ {i} -t_ {i-1})),}$ куда ${ Displaystyle 0 < theta _ {я} <1}$ ^{[сомнительный – обсуждать]}. (ii) функция ${ displaystyle | f '|}$ непрерывно, таким образом, он равномерно непрерывен, поэтому существует положительная действительная функция ${ displaystyle delta ( epsilon)}$ положительного реального ${ displaystyle epsilon}$ такой, что ${ displaystyle Delta T < delta ( epsilon)}$ подразумевает ${ displaystyle left | { Big |} f '(t_ {i-1} + theta _ {i} (t_ {i} -t_ {i-1})) { Big |} - { Big |} f '(t_ {i}) { Big |} right | < epsilon.}$ Это означает

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} left | { frac {f (t_ {i}) - f (t_ {i-1})} { Delta t}} right | Дельта t- sum _ {i = 1} ^ {N} { Big |} f '(t_ {i}) { Big |} Delta t}

имеет абсолютное значение меньше, чем ${ displaystyle epsilon (b-a)}$ за ${ displaystyle N> (b-a) / delta ( epsilon).}$ Это означает, что в пределе ${ Displaystyle N rightarrow infty,}$ левый член выше равен правому члену, который является просто Интеграл Римана из ${ displaystyle | f '(t) |}$ на ${ displaystyle [a, b].}$ Это определение длины дуги показывает, что длина кривой ${ displaystyle f: [a, b] rightarrow mathbb {R} ^ {n}}$ непрерывно дифференцируемый на ${ Displaystyle [а, б]}$ всегда конечно. Другими словами, кривая всегда исправима.

Определение длины дуги гладкой кривой как интеграла от нормы производной эквивалентно определению

{ Displaystyle L (е) = sup sum _ {я = 1} ^ {N} { bigg |} f (t_ {i}) - f (t_ {i-1}) { bigg |}}

где супремум взяты на все возможные перегородки ${ displaystyle a = t_ {0}$ из ${ displaystyle [a, b].}$ ^[2] Это определение также верно, если ${ displaystyle f}$ просто непрерывный, не дифференцируемый.

Кривую можно параметризовать бесконечно многими способами. Позволять ${ displaystyle varphi: [a, b] to [c, d]}$ быть любым непрерывно дифференцируемым биекция. потом ${ displaystyle g = f circ varphi ^ {- 1}: [c, d] to mathbb {R} ^ {n}}$ - еще одна непрерывно дифференцируемая параметризация кривой, первоначально заданной формулой ${ displaystyle f.}$ Длина дуги кривой одинакова независимо от параметризации, используемой для определения кривой:

{ Displaystyle { begin {align} L (f) & = int _ {a} ^ {b} { Big |} f '(t) { Big |} dt = int _ {a} ^ {b} { Big |} g '( varphi (t)) varphi' (t) { Big |} dt & = int _ {a} ^ {b} { Big |} g '( varphi (t)) { Big |} varphi' (t) dt quad { textrm {поскольку}} varphi { textrm {must}} { textrm {be}} { textrm {неубывающая}} & = int _ {c} ^ {d} { Big |} g '(u) { Big |} du quad { textrm {using}} { textrm {интеграция}} { textrm {by}} { textrm {substitution}} & = L (g). end {выравнивается}}}

Определение длины дуги путем интегрирования

Четверть круга

Если плоская кривая в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ определяется уравнением ${ Displaystyle у = е (х),}$ куда ${ displaystyle f}$ является непрерывно дифференцируемый, то это просто частный случай параметрического уравнения, где ${ Displaystyle х = т}$ и ${ displaystyle y = f (t).}$ Тогда длина дуги определяется как:

{ displaystyle s = int _ {a} ^ {b} { sqrt {1+ left ({ frac {dy} {dx}} right) ^ {2}}} dx.}

Кривые с закрытые решения для длины дуги включают цепная связь, круг, циклоида, логарифмическая спираль, парабола, полукубическая парабола и прямая линия. Отсутствие решения замкнутой формы для длины дуги эллиптический и гиперболический дуга привела к развитию эллиптические интегралы.

Численное интегрирование

В большинстве случаев, включая даже простые кривые, нет замкнутых решений для длины дуги и численное интегрирование необходимо. Численное интегрирование интеграла длины дуги обычно очень эффективно. Например, рассмотрим задачу определения длины четверти единичной окружности путем численного интегрирования интеграла длины дуги. Верхняя половина единичного круга может быть параметризована как ${ displaystyle y = { sqrt {1-x ^ {2}}}.}$ Интервал ${ displaystyle x in [- { sqrt {2}} / 2, { sqrt {2}} / 2]}$ соответствует четверти круга. С ${ displaystyle dy / dx = -x / { sqrt {1-x ^ {2}}}}$ и ${ displaystyle 1+ (dy / dx) ^ {2} = 1 / (1-x ^ {2}),}$ длина четверти единичного круга равна

{ displaystyle int _ {- { sqrt {2}} / 2} ^ {{ sqrt {2}} / 2} { frac {1} { sqrt {1-x ^ {2}}}} , dx.}

15 очков Гаусс – Кронрод оценка правила для этого интеграла 1.570796326808177 отличается от истинной длины

{ displaystyle { Big [} arcsin x { Big]} _ {- { sqrt {2}} / 2} ^ {{ sqrt {2}} / 2} = { frac { pi} { 2}}}

к 1.3×10⁻¹¹ и 16-точечный Квадратура Гаусса оценка правила 1.570796326794727 отличается от истинной длины только на 1.7×10⁻¹³. Это означает, что этот интеграл можно оценить почти до точность станка всего 16 оценок интегранта.

Кривая на поверхности

Позволять ${ Displaystyle mathbf {х} (и, v)}$ отображение поверхности и пусть ${ Displaystyle mathbf {С} (т) = (и (т), v (т))}$ - кривая на этой поверхности. Подынтегральное выражение интеграла длины дуги равно ${ Displaystyle | ( mathbf {x} circ mathbf {C}) '(t) |.}$ Оценка производной требует Правило цепи для векторных полей:

{ Displaystyle D ( mathbf {x} circ mathbf {C}) = ( mathbf {x} _ {u} mathbf {x} _ {v}) { binom {u '} {v' }} = mathbf {x} _ {u} u '+ mathbf {x} _ {v} v'.}

Квадрат нормы этого вектора равен ${ displaystyle ( mathbf {x} _ {u} u '+ mathbf {x} _ {v} v') cdot ( mathbf {x} _ {u} u '+ mathbf {x} _ { v} v ') = g_ {11} (u') ^ {2} + 2g_ {12} u'v '+ g_ {22} (v') ^ {2}}$ (куда ${ displaystyle g_ {ij}}$ это первая фундаментальная форма коэффициент), поэтому подынтегральное выражение интеграла длины дуги можно записать как ${ displaystyle { sqrt {g_ {ab} (u ^ {a}) '(u ^ {b})'}}}$ (куда ${ displaystyle u ^ {1} = u}$ и ${ displaystyle u ^ {2} = v}$ ).

Другие системы координат

Позволять ${ Displaystyle mathbf {С} (т) = (г (т), тета (т))}$ быть кривой, выраженной в полярных координатах. Отображение, которое преобразует полярные координаты в прямоугольные координаты:

{ displaystyle mathbf {x} (r, theta) = (r cos theta, r sin theta).}

Подынтегральное выражение интеграла длины дуги равно ${ displaystyle | ( mathbf {x} circ mathbf {C}) '(t) |.}$ Цепное правило для векторных полей показывает, что ${ displaystyle D ( mathbf {x} circ mathbf {C}) = mathbf {x} _ {r} r '+ mathbf {x} _ { theta} theta'.}$ Таким образом, квадрат подынтегральной функции интеграла длины дуги равен

{ Displaystyle ( mathbf {x_ {r}} cdot mathbf {x_ {r}}) (r ') ^ {2} +2 ( mathbf {x} _ {r} cdot mathbf {x} _ { theta}) r ' theta' + ( mathbf {x} _ { theta} cdot mathbf {x} _ { theta}) ( theta ') ^ {2} = (r') ^ {2} + r ^ {2} ( theta ') ^ {2}.}

Таким образом, для кривой, выраженной в полярных координатах, длина дуги равна

{ displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} { sqrt { left ({ frac {dr} {dt}} right) ^ {2} + r ^ {2} left ({ frac {d theta} {dt}} right) ^ {2}}} dt = int _ { theta (t_ {1})} ^ { theta (t_ {2})} { sqrt { left ({ frac {dr} {d theta}} right) ^ {2} + r ^ {2}}} d theta.}

Теперь позвольте ${ Displaystyle mathbf {С} (т) = (г (т), тета (т), фи (т))}$ - кривая в сферических координатах, где ${ displaystyle theta}$ полярный угол, отсчитываемый от положительного ${ displaystyle z}$ ось и ${ displaystyle phi}$ азимутальный угол. Отображение, которое преобразует сферические координаты в прямоугольные координаты:

{ displaystyle mathbf {x} (r, theta, phi) = (r sin theta cos phi, r sin theta sin phi, r cos theta).}

Повторное использование цепного правила показывает, что ${ displaystyle D ( mathbf {x} circ mathbf {C}) = mathbf {x} _ {r} r '+ mathbf {x} _ { theta} theta' + mathbf {x} _ { phi} phi '.}$ Все точечные продукты ${ displaystyle mathbf {x} _ {i} cdot mathbf {x} _ {j}}$ куда ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$ различны равны нулю, поэтому квадрат нормы этого вектора равен

{ displaystyle ( mathbf {x} _ {r} cdot mathbf {x} _ {r}) (r '^ {2}) + ( mathbf {x} _ { theta} cdot mathbf { x} _ { theta}) ( theta ') ^ {2} + ( mathbf {x} _ { phi} cdot mathbf {x} _ { phi}) ( phi') ^ {2 } = (r ') ^ {2} + r ^ {2} ( theta') ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta ( phi ') ^ {2}.}.}

Таким образом, для кривой, выраженной в сферических координатах, длина дуги равна

{ displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} { sqrt { left ({ frac {dr} {dt}} right) ^ {2} + r ^ {2} left ({ frac {d theta} {dt}} right) ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta left ({ frac {d phi} {dt}} right) ^ {2}}} dt.}

Очень похожий расчет показывает, что длина дуги кривой, выраженная в цилиндрических координатах, равна

{ displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} { sqrt { left ({ frac {dr} {dt}} right) ^ {2} + r ^ {2} left ({ frac {d theta} {dt}} right) ^ {2} + left ({ frac {dz} {dt}} right) ^ {2}}} dt.}

Простые случаи

Дуги окружностей

Длины дуги обозначены s, поскольку латинское слово для обозначения длины (или размера) - пространство.

В следующих строках ${ displaystyle r}$ представляет радиус из круг, ${ displaystyle d}$ это его диаметр, ${ displaystyle C}$ это его длина окружности, ${ displaystyle s}$ - длина дуги окружности, а ${ displaystyle theta}$ - угол, под которым дуга образует центр круга. Расстояния ${ displaystyle r, d, C,}$ и ${ displaystyle s}$ выражены в тех же единицах.

${ displaystyle C = 2 pi r,}$ который совпадает с ${ Displaystyle C = pi d.}$ Это уравнение является определением ${ displaystyle pi.}$
Если дуга полукруг, тогда ${ displaystyle s = pi r.}$
Для произвольной дуги окружности:
- Если ${ displaystyle theta}$ в радианы тогда ${ displaystyle s = r theta.}$ Это определение радиана.
- Если ${ displaystyle theta}$ в градусы, тогда ${ displaystyle s = { frac { pi r theta} {180 { text {deg}}}},}$ который совпадает с ${ displaystyle s = { frac {C theta} {360 { text {deg}}}}.}$
- Если ${ displaystyle theta}$ в выпускники (100 градаций, или оценок, или градианцев - это один прямой угол ), тогда ${ displaystyle s = { frac { pi r theta} {200 { text {grad}}}},}$ который совпадает с ${ displaystyle s = { frac {C theta} {400 { text {grad}}}}.}$
- Если ${ displaystyle theta}$ в повороты (один оборот - полный оборот, либо 360 °, либо 400 градусов, либо ${ displaystyle 2 pi}$ радианы), то ${ displaystyle s = C theta / { text {turn}}}$ .

Дуги больших кругов на Земле

Две единицы длины, морская миля и метр (или километр), изначально были определены так, что длины дуг большие круги на поверхности Земли было бы просто численно связано с углами, которые они составляют в ее центре. Простое уравнение ${ displaystyle s = theta}$ применяется в следующих случаях:

если ${ displaystyle s}$ находится в морских милях, и ${ displaystyle theta}$ в угловые минуты (¹⁄₆₀ степень), или
если ${ displaystyle s}$ находится в километрах, и ${ displaystyle theta}$ в градусах Цельсия (¹⁄₁₀₀ град ).

Длины единиц расстояния были выбраны так, чтобы окружность Земли была равна 40000 километров, или 21600 морские мили. Это количество соответствующих угловых единиц за один полный оборот.

Эти определения метра и морской мили были заменены более точными, но исходные определения все еще достаточно точны для концептуальных целей и некоторых расчетов. Например, они подразумевают, что один километр равен 0,54 морской мили. Согласно официальным современным определениям, одна морская миля составляет ровно 1,852 километра,^[3] что означает, что 1 км - это примерно 0.53995680 морские мили.^[4] Это современное соотношение отличается от рассчитанного по исходным определениям менее чем на одну десятую часть.

Длина дуги параболы

Исторические методы

Античность

Для большей части история математики, даже величайшие мыслители считали невозможным вычислить длину неправильной дуги. Несмотря на то что Архимед первым изобрел способ найти область под кривой с помощью его "метод истощения ", мало кто верил, что кривые могут иметь определенную длину, как и прямые линии. Первые шаги в этой области были нарушены, как это часто случалось в исчисление, к приближение. Люди начали писать полигоны внутри кривых и вычислите длину сторон для некоторого точного измерения длины. Используя больше сегментов и уменьшив длину каждого сегмента, они смогли получить все более и более точное приближение. В частности, вписав в круг многоугольник с множеством сторон, они смогли найти приблизительные значения π.^[5]^[6]

17-го века

В 17 веке метод истощения привел к исправлению геометрическими методами нескольких трансцендентные кривые: the логарифмическая спираль к Евангелиста Торричелли в 1645 г. (по некоторым источникам Джон Уоллис в 1650-х гг.) циклоида к Кристофер Рен в 1658 г., а цепная связь к Готфрид Лейбниц в 1691 г.

В 1659 году Уоллис приписал Уильям Нил открытие первого исправления нетривиального алгебраическая кривая, то полукубическая парабола.^[7] Сопутствующие рисунки приведены на странице 145. На странице 91 Уильям Нил упоминается как Гулиельмус Нелиус.

Интегральная форма

До полного формального развития исчисления основа современной интегральной формы для длины дуги была независимо открыта Хендрик ван Хурает и Пьер де Ферма.

В 1659 году ван Хойрает опубликовал конструкцию, показывающую, что задача определения длины дуги может быть преобразована в задачу определения площади под кривой (то есть интеграла). В качестве примера своего метода он определил длину дуги полукубической параболы, что потребовало нахождения площади под парабола.^[8] В 1660 году Ферма опубликовал более общую теорию, содержащую тот же результат в своей работе. De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione геометрическая диссертация (Геометрическая диссертация о кривых линиях в сравнении с прямыми).^[9]

Метод Ферма определения длины дуги

Основываясь на своей предыдущей работе с касательными, Ферма использовал кривую

{ Displaystyle у = х ^ {3/2} ,}

чей касательная в Икс = а имел склон из

{ displaystyle textstyle {3 over 2} a ^ {1/2}}

так что касательная линия будет иметь уравнение

{ displaystyle y = textstyle {3 over 2} {a ^ {1/2}} (x-a) + f (a).}

Далее он увеличил а на небольшую сумму а + ε, делая сегмент AC относительно хорошее приближение длины кривой от А к D. Чтобы найти длину сегмента AC, он использовал теорема Пифагора:

{ displaystyle { begin {align} AC ^ {2} & {} = AB ^ {2} + BC ^ {2} & {} = textstyle varepsilon ^ {2} + {9 over 4} a varepsilon ^ {2} & {} = textstyle varepsilon ^ {2} left (1+ {9 over 4} a right) end {align}}}

что, когда решено, дает

{ displaystyle AC = textstyle varepsilon { sqrt {1+ {9 over 4} a }}.}

Чтобы приблизиться к длине, Ферма суммировал бы последовательность коротких отрезков.

Кривые бесконечной длины

Кривая Коха.

График Иксгрех (1 /Икс).

Как упоминалось выше, некоторые кривые нельзя исправить. То есть отсутствует верхняя граница длин полигональных аппроксимаций; длина может быть сделана произвольно большой. Неформально говорят, что такие кривые имеют бесконечную длину. Существуют непрерывные кривые, на которых каждая дуга (кроме одноточечной) имеет бесконечную длину. Примером такой кривой является Кривая Коха. Другой пример кривой бесконечной длины - график функции, определяемой ж(Икс) = Икс грех (1 /Икс) для любого открытого множества с 0 в качестве одного из его разделителей и ж(0) = 0. Иногда Хаусдорфово измерение и Мера Хаусдорфа используются для количественной оценки размера таких кривых.

Обобщение на (псевдо) римановы многообразия

Позволять ${ displaystyle M}$ быть (Псевдо) Риманово многообразие, ${ displaystyle gamma: [0,1] rightarrow M}$ кривая в ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle g}$ (псевдо) метрический тензор.

Длина ${ displaystyle gamma}$ определяется как

{ displaystyle ell ( gamma) = int _ {0} ^ {1} { sqrt { pm g ( gamma '(t), gamma' (t))}} , dt,}

куда ${ Displaystyle гамма '(т) в Т _ { гамма (т)} М}$ является касательным вектором ${ displaystyle gamma}$ в ${ displaystyle t.}$ Знак квадратного корня выбирается один раз для данной кривой, чтобы гарантировать, что квадратный корень является действительным числом. Положительный знак выбран для пространственноподобных кривых; в псевдоримановом многообразии отрицательный знак может быть выбран для времениподобных кривых. Таким образом, длина кривой - неотрицательное действительное число. Обычно не рассматриваются кривые, которые частично пространственноподобны, а частично времениподобны.

В теория относительности, длина дуги времениподобных кривых (мировые линии ) это подходящее время вдоль мировой линии, а длина дуги пространственноподобной кривой правильное расстояние по кривой.

Смотрите также

Источники

Фаруки, Рида Т. (1999). «Кривые от движения, движение от кривых». В Laurent, P.-J .; Sablonniere, P .; Шумакер, Л. Л. (ред.). Кривая и дизайн поверхностей: Сен-Мало 1999. Vanderbilt Univ. Нажмите. С. 63–90. ISBN 978-0-8265-1356-4.

внешняя ссылка

«Спрямляемая кривая», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
История кривизны
Вайсштейн, Эрик В. "Длина дуги". MathWorld.
Длина дуги к Эд Пегг младший, Демонстрационный проект Wolfram, 2007.
^[постоянная мертвая ссылка ] Учебное пособие по исчислению - Длина дуги (исправление)
Индекс известных кривых Архив истории математики MacTutor
Приблизительная длина дуги Чад Пирсон, Джош Фриц и Анджела Шарп, Демонстрационный проект Wolfram.
Эксперимент по длине кривой Иллюстрирует численное решение нахождения длины кривой.

[1] Альберг; Нильсон (1967). Теория сплайнов и их приложения. Академическая пресса. п.51. ISBN 9780080955452.

[2] Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. McGraw-Hill, Inc., стр.137. ISBN 978-0-07-054235-8.

[3] Супли, Курт (2 июля 2009 г.). «Специальная публикация 811». nist.gov.

[4] CRC Справочник по химии и физике, п. F-254

[5] Ричсон, Дэвид (май 2015 г.). «Круговое рассуждение: кто первым доказал, что C делится на d является константой?». Математический журнал колледжа. 46 (3): 162–171. Дои:10.4169 / College.math.j.46.3.162. ISSN 0746-8342. S2CID 123757069.

[6] Кулидж, Дж. Л. (Февраль 1953 г.). «Длины кривых». Американский математический ежемесячник. 60 (2): 89–93. Дои:10.2307/2308256. JSTOR 2308256.

[7] Уоллис, Джон (1659 г.). Tractatus Duo. Prior, De Cycloide et de Corporibus inde Genitis…. Оксфорд: Издательство университета. С. 91–96.

[8] ван Хераэт, Хендрик (1659 г.). «Epistola de transmutatione curvarum linearum in rectas [Письмо о преобразовании изогнутых линий в прямые]». Renati Des-Cartes Geometria (2-е изд.). Амстердам: Луи и Даниэль Эльзевир. С. 517–520.

[9] M.P.E.A.S. (псевдоним Ферма) (1660). De Linearum Curvarum cum Lineis Rectis Comparatione Dissertatio Geometrica. Тулуза: Арно Коломер.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]