Дуга (геометрия) - Arc (geometry)

А круговой сектор закрашен зеленым. Его криволинейная граница длиной L представляет собой дугу окружности.

В Евклидова геометрия, дуга (символ: ⌒) это связаны подмножество дифференцируемый изгиб. Дуги линии называются сегменты или же лучи, в зависимости от того, ограничены они или нет. Типичный пример изогнутой кривой - это дуга круг, называется дуга окружности. В сфера (или сфероид ), дуга большой круг (или большой эллипс ) называется большая дуга.

Каждая пара различных точек на окружности определяет две дуги. Если две точки не находятся прямо напротив друг друга, одна из этих дуг, малая дуга, буду подчиняться угол в центре круга меньше чем $π$ радианы (180 градусов), а другая дуга - большая дуга, образует угол больше, чем $π$ радианы.

Круговые дуги

Длина дуги окружности

Длина (точнее, длина дуги ) дуги окружности радиуса р и под углом θ (измеряется в радианах) с центром круга, т.е. центральный угол - является

{ Displaystyle L = theta r.}

Это потому что

{ displaystyle { frac {L} { mathrm {окружность}}} = { frac { theta} {2 pi}}.}

Подставляя по окружности

{ displaystyle { frac {L} {2 pi r}} = { frac { theta} {2 pi}},}

и с α это тот же угол, измеренный в градусах, поскольку θ = α/180 $π$ , длина дуги равна

{ displaystyle L = { frac { alpha pi r} {180}}.}

Практический способ определить длину дуги в окружности состоит в том, чтобы построить две линии от конечных точек дуги до центра окружности, измерить угол, где две линии пересекаются с центром, а затем решить для L путем перекрестного умножения утверждения. :

Мера угол в градусах / 360 ° = L/длина окружности.

Например, если угол составляет 60 градусов, а длина окружности 24 дюйма, то

{ displaystyle { begin {align} { frac {60} {360}} & = { frac {L} {24}} 360L & = 1440 L & = 4. end {align}}}

Это так, потому что длина окружности и градусы окружности, которых всегда 360, прямо пропорциональны.

Верхняя половина круга может быть параметризована как

{ displaystyle y = { sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}.}

Тогда длина дуги от ${ Displaystyle х = а}$ к ${ displaystyle x = b}$ является

{ displaystyle L = r { Big [} arcsin left ({ frac {x} {r}} right) { Big]} _ {a} ^ {b}.}

Площадь сектора дуги

Площадь сектора, образованного дугой и центром круга (ограниченного дугой и двумя радиусами, проведенными к ее концам), равна

{ displaystyle A = { frac {r ^ {2} theta} {2}}.}

Площадь А имеет такую же пропорцию площадь круга как угол θ на полный круг:

{ displaystyle { frac {A} { pi r ^ {2}}} = { frac { theta} {2 pi}}.}

Мы можем отменить $π$ с обеих сторон:

{ displaystyle { frac {A} {r ^ {2}}} = { frac { theta} {2}}.}

Умножив обе части на р², получаем окончательный результат:

{ displaystyle A = { frac {1} {2}} r ^ {2} theta.}

Используя преобразование, описанное выше, мы находим, что площадь сектора для центрального угла, измеренная в градусах, равна

{ displaystyle A = { frac { alpha} {360}} pi r ^ {2}.}

Площадь сегмента дуги

Площадь фигуры, ограниченная дугой и прямой линией между двумя ее конечными точками, равна

{ displaystyle { frac {1} {2}} r ^ {2} left ( theta - sin { theta} right).}

Чтобы получить площадь сегмент дуги, нам нужно вычесть площадь треугольника, определяемую центром круга и двумя конечными точками дуги, из площади ${ displaystyle A}$ . Видеть Круговой сегмент для подробностей.

Радиус дуги

Продукт из отрезки линии AP и PB равны произведению отрезков CP и PD. Если дуга имеет ширину AB и высоту CP, то диаметр круга

{ displaystyle CD = { frac {AP cdot PB} {CP}} + CP}

С использованием теорема о пересечении хорд (также известный как сила точки или теорема о секущем касательном) можно вычислить радиус р круга с учетом высоты ЧАС и ширина W дуги:

Рассмотрим аккорд с теми же конечными точками, что и дуга. Его серединный перпендикуляр - это еще одна хорда, которая равна диаметру окружности. Длина первой хорды W, и делится биссектрисой на две равные половины, каждая длиной W/2. Общая длина диаметра 2р, и он разделен на две части первым аккордом. Длина одной части равна сагитта дуги, ЧАС, а другая часть - это остаток диаметра длиной 2р − ЧАС. Применение теоремы о пересечении хорд к этим двум хордам дает

{ Displaystyle H (2r-H) = left ({ frac {W} {2}} right) ^ {2},}

откуда

{ displaystyle 2r-H = { frac {W ^ {2}} {4H}},}

так

{ displaystyle r = { frac {W ^ {2}} {8H}} + { frac {H} {2}}.}

Параболические дуги

Смотрите также

внешняя ссылка

Содержание страниц Math Open Reference Circle
Математика Открыть справочную страницу по дугам окружности С интерактивной анимацией
Математика Открыть справочную страницу по радиусу дуги окружности или сегмента С интерактивной анимацией
Вайсштейн, Эрик В. «Дуга». MathWorld.