Кривая - Curve

А парабола, одна из простейших кривых, после (прямых) линий

В математика, а кривая (также называемый изогнутая линия в старых текстах) представляет собой объект, похожий на линия, но это не обязательно Прямо.

Интуитивно кривая может рассматриваться как след, оставленный движущимся точка. Это определение появилось более 2000 лет назад в Евклида Элементы: "[Изогнутая] линия^[а] […] первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины или глубины, и является не чем иным, как потоком или движением точки, которая […] оставит от своего воображаемого движения какой-то след в длина, исключая любую ширину ".^[1]

Это определение кривой было формализовано в современной математике как: Кривая - это образ из интервал к топологическое пространство по непрерывная функция. В некоторых случаях функция, определяющая кривую, называется параметризация, а кривая представляет собой параметрическая кривая. В этой статье эти кривые иногда называют топологические кривые чтобы отличить их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые. Это определение охватывает большинство кривых, которые изучаются в математике; заметными исключениями являются кривые уровня (которые союзы кривых и изолированных точек) и алгебраические кривые (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявные кривые, так как они обычно определяются неявные уравнения.

Тем не менее, класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые выглядят не так, как можно ожидать от кривой, или даже не могут быть нарисованы. Это случай кривые, заполняющие пространство и фрактальные кривые. Для обеспечения большей регулярности функция, определяющая кривую, часто предполагается дифференцируемый, и тогда кривая называется дифференцируемая кривая.

А плоская алгебраическая кривая нулевой набор многочлен в двоем неопределенный. В более общем плане алгебраическая кривая является нулевым набором конечного набора многочленов, который удовлетворяет дополнительному условию быть алгебраическое многообразие из измерение один. Если коэффициенты многочленов принадлежат поле $k$ , кривая называется определяется по $k$ . В общем случае вещественная алгебраическая кривая, где $k$ это область действительные числа, алгебраическая кривая - это конечное объединение топологических кривых. Когда сложный считаются нули, комплексная алгебраическая кривая, который из топологически точки зрения, это не кривая, а поверхность, и его часто называют Риманова поверхность. Алгебраические кривые, определенные над другими полями, хотя и не являются кривыми в обычном смысле, широко изучались. В частности, алгебраические кривые над конечное поле широко используются в современных криптография.

История

Мегалитическое искусство из Ньюгрейнджа, проявляющий ранний интерес к кривым

Интерес к кривым возник задолго до того, как они стали предметом математических исследований. Это можно увидеть на многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на предметах повседневного обихода, относящихся к доисторическим временам.^[2] Кривые или, по крайней мере, их графическое представление легко создать, например, с помощью палки на песке на пляже.

Исторически термин линия был использован вместо более современного термина кривая. Следовательно, условия прямая линия и правая линия использовались, чтобы отличить то, что сегодня называется линиями, от изогнутых линий. Например, в Книге I из Элементы Евклида, линия определяется как "длина без ширины" (По умолчанию 2), а Прямо Линия определяется как «линия, которая равномерно лежит с точками на себе» (Определение 4). Идея Евклида о прямой, возможно, поясняется утверждением «Концы линии суть точки» (Определение 3).^[3] Более поздние комментаторы дополнительно классифицировали строки по разным схемам. Например:^[4]

Составные линии (линии, образующие угол)
Несоставные строки
- Определенный (линии, которые не могут продолжаться бесконечно, например круг)
- Неопределенный (линии, которые простираются до бесконечности, например прямая линия и парабола)

Кривые, полученные путем разрезания конуса (конические секции ) были среди кривых, изученных в Древней Греции.

Греческий геометры изучал многие другие виды кривых. Одна из причин заключалась в их интересе к решению геометрических задач, которые нельзя было решить с помощью стандартных компас и линейка Эти кривые включают:

Конические сечения, подробно изученные Аполлоний Пергский
В циссоид диокла, изученный Диокл и используется как метод удвоить куб.^[5]
В раковина Никомеда, изученный Никомед как метод удвоения куба и разрезать угол.^[6]
В Архимедова спираль, изученный Архимед как метод разрезания угла и квадрат круга.^[7]
В спиртовые секции, разделы тори изучен Персей как сечения шишек изучал Аполлоний.

Аналитическая геометрия допускает кривые, такие как Фолиум Декарта, который будет определяться с помощью уравнений вместо геометрического построения.

Фундаментальным достижением теории кривых явилось введение аналитическая геометрия от Рене Декарт в семнадцатом веке. Это позволило описать кривую с помощью уравнения, а не сложной геометрической конструкции. Это не только позволило определить и изучить новые кривые, но и позволило провести формальное различие между алгебраические кривые который можно определить с помощью полиномиальные уравнения, и трансцендентные кривые это не может. Ранее кривые описывались как «геометрические» или «механические» в зависимости от того, как они были или предположительно могли быть созданы.^[2]

Конические сечения применялись в астрономия от Кеплер.Ньютон также работал над ранним примером в вариационное исчисление. Решения вариационных задач, таких как брахистохрона и таутохрона вопросы, вводили свойства кривых по-новому (в данном случае циклоида ). В цепная связь получил свое название как решение проблемы с подвесной цепью, вопрос, который стал обычно доступным с помощью дифференциальное исчисление.

В восемнадцатом веке началась теория плоских алгебраических кривых в целом. Ньютон изучил кубические кривые, в общем описании реальных точек в «овалы». Заявление Теорема Безу показал ряд аспектов, которые не были напрямую доступны геометрии времени, а именно особые точки и сложные решения.

С девятнадцатого века теория кривых рассматривается как частный случай размерности один в теории коллекторы и алгебраические многообразия. Тем не менее многие вопросы остаются специфичными для кривых, например кривые, заполняющие пространство, Теорема Жордана и Шестнадцатая проблема Гильберта.

Топологическая кривая

А топологическая кривая может быть определено непрерывная функция ${ Displaystyle gamma двоеточие I rightarrow X}$ из интервал $я$ из действительные числа в топологическое пространство $Икс$ . Собственно говоря, кривая это образ из ${ displaystyle gamma.}$ Однако в некоторых случаях ${ displaystyle gamma}$ само по себе называется кривой, особенно когда изображение не похоже на то, что обычно называется кривой, и недостаточно характеризует ${ displaystyle gamma.}$

Например, изображение Кривая Пеано или, в более общем смысле, кривая заполнения пространства полностью заполняет квадрат и поэтому не дает информации о том, как ${ displaystyle gamma}$ определено.

Кривая ${ displaystyle gamma}$ является закрыто^[8] или является петля если ${ Displaystyle I = [а, б]}$ и ${ Displaystyle гамма (а) = гамма (Ь)}$ . Таким образом, замкнутая кривая является образом непрерывного отображения круг.

Если домен из ${ displaystyle gamma}$ замкнутый и ограниченный интервал ${ displaystyle I = [a, b],}$ кривую также называют дорожка или дуга.

Кривая просто если это изображение интервала или круга инъективный непрерывная функция. Другими словами, если кривая определяется непрерывной функцией ${ displaystyle gamma}$ с интервалом в качестве области кривая является простой тогда и только тогда, когда две разные точки интервала имеют разные изображения, за исключением, возможно, тех случаев, когда точки являются конечными точками интервала. Интуитивно простая кривая - это кривая, которая «не пересекает себя и не имеет пропущенных точек».^[9]

А кривая дракона с положительной зоной

Простая замкнутая кривая также называется Кривая Иордании. В Теорема Жордана заявляет, что набор дополнений в плоскости жордановой кривой состоит из двух связанные компоненты (то есть кривая делит плоскость на две непересекающиеся регионы которые оба связаны).

А плоская кривая кривая, для которой ${ displaystyle X}$ это Евклидова плоскость - это примеры, которые встречаются впервые, или в некоторых случаях проективная плоскость. А пространственная кривая кривая, для которой ${ displaystyle X}$ как минимум трехмерный; а наклонная кривая - пространственная кривая, не лежащая в плоскости. Эти определения плоских, пространственных и наклонных кривых также применимы к вещественные алгебраические кривые, хотя приведенное выше определение кривой неприменимо (вещественная алгебраическая кривая может быть отключен ).

В определение кривой входят фигуры, которые в обычном употреблении назвать кривыми сложно. Например, изображение простой кривой может покрывать квадрат в самолете (кривая заполнения пространства ) и, таким образом, имеют положительную область.^[10] Фрактальные кривые могут иметь свойства, непривычные для здравого смысла. Например, фрактальная кривая может иметь Хаусдорфово измерение больше одного (см. Коха снежинка ) и даже положительная зона. Примером может служить кривая дракона, обладающий множеством других необычных свойств.

Дифференцируемая кривая

Грубо говоря дифференцируемая кривая кривая, которая определяется как локально образ инъективной дифференцируемой функции ${ Displaystyle gamma двоеточие I rightarrow X}$ из интервал $я$ из действительные числа в дифференцируемое многообразие $Икс$ , довольно часто ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$

Точнее, дифференцируемая кривая - это подмножество $C$ из $Икс$ где каждая точка $C$ есть район $U$ такой, что ${ Displaystyle C cap U}$ является диффеоморфный интервалу действительных чисел.^{[требуется разъяснение ]} Другими словами, дифференцируемая кривая - это дифференцируемое многообразие размерности один.

Длина кривой

Если ${ Displaystyle X = mathbb {R} ^ {n}}$ это ${ displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство, и если ${ displaystyle gamma: [a, b] to mathbb {R} ^ {n}}$ - инъективная и непрерывно дифференцируемая функция, то длина ${ displaystyle gamma}$ определяется как количество

{ displaystyle operatorname {Length} ( gamma) ~ { stackrel { text {def}} {=}} ~ int _ {a} ^ {b} | gamma , '(t) | ~ mathrm {d} {t}.}

Длина кривой не зависит от параметризация ${ displaystyle gamma}$ .

В частности, длина ${ displaystyle s}$ из график непрерывно дифференцируемой функции ${ Displaystyle у = е (х)}$ определяется на закрытом интервале ${ Displaystyle [а, б]}$ является

{ displaystyle s = int _ {a} ^ {b} { sqrt {1+ [f '(x)] ^ {2}}} ~ mathrm {d} {x}.}

В более общем смысле, если ${ displaystyle X}$ это метрическое пространство с метрикой ${ displaystyle d}$ , то мы можем определить длину кривой ${ displaystyle gamma: [a, b] to X}$ от

{ displaystyle operatorname {Length} ( gamma) ~ { stackrel { text {def}} {=}} ~ sup ! left ( left { sum _ {i = 1} ^ {n } d ( gamma (t_ {i}), gamma (t_ {i-1})) ~ { Bigg |} ~ n in mathbb {N} ~ { text {and}} ~ a = t_ {0}

где супремум берется по всем ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ и все перегородки ${ Displaystyle т_ {0} <т_ {1} < ldots <т_ {п}}$ из ${ Displaystyle [а, б]}$ .

Спрямляемая кривая - это кривая с конечный длина. Кривая ${ displaystyle gamma: [a, b] to X}$ называется естественный (или единичная скорость или параметризованная длиной дуги), если для любого ${ displaystyle t_ {1}, t_ {2} in [a, b]}$ такой, что ${ displaystyle t_ {1} leq t_ {2}}$ , у нас есть

{ displaystyle operatorname {Length} ! left ( gamma | _ {[t_ {1}, t_ {2}]} right) = t_ {2} -t_ {1}.}

Если ${ displaystyle gamma: [a, b] to X}$ это Липшицево-непрерывный функция, то она автоматически исправляется. Более того, в этом случае можно определить скорость (или метрическая производная ) из ${ displaystyle gamma}$ в ${ Displaystyle т в [а, б]}$ так как

{ displaystyle { operatorname {Speed} _ { gamma}} (t) ~ { stackrel { text {def}} {=}} ~ limsup _ {[a, b] ni s to t} { frac {d ( gamma (s), gamma (t))} {| st |}}}

а затем показать, что

{ displaystyle operatorname {Length} ( gamma) = int _ {a} ^ {b} { operatorname {Speed} _ { gamma}} (t) ~ mathrm {d} {t}.}

Дифференциальная геометрия

В то время как первые встречающиеся примеры кривых - это в основном плоские кривые (то есть, говоря обыденными словами, изогнутые линии в двумерное пространство) есть очевидные примеры, такие как спираль которые естественно существуют в трех измерениях. Потребности геометрии, а также например классическая механика должны иметь понятие кривой в пространстве любого количества измерений. В общая теория относительности, а мировая линия кривая в пространство-время.

Если ${ displaystyle X}$ это дифференцируемое многообразие, то можно определить понятие дифференцируемая кривая в ${ displaystyle X}$ . Этой общей идеи достаточно, чтобы охватить многие приложения кривых в математике. С местной точки зрения можно взять ${ displaystyle X}$ быть евклидовым пространством. С другой стороны, полезно быть более общим, поскольку (например) можно определить касательные векторы к ${ displaystyle X}$ с помощью этого понятия кривой.

Если ${ displaystyle X}$ это гладкое многообразие, а плавная кривая в ${ displaystyle X}$ это гладкая карта

{ Displaystyle gamma двоеточие I rightarrow X}

.

Это базовое понятие. Также есть все меньше и больше ограниченных идей. Если ${ displaystyle X}$ это ${ displaystyle C ^ {k}}$ многообразие (т. е. многообразие, графики находятся ${ displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемый ), потом ${ displaystyle C ^ {k}}$ кривая в ${ displaystyle X}$ такая кривая, которая только предполагается, что ${ displaystyle C ^ {k}}$ (т.е. ${ displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемые). Если ${ displaystyle X}$ является аналитическое многообразие (т.е. бесконечно дифференцируемые и диаграммы выражаются как степенной ряд ), и ${ displaystyle gamma}$ аналитическое отображение, то ${ displaystyle gamma}$ считается аналитическая кривая.

Дифференцируемая кривая называется регулярный если это производная никогда не исчезает. (На словах, обычная кривая никогда не замедляется до остановки и не возвращается назад.) Два ${ displaystyle C ^ {k}}$ дифференцируемые кривые

{ displaystyle gamma _ {1} двоеточие I rightarrow X}

и

{ displaystyle gamma _ {2} двоеточие J rightarrow X}

как говорят эквивалент если есть биективный ${ displaystyle C ^ {k}}$ карта

{ displaystyle p двоеточие J rightarrow I}

так что обратная карта

{ displaystyle p ^ {- 1} двоеточие I rightarrow J}

это также ${ displaystyle C ^ {k}}$ , и

{ Displaystyle гамма _ {2} (т) = гамма _ {1} (р (т))}

для всех ${ displaystyle t}$ . Карта ${ displaystyle gamma _ {2}}$ называется репараметризация из ${ displaystyle gamma _ {1}}$ ; и это делает отношение эквивалентности на множестве всех ${ displaystyle C ^ {k}}$ дифференцируемые кривые в ${ displaystyle X}$ . А ${ displaystyle C ^ {k}}$ дуга является класс эквивалентности из ${ displaystyle C ^ {k}}$ кривые по отношению репараметризации.

Алгебраическая кривая

Алгебраические кривые - это кривые, рассматриваемые в алгебраическая геометрия. Плоская алгебраическая кривая - это набор точек координат $Икс, у$ такой, что $ж (Икс, у) = 0$ , где $ж$ - многочлен от двух переменных, определенный над некоторым полем $F$ . Один говорит, что кривая определяется по $F$ . Алгебраическая геометрия обычно рассматривает не только точки с координатами в $F$ но все точки с координатами в алгебраически замкнутое поле $K$ .

Если C кривая, определяемая полиномом ж с коэффициентами в F, кривая определяется над F.

В случае кривой, определенной над действительные числа, обычно рассматриваются точки с сложный координаты. В этом случае точка с действительными координатами является реальная точка, а множество всех реальных точек - это реальная часть кривой. Следовательно, только действительная часть алгебраической кривой может быть топологической кривой (это не всегда так, поскольку действительная часть алгебраической кривой может быть отсоединена и содержать изолированные точки). Вся кривая, то есть множество ее сложных точек, с топологической точки зрения является поверхностью. В частности, неособые комплексные проективные алгебраические кривые называются Римановы поверхности.

Точки кривой $C$ с координатами в поле $г$ считаются рациональными по $г$ и может быть обозначено $C (г))$ . Когда $г$ это поле рациональное число, просто говорят о рациональные точки. Например, Последняя теорема Ферма можно переформулировать как: Для $п > 2$ , каждый рациональный пункт Кривая Ферма степени $п$ имеет нулевую координату.

Алгебраические кривые также могут быть пространственными кривыми или кривыми в пространстве более высокой размерности, например $п$ . Они определены как алгебраические многообразия из измерение один. Их можно получить как общие решения по крайней мере $п -1$ полиномиальные уравнения в $п$ переменные. Если $п -1$ полиномов достаточно, чтобы определить кривую в пространстве размерности $п$ , кривая называется полное пересечение. Удаляя переменные (любым инструментом теория исключения ) алгебраическую кривую можно спроецировать на плоская алгебраическая кривая, что, однако, может привнести новые особенности, такие как куспиды или двойные очки.

Плоская кривая также может быть завершена кривой в проективная плоскость: если кривая определяется полиномом $ж$ общей степени $d$ , тогда $ш d ж (ты / ш, v / ш)$ упрощается до однородный многочлен $г (ты, v, ш)$ степени $d$ . Ценности $ты, v, ш$ такой, что $г (ты, v, ш) = 0$ - однородные координаты точек завершения кривой на проективной плоскости, а точки исходной кривой такие, что $ш$ не равно нулю. Примером может служить кривая Ферма $ты п + v п = ш п$ , имеющий аффинную форму $Икс п + у п = 1$ . Аналогичный процесс гомогенизации может быть определен для кривых в пространствах более высоких измерений.

Кроме линии, простейшими примерами алгебраических кривых являются коники, которые представляют собой неособые кривые второй степени и род нуль. Эллиптические кривые, которые являются неособыми кривыми рода один, изучаются в теория чисел и имеют важные приложения для криптография.

Смотрите также

Заметки

^ В современном математическом обиходе линия прямая. Раньше линии могли быть как изогнутыми, так и прямыми.

использованная литература

^ На (довольно старом) французском языке: "La ligne est la première espece de Quantité, laquelle a tant seulement une Dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre selected que le flux ou coulement du poinct, lequel [… ] laissera de son mouvement, Imminaire quelque vestige en long, expt de toute latitude ». Страницы 7 и 8 из Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs фигурки и демонстрации, avec la corrections des erreurs comises és autres traductions, Пьер Мардел, Лион, MDCXLV (1645).
^ ^а ^б Локвуд П. ix
^ Хит п. 153
^ Хит п. 160
^ Локвуд П. 132
^ Локвуд П. 129
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Спираль Архимеда», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
^ Этот термин может быть неоднозначным, поскольку незамкнутая кривая может быть закрытый набор, как линия на плоскости
^ «Определение дуги Джордана на Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc». Dictionary.reference.com. Получено 2012-03-14.
^ Осгуд, Уильям Ф. (Январь 1903 г.). «Иорданская кривая положительной области». Труды Американского математического общества. Американское математическое общество. 4 (1): 107–112. Дои:10.2307/1986455. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455.

ТАК КАК. Пархоменко (2001) [1994], «Линия (кривая)», Энциклопедия математики, EMS Press
Б.И. Голубов (2001) [1994], «Спрямляемая кривая», Энциклопедия математики, EMS Press
Евклид, комментарии и пер. от Т. Л. Хит Элементы Vol. 1 (1908 г., Кембридж) Google Книги
Э. Х. Локвуд Книга кривых (1961 Кембридж)

внешние ссылки

Индекс известных кривых, Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия
Математические кривые Коллекция из 874 двумерных математических кривых
Галерея космических кривых, сделанных из кругов, включает анимацию Питера Мозеса
Галерея кривых епископа и других сферических кривых, включая анимацию Питера Мозеса
Статья в энциклопедии математики о линии.
Страница Manifold Atlas на 1-многообразия.

[1] В современном математическом обиходе линия прямая. Раньше линии могли быть как изогнутыми, так и прямыми.

[2] На (довольно старом) французском языке: "La ligne est la première espece de Quantité, laquelle a tant seulement une Dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre selected que le flux ou coulement du poinct, lequel [… ] laissera de son mouvement, Imminaire quelque vestige en long, expt de toute latitude ». Страницы 7 и 8 из Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs фигурки и демонстрации, avec la corrections des erreurs comises és autres traductions, Пьер Мардел, Лион, MDCXLV (1645).

[Lockwood-3] а ^б Локвуд П. ix

[4] Хит п. 153

[5] Хит п. 160

[6] Локвуд П. 132

[7] Локвуд П. 129

[8] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Спираль Архимеда», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.

[9] Этот термин может быть неоднозначным, поскольку незамкнутая кривая может быть закрытый набор, как линия на плоскости

[10] «Определение дуги Джордана на Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc». Dictionary.reference.com. Получено 2012-03-14.

[11] Осгуд, Уильям Ф. (Январь 1903 г.). «Иорданская кривая положительной области». Труды Американского математического общества. Американское математическое общество. 4 (1): 107–112. Дои:10.2307/1986455. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455.

[а]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]