Контактная сеть - Catenary

А цепь свешивание с точек образует цепную связь.

Свободно висящий воздушные линии электропередачи также образуют контактную сеть (наиболее заметно на высоковольтных линиях и с некоторыми дефектами рядом с изоляторы ).

Шелк на Паучья паутина формирование нескольких эластичный контактные сети.

В физика и геометрия, а цепная связь (нас: /ˈkæтənɛrя/, Великобритания: /kəˈтяпərя/) это изгиб что идеализированное повешение цепь или же кабель принимает на себя масса когда поддерживается только на концах.

Линия цепи имеет U-образную форму, внешне похожа на параболическая арка, но это не парабола.

Кривая появляется в дизайне некоторых типов арки и как поперечное сечение катеноид - форма, которую принимает мыльная пленка, ограниченная двумя параллельными круговыми кольцами.

Контактная сеть также называется алисоидный, цепетка,^[1] или, особенно в области материаловедения, фуникулер.^[2] Веревочная статика описывает контактные сети в классической задаче статики с подвешенным канатом.^[3]

Математически цепная кривая - это график из гиперболический косинус функция. В поверхность вращения контактной кривой, катеноид, это минимальная поверхность, в частности минимальная поверхность вращения. Подвешенная цепь примет форму с наименьшей потенциальной энергией, которая является контактной цепью.^[4] Математические свойства контактной кривой были впервые изучены Роберт Гук в 1670-х годах, и его уравнение было выведено Лейбниц, Гюйгенс и Иоганн Бернулли в 1691 г.

Контактные сети и связанные кривые используются в архитектуре и технике (например, при проектировании мостов и арки чтобы силы не создавали изгибающих моментов). В оффшорной нефтегазовой отрасли термин "контактная сеть" означает стальной цепной стояк, трубопровод, подвешенный между производственной платформой и морским дном, который имеет приблизительную форму цепной линии. В железнодорожной отрасли это относится к воздушная проводка который передает мощность поездам. (Это часто поддерживает более легкий контактный провод, и в этом случае он не следует истинной кривой цепи.)

В оптике и электромагнетизме функции гиперболического косинуса и синуса являются основными решениями уравнений Максвелла.^[5] Симметричные моды, состоящие из двух мимолетные волны образует цепную форму.^[6][7][8]

История

Антони Гауди контактная модель в Casa Milà

Слово «цепочка» происходит от латинского слова Катена, что значит "цепь ". Английское слово" catenary "обычно приписывают Томас Джеферсон,^[9][10]кто написал в письме Томас Пейн по устройству арки для моста:

Недавно я получил из Италии трактат о равновесие арок, работы аббата Маскерони. Похоже, это очень научная работа. Я еще не успел этим заняться; но я считаю, что выводы его демонстраций таковы, что каждая часть цепочки находится в идеальном равновесии.^[11]

Часто говорят^[12] который Галилео думал, что изгиб висящей цепи был параболическим. В его Две новые науки (1638), Галилей говорит, что висячий шнур является приблизительной параболой, и он правильно отмечает, что это приближение улучшается по мере уменьшения кривизны и почти точно, когда угол места меньше 45 °.^[13] То, что кривая, за которой следует цепь, не является параболой, было доказано Иоахим Юнгиус (1587–1657); этот результат был опубликован посмертно в 1669 году.^[12]

Применение контактной сети для строительства арок приписывается Роберт Гук, чья «истинная математическая и механическая форма» в контексте перестройки Собор Святого Павла ссылается на цепочку.^[14] Некоторые гораздо более старые арки являются приблизительными цепными линиями, примером которых является Арка Таки Кисра в Ктесифон.^[15]

В 1671 году Гук объявил Королевское общество что он решил проблему оптимальной формы арки и в 1675 г. опубликовал зашифрованное решение в виде латинского анаграмма^[16] в приложении к его Описание гелиоскопов,^[17] где он писал, что нашел «истинную математическую и механическую форму всех видов арок для строительства». Он не публиковал решение этой анаграммы^[18] при жизни, но в 1705 году его душеприказчик предоставил это как ut pendet континуум гибкий, sic stabit contiguum strictum inversum, что означает: «Как висит гибкий кабель, так и перевернутые держатся соприкасающиеся части арки».

В 1691 г. Готфрид Лейбниц, Кристиан Гюйгенс, и Иоганн Бернулли получил уравнение в ответ на вызов Якоб Бернулли;^[12] их решения были опубликованы в Acta Eruditorum на июнь 1691 г.^[19][20] Дэвид Грегори написал трактат о контактной сети в 1697 г.^[12][21] в котором он дал неправильный вывод правильного дифференциального уравнения.^[20]

Эйлер в 1744 г. доказал, что цепь - это кривая, которая при повороте вокруг Иксось, дает минимальную поверхность площадь поверхности (в катеноид ) для данных ограничивающих окружностей.^[1] Николас Фусс дал уравнения, описывающие равновесие цепи при любом сила в 1796 г.^[22]

Перевернутая цепная арка

Контактные арки часто используются при строительстве печи. Чтобы создать желаемую кривую, форма подвесной цепи желаемых размеров преобразуется в форму, которая затем используется в качестве ориентира для укладки кирпичей или другого строительного материала.^[23][24]

В Шлюз Арка в Сент-Луис, штат Миссури, Соединенные Штаты иногда называют (перевернутой) цепной линией, но это неверно.^[25] Она близка к более общей кривой, называемой плоской цепной линией, с уравнением у = А сш (Bx), которая является цепной, если AB = 1. В то время как цепная цепь является идеальной формой для отдельно стоящей арки постоянной толщины, арка Gateway Arch более узкая в верхней части. По данным США Национальный исторический памятник номинация на арку, это "взвешенная контактная сеть "вместо этого. Его форма соответствует форме утяжеленной цепи, имеющей более легкие звенья посередине.^[26][27]

• 

  Контактная сеть^[28] арки под крышей Гауди с Casa Milà, Барселона, Испания.

• 

  В Зимний сад Шеффилда заключен в ряд цепные арки.^[29]

• 

  В Шлюз Арка (смотрит на восток) - это плоская цепная цепь.

• 

  Печь с цепной аркой строится поверх временной формы

• 

  Поперечное сечение кровли Келети Железнодорожный вокзал (Будапешт, Венгрия)

• 

  Поперечное сечение крыши железнодорожного вокзала Келети образует контактную сеть.

Контактные мосты

Простые подвесные мосты представляют собой по существу утолщенные кабели, идущие по кривой цепи.

Напряженные ленточные мосты, словно Мост Леонеля Виера в Мальдонадо, Уругвай, также следуют по изгибу цепной линии с кабелями, встроенными в жесткую платформу.

В свободно висящих цепях прилагаемая сила одинакова по длине цепи, и поэтому цепь следует изгибу цепи.^[30] То же самое и с простой подвесной мост или "цепной мост", когда проезжая часть следует за кабелем.^[31][32]

А напряженный ленточный мост представляет собой более сложную структуру с такой же формой цепной цепи.^[33][34]

Однако в подвесной мост при подвешенном проезжей части цепи или тросы выдерживают вес моста и поэтому не свисают свободно. В большинстве случаев проезжая часть плоская, поэтому, когда вес кабеля незначителен по сравнению с поддерживаемым весом, прилагаемая сила одинакова по отношению к горизонтальному расстоянию, и в результате получается парабола, как обсуждается ниже (хотя термин «цепная связь» все еще используется в неформальном смысле). Если кабель тяжелый, то полученная кривая находится между цепной линией и параболой.^[35][36]

Сравнение цепная арка (черная пунктирная кривая) и параболическая арка (красная сплошная кривая) с тем же пролетом и провисанием. Контактная сеть представляет собой профиль простого подвесного моста или трос подвесного моста с подвесным настилом, на котором его настил и подвески имеют незначительную массу по сравнению с тросом. Парабола представляет собой профиль троса подвесного моста с подвесным настилом, на котором его трос и подвески имеют незначительную массу по сравнению с его настилом. Профиль троса настоящего подвесного моста с таким же пролетом и провисанием лежит между двумя изгибами. Уравнения цепной связи и параболы соответственно: у = cosh (Икс) и у =Икс²

Якорная стоянка морских объектов

Тяжелый якорь цепь образует контактную сеть с малым углом натяжения якоря.

Контактная цепь, создаваемая силой тяжести, дает преимущество тяжелым анкерные стержни. Якорный стержень (или якорный трос) обычно состоит из цепи, троса или того и другого. Якорные штанги используются судами, нефтяными вышками, доками, плавающие ветряные турбины, и другое морское оборудование, которое должно быть закреплено на морском дне.

Когда канат провисает, кривая цепи представляет меньший угол натяжения каната. якорь или швартовное устройство, чем было бы, если бы оно было почти прямым. Это улучшает характеристики якоря и повышает уровень силы, которому он будет сопротивляться перед перетаскиванием. Чтобы поддерживать форму цепной линии при наличии ветра, необходима тяжелая цепь, так что только более крупные корабли на более глубокой воде могут полагаться на этот эффект. Небольшие лодки также полагаются на контактную сеть для поддержания максимальной удерживающей способности.^[37]

Математическое описание

Уравнение

Контактные сети для разных значений а

Уравнение контактной сети в Декартовы координаты имеет форму^[35]

${displaystyle y = acosh left ({frac {x} {a}} ight) = {frac {a} {2}} left (e ^ {frac {x} {a}} + e ^ {- {frac {x } {a}}} ight)}$

куда шиш это функция гиперболического косинуса, и где Икс измеряется от самой нижней точки.^[38] Все контактные кривые похожий друг другу; изменение параметр а эквивалентно равномерному масштабирование кривой.^[39]

В Уравнение Уэвелла для контактной сети^[35]

${displaystyle an varphi = {frac {s} {a}} ,.}$

Дифференциация дает

${displaystyle {frac {dvarphi} {ds}} = {frac {cos ^ {2} varphi} {a}}}$

и устранение φ дает Уравнение Чезаро^[40]

${displaystyle kappa = {frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}} ,.}$

В радиус кривизны затем

${displaystyle ho = asec ^ {2} varphi}$

которая является длиной линия, нормальная к кривой между ним и Икс-ось.^[41]

Отношение к другим кривым

Когда парабола катится по прямой, рулетка кривая, прослеживаемая его фокус это цепочка.^[42] В конверт из директриса параболы также является цепной.^[43] В эвольвента от вершины, то есть рулетки, образованной точкой, начинающейся в вершине, когда линия катится по цепочке, является трактрикс.^[42]

Еще одна рулетка, образованная катанием линии по цепочке, представляет собой другую линию. Отсюда следует, что квадратные колеса может идеально плавно катиться по дороге, состоящей из серии неровностей в форме перевернутой цепной линии. Колеса могут быть любыми правильный многоугольник кроме треугольника, но контактная сеть должна иметь параметры, соответствующие форме и размерам колес.^[44]

Геометрические свойства

На любом интервале по горизонтали отношение площади под контактной цепью к ее длине равно а, независимо от выбранного интервала. Контактная линия - это единственная плоская кривая, кроме горизонтальной линии с этим свойством. Кроме того, геометрический центр тяжести площади под отрезком цепной линии - это середина перпендикулярного сегмента, соединяющего центр тяжести самой кривой и Икс-ось.^[45]

Наука

Движущийся обвинять в униформе электрическое поле перемещается по цепной цепи (которая стремится к парабола если скорость заряда много меньше скорость света c).^[46]

В поверхность вращения с фиксированными радиусами на обоих концах, имеющими минимальную площадь поверхности, - это цепь, вращающаяся вокруг Икс-ось.^[42]

Анализ

Модель цепей и арок

в математическая модель цепь (или шнур, трос, веревку, веревку и т. д.) идеализируется, предполагая, что она настолько тонкая, что может рассматриваться как изгиб и что он настолько гибок, что любая сила напряжение оказываемое цепью, параллельно цепи.^[47] Анализ кривой для оптимальной дуги аналогичен, за исключением того, что силы натяжения становятся силами сжатие и все перевернуто.^[48]Основополагающий принцип состоит в том, что цепь может считаться твердым телом, когда она достигла равновесия.^[49] Уравнения, определяющие форму кривой и натяжение цепи в каждой точке, могут быть выведены путем тщательного изучения различных сил, действующих на сегмент, с учетом того факта, что эти силы должны быть уравновешены, если цепь находится в неподвижном состоянии. статическое равновесие.

Пусть дан путь, по которому идет цепочка параметрически к р = (Икс, у) = (Икс(s), у(s)) куда s представляет длина дуги и р это вектор положения. Это естественная параметризация и имеет свойство

${displaystyle {frac {dmathbf {r}} {ds}} = mathbf {u}}$

куда ты это единичный касательный вектор.

Схема сил, действующих на отрезок контактной сети от c к р. Силы - это напряжение Т₀ в c, напряженность Т в р, а вес цепи (0, −λgs). Поскольку цепь неподвижна, сумма этих сил должна быть равна нулю.

А дифференциальное уравнение для кривой можно получить следующим образом.^[50] Позволять c - самая нижняя точка цепи, называемая вершиной контактной сети.^[51] Склон dy/dx кривой равна нулю в точке C, поскольку это точка минимума. Предполагать р находится справа от c поскольку второй случай подразумевается симметрией. Силы, действующие на участок цепи со стороны c к р натяжение цепи при cнатяжение цепи при р, и вес цепи. Напряжение на c касается кривой в точке c и поэтому является горизонтальным без каких-либо вертикальных компонентов, и он перемещает раздел влево, поэтому его можно записать (−Т₀, 0) куда Т₀ - величина силы. Напряжение на р параллельно кривой при р и тянет секцию вправо. Напряжение на р можно разделить на два компонента, чтобы можно было записать Тты = (Т потому что φ, Т грех φ), куда Т величина силы и φ угол между кривой при р и Икс-ось (см. тангенциальный угол ). Наконец, вес цепи представлен как (0, −λgs) куда λ - масса на единицу длины, грамм ускорение свободного падения и s длина отрезка цепи между c и р.

Цепь находится в равновесии, поэтому сумма трех сил равна 0, следовательно

${displaystyle Tcos varphi = T_ {0}}$

и

${displaystyle Tsin varphi = lambda gs ,,}$

и деление этих дает

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = an varphi = {frac {lambda gs} {T_ {0}}} ,.}$

Удобно писать

${displaystyle a = {frac {T_ {0}} {lambda g}}}$

которая представляет собой длину цепи, вес которой на Земле равен по величине натяжению при c.^[52] потом

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = {frac {s} {a}}}$

- уравнение, определяющее кривую.

Горизонтальная составляющая напряжения, Т потому что φ = Т₀ постоянна, а вертикальная составляющая напряжения, Т грех φ = λgs пропорциональна длине цепи между р и вершина.^[53]

Вывод уравнений для кривой

Приведенное выше дифференциальное уравнение можно решить, чтобы получить уравнения для кривой.^[54]

Из

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = {frac {s} {a}} ,,}$

формула для длина дуги дает

${displaystyle {frac {ds} {dx}} = {sqrt {1 + left ({dfrac {dy} {dx}} ight) ^ {2}}} = {frac {sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}} {a}} ,.}$

потом

${displaystyle {frac {dx} {ds}} = {frac {1} {frac {ds} {dx}}} = {frac {a} {sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}}} }$

и

${displaystyle {frac {dy} {ds}} = {frac {frac {dy} {dx}} {frac {ds} {dx}}}} = {frac {s} {sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}}} ,.}$

Второе из этих уравнений можно проинтегрировать, чтобы получить

${displaystyle y = {sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}} + eta}$

и сдвигая положение Икс-ось, β можно принять равным 0. Тогда

${displaystyle y = {sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}} ,, quad y ^ {2} = a ^ {2} + s ^ {2} ,.}$

В Икс- выбранная таким образом ось называется директриса контактной сети.

Отсюда следует, что величина напряжения в точке (Икс, у) является Т = λgy, который пропорционален расстоянию между точкой и директрисой.^[53]

Интеграл выражения для dx/ds можно найти с помощью стандартные методы, давая^[55]

${displaystyle x = aoperatorname {arsinh} left ({frac {s} {a}} ight) + alpha,.}$

и, опять же, сдвигая положение у-ось, α можно принять равным 0. Тогда

${displaystyle x = aoperatorname {arsinh} left ({frac {s} {a}} ight) ,, quad s = asinh left ({frac {x} {a}} ight) ,.}$

В уВыбранная таким образом ось проходит через вершину и называется осью контактной сети.

Эти результаты можно использовать для устранения s давая

${displaystyle y = acosh left ({frac {x} {a}} ight) ,.}$

Альтернативное происхождение

Дифференциальное уравнение можно решить, используя другой подход.^[56] Из

${displaystyle s = a an varphi}$

следует, что

${displaystyle {frac {dx} {dvarphi}} = {frac {dx} {ds}} {frac {ds} {dvarphi}} = cos varphi cdot asec ^ {2} varphi = assec varphi}$

и

${displaystyle {frac {dy} {dvarphi}} = {frac {dy} {ds}} {frac {ds} {dvarphi}} = sin varphi cdot asec ^ {2} varphi = a an varphi sec varphi,.}$

Интеграция дает,

${displaystyle x = aln (sec varphi + an varphi) + альфа}$

и

${displaystyle y = asec varphi + eta,.}$

Как и прежде, Икс и у-оси можно сдвинуть так α и β можно принять равным 0. Тогда

${displaystyle sec varphi + an varphi = e ^ {frac {x} {a}} ,,}$

и принимая взаимность обеих сторон

${displaystyle sec varphi - an varphi = e ^ {- {frac {x} {a}}} ,.}$

Сложение и вычитание последних двух уравнений дает решение

${displaystyle y = asec varphi = acosh left ({frac {x} {a}} ight) ,,}$

и

${displaystyle s = a an varphi = asinh left ({frac {x} {a}} ight) ,.}$

Определение параметров

Три контактных звена через одни и те же две точки, в зависимости от горизонтальной силы Т_ЧАС.

В целом параметр а - положение оси. Уравнение в этом случае можно определить следующим образом:^[57]

При необходимости измените метку, чтобы п₁ находится слева от п₂ и разреши ЧАС быть горизонтальным и v быть вертикальным расстоянием от п₁ к п₂. Переведите оси так, чтобы вершина контактной сети лежала на у-ось и ее высота а регулируется так, чтобы цепь удовлетворяла стандартному уравнению кривой

${displaystyle y = acosh left ({frac {x} {a}} ight)}$

и пусть координаты п₁ и п₂ быть (Икс₁, у₁) и (Икс₂, у₂) соответственно. Кривая проходит через эти точки, поэтому разница в высоте составляет

${displaystyle v = acosh left ({frac {x_ {2}} {a}} ight) -acosh left ({frac {x_ {1}} {a}} ight) ,.}$

и длина кривой от п₁ к п₂ является

${displaystyle s = asinh left ({frac {x_ {2}} {a}} ight) -asinh left ({frac {x_ {1}} {a}} ight) ,.}$

Когда s² − v² расширяется с использованием этих выражений, результат

${displaystyle s ^ {2} -v ^ {2} = 2a ^ {2} left (cosh left ({frac {x_ {2} -x_ {1}} {a}} ight) -1ight) = 4a ^ { 2} sinh ^ {2} left ({frac {H} {2a}} ight) ,,}$

так

${displaystyle {sqrt {s ^ {2} -v ^ {2}}} = 2asinh left ({frac {H} {2a}} ight) ,.}$

Это трансцендентное уравнение в а и должно быть решено численно. Это можно показать методами исчисления.^[58] что существует не более одного решения с а > 0 и поэтому существует не более одного положения равновесия.

Однако если оба конца кривой (п₁ и п₂) находятся на одном уровне (у₁ = у₂), можно показать, что^[59]

${displaystyle a = {frac {{frac {1} {4}} L ^ {2} -h ^ {2}} {2h}},}$

где L - общая длина кривой между п₁ и п₂ и час прогиб (расстояние по вертикали между п₁, п₂ и вершина кривой).

Также можно показать, что

${displaystyle L = 2asinh {frac {H} {2a}},}$

и

${displaystyle H = 2aoperatorname {arcosh} {frac {h + a} {a}},}$

где H - горизонтальное расстояние между п₁ и п₂ которые расположены на одном уровне (ЧАС = Икс₂ − Икс₁).

Горизонтальная тяговая сила при п₁ и п₂ является Т_ЧАС = ау, куда ш - масса на единицу длины цепи или кабеля.

Обобщения с вертикальной силой

Неоднородные цепи

Если плотность цепи переменная, то приведенный выше анализ можно адаптировать для получения уравнений для кривой с учетом плотности или с учетом кривой для определения плотности.^[60]

Позволять ш обозначают вес на единицу длины цепи, тогда вес цепи имеет величину

${displaystyle int _ {mathbf {c}} ^ {mathbf {r}} w, ds ,,}$

где пределы интеграции c и р. Уравновешивающие силы, как в единой цепи, создают

${displaystyle Tcos varphi = T_ {0}}$

и

${displaystyle Tsin varphi = int _ {mathbf {c}} ^ {mathbf {r}} w, ds ,,}$

и поэтому

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = an varphi = {frac {1} {T_ {0}}} int _ {mathbf {c}} ^ {mathbf {r}} w, ds ,.}$

Тогда дифференциация дает

${displaystyle w = T_ {0} {frac {d} {ds}} {frac {dy} {dx}} = {frac {T_ {0} {dfrac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}) }}} {sqrt {1 + left ({dfrac {dy} {dx}} ight) ^ {2}}}} ,.}$

С точки зрения φ и радиус кривизны ρ это становится

${displaystyle w = {frac {T_ {0}} {ho cos ^ {2} varphi}} ,.}$

Кривая подвесного моста

Мост "Золотые ворота. Наиболее подвесной мост кабели следуют по параболической, а не по цепной кривой из-за того, что вес проезжей части намного больше веса кабеля.

Аналогичный анализ можно провести, чтобы найти кривую, за которой следует кабель, поддерживающий подвесной мост с горизонтальной проезжей частью.^[61] Если вес проезжей части на единицу длины равен ш и вес кабеля и провода, поддерживающего мост, по сравнению с ним ничтожно мал, тогда вес кабеля (см. рисунок в Catenary # Модель цепей и арок ) из c к р является wx куда Икс горизонтальное расстояние между c и р. Действуя, как прежде, получаем дифференциальное уравнение

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = an varphi = {frac {w} {T_ {0}}} x ,.}$

Это решается простой интеграцией, чтобы получить

${displaystyle y = {frac {w} {2T_ {0}}} x ^ {2} + eta}$

и поэтому кабель следует параболе. Если весом кабеля и поддерживающих проводов нельзя пренебречь, анализ будет более сложным.^[62]

Контактная цепь равной силы

В цепной линии равной прочности кабель усиливается в соответствии с величиной натяжения в каждой точке, поэтому его сопротивление разрыву остается постоянным по всей длине. Предполагая, что прочность кабеля пропорциональна его плотности на единицу длины, вес, ш, на единицу длины цепи можно записать Т/c, куда c постоянна, и можно применить анализ для неоднородных цепей.^[63]

В этом случае уравнения для натяжения имеют вид

${displaystyle {egin {выравнивается} Tcos varphi & = T_ {0} ,, Tsin varphi & = {frac {1} {c}} int T, ds, .end {выравнивается}}}$

Комбинирование дает

${displaystyle c an varphi = int sec varphi, ds}$

и путем дифференциации

${displaystyle c = ho cos varphi}$

куда ρ - радиус кривизны.

Решение этого -

${displaystyle y = cln left (sec left ({frac {x} {c}} ight) ight) ,.}$

В этом случае кривая имеет вертикальные асимптоты, и это ограничивает диапазон до πc. Другие отношения

${displaystyle x = cvarphi ,, quad s = ln left (left ({frac {pi + 2varphi} {4}} ight) ight) ,.}$

Кривая была изучена в 1826 г. Дэвис Гилберт и, по-видимому, независимо от Гаспар-Гюстав Кориолис в 1836 г.

Недавно было показано, что этот тип контактной сети может выступать в качестве строительного блока электромагнитная метаповерхность и был известен как «цепь равномерного фазового градиента».^[64]

Эластичная цепная цепь

В эластичный цепная цепь заменяется на весна которые могут растягиваться в ответ на напряжение. Предполагается, что пружина растягивается в соответствии с Закон Гука. В частности, если п - естественная длина секции пружины, затем длина пружины при растяжении Т применено имеет длину

${displaystyle s = left (1+ {frac {T} {E}} ight) p ,,}$

куда E константа, равная КП, куда k это жесткость весны.^[65] В цепочке значение Т переменная, но соотношение остается действительным на локальном уровне, поэтому^[66]

${displaystyle {frac {ds} {dp}} = 1+ {frac {T} {E}} ,.}$

Кривая, за которой следует упругая пружина, теперь может быть получена аналогичным методом, что и для неупругой пружины.^[67]

Уравнения для натяжения пружины:

${displaystyle Tcos varphi = T_ {0} ,,}$

и

${displaystyle Tsin varphi = lambda _ {0} gp ,,}$

откуда

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = an varphi = {frac {lambda _ {0} gp} {T_ {0}}} ,, quad T = {sqrt {T_ {0} ^ {2} + lambda _ {0} ^ {2} g ^ {2} p ^ {2}}} ,,}$

куда п - естественная длина отрезка из c к р и λ₀ масса на единицу длины пружины без напряжения и грамм - ускорение свободного падения. Написать

${displaystyle a = {frac {T_ {0}} {lambda _ {0} g}}}$

так

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = an varphi = {frac {p} {a}} quad {ext {and}} quad T = {frac {T_ {0}} {a}} {sqrt {a ^ {2} + p ^ {2}}} ,.}$

потом

${displaystyle {egin {выравнивается} {frac {dx} {ds}} & = cos varphi = {frac {T_ {0}} {T}} [6pt] {frac {dy} {ds}} & = sin varphi = {frac {lambda _ {0} gp} {T}} ,, конец {выровнен}}}$

откуда

${displaystyle {egin {align} {frac {dx} {dp}} & = {frac {T_ {0}} {T}} {frac {ds} {dp}} && = T_ {0} left ({frac { 1} {T}} + {frac {1} {E}} ight) && = {frac {a} {sqrt {a ^ {2} + p ^ {2}}}} + {frac {T_ {0} } {E}} [6pt] {frac {dy} {dp}} & = {frac {lambda _ {0} gp} {T}} {frac {ds} {dp}} && = {frac {T_ { 0} p} {a}} left ({frac {1} {T}} + {frac {1} {E}} ight) && = {frac {p} {sqrt {a ^ {2} + p ^ { 2}}}} + {frac {T_ {0} p} {Ea}} ,. end {align}}}$

Интегрирование дает параметрические уравнения

${displaystyle {egin {align} x & = aoperatorname {arsinh} left ({frac {p} {a}} ight) + {frac {T_ {0}} {E}} p + alpha ,, [6pt] y & = {sqrt {a ^ {2} + p ^ {2}}} + {frac {T_ {0}} {2Ea}} p ^ {2} + eta, .end {выровнено}}}$

Опять же, Икс и у-оси можно сдвинуть так α и β можно принять за 0. Итак

${displaystyle {egin {align} x & = aoperatorname {arsinh} left ({frac {p} {a}} ight) + {frac {T_ {0}} {E}} p ,, [6pt] y & = {sqrt {a ^ {2} + p ^ {2}}} + {frac {T_ {0}} {2Ea}} p ^ {2} конец {выровнено}}}$

являются параметрическими уравнениями для кривой. На жестком предел куда E большая, форма кривой сводится к форме неэластичной цепи.

Другие обобщения

Цепь под общей силой

Без каких-либо предположений относительно силы грамм воздействуя на цепь, можно сделать следующий анализ.^[68]

Во-первых, пусть Т = Т(s) быть силой натяжения как функцией s. Цепь гибкая, поэтому она может прилагать силу только параллельно самой себе. Поскольку натяжение определяется как сила, которую цепь прилагает к себе, Т должен быть параллелен цепи. Другими словами,

${displaystyle mathbf {T} = Tmathbf {u} ,,}$

куда Т это величина Т и ты - единичный касательный вектор.

Во-вторых, пусть грамм = грамм(s) - внешняя сила на единицу длины, действующая на небольшой отрезок цепи, как функция s. Силы, действующие на отрезок цепи между s и s + Δs сила напряжения Т(s + Δs) на одном конце сегмента почти противоположная сила −Т(s) на другом конце, а внешняя сила, действующая на сегмент, приблизительно равна граммΔs. Эти силы должны уравновешиваться так

${displaystyle mathbf {T} (s + Delta s) -mathbf {T} (s) + mathbf {G} Delta sapprox mathbf {0},.}$

Поделить на Δs и возьмем предел как Δs → 0 чтобы получить

${displaystyle {frac {dmathbf {T}} {ds}} + mathbf {G} = mathbf {0},.}$

Эти уравнения можно использовать в качестве отправной точки при анализе гибкой цепи, действующей под действием любой внешней силы. В случае стандартной контактной сети, грамм = (0, −λg) где цепь имеет массу λ на единицу длины и грамм - ускорение свободного падения.

Смотрите также

• Контактная арка
• Цепной фонтан или самосифонирующие бусины
• Верхняя контактная сеть - ЛЭП подвешены над рельсовым или трамвайным транспортом
• Рулетка (кривая) - эллиптическая / гиперболическая цепная линия
• Troposkein - форма скрученной веревки
• Взвешенная контактная сеть

Примечания

Библиография

• Локвуд, Э. (1961). «Глава 13: Трактрикс и контактная сеть». Книга кривых. Кембридж.
• Лосось, Джордж (1879). Кривые на высшей плоскости. Ходжес, Фостер и Фиггис. стр.287 –289.
• Раут, Эдвард Джон (1891). "Глава X: О струнах". Трактат по аналитической статике. University Press.
• Маурер, Эдвард Роуз (1914). «Ст. 26 Контактный кабель». Техническая механика. J. Wiley & Sons.
• Лэмб, сэр Гораций (1897). «Статья 134 Трансцендентальные кривые; контактная сеть, трактрикс». Элементарный курс исчисления бесконечно малых. University Press.
• Тодхантер, Исаак (1858). «Гибкие струны XI. Неразъемные, XII гибкие струны. Расширяемые». Трактат по аналитической статике. Макмиллан.
• Уэуэлл, Уильям (1833). "Глава V: Равновесие гибкого тела". Аналитическая статика. J. & J.J. Дейтон. п. 65.
• Вайсштейн, Эрик В. "Контактная сеть". MathWorld.

дальнейшее чтение

• Свец, Франк (1995). Учитесь у мастеров. MAA. С. 128–9. ISBN  978-0-88385-703-8.
• Вентуроли, Джузеппе (1822). "Глава XXIII: О цепной линии". Элементы теории механики. Пер. Дэниел Крессвелл. Дж. Николсон и сын.

внешняя ссылка

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Контактная сеть", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• Контактная сеть в PlanetMath.org.
• Калькулятор кривой контактной сети
• Контактная сеть в Центр геометрии
• "Catenary" в Визуальном словаре специальных плоских кривых
• Контактная сеть - цепи, арки и мыльные пленки.
• Калькулятор ошибки провисания кабеля - Рассчитывает отклонение от прямой линии цепной линии и обеспечивает вывод калькулятора и справочных материалов.
• Получены уравнения динамической и статической цетенарных кривых - Получены уравнения, определяющие форму (статический случай), а также динамику (динамический случай) столетнего юбилея. Решение обсуждаемых уравнений.
• Прямая линия, цепная связь, брахистохрона, круг и Ферма Единый подход к некоторым геодезическим.
• Ира Фриман "Общий вид цепи подвесного моста" Бюллетень АПП