Уравнение Уэвелла - Whewell equation

Важные величины в уравнении Уивелла

В Уравнение Уэвелла из плоская кривая является уравнение что связывает тангенциальный угол (φ) с длина дуги (s), где тангенциальный угол - это угол между касательной к кривой и Икс-ось, а длина дуги - это расстояние вдоль кривой от фиксированной точки. Эти величины не зависят от используемой системы координат, за исключением выбора направления движения. Иксось, так что это внутреннее уравнение кривой, или, менее точно, то внутреннее уравнение. Если кривая получается из другой путем трансляции, то их уравнения Уэвелла будут такими же.

Когда отношение является функцией, так что тангенциальный угол задается как функция длины дуги, некоторыми свойствами становится легко манипулировать. В частности, производная тангенциального угла по длине дуги равна кривизна. Таким образом, взяв производную уравнения Уивелла, получаем Уравнение Чезаро для той же кривой.

Концепция названа в честь Уильям Уэвелл, который представил его в 1849 г. в статье в Кембриджские философские труды. В его концепции используемый угол - это отклонение от направления кривой в некоторой фиксированной начальной точке, и это соглашение иногда используется и другими авторами. Это эквивалентно определению, данному здесь, путем добавления константы к углу или поворота кривой.

Характеристики

Если кривая задана параметрически через длину дуги s, тогда φ определяется

${displaystyle {frac {d {vec {r}}} {ds}} = {egin {pmatrix} {frac {dx} {ds}} {frac {dy} {ds}} end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} cos varphi sin varphi end {pmatrix}} quad {ext {Since}} quad left | {frac {d {vec {r}}} {ds}} ight | = 1,}$

что подразумевает

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = varphi.}$

Параметрические уравнения для кривой могут быть получены интегрированием:

${Displaystyle {начало {выровнено} x & = int cos varphi, ds y & = int sin varphi, dsend {выровнено}}}$

Поскольку кривизна определяется

${displaystyle kappa = {frac {dvarphi} {ds}},}$

то Уравнение Чезаро легко получается дифференцированием уравнения Уивелла.

Примеры

Изгиб	Уравнение
Линия	${displaystyle varphi = c}$
Круг	${displaystyle s = avarphi}$
Контактная сеть	${displaystyle s = a an varphi}$

Рекомендации

• Уэуэлл У. О внутреннем уравнении кривой и его применении. Кембриджские философские труды, Vol. VIII, стр. 659-671, 1849. Google Книги
• Тодхантер, Исаак. Уильям Уэвелл, доктор медицины, Отчет о его сочинениях с отрывками из его литературной и научной переписки. Vol. I. Macmillan and Co., 1876, Лондон. Раздел 56: с. 317.
• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых. Dover Publications. стр.1–5. ISBN  0-486-60288-5.
• Йетс, Р.К .: Справочник по кривым и их свойствам, Дж. У. Эдвардс (1952), «Внутренние уравнения», стр. 124-5.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Уравнение Уэвелла". MathWorld.