Плоская кривая - Plane curve

В математике плоская кривая это изгиб в самолет это может быть либо Евклидова плоскость, аффинная плоскость или проективная плоскость. Наиболее часто изучаются случаи гладких плоских кривых (в том числе кусочно гладкие плоские кривые), и алгебраические плоские кривые Кривые плоскости также включают Кривые Иордании (кривые, которые охватывают область плоскости, но не обязательно должны быть гладкими) и графики непрерывных функций.

Символическое представление

Плоскую кривую часто можно представить в виде Декартовы координаты по неявное уравнение формы ${ displaystyle f (x, y) = 0}$ для какой-то конкретной функции ж. Если это уравнение может быть решено явно для y или же Икс - то есть переписать как ${ Displaystyle у = г (х)}$ или же ${ Displaystyle х = час (у)}$ для конкретной функции грамм или же час - тогда это обеспечивает альтернативную, явную форму представления. Плоская кривая также часто может быть представлена в декартовых координатах как параметрическое уравнение формы ${ Displaystyle (х, у) = (х (т), у (т))}$ для конкретных функций ${ Displaystyle х (т)}$ и ${ displaystyle y (t).}$

Плоские кривые иногда также можно представить в качестве альтернативы. системы координат, Такие как полярные координаты которые выражают расположение каждой точки через угол и расстояние от начала координат.

Гладкая плоская кривая

Гладкая плоская кривая - это кривая в настоящий Евклидова плоскость р² и является одномерным гладкое многообразие. Это означает, что гладкая плоская кривая - это плоская кривая, которая "локально выглядит как линия "в том смысле, что около каждой точки она может быть сопоставлена с линией гладкая функция Эквивалентно гладкую плоскую кривую можно локально задать уравнением ж(Икс, y) = 0, куда ж : р² → р это гладкая функция, а частные производные ∂ж/∂Икс и ∂ж/∂y никогда не равны 0 в точке кривой.

Алгебраическая плоская кривая

An алгебраическая плоская кривая кривая в аффинный или же проективная плоскость задается одним полиномиальным уравнением ж(Икс, y) = 0 (или же F(Икс, y, z) = 0, куда F это однородный многочлен, в проективном случае.)

Алгебраические кривые широко изучаются с 18 века.

Каждая алгебраическая плоская кривая имеет степень, степень определяющего уравнения, которое равно, в случае алгебраически замкнутое поле, к количеству пересечений кривой с линией в общая позиция. Например, круг, заданный уравнением Икс² + y² = 1 имеет степень 2.

В неособый плоские алгебраические кривые степени 2 называются конические секции, и их проективное завершение все изоморфный к проективному завершению круга Икс² + y² = 1 (это проективная кривая уравнения Икс² + y² – z²= 0). Плоские кривые степени 3 называются кривые на кубической плоскости и, если они неособые, эллиптические кривые. Степени 4 называются плоские кривые четвертой степени.

Примеры

Многочисленные примеры плоских кривых показаны на Галерея кривых и перечислены на Список кривых. Здесь показаны алгебраические кривые степени 1 или 2 (алгебраическая кривая степени меньше 3 всегда содержится в плоскости):

Имя	Неявное уравнение	Параметрическое уравнение	Как функция
Прямая линия	${ displaystyle ax + by = c}$	${ Displaystyle (х, у) = (х_ {0} + альфа т, у_ {0} + бета т)}$	${ displaystyle y = mx + c}$
Круг	${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$	${ Displaystyle (х, у) = (г соз т, г грех т)}$
Парабола	${ Displaystyle у-х ^ {2} = 0}$	${ Displaystyle (х, у) = (т, т ^ {2})}$	${ Displaystyle у = х ^ {2}}$
Эллипс	${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${ Displaystyle (х, у) = (а соз т, б грех т)}$
Гипербола	${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${ Displaystyle (х, у) = (а сш т, б зп т)}$