Система координат - Coordinate system

"Координата" перенаправляется сюда. Координаты Земли см. Географическая система координат. Для использования в других целях см. Координата (значения).
Географические координаты в Википедии см. Шаблон: Coord.
В сферическая система координат обычно используется в физика. Каждой точке евклидова пространства присваиваются три числа (известные как координаты): радиальное расстояние р, полярный угол θ (тета ) и азимутальный угол φ (фи ). Символ ρ (ро ) часто используется вместо р.

В геометрия, а система координат это система, в которой используется один или несколько числа, или координаты, чтобы однозначно определить положение точки или другие геометрические элементы на многообразие такие как Евклидово пространство.[1][2] Порядок координат имеет значение, и иногда они идентифицируются по их положению в упорядоченном кортеж а иногда и буквой, например, "the Икс-координата ». Координаты принимаются действительные числа в элементарная математика, но может быть сложные числа или элементы более абстрактной системы, такой как коммутативное кольцо. Использование системы координат позволяет преобразовать геометрические задачи в задачи о числах и наоборот; это основа аналитическая геометрия.[3]

Общие системы координат

Числовая строка

Основная статья: Числовая строка

Самый простой пример системы координат - это идентификация точек на прямой с действительными числами с помощью числовая строка. В этой системе произвольная точка О (в происхождение) выбирается на заданной строке. Координата точки п определяется как расстояние со знаком от О к п, где расстояние со знаком - это расстояние, принимаемое как положительное или отрицательное, в зависимости от того, с какой стороны линии п вранье. Каждой точке дается уникальная координата, и каждое действительное число является координатой уникальной точки.[4]

Числовая строка

Декартова система координат

Основная статья: Декартова система координат
В Декартова система координат в самолете.

Прототипным примером системы координат является Декартова система координат. в самолет, два перпендикуляр линии выбираются, а координаты точки принимаются как расстояние до линий со знаком.

Прямоугольные координаты.svg

В трех измерениях три взаимно ортогональный плоскости выбираются, и три координаты точки являются расстояниями со знаком до каждой из плоскостей.[5] Это можно обобщить для создания п координаты любой точки в п-мерное евклидово пространство.

В зависимости от направления и порядка осей координат трехмерная система может быть правша или левосторонняя система. Это одна из многих систем координат.

Полярная система координат

Основная статья: Полярная система координат

Другой распространенной системой координат для плоскости является полярная система координат.[6] В качестве точки выбирается столб и луч из этой точки принимается за полярная ось. Для заданного угла θ через полюс проходит одна линия, угол которой с полярной осью равен θ (измеряется против часовой стрелки от оси до прямой). Тогда на этой линии есть уникальная точка, расстояние со знаком которой от начала координат равно р для данного номера р. Для данной пары координат (р, θ) есть одна точка, но любая точка представлена ​​множеством пар координат. Например, (р, θ), (р, θ + 2π) и (-р, θ + π) - полярные координаты одной и той же точки. Полюс представлен как (0, θ) для любого значения θ.

Цилиндрическая и сферическая системы координат

Основные статьи: Цилиндрическая система координат и Сферическая система координат
Цилиндрическая система координат

Есть два распространенных метода расширения полярной системы координат до трех измерений. в цилиндрическая система координат, а z-координата с тем же значением, что и в декартовых координатах, добавляется к р и θ полярные координаты, дающие тройную (р, θ, z).[7] Сферические координаты делают еще один шаг вперед, преобразовывая пару цилиндрических координат (р, z) в полярные координаты (ρ, φ) давая тройку (ρ, θ, φ).[8]

Однородная система координат

Основная статья: Однородные координаты

Точка на плоскости может быть представлена ​​в однородные координаты тройкой (Икс, у, z) где Икс/z и у/z - декартовы координаты точки.[9] Это вводит "дополнительную" координату, поскольку для определения точки на плоскости нужны только две, но эта система полезна тем, что представляет любую точку на плоскости. проективная плоскость без использования бесконечность. В общем, однородная система координат - это система, в которой важны только отношения координат, а не фактические значения.

Другие часто используемые системы

Вот некоторые другие общие системы координат:

Есть способы описания кривых без координат, используя внутренние уравнения которые используют инвариантные величины, такие как кривизна и длина дуги. Они включают:

Координаты геометрических объектов

Системы координат часто используются для определения положения точки, но они также могут использоваться для определения положения более сложных фигур, таких как линии, плоскости, круги или сферы. Например, Координаты Плюккера используются для определения положения линии в пространстве.[10] Когда есть необходимость, для различения типа системы координат используется тип описываемой фигуры, например термин координаты линии используется для любой системы координат, определяющей положение линии.

Может оказаться, что системы координат для двух разных наборов геометрических фигур эквивалентны с точки зрения их анализа. Примером этого являются системы однородных координат точек и прямых на проективной плоскости. Две системы в таком случае называются дуалистический. Дуалистические системы обладают тем свойством, что результаты одной системы могут быть перенесены в другую, поскольку эти результаты представляют собой лишь разные интерпретации одного и того же аналитического результата; это известно как принцип двойственность.[11]

Трансформации

Смотрите также: Активная и пассивная трансформация
Основная статья: Список общих преобразований координат

Поскольку для описания геометрических фигур часто существует множество различных возможных систем координат, важно понимать, как они связаны. Такие отношения описываются преобразования координат которые дают формулы для координат в одной системе через координаты в другой системе. Например, на плоскости, если декартовы координаты (Икс, у) и полярные координаты (р, θ) имеют одно и то же происхождение, а полярная ось - положительная Икс оси, то преобразование координат из полярных в декартовы координаты задается формулой Икс = р потому чтоθ и у = р грехθ.

С каждым биекция из пространства в себя могут быть связаны два преобразования координат:

  • таким образом, что новые координаты изображения каждой точки совпадают со старыми координатами исходной точки (формулы для сопоставления являются обратными формулам для преобразования координат)
  • таким образом, что старые координаты изображения каждой точки совпадают с новыми координатами исходной точки (формулы для сопоставления такие же, как и для преобразования координат)

Например, в 1D, если отображение является сдвигом 3 вправо, первое перемещает начало координат от 0 до 3, так что координата каждой точки становится на 3 меньше, а второе перемещает начало координат от 0 до −3, так что координата каждого пункта становится еще 3.

Координатные линии / кривые и плоскости / поверхности

«Координатная линия» перенаправляется сюда. Не следует путать с Координаты линии.
«Координатная плоскость» перенаправляется сюда. Не следует путать с Координаты плоскости.

В двух измерениях, если одна из координат в системе координат точки остается постоянной, а другая координата может изменяться, то результирующая кривая называется координатная кривая. В декартовой системе координат координатные кривые фактически представляют собой прямые линии, таким образом координатные линии. В частности, это линии, параллельные одной из осей координат. Для других систем координат кривые координат могут быть кривыми общего вида. Например, координатные кривые в полярных координатах, полученные удерживанием р постоянными являются окружности с центром в начале координат. Система координат, для которой некоторые координатные кривые не являются линиями, называется криволинейная система координат.[12] Эта процедура не всегда имеет смысл, например, нет координатных кривых в однородная система координат.

Координатные поверхности трехмерных параболоидальных координат.

В трехмерном пространстве, если одна координата остается постоянной, а две другие могут изменяться, то полученная поверхность называется координатная поверхность. Например, координатные поверхности, полученные при постоянстве ρ в сферическая система координат - сферы с центром в начале координат. В трехмерном пространстве пересечение двух координатных поверхностей представляет собой координатную кривую. В декартовой системе координат мы можем говорить о координатные плоскости.

Так же, координатные гиперповерхности являются (п − 1)-мерные пространства, полученные в результате фиксации единственной координаты п-мерная система координат.[13]

Координатные карты

Основная статья: Координатная карта
Дальнейшая информация: Многообразие

Концепция карта координат, или карта координат занимает центральное место в теории многообразий. Координатная карта - это, по сути, система координат для подмножества данного пространства, обладающая тем свойством, что каждая точка имеет ровно один набор координат. Точнее, координатная карта - это гомеоморфизм из открытого подмножества пространства Икс к открытому подмножеству рп.[14] Часто невозможно обеспечить единую согласованную систему координат для всего пространства. В этом случае набор координатных карт собирается вместе, чтобы сформировать атлас покрывая пространство. Пространство, оборудованное таким атласом, называется многообразие и дополнительная структура может быть определена на многообразии, если структура согласована, где карты координат перекрываются. Например, дифференцируемое многообразие является многообразием, в котором изменение координат от одной координатной карты к другой всегда является дифференцируемой функцией.

Координаты на основе ориентации

В геометрия и кинематика, системы координат используются для описания (линейного) положения точек и угловое положение топоров, плоскостей и твердые тела.[15] В последнем случае ориентация второй (обычно называемой «локальной») системы координат, привязанной к узлу, определяется на основе первой (обычно называемой «глобальной» или «мировой» системой координат). Например, ориентация твердого тела может быть представлена ​​ориентацией матрица, который включает в свои три столбца Декартовы координаты из трех точек. Эти точки используются для определения ориентации осей локальной системы; они подсказки трех единичные векторы выровнен с этими осями.

Смотрите также

Релятивистские системы координат

использованная литература

Цитаты

  1. ^ Вудс р. 1
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Система координат". MathWorld.
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Координаты". MathWorld.
  4. ^ Стюарт, Джеймс Б.; Редлин, Лотар; Уотсон, Салим (2008). Колледж алгебры (5-е изд.). Брукс Коул. С. 13–19. ISBN  978-0-495-56521-5.
  5. ^ Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Прямоугольные координаты (x, y, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е, 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 9–11 (Таблица 1.01). ISBN  978-0-387-18430-2.
  6. ^ Финни, Росс; Джордж Томас; Франклин Демана; Берт Уэйтс (июнь 1994 г.). Исчисление: графическое, числовое, алгебраическое (Версия с одной переменной). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN  0-201-55478-X.
  7. ^ Маргенау, Генри; Мерфи, Джордж М. (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. п.178. ISBN  978-0-88275-423-9. LCCN  55010911. OCLC  3017486.
  8. ^ Морс ПМ, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 658. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
  9. ^ Джонс, Альфред Клемент (1912). Введение в алгебраическую геометрию. Кларендон.
  10. ^ Ходж, W.V.D.; Д. Педо (1994) [1947]. Методы алгебраической геометрии, Том I (Книга II). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-46900-5.
  11. ^ Вудс р. 2
  12. ^ Тан, К. Т. (2006). Математические методы для инженеров и ученых. 2. Springer. п. 13. ISBN  3-540-30268-9.
  13. ^ Лисейкин, Владимир Д. (2007). Вычислительный подход дифференциальной геометрии к построению сетки. Springer. п. 38. ISBN  978-3-540-34235-9.
  14. ^ Мункрес, Джеймс Р. (2000) Топология. Прентис Холл. ISBN  0-13-181629-2.
  15. ^ Ханспетер Шауб; Джон Л. Джанкинс (2003). «Кинематика жесткого тела». Аналитическая механика космических систем. Американский институт аэронавтики и астронавтики. п. 71. ISBN  1-56347-563-4.

Источники

внешние ссылки