Ортогональные координаты - Orthogonal coordinates

В математика, ортогональные координаты определяются как набор d координаты q = (q¹, q², ..., q^d) в которой координатные поверхности все встречаются под прямым углом (примечание: верхние индексы индексы, а не экспоненты). Координатная поверхность для конкретной координаты q^k кривая, поверхность или гиперповерхность, на которой q^k является константой. Например, трехмерный Декартовы координаты (Икс, у, z) - ортогональная система координат, поскольку ее координатные поверхности Икс = константа, у = константа, и z = constant - плоскости, которые пересекаются под прямым углом друг к другу, т. е. перпендикулярны. Ортогональные координаты - частный, но чрезвычайно частый случай криволинейные координаты.

Мотивация

А конформная карта действует на прямоугольную сетку. Обратите внимание, что ортогональность изогнутой сетки сохраняется.

В то время как векторные операции и физические законы обычно проще всего получить в Декартовы координаты, вместо них часто используются недекартовы ортогональные координаты для решения различных задач, особенно краевые задачи, например, возникающие в полевых теориях квантовая механика, поток жидкости, электродинамика, плазма физика и распространение из химические вещества или же высокая температура.

Главное преимущество не декартовых координат состоит в том, что они могут быть выбраны в соответствии с симметрией задачи. Например, волна давления из-за взрыва вдали от земли (или других препятствий) зависит от трехмерного пространства в декартовых координатах, однако давление преимущественно перемещается от центра, так что в сферические координаты проблема становится почти одномерной (поскольку волна давления в основном зависит только от времени и расстояния от центра). Другой пример - (медленная) жидкость в прямой круглой трубе: в декартовых координатах нужно решить (сложную) двумерную краевую задачу, включающую уравнение в частных производных, но в цилиндрические координаты задача становится одномерной с обыкновенное дифференциальное уравнение вместо уравнение в частных производных.

Причина предпочтения ортогональных координат вместо общих криволинейные координаты простота: многие сложности возникают, когда координаты не ортогональны. Например, в ортогональных координатах многие задачи могут быть решены с помощью разделение переменных. Разделение переменных - это математический метод, который преобразует сложный d-мерная проблема в d одномерные задачи, которые можно решить в терминах известных функций. Многие уравнения сводятся к Уравнение Лапласа или Уравнение Гельмгольца. Уравнение Лапласа разделима в 13 ортогональных системах координат (14 перечисленных в таблице ниже за исключением тороидальный ), а Уравнение Гельмгольца разделима в 11 ортогональных системах координат.^[1]^[2]

Ортогональные координаты никогда не содержат недиагональных членов. метрический тензор. Другими словами, бесконечно малый квадрат расстояния ds² всегда можно записать как масштабированную сумму квадратов бесконечно малых смещений координат

{displaystyle ds ^ {2} = sum _ {k = 1} ^ {d} left (h_ {k}, dq ^ {k} ight) ^ {2}}

куда d это функция измерения и масштабирования (или коэффициенты масштабирования)

{displaystyle h_ {k} (mathbf {q}) {stackrel {mathrm {def}} {=}} {sqrt {g_ {kk} (mathbf {q})}} = | mathbf {e} _ {k} | }

равны квадратным корням из диагональных компонент метрического тензора или длинам локальных базисных векторов ${displaystyle mathbf {e} _ {k}}$ описано ниже. Эти функции масштабирования час_я используются для вычисления дифференциальных операторов в новых координатах, например, градиент, то Лапласиан, то расхождение и завиток.

Простой метод создания ортогональных систем координат в двух измерениях - это конформное отображение стандартной двумерной сетки Декартовы координаты (Икс, у). А комплексное число z = Икс + иу можно составить из реальных координат Икс и у, куда я представляет мнимая единица. Любой голоморфная функция ш = ж(z) с ненулевой комплексной производной даст конформное отображение; если полученное комплексное число записано ш = ты + iv, то кривые постоянного ты и v пересекаются под прямым углом, так же как исходные линии постоянного Икс и у сделал.

Ортогональные координаты в трех и более высоких измерениях могут быть сгенерированы из ортогональной двухмерной системы координат, либо путем проецирования ее в новое измерение (цилиндрические координаты) или вращением двумерной системы вокруг одной из осей симметрии. Однако существуют и другие ортогональные системы координат в трех измерениях, которые нельзя получить путем проецирования или вращения двумерной системы, например эллипсоидальные координаты. Более общие ортогональные координаты могут быть получены, если начать с некоторых необходимых координатных поверхностей и рассмотреть их ортогональные траектории.

Базисные векторы

Ковариантный базис

В Декартовы координаты, то базисные векторы фиксированы (постоянны). В более общем контексте криволинейные координаты, точка в пространстве задается координатами, и в каждой такой точке связан набор базисных векторов, которые, как правило, не являются постоянными: в этом суть криволинейных координат в целом и очень важное понятие. Что отличает ортогональные координаты, так это то, что, хотя базисные векторы меняются, они всегда ортогональный по отношению друг к другу. Другими словами,

{displaystyle mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {j} = 0quad {ext {if}} quad ieq j}

Эти базисные векторы по определению являются касательные векторы кривых, полученных изменением одной координаты, оставив остальные неизменными:

Визуализация двумерных ортогональных координат. Показаны кривые, полученные при сохранении всех постоянных координат, кроме одной, вместе с базисными векторами. Обратите внимание, что базисные векторы не имеют одинаковой длины: они не должны быть одинаковыми, они должны быть только ортогональными.

{displaystyle mathbf {e} _ {i} = {frac {partial mathbf {r}} {partial q ^ {i}}}}

куда р это какая-то точка и q^я - координата, для которой извлекается базисный вектор. Другими словами, кривая получается фиксацией всех координат, кроме одной; незакрепленная координата изменяется как в параметрическая кривая, а производная кривой по параметру (изменяющейся координате) является базисным вектором для этой координаты.

Обратите внимание, что векторы не обязательно имеют одинаковую длину. Полезные функции, известные как масштабные коэффициенты координат, - это просто длины ${displaystyle h_ {i}}$ базисных векторов ${displaystyle {hat {mathbf {e}}} _ {i}}$ (см. таблицу ниже). Масштабные коэффициенты иногда называют коэффициентами Ламе, но этой терминологии лучше избегать, так как некоторые более известные коэффициенты в линейная эластичность носят то же имя.

В нормализованный базисные векторы отмечены шляпкой и получаются делением на длину:

{displaystyle {hat {mathbf {e}}} _ {i} = {frac {{mathbf {e}} _ {i}} {h_ {i}}} = {frac {{mathbf {e}} _ {i }} {left | {mathbf {e}} _ {i} ight |}}}

А векторное поле могут быть определены его компонентами относительно базисных векторов или нормализованных базисных векторов, и нужно быть уверенным, какой случай имеется в виду. Компоненты в нормализованном базисе наиболее часто используются в приложениях для наглядности величин (например, можно иметь дело с тангенциальной скоростью, а не с тангенциальной скоростью, умноженной на масштабный коэффициент); в выводах нормализованный базис встречается реже, поскольку он более сложен.

Контравариантная основа

Базисные векторы, показанные выше, являются ковариантный базисные векторы (потому что они "изменяются" вместе с векторами). В случае ортогональных координат контравариантные базисные векторы легко найти, поскольку они будут иметь то же направление, что и ковариантные векторы, но обратная длина (по этой причине два набора базисных векторов называются взаимными по отношению друг к другу):

{displaystyle mathbf {e} ^ {i} = {frac {{hat {mathbf {e}}} _ {i}} {h_ {i}}} = {frac {mathbf {e} _ {i}} {h_ {i} ^ {2}}}}

это следует из того, что по определению ${displaystyle mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} ^ {j} = delta _ {i} ^ {j}}$ , с использованием Дельта Кронекера. Обратите внимание, что:

{displaystyle {hat {mathbf {e}}} _ {i} = {frac {mathbf {e} _ {i}} {h_ {i}}} = h_ {i} mathbf {e} ^ {i} = { шляпа {mathbf {e}}} ^ {i}}

Теперь мы сталкиваемся с тремя различными базисными наборами, обычно используемыми для описания векторов в ортогональных координатах: ковариантный базис е_я, контравариантный базис е^я, а нормализованный базис ê^я. Хотя вектор - это объективная величина, то есть его идентичность не зависит от какой-либо системы координат, компоненты вектора зависят от того, в каком базисе представлен вектор.

Во избежание путаницы компоненты вектора Икс с уважением к е_я основы представлены как Икс^я, а компоненты относительно е^я основы представлены как Икс_я:

{displaystyle mathbf {x} = sum _ {i} x ^ {i} mathbf {e} _ {i} = sum _ {i} x_ {i} mathbf {e} ^ {i}}

Положение индексов показывает, как рассчитываются компоненты (верхние индексы не следует путать с возведение в степень ). Обратите внимание, что суммирование символы Σ (заглавная Сигма ) и диапазон суммирования, указывающий на суммирование по всем базисным векторам (я = 1, 2, ..., d), часто опущено. Компоненты связаны просто:

{displaystyle h_ {i} ^ {2} x ^ {i} = x_ {i}}

Не существует каких-либо отличительных широко распространенных обозначений, используемых для компонентов вектора по отношению к нормализованному базису; в этой статье мы будем использовать индексы для компонентов вектора и заметим, что компоненты вычисляются в нормализованном базисе.

Векторная алгебра

Сложение и отрицание векторов выполняются покомпонентно, как и в декартовых координатах, без каких-либо сложностей. Дополнительные соображения могут потребоваться для других векторных операций.

Однако обратите внимание, что все эти операции предполагают, что два вектора в векторное поле привязаны к одной и той же точке (другими словами, хвосты векторов совпадают). Поскольку базисные векторы обычно различаются по ортогональным координатам, при добавлении двух векторов, компоненты которых вычисляются в разных точках пространства, различные базисные векторы требуют рассмотрения.

Скалярное произведение

В скалярное произведение в Декартовы координаты (Евклидово пространство с ортонормированный базисный набор) - это просто сумма произведений компонентов. В ортогональных координатах скалярное произведение двух векторов Икс и у принимает эту знакомую форму, когда компоненты векторов вычисляются в нормализованном базисе:

{displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {y} = sum _ {i} x_ {i} {hat {mathbf {e}}} _ {i} cdot sum _ {j} y_ {j} {hat {mathbf {e }}} _ {j} = сумма _ {i} x_ {i} y_ {i}}

Это непосредственное следствие того факта, что нормализованный базис в какой-то момент может образовывать декартову систему координат: базисный набор ортонормированный.

Для компонентов в ковариантном или контравариантном базисе

{displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {y} = sum _ {i} h_ {i} ^ {2} x ^ {i} y ^ {i} = sum _ {i} {frac {x_ {i} y_ { i}} {h_ {i} ^ {2}}} = сумма _ {i} x ^ {i} y_ {i} = sum _ {i} x_ {i} y ^ {i}}

Это можно легко получить, выписав векторы в компонентной форме, нормализовав базисные векторы и взяв скалярное произведение. Например, в 2D:

{displaystyle {egin {align} mathbf {x} cdot mathbf {y} & = left (x ^ {1} mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} mathbf {e} _ {2} ight) cdot left (y_ {1} mathbf {e} ^ {1} + y_ {2} mathbf {e} ^ {2} ight) [10pt] & = left (x ^ {1} h_ {1} {hat {mathbf {e}}} _ {1} + x ^ {2} h_ {2} {hat {mathbf {e}}} _ {2} ight) cdot left (y_ {1} {frac {{hat {mathbf {e }}} ^ {1}} {h_ {1}}} + y_ {2} {frac {{hat {mathbf {e}}} ^ {2}} {h_ {2}}} ight) = x ^ { 1} y_ {1} + x ^ {2} y_ {2} конец {выровнено}}}

где использован тот факт, что нормированный ковариантный и контравариантный базисы равны.

Перекрестный продукт

В перекрестное произведение в декартовых координатах 3D это:

{displaystyle mathbf {x} imes mathbf {y} = (x_ {2} y_ {3} -x_ {3} y_ {2}) {hat {mathbf {e}}} _ {1} + (x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3}) {hat {mathbf {e}}} _ {2} + (x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1}) {hat { mathbf {e}}} _ {3}}

Приведенная выше формула остается действительной в ортогональных координатах, если компоненты вычисляются в нормализованном базисе.

Чтобы построить векторное произведение в ортогональных координатах с ковариантным или контравариантным базисом, мы снова должны просто нормализовать базисные векторы, например:

{displaystyle mathbf {x} imes mathbf {y} = sum _ {i} x ^ {i} mathbf {e} _ {i} imes sum _ {j} y ^ {j} mathbf {e} _ {j} = sum _ {i} x ^ {i} h_ {i} {hat {mathbf {e}}} _ {i} imes sum _ {j} y ^ {j} h_ {j} {hat {mathbf {e}} } _ {j}}

которые, написанные развернутыми,

{displaystyle mathbf {x} imes mathbf {y} = (x ^ {2} y ^ {3} -x ^ {3} y ^ {2}) {frac {h_ {2} h_ {3}} {h_ { 1}}} mathbf {e} _ {1} + (x ^ {3} y ^ {1} -x ^ {1} y ^ {3}) {frac {h_ {1} h_ {3}} {h_ {2}}} mathbf {e} _ {2} + (x ^ {1} y ^ {2} -x ^ {2} y ^ {1}) {frac {h_ {1} h_ {2}} { h_ {3}}} mathbf {e} _ {3}}

Краткое обозначение для векторного произведения, которое упрощает обобщение для неортогональных координат и более высоких измерений, возможно с Тензор Леви-Чивиты, который будет иметь компоненты, отличные от нулей и единиц, если не все коэффициенты масштабирования равны единице.

Векторное исчисление

Дифференциация

Глядя на бесконечно малое смещение с некоторой точки, становится очевидно, что

{displaystyle dmathbf {r} = sum _ {i} {frac {partial mathbf {r}} {partial q ^ {i}}}, dq ^ {i} = sum _ {i} mathbf {e} _ {i} , dq ^ {i}}

К определение, градиент функции должен удовлетворять (это определение остается верным, если ƒ есть ли тензор )

{displaystyle df = abla fcdot dmathbf {r} quad Rightarrow quad df = abla fcdot sum _ {i} mathbf {e} _ {i}, dq ^ {i}}

Отсюда следует, что оператор дель должно быть:

{displaystyle abla = sum _ {i} mathbf {e} ^ {i} {frac {partial} {partial q ^ {i}}}}

и это остается верным в общих криволинейных координатах. Такие количества, как градиент и Лапласиан следите за правильным применением этого оператора.

Базисные векторные формулы

С др и нормализованные базисные векторы ê_я, можно построить следующее.^[3]^[4]

Дифференциальный элемент	Векторы	Скаляры
Элемент линии	Касательный вектор к координатной кривой q^я: ${displaystyle d {oldsymbol {ell}} = h_ {i} dq ^ {i} {hat {mathbf {e}}} _ {i} = {frac {partial mathbf {r}} {partial q ^ {i}} } dq ^ {i}}$	Бесконечно малый длина ${displaystyle dell = {sqrt {dmathbf {r} cdot dmathbf {r}}} = {sqrt {(h_ {1}, dq ^ {1}) ^ {2} + (h_ {2}, dq ^ {2}) ) ^ {2} + (h_ {3}, dq ^ {3}) ^ {2}}}}$
Элемент поверхности	Нормальный координировать поверхность q^k = константа: ${displaystyle {egin {align} dmathbf {S} & = (h_ {i} dq ^ {i} {hat {mathbf {e}}} _ {i}) imes (h_ {j} dq ^ {j} {hat {mathbf {e}}} _ {j}) & = dq ^ {i} dq ^ {j} left ({frac {partial mathbf {r}} {partial q ^ {i}}} imes {frac {partial mathbf {r}} {частичный q ^ {j}}} ight) & = h_ {i} h_ {j} dq ^ {i} dq ^ {j} {hat {mathbf {e}}} _ {k} конец {выровнен}}}$	Бесконечно малый поверхность ${displaystyle dS_ {k} = h_ {i} h_ {j}, dq ^ {i}, dq ^ {j}}$
Элемент объема	Нет данных	Бесконечно малый объем ${displaystyle {egin {align} dV & = \| (h_ {1}, dq ^ {1} {hat {mathbf {e}}} _ {1}) cdot (h_ {2}, dq ^ {2} {hat { mathbf {e}}} _ {2}) imes (h_ {3}, dq ^ {3} {hat {mathbf {e}}} _ {3}) \| & = \| {hat {mathbf {e}} } _ {1} cdot {hat {mathbf {e}}} _ {2} imes {hat {mathbf {e}}} _ {3} \| h_ {1} h_ {2} h_ {3}, dq ^ { 1}, dq ^ {2}, dq ^ {3} & = h_ {1} h_ {2} h_ {3}, dq ^ {1}, dq ^ {2}, dq ^ {3} & = J, dq ^ {1}, dq ^ {2}, dq ^ {3} конец {выровнено}}}$

куда

{displaystyle J = left | {frac {partial mathbf {r}} {partial q ^ {1}}} cdot left ({frac {partial mathbf {r}} {partial q ^ {2}}} imes {frac {partial mathbf {r}} {partial q ^ {3}}} ight) ight | = left | {frac {partial (x, y, z)} {partial (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})}} ight | = h_ {1} h_ {2} h_ {3}}

это Определитель якобиана, имеющую геометрическую интерпретацию деформации объема от бесконечно малого куба dИксdуdz к бесконечно малому искривленному объему в ортогональных координатах.

Интеграция

Используя показанный выше элемент линии, линейный интеграл по пути ${displaystyle scriptstyle {mathcal {P}}}$ вектора F является:

{displaystyle int _ {mathcal {P}} mathbf {F} cdot dmathbf {r} = int _ {mathcal {P}} sum _ {i} F_ {i} mathbf {e} ^ {i} cdot sum _ {j } mathbf {e} _ {j}, dq ^ {j} = sum _ {i} int _ {mathcal {P}} F_ {i}, dq ^ {i}}

Бесконечно малый элемент площади для поверхности, описываемой одной координатой q_k константа:

{displaystyle dA_ {k} = prod _ {ieq k} ds_ {i} = prod _ {ieq k} h_ {i}, dq ^ {i}}

Точно так же элемент объема:

{displaystyle dV = prod _ {i} ds_ {i} = prod _ {i} h_ {i}, dq ^ {i}}

где большой символ Π (заглавная число Пи ) указывает на товар так же, как большой Σ указывает на суммирование. Обратите внимание, что произведение всех масштабных коэффициентов - это Определитель якобиана.

Например, поверхностный интеграл векторной функции F через q¹ = постоянный поверхность ${displaystyle scriptstyle {mathcal {S}}}$ в 3D это:

{displaystyle int _ {mathcal {S}} mathbf {F} cdot dmathbf {A} = int _ {mathcal {S}} mathbf {F} cdot {hat {mathbf {n}}} dA = int _ {mathcal {S }} mathbf {F} cdot {hat {mathbf {e}}} _ {1} dA = int _ {mathcal {S}} F ^ {1} {frac {h_ {2} h_ {3}} {h_ { 1}}}, dq ^ {2}, dq ^ {3}}

Обратите внимание, что F¹/час₁ компонент F нормально к поверхности.

Дифференциальные операторы в трех измерениях

Поскольку эти операции являются общими в приложении, все компоненты вектора в этом разделе представлены относительно нормализованного базиса: ${displaystyle F_ {i} = mathbf {F} cdot {hat {mathbf {e}}} _ {i}}$ .

Оператор	Выражение
Градиент из скалярное поле	${displaystyle abla phi = {frac {{hat {mathbf {e}}} _ {1}} {h_ {1}}} {frac {partial phi} {partial q ^ {1}}} + {frac {{hat {mathbf {e}}} _ {2}} {h_ {2}}} {frac {partial phi} {partial q ^ {2}}} + {frac {{hat {mathbf {e}}} _ {3 }} {h_ {3}}} {frac {частичный фи} {частичный q ^ {3}}}}$
Расхождение из векторное поле	${displaystyle abla cdot mathbf {F} = {frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} left [{frac {partial} {partial q ^ {1}}} left (F_ {1}}} left (F_ {1 } h_ {2} h_ {3} ight) + {frac {partial} {partial q ^ {2}}} left (F_ {2} h_ {3} h_ {1} ight) + {frac {partial} {partial q ^ {3}}} влево (F_ {3} h_ {1} h_ {2} ight) ight]}$
Завиток векторного поля	${displaystyle {egin {align} abla imes mathbf {F} & = {frac {{hat {mathbf {e}}} _ {1}} {h_ {2} h_ {3}}} left [{frac {partial}] {partial q ^ {2}}} left (h_ {3} F_ {3} ight) - {frac {partial} {partial q ^ {3}}} left (h_ {2} F_ {2} ight) ight] + {frac {{hat {mathbf {e}}} _ {2}} {h_ {3} h_ {1}}} влево [{frac {partial} {partial q ^ {3}}} влево (h_ {1 } F_ {1} ight) - {frac {partial} {partial q ^ {1}}} left (h_ {3} F_ {3} ight) ight] [10pt] & + {frac {{hat {mathbf { e}}} _ {3}} {h_ {1} h_ {2}}} left [{frac {partial} {partial q ^ {1}}} left (h_ {2} F_ {2} ight) - { frac {partial} {partial q ^ {2}}} left (h_ {1} F_ {1} ight) ight] = {frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} {egin {vmatrix} h_ {1} {hat {mathbf {e}}} _ {1} & h_ {2} {hat {mathbf {e}}} _ {2} & h_ {3} {hat {mathbf {e}}} _ {3} {dfrac {partial} {partial q ^ {1}}} & {dfrac {partial} {partial q ^ {2}}} & {dfrac {partial} {partial q ^ {3}}} h_ {1} F_ {1} & h_ {2} F_ {2} & h_ {3} F_ {3} конец {vmatrix}} конец {выровнено}}}$
Лапласиан скалярного поля	${displaystyle abla ^ {2} phi = {frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} left [{frac {partial} {partial q ^ {1}}} left ({frac { h_ {2} h_ {3}} {h_ {1}}} {frac {partial phi} {partial q ^ {1}}} ight) + {frac {partial} {partial q ^ {2}}} left ( {frac {h_ {3} h_ {1}} {h_ {2}}} {frac {partial phi} {partial q ^ {2}}} ight) + {frac {partial} {partial q ^ {3}} } left ({frac {h_ {1} h_ {2}} {h_ {3}}} {frac {partial phi} {partial q ^ {3}}} ight) ight]}$

Вышеупомянутые выражения можно записать в более компактной форме, используя Символ Леви-Чивита ${displaystyle epsilon _ {ijk}}$ и якобиан ${displaystyle J = h_ {1} h_ {2} h_ {3}}$ , предполагая суммирование по повторяющимся индексам:

Оператор	Выражение
Градиент из скалярное поле	${displaystyle abla phi = {frac {{hat {mathbf {e}}} _ {k}} {h_ {k}}} {frac {partial phi} {partial q ^ {k}}}}$
Расхождение из векторное поле	${displaystyle abla cdot mathbf {F} = {frac {1} {J}} {frac {partial} {partial q ^ {k}}} left ({frac {J} {h_ {k}}} F_ {k} ight)}$
Завиток векторного поля (только 3D)	${displaystyle abla imes mathbf {F} = {frac {h_ {k} {hat {mathbf {e}}} _ {k}} {J}} epsilon _ {ijk} {frac {partial} {partial q ^ {i }}} влево (h_ {j} F_ {j} ight)}$
Лапласиан скалярного поля	${displaystyle abla ^ {2} phi = {frac {1} {J}} {frac {partial} {partial q ^ {k}}} left ({frac {J} {h_ {k} ^ {2}}}) {frac {partial phi} {partial q ^ {k}}} ight)}$

Таблица ортогональных координат

Помимо обычных декартовых координат, несколько других приведены в таблице ниже.^[5] Обозначение интервалов используется для компактности в столбце координат.

Криволинейные координаты (q₁, q₂, q₃)	Преобразование из декартовой (Икс, у, z)	Коэффициенты масштабирования
Сферические полярные координаты ${displaystyle (r, heta, phi) в [0, infty) imes [0, pi] imes [0,2pi)}$	${displaystyle {egin {выравнивается} x & = rsin heta cos phi y & = rsin heta sin phi z & = rcos heta end {выравнивается}}}$	${displaystyle {начало {выровнено} h_ {1} & = 1 h_ {2} & = r h_ {3} & = rsin heta end {выравнивается}}}$
Цилиндрические полярные координаты ${displaystyle (r, phi, z) in [0, infty) imes [0,2pi) imes (-infty, infty)}$	${displaystyle {egin {выравнивается} x & = rcos phi y & = rsin phi z & = zend {выравнивается}}}$	${Displaystyle {начало {выровнено} h_ {1} & = h_ {3} = 1 h_ {2} & = rend {выровнено}}}$
Параболические цилиндрические координаты ${displaystyle (u, v, z) in (-infty, infty) imes [0, infty) imes (-infty, infty)}$	${displaystyle {egin {align} x & = {frac {1} {2}} (u ^ {2} -v ^ {2}) y & = uv z & = zend {align}}}$	${Displaystyle {начало {выровнено} h_ {1} & = h_ {2} = {sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}} h_ {3} & = 1end {выровнено}}}$
Параболические координаты ${displaystyle (u, v, phi) в [0, infty) imes [0, infty) imes [0,2pi)}$	${displaystyle {egin {выровнено} x & = uvcos phi y & = uvsin phi z & = {frac {1} {2}} (u ^ {2} -v ^ {2}) конец {выровнено}}}$	${displaystyle {egin {выравнивается} h_ {1} & = h_ {2} = {sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}} h_ {3} & = uvend {выравнивается}}}$
Параболоидальные координаты ${displaystyle {egin {выровнено} & (лямбда, мю, и) & лямбда$	${displaystyle {frac {x ^ {2}} {q_ {i} -a ^ {2}}} + {frac {y ^ {2}} {q_ {i} -b ^ {2}}} = 2z + q_ {i}}$ куда ${displaystyle (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3}) = (лямбда, мю, u)}$	${displaystyle h_ {i} = {frac {1} {2}} {sqrt {frac {(q_ {j} -q_ {i}) (q_ {k} -q_ {i})} {(a ^ {2 } -q_ {i}) (b ^ {2} -q_ {i})}}}}$
Эллипсоидальные координаты ${displaystyle {egin {выровнено} & (лямбда, мю, и) & лямбда$	${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2} -q_ {i}}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2} -q_ {i}}} + {frac {z ^ {2}} {c ^ {2} -q_ {i}}} = 1}$ куда ${displaystyle (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3}) = (лямбда, мю, u)}$	${displaystyle h_ {i} = {frac {1} {2}} {sqrt {frac {(q_ {j} -q_ {i}) (q_ {k} -q_ {i})} {(a ^ {2 } -q_ {i}) (b ^ {2} -q_ {i}) (c ^ {2} -q_ {i})}}}}$
Эллиптические цилиндрические координаты ${displaystyle (u, v, z) in [0, infty) imes [0,2pi) imes (-infty, infty)}$	${displaystyle {egin {выравнивается} x & = acosh ucos v y & = asinh usin v z & = zend {выравнивается}}}$	${displaystyle {egin {выравнивается} h_ {1} & = h_ {2} = a {sqrt {sinh ^ {2} u + sin ^ {2} v}} h_ {3} & = 1end {выравнивается}}}$
Вытянутые сфероидальные координаты ${displaystyle (xi, eta, phi) в [0, infty) imes [0, pi] imes [0,2pi)}$	${displaystyle {egin {выровнено} x & = asinh xi sin eta cos phi y & = asinh xi sin eta sin phi z & = acosh xi cos eta конец {выровнено}}}$	${displaystyle {egin {align} h_ {1} & = h_ {2} = a {sqrt {sinh ^ {2} xi + sin ^ {2} eta}} h_ {3} & = asinh xi sin eta end { выровнено}}}$
Сплюснутые сфероидальные координаты ${displaystyle (xi, eta, phi) в [0, infty) время осталось [- {frac {pi} {2}}, {frac {pi} {2}} ight] imes [0,2pi)}$	${displaystyle {egin {выровнено} x & = acosh xi cos eta cos phi y & = acosh xi cos eta sin phi z & = asinh xi sin eta end {выровнено}}}$	${displaystyle {egin {align} h_ {1} & = h_ {2} = a {sqrt {sinh ^ {2} xi + sin ^ {2} eta}} h_ {3} & = acosh xi cos eta end { выровнено}}}$
Биполярные цилиндрические координаты ${displaystyle (u, v, z) in [0,2pi) imes (-infty, infty) imes (-infty, infty)}$	${displaystyle {egin {align} x & = {frac {asinh v} {cosh v-cos u}} y & = {frac {asin u} {cosh v-cos u}} z & = zend {align}}}$	${displaystyle {egin {align} h_ {1} & = h_ {2} = {frac {a} {cosh v-cos u}} h_ {3} & = 1end {align}}}$
Тороидальные координаты ${displaystyle (u, v, phi) in (-pi, pi] imes [0, infty) imes [0,2pi)}$	${displaystyle {egin {выравнивается} x & = {frac {asinh vcos phi} {cosh v-cos u}} y & = {frac {asinh vsin phi} {cosh v-cos u}} z & = {frac {asin u} } {cosh v-cos u}} конец {выровнено}}}$	${displaystyle {egin {align} h_ {1} & = h_ {2} = {frac {a} {cosh v-cos u}} h_ {3} & = {frac {asinh v} {cosh v-cos u }} конец {выровнен}}}$
Бисферические координаты ${displaystyle (u, v, phi) in (-pi, pi] imes [0, infty) imes [0,2pi)}$	${displaystyle {egin {выровнен} x & = {frac {asin ucos phi} {cosh v-cos u}} y & = {frac {asin usin phi} {cosh v-cos u}} z & = {frac {asinh v } {cosh v-cos u}} конец {выровнено}}}$	${displaystyle {egin {выравнивается} h_ {1} & = h_ {2} = {frac {a} {cosh v-cos u}} h_ {3} & = {frac {asin u} {cosh v-cos u }} конец {выровнен}}}$
Конические координаты ${displaystyle {egin {выравнивается} & (lambda, mu, u) & u ^ {2}$	${displaystyle {egin {align} x & = {frac {lambda mu u} {ab}} y & = {frac {lambda} {a}} {sqrt {frac {(mu ^ {2} -a ^ {2}) (u ^ {2} -a ^ {2})} {a ^ {2} -b ^ {2}}}} z & = {frac {lambda} {b}} {sqrt {frac {(mu ^ { 2} -b ^ {2}) (u ^ {2} -b ^ {2})} {b ^ {2} -a ^ {2}}}} конец {выровнено}}}$	${displaystyle {egin {align} h_ {1} & = 1 h_ {2} ^ {2} & = {frac {lambda ^ {2} (mu ^ {2} -u ^ {2})} {(mu ^ {2} -a ^ {2}) (b ^ {2} -mu ^ {2})}} h_ {3} ^ {2} & = {frac {lambda ^ {2} (mu ^ {2 } -u ^ {2})} {(u ^ {2} -a ^ {2}) (u ^ {2} -b ^ {2})}} конец {выровнено}}}$

Смотрите также

Примечания

^ Эрик В. Вайсштейн. «Ортогональная система координат». MathWorld. Получено 10 июля 2008.
^ Морс и Фешбах 1953, Том 1. С. 494-523, 655-666.
^ Математический справочник формул и таблиц (3-е издание), С. Липшуц, М.Р. Шпигель, Дж. Лю, Серия набросков Шуама, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
^ Векторный анализ (2-е издание), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
^ Векторный анализ (2-е издание), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7