Уравнение Гельмгольца - Википедия - Helmholtz equation

Два источника излучения на плоскости, математически заданные функцией ƒ, который равен нулю в синей области

В реальная часть результирующего поля

А

,

А

является решением неоднородного уравнения Гельмгольца

(\nabla 2 - k 2) А = - ж .

В математике собственное значение проблема для Оператор Лапласа известен как Гельмгольца уравнение. Это соответствует линейному уравнение в частных производных:

{ displaystyle nabla ^ {2} f = -k ^ {2} f}

куда $\nabla 2$ - оператор Лапласа (или «лапласиан»), $k 2$ - собственное значение, а $ж$ - (собственная) функция. Когда уравнение применяется к волнам, $k$ известен как волновое число. Уравнение Гельмгольца имеет множество приложений в физике, включая волновое уравнение и уравнение диффузии, и он находит применение в других науках.

Мотивация и использование

Уравнение Гельмгольца часто возникает при исследовании физических задач, связанных с уравнения в частных производных (PDE) как в пространстве, так и во времени. Уравнение Гельмгольца, которое представляет собой не зависящий от времени форма волновое уравнение, является результатом применения техники разделение переменных для уменьшения сложности анализа.

Например, рассмотрим волновое уравнение

{ displaystyle left ( nabla ^ {2} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} right ) u ( mathbf {r}, t) = 0.}

Разделение переменных начинается с предположения, что волновая функция $ты (р, т)$ на самом деле отделимо:

{ Displaystyle и ( mathbf {r}, t) = A ( mathbf {r}) T (t).}

Подставляя эту форму в волновое уравнение с последующим упрощением, получаем следующее уравнение:

{ displaystyle { frac { nabla ^ {2} A} {A}} = { frac {1} {c ^ {2} T}} { frac { mathrm {d} ^ {2} T} { mathrm {d} t ^ {2}}}.}

Обратите внимание, что выражение в левой части зависит только от $р$ , а правильное выражение зависит только от $т$ . В результате это уравнение справедливо в общем случае тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны постоянному значению. Этот аргумент является ключевым в методике решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных путем разделения переменных. Из этого наблюдения мы получаем два уравнения, одно для $А (р)$ , другой для $Т (т):$

{ displaystyle { frac { nabla ^ {2} A} {A}} = - k ^ {2}}

{ displaystyle { frac {1} {c ^ {2} T}} { frac { mathrm {d} ^ {2} T} { mathrm {d} t ^ {2}}} = - k ^ {2},}

где мы выбрали, не ограничивая общности, выражение $- k 2$ для значения константы. (Можно использовать любую константу $k$ как постоянная разделения; $- k 2$ выбрано только для удобства в получаемых решениях.)

Преобразуя первое уравнение, получаем уравнение Гельмгольца:

{ displaystyle nabla ^ {2} A + k ^ {2} A = ( nabla ^ {2} + k ^ {2}) A = 0.}

Точно так же после замены $ω = kc$ , куда $k$ это волновое число, и $ω$ это угловая частота, второе уравнение принимает вид

{ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} T} { mathrm {d} t ^ {2}}} + omega ^ {2} T = left ({ frac { mathrm { d} ^ {2}} { mathrm {d} t ^ {2}}} + omega ^ {2} right) T = 0.}

Теперь у нас есть уравнение Гельмгольца для пространственной переменной $р$ и второго порядка обыкновенное дифференциальное уравнение во время. Решение со временем будет линейная комбинация из синус и косинус функции, точный вид которых определяется начальными условиями, а вид решения в пространстве будет зависеть от граничные условия. В качестве альтернативы, интегральные преобразования, такой как Лаплас или же преобразование Фурье, часто используются для преобразования гиперболический PDE в форму уравнения Гельмгольца.

Из-за своей связи с волновым уравнением уравнение Гельмгольца возникает в задачах в таких областях: физика как изучение электромагнитное излучение, сейсмология, и акустика.

Решение уравнения Гельмгольца с использованием разделения переменных

Решение пространственного уравнения Гельмгольца:

{ displaystyle nabla ^ {2} A = -k ^ {2} A}

можно получить для простых геометрий, используя разделение переменных.

Вибрационная мембрана

Двумерным аналогом вибрирующей струны является вибрирующая мембрана, края которой зафиксированы так, чтобы оставаться неподвижными. Уравнение Гельмгольца было решено для многих основных форм в XIX веке: прямоугольная мембрана Симеон Дени Пуассон в 1829 г. равносторонний треугольник по Габриэль Ламе в 1852 г., а круговая мембрана - Альфред Клебш в 1862 году. Эллиптический барабан изучал Эмиль Матье, что приводит к Дифференциальное уравнение Матьё.

Если края формы являются отрезками прямых линий, то решение интегрируемо или познаваемо в замкнутой форме только в том случае, если оно выражается как конечная линейная комбинация плоских волн, удовлетворяющих граничным условиям (ноль на границе, т. Е. ).

Если домен представляет собой круг радиуса $а$ , то целесообразно ввести полярные координаты $р$ и $θ$ . Уравнение Гельмгольца принимает вид

{ displaystyle A_ {rr} + { frac {1} {r}} A_ {r} + { frac {1} {r ^ {2}}} A _ { theta theta} + k ^ {2} A = 0.}

Мы можем наложить граничное условие, что $А$ исчезнуть, если $р = а$ ; таким образом

{ Displaystyle А (а, тета) = 0.}

Метод разделения переменных приводит к пробным решениям вида

{ Displaystyle А (г, тета) = р (г) тета ( тета),}

куда $Θ$ должен быть периодическим $2 π$ . Это ведет к

{ Displaystyle Theta '' + n ^ {2} Theta = 0,}

{ displaystyle r ^ {2} R '' + rR '+ r ^ {2} k ^ {2} R-n ^ {2} R = 0.}

Из условия периодичности следует, что

{ Displaystyle Theta = альфа соз п тета + бета грех п тета,}

и это $п$ должно быть целым числом. Радиальная составляющая $р$ имеет форму

{ Displaystyle R (г) = гамма J_ {п} ( ро), ,}

где Функция Бесселя $J п (ρ)$ удовлетворяет уравнению Бесселя

{ Displaystyle rho ^ {2} J_ {n} '' + rho J_ {n} '+ ( rho ^ {2} -n ^ {2}) J_ {n} = 0,}

и $ρ = кр$ . Радиальная функция $J п$ имеет бесконечно много корней для каждого значения $п$ , обозначаемый $ρ м, п$ . Граничное условие, что $А$ исчезает где $р = а$ будут удовлетворены, если соответствующие волновые числа задаются

{ displaystyle k_ {m, n} = { frac {1} {a}} rho _ {m, n}.}

Общее решение $А$ затем принимает форму обобщенный ряд Фурье терминов, связанных с продуктами $J п (k м, н р)$ и синус (или косинус) $nθ .$ Эти решения представляют собой способы вибрация круглого барабана.

Трехмерные решения

В сферических координатах решение:

{ displaystyle A (r, theta, varphi) = sum _ { ell = 0} ^ { infty} sum _ {m = - ell} ^ { ell} left (a _ { ell m} j _ { ell} (kr) + b _ { ell m} y _ { ell} (kr) right) Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi).}

Это решение возникает из пространственного решения волновое уравнение и уравнение диффузии. Здесь $j ℓ (кр)$ и $у ℓ (кр)$ являются сферические функции Бесселя, и $Y м ℓ (θ, φ)$ являются сферические гармоники (Абрамовиц и Стегун, 1964). Обратите внимание, что эти формы являются общими решениями и требуют граничные условия должны быть указаны для использования в каждом конкретном случае. Для бесконечных внешних областей a радиационное состояние также может потребоваться (Sommerfeld, 1949).

Письмо $р 0 = (Икс, у, z)$ функция $А (р 0)$ имеет асимптотику

{ displaystyle A (r_ {0}) = { frac {e ^ {ikr_ {0}}} {r_ {0}}} f left ({ frac { mathbf {r} _ {0}} { r_ {0}}}, k, u_ {0} right) + o left ({ frac {1} {r_ {0}}} right) { text {as}} r_ {0} to infty}

где функция $ж$ называется амплитудой рассеяния и $ты 0 (р 0)$ это ценность $А$ в каждой граничной точке $р 0 .$

Приосевое приближение

в параксиальное приближение уравнения Гельмгольца,^[1] то комплексная амплитуда $А$ выражается как

{ Displaystyle А ( mathbf {r}) = и ( mathbf {r}) e ^ {ikz}}

куда $ты$ представляет собой комплексную амплитуду, которая модулирует синусоидальную плоскую волну, представленную экспоненциальным множителем. Тогда при подходящем предположении $ты$ приблизительно решает

{ displaystyle nabla _ { perp} ^ {2} u + 2ik { frac { partial u} { partial z}} = 0,}

куда $\nabla 2 ⊥ ≝ .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} \partial 2 / \partial Икс 2 + \partial 2 / \partial у 2$ это поперечная часть Лапласиан.

У этого уравнения есть важные приложения в науке о оптика, где предлагаются решения, описывающие распространение электромагнитные волны (светлый) в виде либо параболоидный волны или Гауссовы пучки. Наиболее лазеры испускать лучи, которые принимают эту форму.

Предположение, при котором справедливо параксиальное приближение, состоит в том, что $z$ производная амплитудной функции $ты$ медленно меняющаяся функция $z$ :

{ displaystyle { bigg |} { partial ^ {2} u over partial z ^ {2}} { bigg |} ll { bigg |} {к { partial u over partial z} } { bigg |}.}

Это условие равносильно утверждению, что угол $θ$ между волновой вектор $k$ и оптическая ось $z$ маленький: $θ ≪ 1.$

Параксиальная форма уравнения Гельмгольца находится подстановкой приведенного выше выражения для комплексной амплитуды в общую форму уравнения Гельмгольца следующим образом:

{ Displaystyle набла ^ {2} (и влево (х, у, г вправо) е ^ {ikz}) + к ^ {2} и влево (х, у, г вправо) е ^ {ikz } = 0.}

Расширение и аннулирование дает следующее:

{ displaystyle left ({ frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} { partial y ^ {2}}} справа) u (x, y, z) e ^ {ikz} + left ({ frac { partial ^ {2}} { partial z ^ {2}}} u (x, y, z) right ) e ^ {ikz} +2 left ({ frac { partial} { partial z}} u (x, y, z) right) ik {e ^ {ikz}} = 0.}

В силу изложенного выше параксиального неравенства $\partial 2 ты /\partial z 2$ срок игнорируется по сравнению с $k \cdot\partial ты /\partial z$ срок. Это дает параксиальное уравнение Гельмгольца. Подстановка $ты (р) = А (р) е - ikz$ затем дает параксиальное уравнение для исходной комплексной амплитуды $А$ :

{ displaystyle nabla _ { perp} ^ {2} A + 2ik { frac { partial A} { partial z}} = 0.}

В Интеграл дифракции Френеля является точным решением параксиального уравнения Гельмгольца.^[2]

Есть даже предмет под названием «Оптика Гельмгольца», основанный на уравнении, названном в честь Гельмгольца.^[3]^[4]^[5]

Неоднородное уравнение Гельмгольца.

В неоднородное уравнение Гельмгольца это уравнение

{ displaystyle nabla ^ {2} A (x) + k ^ {2} A (x) = - f (x) { text {in}} mathbb {R} ^ {n},}

куда $ƒ : р п \to C$ это функция с компактная опора, и $п = 1, 2, 3.$ Это уравнение очень похоже на экранированное уравнение Пуассона, и будет идентичным, если знак плюса (перед $k$ срок) заменяется знаком минус.

Чтобы решить это уравнение однозначно, необходимо указать граничное условие на бесконечности, что обычно Состояние излучения Зоммерфельда

{ displaystyle lim _ {r to infty} r ^ { frac {n-1} {2}} left ({ frac { partial} { partial r}} - ik right) A ( г { hat {x}}) = 0}

равномерно в ${ displaystyle { hat {x}}}$ с ${ displaystyle | { hat {x}} | = 1}$ , где вертикальными чертами обозначен Евклидова норма.

При этом условии решением неоднородного уравнения Гельмгольца является свертка

{ Displaystyle A (x) = (G * f) (x) = int limits _ { mathbb {R} ^ {n}} ! G (xy) f (y) , mathrm {d} y}

(обратите внимание, что этот интеграл фактически по конечной области, так как $ж$ имеет компактную опору). Здесь, $грамм$ это Функция Грина этого уравнения, т. е. решение неоднородного уравнения Гельмгольца с $ƒ$ равняется Дельта-функция Дирака, так $грамм$ удовлетворяет

{ Displaystyle nabla ^ {2} G (x) + k ^ {2} G (x) = - delta (x) in mathbb {R} ^ {n}. ,}

Выражение для функции Грина зависит от размерности $п$ пространства. Надо

{ Displaystyle G (х) = { гидроразрыва {т.е. ^ {ik | x |}} {2k}}}

за $п = 1$ ,

{ displaystyle G (x) = { frac {i} {4}} H_ {0} ^ {(1)} (k | x |)}

за $п = 2$ ,^[6] куда $ЧАС (1) 0$ это Функция Ганкеля, и

{ Displaystyle G (x) = { гидроразрыва {е ^ {ik | x |}} {4 pi | x |}}}

за $п = 3$ . Отметим, что мы выбрали граничное условие, что функция Грина является уходящей волной при $| Икс | \to \infty.$

Смотрите также

Уравнение Лапласа (частный случай уравнения Гельмгольца)

Примечания

^ Дж. У. Гудман. Введение в фурье-оптику (2-е изд.). С. 61–62.
^ Грелла, Р. (1982). «Распространение Френеля, дифракция и уравнение параксиальных волн». Журнал оптики. 13 (6): 367–374. Дои:10.1088 / 0150-536X / 13/6/006.
^ Курт Бернардо Вольф и Евгений В. Курмышев, Сжатые состояния в оптике Гельмгольца, Физический обзор А 47, 3365–3370 (1993).
^ Самин Ахмед Хан,Зависимые от длины волны модификации в оптике Гельмгольца, Международный журнал теоретической физики, 44 (1), 95 http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/can-one-hear-the-shape-of-a-drum125 (январь 2005 г.).
^ Самин Ахмед Хан, Профиль Германа фон Гельмгольца, Новости оптики и фотоники, Vol. 21, No. 7, pp. 7 (июль / август 2010 г.).
^ ftp://ftp.math.ucla.edu/pub/camreport/cam14-71.pdf

внешняя ссылка

Уравнение Гельмгольца в EqWorld: мир математических уравнений.
«Уравнение Гельмгольца», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Вибрационная круговая мембрана Сэм Блейк, Демонстрационный проект Wolfram.
Функции Грина для волны, уравнения Гельмгольца и Пуассона в двумерной безграничной области

[1] Дж. У. Гудман. Введение в фурье-оптику (2-е изд.). С. 61–62.

[2] Грелла, Р. (1982). «Распространение Френеля, дифракция и уравнение параксиальных волн». Журнал оптики. 13 (6): 367–374. Дои:10.1088 / 0150-536X / 13/6/006.

[3] Курт Бернардо Вольф и Евгений В. Курмышев, Сжатые состояния в оптике Гельмгольца, Физический обзор А 47, 3365–3370 (1993).

[4] Самин Ахмед Хан,Зависимые от длины волны модификации в оптике Гельмгольца, Международный журнал теоретической физики, 44 (1), 95 http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/can-one-hear-the-shape-of-a-drum125 (январь 2005 г.).

[5] Самин Ахмед Хан, Профиль Германа фон Гельмгольца, Новости оптики и фотоники, Vol. 21, No. 7, pp. 7 (июль / август 2010 г.).

[6] tp://ftp.math.ucla.edu/pub/camreport/cam14-71.pdf

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]