Оператор Лапласа - Laplace operator

В математика, то Оператор Лапласа или Лапласиан это дифференциальный оператор предоставленный расхождение из градиент из функция на Евклидово пространство. Обычно обозначается символами ∇·∇, ∇² (куда ∇ это оператор набла ) или Δ. В Декартова система координат, лапласиан дается суммой вторых частные производные функции по каждому независимая переменная. В другом системы координат, такие как цилиндрический и сферические координаты, лапласиан также имеет полезный вид. Неформально лапласиан Δж(п) функции ж в какой-то момент п измеряет, насколько среднее значение ж над небольшими сферами или шарами с центром в п отклоняется от ж(п).

Оператор Лапласа назван в честь французского математика. Пьер-Симон де Лаплас (1749–1827), который первым применил оператор для изучения небесная механика, где оператор дает постоянное значение, кратное плотности массы, когда применяется к гравитационный потенциал из-за распределения массы с данной плотностью. Решения уравнения Δж = 0, теперь называется Уравнение Лапласа, так называемые гармонические функции и представляем возможные гравитационные поля в регионах вакуум.

Лапласиан встречается в дифференциальные уравнения которые описывают многие физические явления, такие как электрический и гравитационные потенциалы, то уравнение диффузии за высокая температура и поток жидкости, распространение волн, и квантовая механика. Лапласиан представляет собой плотность потока из градиентный поток функции. Например, чистая скорость, с которой химическое вещество, растворенное в жидкости, движется к некоторой точке или от нее, пропорциональна лапласиану химической концентрации в этой точке; выраженное символически, результирующее уравнение является уравнением диффузии. По этим причинам он широко используется в науке для моделирования различных физических явлений. Лапласиан - простейший эллиптический оператор и лежит в основе Теория Ходжа а также результаты когомологии де Рама. В обработка изображений и компьютерное зрение, оператор Лапласа использовался для различных задач, таких как капля и обнаружение края.

Определение

Оператор Лапласа - это дифференциальный оператор второго порядка в п-размерный Евклидово пространство, определяемый как расхождение (∇·) из градиент (∇ж ). Таким образом, если ж это дважды дифференцируемый функция с действительным знаком, то лапласиан ж определяется:

${ displaystyle Delta f = nabla ^ {2} f = nabla cdot nabla f}$

(1)

где последние обозначения происходят от формальной записи:

${ displaystyle nabla = left ({ frac { partial} { partial x_ {1}}}, ldots, { frac { partial} { partial x_ {n}}} right).}$

Эквивалентно лапласиан ж это сумма всех несмешанный второй частные производные в Декартовы координаты Икс_я:

${ displaystyle Delta f = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial ^ {2} f} { partial x_ {i} ^ {2}}}}$

(2)

Как дифференциальный оператор второго порядка, оператор Лапласа отображает C^k функции для C^k−2 функции для k ≥ 2. Выражение (1) (или эквивалентно (2)) определяет оператор Δ: C^k(ℝ^п) → C^k−2(ℝ^п), или, в более общем смысле, оператор Δ: C^k(Ω) → C^k−2(Ом) для любого открытый набор Ω.

Мотивация

Распространение

в физический теория распространение, оператор Лапласа (через Уравнение Лапласа ) естественно возникает при математическом описании равновесие.^[1] В частности, если ты - это плотность в состоянии равновесия некоторой величины, такой как химическая концентрация, тогда чистый поток из ты через границу любой гладкой области V равно нулю при условии, что внутри нет источника или приемника V:

${ displaystyle int _ { partial V} nabla и cdot mathbf {n} , dS = 0,}$

где п это внешний единица нормальная к границе V. Посредством теорема расходимости,

${ displaystyle int _ {V} operatorname {div} nabla u , dV = int _ { partial V} nabla u cdot mathbf {n} , dS = 0.}$

Поскольку это справедливо для всех гладких областей V, можно показать, что это означает:

${ displaystyle operatorname {div} nabla u = Delta u = 0.}$

Левая часть этого уравнения - оператор Лапласа. Сам оператор Лапласа имеет физическую интерпретацию неравновесной диффузии как степень, в которой точка представляет источник или сток химической концентрации, в смысле, уточненном уравнение диффузии.

Средние

Для дважды непрерывно дифференцируемой функции ${ displaystyle f: { mathbb {R}} ^ {n} to { mathbb {R}}}$, точка ${ displaystyle p in { mathbb {R}} ^ {n}}$ и реальное число ${ displaystyle h> 0}$, мы позволяем ${ displaystyle { overline {f}} _ {B} (p, h)}$ быть средним значением ${ displaystyle f}$ над шаром с радиусом ${ displaystyle h}$ сосредоточен на ${ displaystyle p}$, и ${ displaystyle { overline {f}} _ {S} (p, h)}$ быть средним значением ${ displaystyle f}$ по сфере с радиусом ${ displaystyle h}$ сосредоточен на ${ displaystyle p}$. Тогда у нас есть:^[2]

${ displaystyle {f} _ {B} (p, h) = f (p) + { frac { Delta f (p)} {2 (n + 2)}} h ^ {2} + o (h ^ {2}) ; ; ; ; { mbox {for}} ; ; h to 0}$

и

${ displaystyle {f} _ {S} (p, h) = f (p) + { frac { Delta f (p)} {2n}} h ^ {2} + o (h ^ {2}) ; ; ; ; { mbox {for}} ; ; h to 0.}$

Плотность, связанная с потенциалом

Если φ обозначает электростатический потенциал связано с распределение заряда q, то само распределение заряда дается отрицанием лапласиана φ:

${ displaystyle q = - varepsilon _ {0} Delta varphi,}$

где ε₀ это электрическая постоянная.

Это следствие Закон Гаусса. Действительно, если V - любая гладкая область, то по закону Гаусса поток электростатического поля E пропорционально прилагаемому заряду:

${ displaystyle int _ { partial V} mathbf {E} cdot mathbf {n} , dS = int _ {V} operatorname {div} mathbf {E} , dV = { frac {1} { varepsilon _ {0}}} int _ {V} q , dV.}$

где первое равенство связано с теорема расходимости. Поскольку электростатическое поле представляет собой (отрицательный) градиент потенциала, теперь это дает:

${ displaystyle - int _ {V} operatorname {div} ( operatorname {grad} varphi) , dV = { frac {1} { varepsilon _ {0}}} int _ {V} q , dV.}$

Итак, поскольку это справедливо для всех регионов V, мы должны иметь

${ displaystyle operatorname {div} ( operatorname {grad} varphi) = - { frac {1} { varepsilon _ {0}}} q}$

Тот же подход подразумевает, что отрицательное значение лапласиана гравитационный потенциал это массовое распространение. Часто указывается распределение заряда (или массы), а связанный с ним потенциал неизвестен. Нахождение потенциальной функции с подходящими граничными условиями эквивалентно решению Уравнение Пуассона.

Минимизация энергии

Другая причина появления лапласиана в физике заключается в том, что решения Δж = 0 в регионе U это функции, которые делают Энергия Дирихле функциональный стационарный:

${ displaystyle E (f) = { frac {1} {2}} int _ {U} Vert nabla f Vert ^ {2} , dx.}$

Чтобы увидеть это, предположим ж : U → ℝ - функция, а ты : U → ℝ - функция, обращающаяся в нуль на границе U. Потом:

${ displaystyle left. { frac {d} {d varepsilon}} right | _ { varepsilon = 0} E (f + varepsilon u) = int _ {U} nabla f cdot nabla u , dx = - int _ {U} u , Delta f , dx}$

где последнее равенство следует с использованием Первая личность Грина. Этот расчет показывает, что если Δж = 0, тогда E неподвижен вокруг ж. Наоборот, если E неподвижен вокруг ж, тогда Δж = 0 посредством основная лемма вариационного исчисления.

Координатные выражения

Два измерения

Оператор Лапласа в двух измерениях определяется выражением:

В Декартовы координаты,

${ displaystyle Delta f = { frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2} }}}$

где Икс и у являются стандартными Декартовы координаты из ху-самолет.

В полярные координаты,

${ displaystyle { begin {align} Delta f & = { frac {1} {r}} { frac { partial} { partial r}} left (r { frac { partial f} { partial r}} right) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} f} { partial theta ^ {2}}} & = { frac { partial ^ {2} f} { partial r ^ {2}}} + { frac {1} {r}} { frac { partial f} { partial r}} + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} f} { partial theta ^ {2}}}, end {выравнивается}}}$

где р представляет собой радиальное расстояние и θ угол.

Три измерения

В трех измерениях обычно работают с лапласианом в различных системах координат.

В Декартовы координаты,

${ displaystyle Delta f = { frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2} }} + { frac { partial ^ {2} f} { partial z ^ {2}}}.}$

В цилиндрические координаты,

${ displaystyle Delta f = { frac {1} { rho}} { frac { partial} { partial rho}} left ( rho { frac { partial f} { partial rho }} right) + { frac {1} { rho ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} f} { partial varphi ^ {2}}} + { frac { частичный ^ {2} f} { partial z ^ {2}}},}$

где ${ displaystyle rho}$ представляет собой радиальное расстояние, φ азимутальный угол и z высота.

В сферические координаты:

${ displaystyle { begin {align} Delta f & = { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { partial} { partial r}} left (r ^ {2} { frac { partial f} { partial r}} right) + { frac {1} {r ^ {2} sin theta}} { frac { partial} { partial theta}} left ( sin theta { frac { partial f} { partial theta}} right) + { frac {1} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} { frac { partial ^ {2} f} { partial varphi ^ {2}}} & = { frac {1} {r}} { frac { partial ^ {2}} { partial r ^ { 2}}} (rf) + { frac {1} {r ^ {2} sin theta}} { frac { partial} { partial theta}} left ( sin theta { frac { partial f} { partial theta}} right) + { frac {1} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} { frac { partial ^ {2} f} { partial varphi ^ {2}}} end {align}}}$

где φ представляет азимутальный угол и θ то зенитный угол или совместная широта.

В общем криволинейные координаты (ξ¹, ξ², ξ³):

${ displaystyle Delta = nabla xi ^ {m} cdot nabla xi ^ {n} { frac { partial ^ {2}} { partial xi ^ {m} partial xi ^ { n}}} + nabla ^ {2} xi ^ {m} { frac { partial} { partial xi ^ {m}}} = g ^ {mn} left ({ frac { partial ^ {2}} { partial xi ^ {m} partial xi ^ {n}}} - Gamma _ {mn} ^ {l} { frac { partial} { partial xi ^ {l }}}верно),}$

где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам,грамм^млн это обратное метрический тензор и Γ^л _млн являются Символы Кристоффеля для выбранных координат.

N Габаритные размеры

В произвольном криволинейные координаты в N размеры (ξ¹, …, ξ^N), мы можем записать лапласиан через обратный метрический тензор, ${ displaystyle g ^ {ij}}$:

${ displaystyle Delta = { frac {1} { sqrt { det g}}} { frac { partial} { partial xi ^ {i}}} left ({ sqrt { det g }} g ^ {ij} { frac { partial} { partial xi ^ {j}}} right)}$,

от Voss - Weyl формула^[3] для расхождение.

В сферические координаты в N Габаритные размеры, с параметризацией Икс = rθ ∈ ℝ^N с р представляющий положительный действительный радиус и θ элемент единичная сфера S^N−1,

${ displaystyle Delta f = { frac { partial ^ {2} f} { partial r ^ {2}}} + { frac {N-1} {r}} { frac { partial f} { partial r}} + { frac {1} {r ^ {2}}} Delta _ {S ^ {N-1}} f}$

где Δ_S^N−1 это Оператор Лапласа – Бельтрами на (N − 1)-сфера, известная как сферический лапласиан. Два члена с радиальной производной могут быть эквивалентно переписаны как:

${ displaystyle { frac {1} {r ^ {N-1}}} { frac { partial} { partial r}} left (r ^ {N-1} { frac { partial f} { partial r}} right).}$

Как следствие, сферический лапласиан функции, определенной на S^N−1 ⊂ ℝ^N можно вычислить как обычный лапласиан функции, продолженной до ℝ^N∖{0} так что она постоянна вдоль лучей, т. е. однородный нулевой степени.

Евклидова инвариантность

Лапласиан инвариантен относительно всех Евклидовы преобразования: вращения и переводы. Например, в двух измерениях это означает, что:

${ Displaystyle Дельта (е (Икс соз тета -y грех тета + а, х грех тета + у соз тета + Ь)) = ( Дельта е) (х соз тета - y sin theta + a, x sin theta + y cos theta + b)}$

для всех θ, а, и б. В произвольных размерах,

${ Displaystyle Delta (е circ rho) = ( Delta f) circ rho}$

всякий раз, когда ρ это вращение, а также:

${ Displaystyle Delta (е circ тау) = ( Delta f) circ tau}$

всякий раз, когда τ это перевод. (В более общем плане это остается верным, когда ρ является ортогональное преобразование например, отражение.)

Фактически, алгебра всех скалярных линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, которые коммутируют со всеми евклидовыми преобразованиями, является алгеброй полиномов, порожденной оператором Лапласа.

Спектральная теория

В спектр оператора Лапласа состоит из всех собственные значения λ для которого существует соответствующий собственная функция ж с:

${ displaystyle - Delta f = lambda f.}$

Это известно как Уравнение Гельмгольца.

Если Ω ограниченная область в ℝ^п, то собственные функции лапласиана являются ортонормированный базис для Гильбертово пространство L²(Ом). Этот результат по существу следует из спектральная теорема на компактный самосопряженные операторы, примененный к обратному лапласиану (компактному Неравенство Пуанкаре и Теорема Реллиха – Кондрахова. ).^[4] Также можно показать, что собственные функции бесконечно дифференцируемый функции.^[5] В более общем смысле, эти результаты верны для оператора Лапласа – Бельтрами на любом компактном римановом многообразии с краем, или, действительно, для проблемы собственных значений Дирихле любого эллиптический оператор с гладкими коэффициентами в ограниченной области. Когда Ω это п-сфера, собственными функциями лапласиана являются сферические гармоники.

Векторный лапласиан

В векторный оператор Лапласа, также обозначается ${ displaystyle nabla ^ {2}}$, это дифференциальный оператор определяется над векторное поле.^[6] Векторный лапласиан аналогичен скалярному лапласиану; тогда как скалярный лапласиан применяется к скалярное поле и возвращает скалярную величину, векторный лапласиан применяется к векторное поле, возвращая векторную величину. При вычислении в ортонормированный Декартовы координаты, возвращаемое векторное поле равно векторному полю скалярный лапласиан применяется к каждому компоненту вектора.

В векторный лапласиан из векторное поле ${ displaystyle mathbf {A}}$ определяется как

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {A} = nabla ( nabla cdot mathbf {A}) - nabla times ( nabla times mathbf {A}).}$

В Декартовы координаты, это сводится к гораздо более простой форме:

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {A} = ( nabla ^ {2} A_ {x}, nabla ^ {2} A_ {y}, nabla ^ {2} A_ {z}), }$

где ${ displaystyle A_ {x}}$, ${ displaystyle A_ {y}}$, и ${ displaystyle A_ {z}}$ компоненты ${ displaystyle mathbf {A}}$. Это можно рассматривать как частный случай формулы Лагранжа; увидеть Векторное тройное произведение.

Выражения векторного лапласиана в других системах координат см. Del в цилиндрических и сферических координатах.

Обобщение

Лапласиан любого тензорное поле ${ displaystyle mathbf {T}}$ («тензор» включает скаляр и вектор) определяется как расхождение из градиент тензора:

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {T} = ( nabla cdot nabla) mathbf {T}.}$

Для особого случая, когда ${ displaystyle mathbf {T}}$ это скаляр (тензор нулевой степени) Лапласиан принимает привычный вид.

Если ${ displaystyle mathbf {T}}$ - вектор (тензор первой степени), градиент - это ковариантная производная что приводит к тензору второй степени, и его дивергенция снова является вектором. Вышеупомянутая формула для векторного лапласиана может использоваться, чтобы избежать тензорной математики, и может быть показана как эквивалентная дивергенции Матрица якобиана показано ниже для градиента вектора:

${ displaystyle nabla mathbf {T} = ( nabla T_ {x}, nabla T_ {y}, nabla T_ {z}) = { begin {bmatrix} T_ {xx} & T_ {xy} & T_ { xz} T_ {yx} & T_ {yy} & T_ {yz} T_ {zx} & T_ {zy} & T_ {zz} end {bmatrix}}, { text {where}} T_ {uv} Equiv { frac { partial T_ {u}} { partial v}}.}$

И таким же образом скалярное произведение, которое оценивается как вектор, вектора на градиент другого вектора (тензор 2-й степени) можно рассматривать как произведение матриц:

${ displaystyle mathbf {A} cdot nabla mathbf {B} = { begin {bmatrix} A_ {x} & A_ {y} & A_ {z} end {bmatrix}} nabla mathbf {B} = { begin {bmatrix} mathbf {A} cdot nabla B_ {x} & mathbf {A} cdot nabla B_ {y} & mathbf {A} cdot nabla B_ {z} end { bmatrix}}.}$

Эта идентичность является результатом, зависящим от координат, и не является общим.

Использование в физике

Примером использования векторного лапласиана является Уравнения Навье-Стокса для Ньютоновский несжимаемый поток:

${ Displaystyle rho left ({ frac { partial mathbf {v}} { partial t}} + ( mathbf {v} cdot nabla) mathbf {v} right) = rho mathbf {f} - nabla p + mu left ( nabla ^ {2} mathbf {v} right),}$

где член с векторным лапласианом скорость поле ${ Displaystyle му влево ( набла ^ {2} mathbf {v} right)}$ представляет вязкий подчеркивает в жидкости.

Другой пример - волновое уравнение для электрического поля, которое может быть получено из Уравнения Максвелла при отсутствии зарядов и токов:

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {E} - mu _ {0} epsilon _ {0} { frac { partial ^ {2} mathbf {E}} { partial t ^ {2 }}} = 0.}$

Предыдущее уравнение также можно записать как:

${ Displaystyle Box , mathbf {E} = 0,}$

где

${ Displaystyle Box Equiv { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} - nabla ^ {2}, }$

это Даламбертиан, используемый в Уравнение Клейна – Гордона.

Обобщения

Версия лапласиана может быть определена везде, где Функционал энергии Дирихле имеет смысл, что является теорией Формы Дирихле. Для пространств с дополнительной структурой можно дать более явное описание лапласиана следующим образом.

Оператор Лапласа – Бельтрами

Лапласиан также может быть обобщен до эллиптического оператора, называемого Оператор Лапласа – Бельтрами определено на Риманово многообразие. Оператор Даламбера обобщается до гиперболического оператора на псевдоримановы многообразия. В применении к функции оператор Лапласа – Бельтрами представляет собой след (tr) функции Гессен:

${ displaystyle Delta f = OperatorName {tr} { big (} H (f) { big)}}$

где след ведется относительно обратного метрический тензор. Оператор Лапласа – Бельтрами также может быть обобщен на оператор (также называемый оператором Лапласа – Бельтрами), который действует на тензорные поля, по аналогичной формуле.

Другое обобщение оператора Лапласа, доступное на псевдоримановых многообразиях, использует внешняя производная, в терминах которого "лапласиан геометра" выражается как

${ displaystyle Delta f = delta df.}$

Здесь δ это кодифференциальный, который также можно выразить через Ходжа звезда и внешняя производная. Этот оператор отличается по знаку от «лапласиана аналитика», определенного выше. В более общем смысле лапласиан «Ходжа» определяется на дифференциальные формы α к

${ displaystyle Delta alpha = delta d alpha + d delta alpha.}$

Это известно как Оператор Лапласа – де Рама, который связан с оператором Лапласа – Бельтрами соотношением Фирменный стиль Weitzenböck.

Даламбертиан

Лапласиан можно обобщить определенными способами на неевклидов пространства, где это может быть эллиптический, гиперболический, или сверхгиперболический.

в Пространство Минковского то Оператор Лапласа – Бельтрами становится Оператор Даламбера ⧠ или Д'Аламбертиан:

${ displaystyle square = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} - { frac { partial ^ { 2}} { partial x ^ {2}}} - { frac { partial ^ {2}} { partial y ^ {2}}} - { frac { partial ^ {2}} { partial z ^ {2}}}.}$

Это обобщение оператора Лапласа в том смысле, что это дифференциальный оператор, инвариантный относительно группа изометрии лежащего в основе пространства и сводится к оператору Лапласа, если ограничиваться функциями, не зависящими от времени. Общий знак метрики здесь выбирается таким, чтобы пространственные части оператора допускали отрицательный знак, что является обычным условием для высокоэнергетических физика элементарных частиц. Оператор Даламбера также известен как волновой оператор, потому что это дифференциальный оператор, появляющийся в волновые уравнения, а также является частью Уравнение Клейна – Гордона, которое сводится к волновому уравнению в безмассовом случае.

Дополнительный фактор c в метрике нужен в физике, если пространство и время измеряются в разных единицах; аналогичный коэффициент потребуется, если, например, Икс направление измерялось в метрах, в то время как у направление измерялось в сантиметрах. Действительно, физики-теоретики обычно работают в таких единицах, что c = 1 чтобы упростить уравнение.

Смотрите также

• Оператор Лапласа – Бельтрами, обобщение на подмногообразия в евклидовом пространстве, а также на риманово и псевдориманово многообразие.
• В векторный лапласиан оператор, обобщение лапласиана на векторные поля.
• В Лапласиан в дифференциальной геометрии.
• В дискретный оператор Лапласа является конечно-разностным аналогом непрерывного лапласиана, определенного на графах и сетках.
• Лапласиан - обычный оператор в обработка изображений и компьютерное зрение (см. Лапласиан Гаусса, детектор капель, и масштабное пространство ).
• В список формул в римановой геометрии содержит выражения для лапласиана в терминах символов Кристоффеля.
• Лемма Вейля (уравнение Лапласа).
• Теорема Ирншоу который показывает, что стабильная статическая гравитационная, электростатическая или магнитная подвеска невозможна.
• Del в цилиндрических и сферических координатах.
• Другие ситуации, в которых определяется лапласиан: анализ на фракталы, исчисление шкалы времени и дискретное внешнее исчисление.

Примечания

использованная литература

• Эванс, Л. (1998), Уравнения с частными производными, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0772-9
• Feynman, R .; Leighton, R; Сэндс, М. (1970), «Глава 12: Электростатические аналоги», Лекции Фейнмана по физике, 2, Эддисон-Уэсли-Лонгман
• Gilbarg, D .; Трудингер, Н. (2001), Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка., Спрингер, ISBN  978-3-540-41160-4.
• Шей, Х. М. (1996), Div, Grad, Curl и все такое, У. В. Нортон, ISBN  978-0-393-96997-9.

дальнейшее чтение

• http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node23.html

внешняя ссылка

• «Оператор Лапласа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Лапласиан". MathWorld.
• Как Лаплас спрятал козу: новая наука о магии Windows
• Вывод лапласиана в полярных координатах