Скаляр (математика) - Scalar (mathematics)

А скаляр является элементом поле который используется для определения векторное пространство. Величина, описываемая несколькими скалярами, например имеющая как направление, так и величину, называется вектором.^[1]

В линейная алгебра, действительные числа или другие элементы поля называются скаляры и связаны с векторами в векторном пространстве посредством операции скалярное умножение, в котором вектор можно умножить на число, чтобы получить другой вектор.^[2][3][4] В более общем смысле, векторное пространство может быть определено с использованием любого поля вместо действительных чисел, например сложные числа. Тогда скаляры этого векторного пространства будут элементами связанного поля.

А скалярное произведение Операция - не путать со скалярным умножением - может быть определена в векторном пространстве, что позволяет перемножить два вектора для получения скаляра. Векторное пространство, снабженное скалярным произведением, называется внутреннее пространство продукта.

Настоящая составляющая кватернион также называется его скалярная часть.

Этот термин также иногда неформально используется для обозначения вектора, матрица, тензор или другое, обычно «составное» значение, которое фактически сводится к единственному компоненту. Так, например, произведение 1 ×п матрица и пМатрица × 1, которая формально является матрицей 1 × 1, часто называется скаляр.

Период, термин скалярная матрица используется для обозначения матрицы вида kI куда k скаляр и я это единичная матрица.

Этимология

Слово скаляр происходит от латинский слово скалярий, прилагательная форма Scala (Латинское слово «лестница»), от которого происходит английское слово шкала тоже приходит. Первое зарегистрированное использование слова «скаляр» в математике происходит в Франсуа Виет с Аналитическое искусство (В artem analyticem isagoge) (1591):^{[5][страница нужна ][6]}

Величины, которые возрастают или убывают пропорционально своей природе от одного вида к другому, могут быть названы скалярными членами.

(Латинский: Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi пропорциональный адсендунт ввел нисходящий, vocentur Scalares.)

Согласно цитате в Оксфордский словарь английского языка первое зарегистрированное использование термина «скаляр» на английском языке пришло с В. Р. Гамильтон в 1846 году, имея в виду действительную часть кватерниона:

В соответствии с вопросом, в котором она встречается, алгебраически действительная часть может принимать все значения, содержащиеся на одной шкале прогрессии чисел от отрицательной бесконечности к положительной; поэтому мы будем называть ее скалярной частью.

Определения и свойства

Скаляры действительные числа используется в линейной алгебре, в отличие от векторов. Это изображение показывает Евклидов вектор. Его координаты Икс и у скаляры, как и его длина, но v не является скаляром.

Скаляры векторных пространств

Векторное пространство определяется как набор векторов, набор скаляров и операция скалярного умножения, которая принимает скаляр k и вектор v в другой вектор kv. Например, в координатное пространство, скалярное умножение ${displaystyle k (v_ {1}, v_ {2}, dots, v_ {n})}$ дает ${displaystyle (kv_ {1}, kv_ {2}, dots, kv_ {n})}$. В (линейном) функциональное пространство, kƒ это функция Икс ↦ k(ƒ(Икс)).

Скаляры можно брать из любого поля, включая рациональный, алгебраический, действительные и комплексные числа, а также конечные поля.

Скаляры как компоненты вектора

Согласно фундаментальной теореме линейной алгебры каждое векторное пространство имеет основа. Отсюда следует, что каждое векторное пространство над скалярным полем K является изоморфный к координатное векторное пространство где координаты являются элементами K. Например, каждое реальное векторное пространство измерение п изоморфен п-мерное реальное пространство р^п.

Скаляры в нормированных векторных пространствах

В качестве альтернативы векторное пространство V может быть оснащен норма функция, которая присваивает каждому вектору v в V скаляр ||v||. По определению, умножая v скалярным k также умножает свою норму на |k|, Если ||v|| интерпретируется как длина из v, эту операцию можно описать как масштабирование длина v к k. Векторное пространство, снабженное нормой, называется нормированное векторное пространство (или же нормированное линейное пространство).

Норма обычно определяется как элемент Vскалярное поле K, что ограничивает последнее поле, поддерживающее понятие знака. Более того, если V имеет размерность 2 или более, K должны быть закрыты под квадратный корень, а также четыре арифметических операции; таким образом, рациональные числа Q исключены, но серд поле приемлемо. По этой причине не каждое пространство скалярных произведений является нормированным векторным пространством.

Скаляры в модулях

Когда требование о том, что набор скаляров формирует поле, ослабляется так, что ему нужно только формировать звенеть (так что, например, нет необходимости определять деление скаляров или скаляры не нужно коммутативный ) полученная более общая алгебраическая структура называется модуль.

В этом случае «скаляры» могут быть сложными объектами. Например, если р кольцо, векторы пространства произведения р^п можно превратить в модуль с п×п матрицы с записями из р как скаляры. Другой пример взят из теория многообразий, где пространство разделы из касательный пучок образует модуль над алгебра вещественных функций на многообразии.

Масштабирование трансформации

Скалярное умножение векторных пространств и модулей является частным случаем масштабирование, типа линейное преобразование.

Скалярные операции (информатика)

Операции, которые применяются к одному значению за раз.

• Скалярный процессор против. векторный процессор или же суперскалярный процессор
• Переменная (информатика) иногда также называемый «скаляр»

Смотрите также

• Скаляр (физика)

Рекомендации

внешняя ссылка

• "Скалярный", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Скалярный". MathWorld.
• Mathwords.com - Скалярный