Тензор - Tensor

Было высказано предположение, что Тензор (внутреннее определение) быть слился в эту статью. (Обсуждать) Предлагается с февраля 2020 года.

Второй порядок Тензор напряжений Коши (${displaystyle mathbf {T}}$) описывает силы напряжения, испытываемые материалом в данной точке. Продукт ${displaystyle mathbf {T} cdot mathbf {v}}$ тензора напряжений и единичного вектора ${displaystyle mathbf {v}}$, указывающий в заданном направлении, представляет собой вектор, описывающий силы напряжения, испытываемые материалом в точке, описываемой тензором напряжений, вдоль плоскости, перпендикулярной к ${displaystyle mathbf {v}}$.

На этом изображении показаны векторы напряжения вдоль трех перпендикулярных направлений, каждое из которых представлено гранью куба. Поскольку тензор напряжений описывает отображение, которое принимает один вектор в качестве входных данных и дает один вектор в качестве выходных данных, это тензор второго порядка.

В математика, а тензор - алгебраический объект, описывающий (полилинейный ) отношения между множествами алгебраических объектов, связанных с векторное пространство. Объекты, между которыми могут отображаться тензоры, включают векторов и скаляры, и даже другие тензоры. Тензоры могут принимать несколько разных форм, например: скаляры и векторов (которые являются простейшими тензорами), двойные векторы, полилинейный отображает между векторными пространствами и даже некоторые операции, такие как скалярное произведение. Тензоры определены независимый любой основа, хотя они часто упоминаются своими компонентами в основе, относящейся к определенной системе координат.

Тензоры важны в физике, потому что они обеспечивают краткую математическую основу для формулирования и решения физических задач в таких областях, как механика (стресс, эластичность, механика жидкости, момент инерции, ...), электродинамика (электромагнитный тензор, Тензор Максвелла, диэлектрическая проницаемость, магнитная восприимчивость, ...), или же общая теория относительности (тензор энергии-импульса, тензор кривизны, ... ) и другие. В приложениях обычно изучаются ситуации, когда в каждой точке объекта может встречаться другой тензор; например, напряжение внутри объекта может варьироваться от одного места к другому. Это приводит к концепции тензорное поле. В некоторых областях тензорные поля настолько распространены, что их часто называют просто «тензорами».

Тензоры были изобретены в 1900 г. Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро, который продолжил раннюю работу Бернхард Риманн и Элвин Бруно Кристоффель и другие, как часть абсолютное дифференциальное исчисление. Эта концепция позволила альтернативную формулировку внутреннего дифференциальная геометрия из многообразие в виде Тензор кривизны Римана.^[1]

Определение

Несмотря на кажущиеся различия, различные подходы к определению тензоров описывают одну и ту же геометрическую концепцию, используя разный язык и на разных уровнях абстракции. Например, тензоры определяются и обсуждаются для приложений статистики и машинного обучения.^[2].

Как многомерные массивы

Тензор можно представить в виде (потенциально многомерного) массива. Так же, как вектор в п-размерный пространство представлено одномерным массивом с п компоненты по отношению к заданному основа, любой тензор относительно базиса представляется многомерным массивом. Например, линейный оператор представлен в основе в виде двумерного квадрата п × п множество. Числа в многомерном массиве известны как скалярные компоненты тензора или просто его составные части. Они обозначаются индексами, указывающими их позицию в массиве, как нижние и верхние индексы, после символьного имени тензора. Например, компоненты заказа 2 тензор Т можно обозначить Т_ij , куда я и j индексы, начинающиеся с 1 к п, или также Т ^я
_j. Отображение индекса в виде верхнего или нижнего индекса зависит от свойств преобразования тензора, описанных ниже. Таким образом, пока Т_ij и Т ^я
_j оба могут быть выражены как п к п матриц и численно связаны через индексирование, различие в их законах преобразования указывает на то, что складывать их вместе было бы неправильно. Общее количество индексов, необходимых для уникальной идентификации каждого компонента, равно измерение массива и называется порядок, степень или же классифицировать тензора. Однако термин «ранг» обычно имеет другое значение в контексте матриц и тензоров.

Так же, как компоненты вектора меняются, когда мы меняем основа векторного пространства при таком преобразовании изменяются и компоненты тензора. Каждый тип тензора снабжен закон трансформации в котором подробно описано, как компоненты тензора реагируют на изменение основы. Компоненты вектора могут двумя разными способами реагировать на изменение основы (видеть ковариация и контравариантность векторов ), где новый базисные векторы ${displaystyle mathbf {hat {e}} _ {i}}$ выражаются через старые базисные векторы ${displaystyle mathbf {e} _ {j}}$ в качестве,

${displaystyle mathbf {hat {e}} _ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {j} R_ {i} ^ {j} = mathbf {e} _ {j} R_ {i} ^ {j}.}$

Здесь р ^j_я - элементы изменения базисной матрицы, а в крайнем правом выражении знак суммы убран: это Соглашение о суммировании Эйнштейна, который будет использоваться в этой статье.^{[Примечание 1]} Компоненты v^я вектора-столбца v трансформироваться с обратный матрицы р,

${displaystyle {hat {v}} ^ {i} = left (R ^ {- 1} ight) _ {j} ^ {i} v ^ {j},}$

где шляпкой обозначены компоненты в новом базисе. Это называется контравариантный закон преобразования, поскольку компоненты вектора преобразуются обратный изменения основы. Напротив, компоненты, ш_яковектора (или вектора-строки), ш преобразовать с матрицей р сам,

${displaystyle {hat {w}} _ {i} = w_ {j} R_ {i} ^ {j}.}$

Это называется ковариантный закон преобразования, поскольку компоненты ковектора преобразуются та же матрица как изменение базисной матрицы. Компоненты более общего тензорного преобразования преобразуются посредством некоторой комбинации ковариантных и контравариантных преобразований с одним законом преобразования для каждого индекса. Если матрица преобразования индекса является обратной матрицей базисного преобразования, то индекс называется контравариантный и условно обозначается верхним индексом (надстрочным индексом). Если матрица преобразования индекса является самим преобразованием базиса, то индекс называется ковариантный и обозначается нижним индексом (нижним индексом).

В качестве простого примера матрица линейного оператора относительно базиса представляет собой прямоугольный массив ${displaystyle T}$ преобразуется при замене базисной матрицы ${displaystyle R = left (R_ {i} ^ {j} ight)}$ к ${displaystyle {hat {T}} = R ^ {- 1} TR}$. Для отдельных элементов матрицы этот закон преобразования имеет вид ${displaystyle {hat {T}} _ {j '} ^ {i'} = left (R ^ {- 1} ight) _ {i} ^ {i '} T_ {j} ^ {i} R_ {j' } ^ {j}}$ поэтому тензор, соответствующий матрице линейного оператора, имеет один ковариантный и один контравариантный индекс: он имеет тип (1,1).

Комбинации ковариантных и контравариантных компонент с одним индексом позволяют выразить геометрические инварианты. Например, тот факт, что вектор является одним и тем же объектом в разных системах координат, может быть зафиксирован следующими уравнениями, используя формулы, определенные выше:

${displaystyle mathbf {v} = {hat {v}} ^ {i}, mathbf {hat {e}} _ {i} = left (left (R ^ {- 1} ight) _ {j} ^ {i} {v} ^ {j} ight) влево (mathbf {e} _ {k} R_ {i} ^ {k} ight) = left (left (R ^ {- 1} ight) _ {j} ^ {i} R_ {i} ^ {k} ight) {v} ^ {j} mathbf {e} _ {k} = delta _ {j} ^ {k} {v} ^ {j} mathbf {e} _ {k} = {v} ^ {k}, mathbf {e} _ {k} = {v} ^ {i}, mathbf {e} _ {i}}$,

куда ${displaystyle delta _ {j} ^ {k}}$ это Дельта Кронекера, который функционирует аналогично единичная матрица, и имеет эффект переименования индексов (j в k в этом примере). Это показывает некоторые особенности нотации компонентов: возможность переупорядочивать термины по желанию (коммутативность ), необходимость использовать разные индексы при работе с несколькими объектами в одном выражении, возможность переименовывать индексы и способ комбинирования контравариантных и ковариантных тензоров, так что все экземпляры матрицы преобразования и ее инверсии отменяются, так что выражения подобно ${displaystyle {v} ^ {i}, mathbf {e} _ {i}}$ сразу видно, что они геометрически идентичны во всех системах координат.

Точно так же линейный оператор, рассматриваемый как геометрический объект, на самом деле не зависит от базиса: это просто линейная карта, которая принимает вектор в качестве аргумента и производит другой вектор. Закон преобразования того, как матрица компонентов линейного оператора изменяется с базисом, согласуется с законом преобразования для контравариантного вектора, так что действие линейного оператора на контравариантный вектор представляется в координатах как матричное произведение их соответствующие координатные представления. То есть компоненты ${displaystyle (Tv) ^ {i}}$ даны ${displaystyle (Tv) ^ {i} = T_ {j} ^ {i} v ^ {j}}$. Эти компоненты преобразуются контравариантно, поскольку

${displaystyle left ({widehat {Tv}} ight) ^ {i '} = {hat {T}} _ {j'} ^ {i '} {hat {v}} ^ {j'} = left [left ( R ^ {- 1} ight) _ {i} ^ {i '} T_ {j} ^ {i} R_ {j'} ^ {j} ight] left [left (R ^ {- 1} ight) _ { j} ^ {j '} v ^ {j} ight] = left (R ^ {- 1} ight) _ {i} ^ {i'} (Tv) ^ {i}.}$

Закон трансформации для заказа п + q тензор с п контравариантные индексы и q ковариантные индексы, таким образом, задаются как,

${displaystyle {hat {T}} _ {j '_ {1}, ldots, j' _ {q}} ^ {i '_ {1}, ldots, i' _ {p}} = left (R ^ { -1} ight) _ {i_ {1}} ^ {i '_ {1}} осталось кдотов (R ^ {- 1} ight) _ {i_ {p}} ^ {i' _ {p}}}$ ${displaystyle T_ {j_ {1}, ldots, j_ {q}} ^ {i_ {1}, ldots, i_ {p}}}$ ${displaystyle R_ {j '_ {1}} ^ {j_ {1}} компакт-дисков R_ {j' _ {q}} ^ {j_ {q}}.}$

Здесь индексы со штрихом обозначают компоненты в новых координатах, а индексы без штриха обозначают компоненты в старых координатах. Такой тензор называется порядка или тип (п, q). Термины «порядок», «тип», «ранг», «валентность» и «степень» иногда используются для обозначения одного и того же понятия. Здесь термин «порядок» или «общий порядок» будет использоваться для общего измерения массива (или его обобщения в других определениях), п + q в предыдущем примере и термин «тип» для пары, задающей количество контравариантных и ковариантных индексов. Тензор типа (п, q) также называется (п, q)-тензор для краткости.

Это обсуждение мотивирует следующее формальное определение:^[3][4]

Определение. Тензор типа (п, q) является присвоением многомерного массива

${displaystyle T_ {j_ {1} dots j_ {q}} ^ {i_ {1} dots i_ {p}} [mathbf {f}]}$

к каждой основе ж = (е₁, ..., е_п) из п-мерное векторное пространство такое, что если мы применим замену базиса

${displaystyle mathbf {f} mapsto mathbf {f} cdot R = left (mathbf {e} _ {i} R_ {1} ^ {i}, dots, mathbf {e} _ {i} R_ {n} ^ {i } ight)}$

то многомерный массив подчиняется закону преобразования

${displaystyle T_ {j '_ {1} dots j' _ {q}} ^ {i '_ {1} dots i' _ {p}} [mathbf {f} cdot R] = left (R ^ {- 1 } ight) _ {i_ {1}} ^ {i '_ {1}} осталось кдотов (R ^ {- 1} ight) _ {i_ {p}} ^ {i' _ {p}}}$ ${displaystyle T_ {j_ {1}, ldots, j_ {q}} ^ {i_ {1}, ldots, i_ {p}} [mathbf {f}]}$ ${displaystyle R_ {j '_ {1}} ^ {j_ {1}} компакт-дисков R_ {j' _ {q}} ^ {j_ {q}}.}$

Определение тензора как многомерного массива, удовлетворяющего закону преобразования, восходит к работе Риччи.^[1]

Эквивалентное определение тензора использует представления из общая линейная группа. Существует действие полной линейной группы на множестве всех заказанные базы из п-мерное векторное пространство. Если ${displaystyle mathbf {f} = (mathbf {f} _ {1}, dots, mathbf {f} _ {n})}$ упорядоченная основа, и ${displaystyle R = (R_ {j} ^ {i})}$ обратимый ${displaystyle n imes n}$ матрица, то действие задается формулой

${displaystyle mathbf {f} R = (mathbf {f} _ {i} R_ {1} ^ {i}, dots, mathbf {f} _ {i} R_ {n} ^ {i}).}$

Позволять F - множество всех упорядоченных баз. потом F это главное однородное пространство для GL (п). Позволять W - векторное пространство и пусть ${displaystyle ho}$ - представление GL (п) на W (это групповой гомоморфизм ${displaystyle ho: {ext {GL}} (n) o {ext {GL}} (W)}$). Тогда тензор типа ${displaystyle ho}$ является эквивариантное отображение ${displaystyle T: F o W}$. Эквивариантность здесь означает, что

${displaystyle T (FR) = ho (R ^ {- 1}) T (F).}$

Когда ${displaystyle ho}$ это тензорное представление общей линейной группы, это дает обычное определение тензоров как многомерных массивов. Это определение часто используется для описания тензоров на многообразиях,^[5] и легко обобщается на другие группы.^[3]

Как многолинейные карты

Обратной стороной определения тензора с использованием подхода многомерного массива является то, что из определения не очевидно, что определенный объект действительно не зависит от базиса, как ожидается от геометрического объекта по своей сути. Хотя можно показать, что законы преобразования действительно гарантируют независимость от основы, иногда предпочтительнее более внутреннее определение. Один подход, распространенный в дифференциальная геометрия заключается в определении тензоров относительно фиксированного (конечномерного) векторного пространства V, которое обычно считается определенным векторным пространством некоторого геометрического значения, например касательное пространство к коллектору.^[6] В этом подходе тип (п, q) тензор Т определяется как многолинейная карта,

${displaystyle T: underbrace {V ^ {*} imes dots imes V ^ {*}} _ {p {ext {copy}}} imes underbrace {V imes dots imes V} _ {q {ext {copy}}} ightarrow mathbf {R},}$

куда V^∗ соответствующий двойное пространство ковекторов, линейных по каждому аргументу. Вышеизложенное предполагает V векторное пространство над действительные числа, ℝ. В более общем смысле, V можно взять по произвольному полю чисел, F (например, сложные числа ) с одномерным векторным пространством над F замена ℝ как область значений полилинейных отображений.

Применяя мультилинейную карту Т типа (п, q) к основе {е_j} за V и канонический кобазис {ε^я} за V^∗,

${displaystyle T_ {j_ {1} dots j_ {q}} ^ {i_ {1} dots i_ {p}} Equiv Tleft ({oldsymbol {varepsilon}} ^ {i_ {1}}, ldots, {oldsymbol {varepsilon}) } ^ {i_ {p}}, mathbf {e} _ {j_ {1}}, ldots, mathbf {e} _ {j_ {q}} ight),}$

а (п + q)-мерный массив компонентов может быть получен. Другой выбор основы даст разные компоненты. Но потому что Т является линейным по всем своим аргументам, компоненты удовлетворяют закону преобразования тензора, используемому в определении полилинейного массива. Многомерный массив компонентов Т таким образом, сформируйте тензор в соответствии с этим определением. Более того, такой массив может быть реализован как компоненты некоторой полилинейной карты. Т. Это мотивирует рассматривать полилинейные карты как внутренние объекты, лежащие в основе тензоров.

Рассматривая тензор как полилинейную карту, принято определять двойной двойной V^∗∗ векторного пространства V, т.е. пространство линейных функционалов на двойственном векторном пространстве V^∗, с векторным пространством V. Всегда есть естественная линейная карта из V к его двойному двойному, заданному вычислением линейной формы в V^∗ против вектора в V. Это линейное отображение является изоморфизмом в конечных измерениях, и тогда часто бывает целесообразно идентифицировать V с его двойным двойным.

Использование тензорных произведений

Для некоторых математических приложений иногда бывает полезен более абстрактный подход. Это может быть достигнуто путем определения тензоров в терминах элементов тензорные произведения векторных пространств, которые, в свою очередь, определяются через универсальная собственность. Тип (п, q) тензор определяется в этом контексте как элемент тензорного произведения векторных пространств,^[7][8]

${displaystyle Tin underbrace {Votimes dots otimes V} _ {p {ext {copy}}} иногда underbrace {V ^ {*} otimes dots otimes V ^ {*}} _ {q {ext {copy}}}.}$

Основа v_я из V и основа ш_j из W естественно индуцировать основу v_я ⊗ ш_j тензорного произведения V ⊗ W. Компоненты тензора Т - коэффициенты тензора относительно базиса, полученного из базиса {е_я} за V и его двойственная основа {ε^j}, т.е.

${displaystyle T = T_ {j_ {1} dots j_ {q}} ^ {i_ {1} dots i_ {p}}; mathbf {e} _ {i_ {1}} otimes cdots otimes mathbf {e} _ {i_ {p}} otimes {oldsymbol {varepsilon}} ^ {j_ {1}} otimes cdots otimes {oldsymbol {varepsilon}} ^ {j_ {q}}.}$

Используя свойства тензорного произведения, можно показать, что эти компоненты удовлетворяют закону преобразования для типа (п, q) тензор. Более того, универсальность тензорного произведения дает 1-к-1 переписка между тензорами, определенными таким образом, и тензорами, определенными как полилинейные отображения.

Тензорные продукты можно определять в очень общем виде, например, с участием произвольных модулей над кольцом. В принципе, можно было бы определить «тензор» просто как элемент любого тензорного произведения. Однако в математической литературе термин тензор для элемента тензорного произведения любого количества копий единого векторного пространства V и его двойное, как указано выше.

Тензоры в бесконечных измерениях

Это обсуждение тензоров до сих пор предполагает конечномерность рассматриваемых пространств, где пространства тензоров, полученные каждой из этих конструкций, являются естественно изоморфный.^{[Заметка 2]} Конструкции пространств тензоров, основанные на тензорном произведении и полилинейных отображениях, могут быть обобщены, по существу, без изменений, на векторные пучки или же когерентные пучки.^[9] Для бесконечномерных векторных пространств неэквивалентные топологии приводят к неэквивалентным понятиям тензора, и эти различные изоморфизмы могут выполняться или не выполняться в зависимости от того, что именно подразумевается под тензором (см. топологическое тензорное произведение ). В некоторых приложениях это тензорное произведение гильбертовых пространств то есть, свойства которого наиболее близки к конечномерному случаю. Более современная точка зрения состоит в том, что это структура тензоров как симметричная моноидальная категория который кодирует их наиболее важные свойства, а не конкретные модели этих категорий.^[10]

Тензорные поля

Во многих приложениях, особенно в дифференциальной геометрии и физике, естественно рассматривать тензор с компонентами, которые являются функциями точки в пространстве. Это была установка оригинальной работы Риччи. В современной математической терминологии такой объект называется тензорное поле, часто называемый просто тензором.^[1]

В этом контексте координатная база часто выбирается для касательное векторное пространство. Тогда закон преобразования может быть выражен через частные производные координатных функций,

${displaystyle {ar {x}} ^ {i} left (x ^ {1}, ldots, x ^ {n} ight),}$

определение преобразования координат,^[1]

${displaystyle {hat {T}} _ {j '_ {1} dots j' _ {q}} ^ {i '_ {1} dots i' _ {p}} left ({ar {x}} ^ { 1}, ldots, {ar {x}} ^ {n} ight) = {frac {partial {ar {x}} ^ {i '_ {1}}} {partial x ^ {i_ {1}}}} cdots {frac {partial {ar {x}}} ^ {i '_ {p}}} {partial x ^ {i_ {p}}}} {frac {partial x ^ {j_ {1}}} {partial {ar {x}} ^ {j '_ {1}}}} cdots {frac {partial x ^ {j_ {q}}}} {partial {ar {x}} ^ {j' _ {q}}}} T_ { j_ {1} точек j_ {q}} ^ {i_ {1} точек i_ {p}} влево (x ^ {1}, ldots, x ^ {n} ight).}$

Примеры

Элементарным примером отображения, описываемого как тензор, является скалярное произведение, который отображает два вектора в скаляр. Более сложный пример - Тензор напряжений Коши Т, который принимает направленный единичный вектор v в качестве входных данных и сопоставляет его с вектором напряжения Т^(v), которая представляет собой силу (на единицу площади), прилагаемую материалом к ​​отрицательной стороне плоскости, ортогональной v против материала на положительной стороне плоскости, таким образом выражая связь между этими двумя векторами, показанными на рисунке (справа). В перекрестное произведение, где два вектора отображаются в третий, строго говоря, не тензор, потому что он меняет свой знак при тех преобразованиях, которые меняют ориентацию системы координат. В полностью антисимметричный символ ${displaystyle varepsilon _ {ijk}}$ тем не менее, позволяет удобно работать с кросс-произведением в одинаково ориентированных трехмерных системах координат.

В этой таблице показаны важные примеры тензоров на векторных пространствах и тензорных полей на многообразиях. Тензоры классифицируются по типу (п, м), куда п - количество контравариантных индексов, м - количество ковариантных индексов, а п + м дает общий порядок тензора. Например, билинейная форма это то же самое, что и (0, 2)-тензор; ан внутренний продукт является примером (0, 2)-тензор, но не все (0, 2)-тензоры - это внутренние продукты. в (0, M)-заход из таблицы, M обозначает размерность лежащего в основе векторного пространства или многообразия, потому что для каждого измерения пространства требуется отдельный индекс, чтобы выбрать это измерение, чтобы получить максимально ковариантный антисимметричный тензор.

Повышение индекса на (п, м)-тензор производит (п + 1, м − 1)-тензор; это соответствует перемещению по диагонали вниз и влево по столу. Симметрично понижение индекса соответствует перемещению по таблице вверх и вправо по диагонали. Сокращение верха с нижним индексом (п, м)-тензор производит (п − 1, м − 1)-тензор; это соответствует перемещению по таблице вверх и влево по диагонали.

Ориентация определяется упорядоченным набором векторов.

Перевернутая ориентация соответствует отрицанию внешнего вида продукта.

Геометрическая интерпретация оценки п элементы в реальном внешняя алгебра за п = 0 (точка со знаком), 1 (направленный отрезок или вектор), 2 (элемент ориентированной плоскости), 3 (ориентированный объем). Внешний продукт п векторы можно визуализировать как любые п-размерная форма (например, п-параллелоэдр, п-эллипсоид ); с величиной (гиперобъем ), и ориентация определяется тем, что на его п − 1-мерная граница и с какой стороны находится интерьер.^[12][13]

Характеристики

Предполагая основа реального векторного пространства, например, системы координат в окружающем пространстве, тензор может быть представлен как организованный многомерный массив числовых значений по отношению к этой конкретной основе. При изменении базиса значения в массиве характерным образом преобразуются, что позволяет определять тензоры как объекты, придерживающиеся этого трансформационного поведения. Например, существуют инварианты тензоров, которые должны сохраняться при любом изменении базиса, тем самым делая только определенные многомерные массивы чисел тензор. Сравните это с массивом, представляющим ${displaystyle varepsilon _ {ijk}}$ не являясь тензором, так как знак меняется при преобразованиях, меняющих ориентацию.

Поскольку компоненты векторов и их двойники преобразуются по-разному при изменении их двойственных базисов, существует ковариантный и / или контравариантный закон преобразования который связывает массивы, которые представляют тензор по одному базису и по другому. Количество соответственно векторы: п (контравариантный индексы) и двойные векторы: м (ковариантный индексы) на входе и выходе тензора определяют тип (или же валентность) тензора пара натуральных чисел (п, м), которые определяют точный вид закона преобразования. В порядок тензора - это сумма этих двух чисел.

Приказ (также степень или же классифицировать) тензора, таким образом, есть сумма порядков его аргументов плюс порядок результирующего тензора. Это также размерность массива чисел, необходимая для представления тензора по отношению к определенному базису, или, что эквивалентно, количество индексов, необходимых для маркировки каждого компонента в этом массиве. Например, в фиксированном базисе стандартная линейная карта, которая отображает вектор в вектор, представлена ​​матрицей (2-мерным массивом) и, следовательно, является тензором 2-го порядка. Простой вектор может быть представлен как одномерный массив и, следовательно, является тензором 1-го порядка. Скаляры - это простые числа и, следовательно, тензоры 0-го порядка. Таким образом, тензор, представляющий скалярное произведение, берет два вектора и дает скаляр, имеет порядок 2 + 0 = 2, так же, как тензор напряжений, беря один вектор и возвращая другой 1 + 1 = 2. В ${displaystyle varepsilon _ {ijk}}$-символ, отображение двух векторов в один вектор будет иметь порядок 2 + 1 = 3.

Набор тензоров на векторном пространстве и его двойственные формы a тензорная алгебра, что позволяет производить произведения произвольных тензоров. Простые приложения тензоров порядка 2, который может быть представлен в виде квадратной матрицы, может быть решен путем умного расположения транспонированных векторов и применения правил умножения матриц, но не следует путать с этим тензорное произведение.

Обозначение

Существует несколько систем обозначений, которые используются для описания тензоров и выполнения вычислений с их участием.

Исчисление Риччи

Исчисление Риччи - современный формализм и обозначения для тензорных индексов: указание внутренний и внешние продукты, ковариация и контравариантность, подведения итогов компонент тензора, симметрия и антисимметрия, и частичный и ковариантные производные.

Соглашение о суммировании Эйнштейна

В Соглашение о суммировании Эйнштейна обходится без письма знаки суммирования, оставляя суммирование неявным. Суммируется любой повторяющийся индексный символ: если индекс я используется дважды в данном члене тензорного выражения, это означает, что член должен быть суммирован для всех я. Таким образом можно суммировать несколько различных пар индексов.

Графическое обозначение Пенроуза

Графическое обозначение Пенроуза представляет собой схематическое обозначение, в котором символы тензоров заменяются фигурами, а их индексы - линиями и кривыми. Он не зависит от базовых элементов и не требует символов для индексов.

Обозначение абстрактного индекса

В обозначение абстрактного индекса это способ записать тензоры таким образом, чтобы индексы больше не считались числовыми, а были неопределенный. Эта нотация отражает выразительность индексов и независимость от базиса безиндексных нотаций.

Бескомпонентная запись

А безкомпонентная обработка тензоров использует обозначение, которое подчеркивает, что тензоры не зависят ни от чего, и определяется в терминах тензорное произведение векторных пространств.

Операции

Есть несколько операций с тензорами, которые снова дают тензор. Линейный характер тензора подразумевает, что два тензора одного типа могут быть сложены вместе, и что тензоры могут быть умножены на скаляр с результатами, аналогичными масштабирование вектора. С компонентами эти операции просто выполняются покомпонентно. Эти операции не меняют тип тензора; но есть также операции, которые производят тензор другого типа.

Тензорное произведение

В тензорное произведение принимает два тензора, S и Т, и производит новый тензор, S ⊗ Т, порядок которого является суммой порядков исходных тензоров. Когда описывается как полилинейные карты, тензорное произведение просто умножает два тензора, т.е.

${displaystyle (Sotimes T) (v_ {1}, ldots, v_ {n}, v_ {n + 1}, ldots, v_ {n + m}) = S (v_ {1}, ldots, v_ {n}) Т (v_ {n + 1}, ldots, v_ {n + m}),}$

что снова дает карту, линейную по всем своим аргументам. На компонентах эффект заключается в попарном умножении компонентов двух входных тензоров, т.е.

${displaystyle (Sotimes T) _ {j_ {1} ldots j_ {k} j_ {k + 1} ldots j_ {k + m}} ^ {i_ {1} ldots i_ {l} i_ {l + 1} ldots i_ {l + n}} = S_ {j_ {1} ldots j_ {k}} ^ {i_ {1} ldots i_ {l}} T_ {j_ {k + 1} ldots j_ {k + m}} ^ {i_ {l + 1} ldots i_ {l + n}},}$

Если S относится к типу (л, k) и Т относится к типу (п, м), то тензорное произведение S ⊗ Т имеет тип (л + п, k + м).

Сокращение

Тензорное сжатие это операция, которая уменьшает тип (п, м) тензор к типу (п − 1, м − 1) тензор, из которого след это особый случай. Таким образом, общий порядок тензора уменьшается на два. Операция достигается суммированием компонентов, для которых один указанный контравариантный индекс совпадает с одним указанным ковариантным индексом, для создания нового компонента. Компоненты, для которых эти два индекса различны, отбрасываются. Например, (1, 1)-тензор ${displaystyle T_ {i} ^ {j}}$ можно свести к скаляру через

${displaystyle T_ {i} ^ {i}}$.

Где снова подразумевается суммирование. Когда (1, 1)-тензор интерпретируется как линейное отображение, эта операция известна как след.

Сжатие часто используется в сочетании с тензорным произведением для сжатия индекса от каждого тензора.

Сжатие также можно понять, используя определение тензора как элемента тензорного произведения копий пространства V с пространством V^∗ сначала разложив тензор на линейную комбинацию простых тензоров, а затем применив множитель из V^∗ к фактору от V. Например, тензор

${displaystyle Tin Votimes Votimes V ^ {*}}$

можно записать как линейную комбинацию

${displaystyle T = v_ {1} otimes w_ {1} otimes alpha _ {1} + v_ {2} otimes w_ {2} otimes alpha _ {2} + cdots + v_ {N} otimes w_ {N} otimes alpha _ {N}.}$

Сокращение Т на первом и последнем слотах вектор

${displaystyle alpha _ {1} (v_ {1}) w_ {1} + alpha _ {2} (v_ {2}) w_ {2} + cdots + alpha _ {N} (v_ {N}) w_ {N }.}$

В векторном пространстве с внутренний продукт (также известный как метрика ) грамм, период, термин сокращение используется для удаления двух контравариантных или двух ковариантных индексов путем формирования следа с метрическим тензором или его обратным. Например, (2, 0)-тензор ${displaystyle T ^ {ij}}$ можно свести к скаляру через

${displaystyle T ^ {ij} g_ {ij}}$

(опять же при условии суммирования).

Повышение или понижение индекса

Когда векторное пространство снабжено невырожденная билинейная форма (или же метрический тензор как это часто называют в этом контексте), можно определить операции, которые преобразуют контравариантный (верхний) индекс в ковариантный (нижний) индекс и наоборот. Метрический тензор - это (симметричный) (0, 2)-тензор; таким образом, можно свести верхний индекс тензора к одному из нижних индексов метрического тензора в произведении. Это создает новый тензор с той же структурой индекса, что и предыдущий тензор, но с нижним индексом, обычно показываемым в той же позиции, что и сжатый верхний индекс. Эта операция графически известна как понижение индекса.

И наоборот, обратная операция может быть определена и называется повышение индекса. Это эквивалентно аналогичному сокращению продукта с (2, 0)-тензор. Этот обратный метрический тензор имеет компоненты, которые являются матрицами, обратными компонентам метрического тензора.

Приложения

Механика сплошной среды

Важные примеры предоставлены механика сплошной среды. Напряжения внутри твердое тело или же жидкость описываются тензорным полем. В тензор напряжений и тензор деформации оба являются тензорными полями второго порядка и связаны в общем линейно-упругом материале четвертым порядком тензор упругости поле. В деталях, тензор, определяющий количественное напряжение в трехмерном твердом объекте, имеет компоненты, которые можно удобно представить в виде массива 3 × 3. Каждая из трех граней куба бесконечно малого объема твердого тела подвержена действию некоторой заданной силы. Составляющих вектора силы также три. Таким образом, для описания напряжения на этом бесконечно малом отрезке кубической формы требуется 3 × 3 или 9 компонентов. В пределах этого твердого тела находится масса различных величин напряжения, каждая из которых требует для описания 9 величин. Таким образом, нужен тензор второго порядка.

Если конкретный элемент поверхности внутри выделен материал, материал с одной стороны поверхности будет прикладывать силу с другой стороны. В общем, эта сила не будет ортогональна поверхности, но она будет линейно зависеть от ориентации поверхности. Это описывается тензором тип (2, 0), в линейная эластичность, а точнее тензорным полем типа (2, 0), поскольку напряжения могут варьироваться от точки к точке.

Другие примеры из физики

Общие приложения включают:

• Электромагнитный тензор (или тензор Фарадея) в электромагнетизм
• Тензоры конечной деформации для описания деформаций и тензор деформации за напряжение в механика сплошной среды
• Разрешающая способность и электрическая восприимчивость тензоры в анизотропный средства массовой информации
• Четыре-тензоры в общая теория относительности (например. тензор энергии-импульса ), используемый для представления импульс потоки
• Сферические тензорные операторы являются собственными функциями квантовой оператор углового момента в сферические координаты
• Тензоры диффузии, основа диффузионная тензорная визуализация, представляют собой скорости распространения в биологических средах
• Квантовая механика и квантовые вычисления использовать тензорные произведения для комбинации квантовых состояний

Приложения тензоров порядка> 2

Понятие тензора второго порядка часто объединяют с понятием матрицы. Однако тензоры более высокого порядка улавливают идеи, важные в науке и технике, как было последовательно показано во многих областях по мере их развития. Так бывает, например, в области компьютерное зрение, с трифокальный тензор обобщая фундаментальная матрица.

Поле нелинейная оптика изучает изменения материала плотность поляризации в экстремальных электрических полях. Возникающие волны поляризации связаны с генерирующими электрические поля через тензор нелинейной восприимчивости. Если поляризация п не линейно пропорционален электрическому полю E, среда называется нелинейный. В хорошем приближении (для достаточно слабых полей при отсутствии постоянных дипольных моментов) п дается Серия Тейлор в E коэффициенты которого представляют собой нелинейные восприимчивости:

${displaystyle {frac {P_ {i}} {varepsilon _ {0}}} = sum _ {j} chi _ {ij} ^ {(1)} E_ {j} + sum _ {jk} chi _ {ijk} ^ {(2)} E_ {j} E_ {k} + sum _ {jkell} chi _ {ijkell} ^ {(3)} E_ {j} E_ {k} E_ {ell} + cdots.!}$

Здесь ${displaystyle chi ^ {(1)}}$ - линейная восприимчивость, ${displaystyle chi ^ {(2)}}$ дает Эффект поккельса и генерация второй гармоники, и ${displaystyle chi ^ {(3)}}$ дает Эффект Керра. Это разложение показывает, как естественным образом возникают тензоры более высокого порядка в предметной области.

Обобщения

Тензорные произведения векторных пространств

Векторные пространства тензорное произведение не обязательно должны быть одинаковыми, и иногда элементы такого более общего тензорного произведения называют «тензорами». Например, элемент пространства тензорного произведения V ⊗ W "тензор" второго порядка в этом более общем смысле,^[14] и заказ-d тензор также можно определить как элемент тензорного произведения d разные векторные пространства.^[15] Тип (п, м) тензор в смысле, определенном ранее, также является тензором порядка п + м в этом более общем смысле. Понятие тензорного произведения может быть продлен произвольно модули над кольцом.

Тензоры в бесконечных измерениях

Понятие тензора можно обобщить различными способами, чтобы бесконечные измерения. Один, например, через тензорное произведение из Гильбертовы пространства.^[16] Другой способ обобщения идеи тензора, распространенный в нелинейный анализ, проходит через определение мультилинейных карт где вместо использования конечномерных векторных пространств и их алгебраические двойники, используется бесконечномерная Банаховы пространства и их непрерывный дуальный.^[17] Таким образом, тензоры естественным образом живут на Банаховы многообразия^[18] и Многообразия Фреше.

Тензорные плотности

Предположим, что однородная среда заполняет р³, так что плотность среды описывается одним скаляр ценить ρ в кг м⁻³. Масса области, кг Ω получается путем умножения ρ по объему региона Ω, или, что то же самое, интегрирование константы ρ по региону:

${displaystyle m = int _ {Omega} ho, dx, dy, dz}$

где декартовы координаты xyz измеряются в м. Если единицы длины заменены на см, то числовые значения координатных функций должны быть масштабированы в 100 раз:

${displaystyle x '= 100x, quad y' = 100y, quad z '= 100z}$

Числовое значение плотности ρ должен затем также преобразоваться ${displaystyle 100 ^ {- 3} м ^ {3} / см ^ {3}}$ для компенсации, так что числовое значение массы в кг по-прежнему дается интегралом от ${displaystyle ho, dx, dy, dz}$. Таким образом ${displaystyle ho '= 100 ^ {- 3} ho}$ (в единицах кг см⁻³).

В более общем смысле, если декартовы координаты xyz претерпевают линейное преобразование, то численное значение плотности ρ должен измениться на коэффициент, обратный абсолютному значению детерминант преобразования координат так, чтобы интеграл оставался неизменным, формула замены переменных для интеграции. Такая величина, которая масштабируется на величину, обратную абсолютному значению определителя карты перехода координат, называется скалярная плотность. Чтобы смоделировать непостоянную плотность, ρ является функцией переменных xyz (а скалярное поле ), а при криволинейном изменении координат преобразуется обратно пропорционально Якобиан изменения координаты. Подробнее о внутреннем значении см. Плотность на многообразии.

Плотность тензора трансформируется как тензор при изменении координаты, за исключением того, что она дополнительно принимает коэффициент абсолютного значения определителя координатного перехода:^[19]

${displaystyle T_ {j '_ {1} dots j' _ {q}} ^ {i '_ {1} dots i' _ {p}} [mathbf {f} cdot R] = | det R | ^ {- w} left (R ^ {- 1} ight) _ {i_ {1}} ^ {i '_ {1}} cdots left (R ^ {- 1} ight) _ {i_ {p}} ^ {i' _{п}}}$ ${displaystyle T_ {j_ {1}, ldots, j_ {q}} ^ {i_ {1}, ldots, i_ {p}} [mathbf {f}]}$ ${displaystyle R_ {j '_ {1}} ^ {j_ {1}} компакт-дисков R_ {j' _ {q}} ^ {j_ {q}}.}$

Здесь ш называется весом. В общем, любой тензор, умноженный на степень этой функции или ее абсолютное значение, называется плотностью тензора или взвешенным тензором.^[20][21] Примером тензорной плотности является плотность тока из электромагнетизм.

При аффинном преобразовании координат тензор преобразуется линейной частью самого преобразования (или его обратной) по каждому индексу. Это происходит из рациональные представления полной линейной группы. Но это не самый общий закон линейного преобразования, который может иметь такой объект: тензорные плотности нерациональны, но все же остаются полупростой представления. Еще один класс преобразований происходит из логарифмического представления общей линейной группы, приводимого, но не полупростого представления,^[22] состоящий из (Икс,у) ∈ р² с законом преобразования

${displaystyle (x, y) mapsto (x + ylog | det R |, y).}$

Геометрические объекты

Закон преобразования для тензора ведет себя как функтор в категории допустимых систем координат при общих линейных преобразованиях (или других преобразованиях в пределах некоторого класса, таких как локальные диффеоморфизмы.) Это делает тензор частным случаем геометрического объекта в техническом смысле, что он является функцией системы координат, функционально преобразующейся при изменении координат.^[23] Примеры объектов, подчиняющихся более общим законам преобразования: струи и, в более общем плане, натуральные пучки.^[24][25]

Спиноры

При переходе с одного ортонормированный базис (называется Рамка) в другой поворотом, компоненты тензора преобразуются тем же поворотом. Это преобразование не зависит от пути, пройденного через пространство кадров. Однако пространство рамок не односвязный (видеть ориентационная запутанность и трюк с тарелкой ): в пространстве фреймов существуют непрерывные траектории с одинаковыми начальными и конечными конфигурациями, не деформируемые друг в друга. К каждому кадру можно присоединить дополнительный дискретный инвариант, который включает эту зависимость от траектории и который оказывается (локально) имеет значения ± 1.^[26] А спинор - это объект, который трансформируется как тензор при поворотах в кадре, за исключением возможного знака, который определяется значением этого дискретного инварианта.^[27][28]

Если говорить кратко, спиноры являются элементами представление вращения группы вращения, а тензоры являются элементами ее тензорные представления. Другой классические группы имеют тензорные представления, а значит, и тензоры, совместимые с группой, но все некомпактные классические группы также имеют бесконечномерные унитарные представления.

История

Представления о более позднем тензорном анализе возникли в результате работ Карл Фридрих Гаусс в дифференциальная геометрия, и на формулировку во многом повлияла теория алгебраические формы и инварианты, разработанные в середине девятнадцатого века.^[29] Само слово «тензор» было введено в 1846 г. Уильям Роуэн Гамильтон^[30] чтобы описать нечто отличное от того, что сейчас подразумевается под тензором.^{[Заметка 3]} Современное использование было введено Вольдемар Фойгт в 1898 г.^[31]

Тензорное исчисление было разработано около 1890 г. Грегорио Риччи-Курбастро под заголовком абсолютное дифференциальное исчисление, и первоначально представленный Риччи-Курбастро в 1892 году.^[32] Он стал доступным для многих математиков благодаря публикации Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита классический текст 1900 года Абсолютные и другие методы расчета приложений (Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения).^[33]

В 20 веке этот предмет стал известен как тензорный анализ, и получил более широкое признание с введением Эйнштейн теория общая теория относительности, около 1915 г. Общая теория относительности полностью сформулирована на языке тензоров. Эйнштейн узнал о них с большим трудом от геометра. Марсель Гроссманн.^[34] Затем Леви-Чивита начал переписку с Эйнштейном, чтобы исправить ошибки, которые Эйнштейн сделал при использовании тензорного анализа. Переписка длилась 1915-17 гг. И характеризовалась взаимным уважением:

Я восхищаюсь элегантностью вашего метода вычислений; должно быть приятно ехать по этим полям на коне истинной математики, в то время как нам, подобным нам, приходится с трудом пробираться пешком.

— Альберт Эйнштейн^[35]

Тензоры также оказались полезными в других областях, таких как механика сплошной среды. Некоторые известные примеры тензоров в дифференциальная геометрия находятся квадратичные формы Такие как метрические тензоры, а Тензор кривизны Римана. В внешняя алгебра из Герман Грассманн с середины девятнадцатого века, сама по себе является тензорной теорией и в высшей степени геометрической, но прошло некоторое время до того, как ее увидели, с теорией дифференциальные формы, естественно объединенное с тензорным исчислением. Работа Эли Картан сделал дифференциальные формы одним из основных видов тензоров, используемых в математике.

Примерно с 1920-х годов стало ясно, что тензоры играют основную роль в алгебраическая топология (например, в Теорема Кюннета ).^[36] Соответственно, существуют типы тензоров, работающих во многих отраслях абстрактная алгебра, особенно в гомологическая алгебра и теория представлений. Полилинейная алгебра может быть развита в большей степени, чем для скаляров, происходящих из поле. Например, скаляры могут происходить из звенеть. Но тогда теория становится менее геометрической, а вычисления более техничными и менее алгоритмическими.^[37] Тензоры обобщены внутри теория категорий с помощью концепции моноидальная категория, с 1960-х гг.^[38]

Смотрите также

• Тип данных массива, для хранения тензоров и манипуляций

Основополагающий

• Декартов тензор
• Пучок волокна
• Глоссарий тензорной теории
• Многолинейная проекция
• Одна форма
• Тензорное произведение модулей

Приложения

• Применение тензорной теории в технике
• Механика сплошной среды
• Ковариантная производная
• Кривизна
• МРТ с тензорной диффузией
• Уравнения поля Эйнштейна
• Гидравлическая механика
• Сила тяжести
• Мультилинейное подпространственное обучение
• Риманова геометрия
• Структурный тензор
• Тензорное разложение
• Тензорная производная
• Тензорное программное обеспечение

Примечания

Рекомендации

Специфический

Общий

• Эта статья включает материал из тензора на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Тензор". MathWorld.
• Рэй М. Боуэн и К. С. Ван (1976). Введение в векторы и тензоры, Том 1: Линейная и полилинейная алгебра. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Plenum Press. HDL:1969.1/2502.CS1 maint: использует параметр авторов (связь)
• Рэй М. Боуэн и К. С. Ван (2006). Введение в векторы и тензоры, Том 2: Векторный и тензорный анализ. HDL:1969.1/3609.CS1 maint: использует параметр авторов (связь)
• Введение в тензоры для студентов-физиков и инженеров Джозеф К. Колецки, Исследовательский центр Гленна, Кливленд, Огайо, опубликовано НАСА
• Основы тензорного анализа для студентов-физиков и инженеров с введением в теорию относительности Джозеф К. Колецки, Исследовательский центр Гленна, Кливленд, Огайо, опубликовано НАСА
• Обсуждение различных подходов к обучению тензоров и рекомендации учебников.
• Введение в тензоры оригинальный подход S Poirier
• Шарипов, Руслан (2004). «Краткое введение в тензорный анализ». arXiv:math.HO / 0403252.
• Лекция Ричарда П. Фейнмана о тензорах.