Плотность на многообразии - Density on a manifold

В математика, и в частности дифференциальная геометрия, а плотность пространственно изменяющаяся величина на дифференцируемое многообразие это может быть интегрированный внутренним образом. Абстрактно плотность - это раздел определенного банальный линейный пакет, называется пучок плотности. Элемент плотностного расслоения при Икс это функция, которая назначает объем для параллелотоп охватывает п заданные касательные векторы в Икс.

С операционной точки зрения, плотность - это набор функций на карты координат которые умножаются на абсолютное значение Определитель якобиана в смене координат. Плотности можно обобщить на s-плотности, координатные представления которого умножаются на s-я степень абсолютного значения определителя якобиана. На ориентированное многообразие, 1-плотности можно канонически отождествить с п-формы на M. На неориентируемых многообразиях это отождествление невозможно, поскольку расслоение плотности является тензорным произведением ориентационного расслоения M и п-й внешний набор продуктов Т^∗M (видеть псевдотензор ).

Мотивация (плотности в векторных пространствах)

Вообще не существует естественного понятия «объем» для параллелоэдра, порожденного векторами. v₁, ..., v_п в п-мерное векторное пространство V. Однако, если кто-то хочет определить функцию μ : V × ... × V → р который задает объем для любого такого параллелотопа, он должен удовлетворять следующим свойствам:

Если какой-либо из векторов v_k умножается на λ ∈ р, громкость следует умножить на |λ|.
Если любая линейная комбинация векторов v₁, ..., v_j−1, v_j+1, ..., v_п добавляется к вектору v_j, объем должен оставаться неизменным.

Эти условия эквивалентны утверждению, что μ дается трансляционно-инвариантной мерой на V, и их можно перефразировать как

{ displaystyle mu (Av_ {1}, ldots, Av_ {n}) = left | det A right | mu (v_ {1}, ldots, v_ {n}), quad A в operatorname {GL} (V).}

Любое такое отображение μ : V × ... × V → р называется плотность в векторном пространстве V. Обратите внимание, что если (v₁, ..., v_п) является любой основой для V, затем исправление μ(v₁, ..., v_п) починю μ полностью; следует, что множество Vol (V) всех плотностей на V образует одномерное векторное пространство. Любой п-форма ω на V определяет плотность |ω| на V к

{ displaystyle | omega | (v_ {1}, ldots, v_ {n}): = | omega (v_ {1}, ldots, v_ {n}) |.}

Ориентации в векторном пространстве

Множество Or (V) всех функций о : V × ... × V → р это удовлетворяет

{ displaystyle o (Av_ {1}, ldots, Av_ {n}) = operatorname {sign} ( det A) o (v_ {1}, ldots, v_ {n}), quad A in operatorname {GL} (V)}

образует одномерное векторное пространство, а ориентация на V один из двух элементов о ∈ Or (V) такой, что |о(v₁, ..., v_п)| = 1 для любых линейно независимых v₁, ..., v_п. Любой ненулевой п-форма ω на V определяет ориентацию о ∈ Or (V) такой, что

{ displaystyle o (v_ {1}, ldots, v_ {n}) | omega | (v_ {1}, ldots, v_ {n}) = omega (v_ {1}, ldots, v_ { n}),}

и наоборот, любые о ∈ Or (V) и любой плотности μ ∈ Vol (V) определить п-форма ω на V к

{ displaystyle omega (v_ {1}, ldots, v_ {n}) = o (v_ {1}, ldots, v_ {n}) mu (v_ {1}, ldots, v_ {n} ).}

С точки зрения тензорные произведения,

{ displaystyle operatorname {Or} (V) otimes operatorname {Vol} (V) = bigwedge ^ {n} V ^ {*}, quad operatorname {Vol} (V) = operatorname {Or} (V) otimes bigwedge ^ {n} V ^ {*}.}

s-плотности на векторном пространстве

В s-плотности на V функции μ : V × ... × V → р такой, что

{ displaystyle mu (Av_ {1}, ldots, Av_ {n}) = left | det A right | ^ {s} mu (v_ {1}, ldots, v_ {n}), quad A in operatorname {GL} (V).}

Как и плотности, s-плотности образуют одномерное векторное пространство Vol^s(V) и любые п-форма ω на V определяет s-плотность |ω|^s на V к

{ displaystyle | omega | ^ {s} (v_ {1}, ldots, v_ {n}): = | omega (v_ {1}, ldots, v_ {n}) | ^ {s}. }

Продукт s₁- и s₂-плотности μ₁ и μ₂ для мужчин (s₁+s₂)-плотность μ к

{ displaystyle mu (v_ {1}, ldots, v_ {n}): = mu _ {1} (v_ {1}, ldots, v_ {n}) mu _ {2} (v_ { 1}, ldots, v_ {n}).}

С точки зрения тензорные произведения этот факт можно констатировать как

{ displaystyle operatorname {Vol} ^ {s_ {1}} (V) otimes operatorname {Vol} ^ {s_ {2}} (V) = operatorname {Vol} ^ {s_ {1} + s_ { 2}} (V).}

Определение

Формально sпучок плотности Vol^s(M) дифференцируемого многообразия M получается связанный пакет конструкция, переплетающая одномерные групповое представительство

{ displaystyle rho (A) = left | det A right | ^ {- s}, quad A in operatorname {GL} (n)}

из общая линейная группа с комплект кадров из M.

Результирующий линейный пакет известен как связка s-плотности и обозначается

{ displaystyle left | Lambda right | _ {M} ^ {s} = left | Lambda right | ^ {s} (TM).}

1-плотность также называют просто плотность.

В более общем смысле, связанная конструкция пучка также позволяет строить плотности из любых векторный набор E на M.

Подробно, если (U_α, φ_α) является атлас из карты координат на M, то есть ассоциированный локальная тривиализация из ${ displaystyle left | Lambda right | _ {M} ^ {s}}$

{ displaystyle t _ { alpha}: left | Lambda right | _ {M} ^ {s} | _ {U _ { alpha}} to phi _ { alpha} (U _ { alpha}) раз mathbb {R}}

подчиняться открытой обложке U_α такой, что ассоциированный GL (1) -коцикл удовлетворяет

{ displaystyle t _ { alpha beta} = left | det (d phi _ { alpha} circ d phi _ { beta} ^ {- 1}) right | ^ {- s}. }

Интеграция

Плотность играет важную роль в теории интеграция на коллекторах. Действительно, определение плотности мотивировано тем, как мера dx изменяется при изменении координат (Фолланд 1999, Раздел 11.4, стр. 361-362).

Учитывая 1-плотность ƒ, поддерживаемую в координатной диаграмме U_α, интеграл определяется как

{ Displaystyle int _ {U _ { alpha}} е = int _ { phi _ { alpha} (U _ { alpha})} т _ { alpha} circ f circ phi _ { alpha } ^ {- 1} д му}

где последний интеграл относительно Мера Лебега на р^п. Закон преобразования для 1-плотностей вместе с Якобиева замена переменных обеспечивает совместимость на перекрытиях различных карт координат, и, таким образом, интеграл общего компактно поддерживается 1-плотность может быть определена разделение единства аргумент. Таким образом, 1-плотности являются обобщением понятия объемной формы, которое не обязательно требует, чтобы многообразие было ориентированным или даже ориентируемым. В более общем плане можно разработать общую теорию Радоновые меры в качестве распределительный разделы ${ displaystyle | Lambda | _ {M} ^ {1}}$ с использованием Теорема Рисса-Маркова-Какутани о представлении.

Набор 1 / п-плотности такие, что ${ displaystyle | phi | _ {p} = left ( int | phi | ^ {p} right) ^ {1 / p} < infty}$ - линейное нормированное пространство, пополнение которого ${ Displaystyle L ^ {p} (М)}$ называется внутренний L^п Космос из M.

Конвенции

В некоторых областях, особенно конформная геометрия используется другое соглашение о взвешивании: пучок s-плотность вместо этого связана с персонажем

{ Displaystyle rho (A) = left | det A right | ^ {- s / n}.}

С помощью этого соглашения, например, интегрируют п-плотности (а не 1-плотности). Также в этих соглашениях конформная метрика обозначается тензорная плотность веса 2.

Характеристики

В двойное векторное расслоение из ${ displaystyle | Lambda | _ {M} ^ {s}}$ является ${ displaystyle | Lambda | _ {M} ^ {- s}}$ .
Тензорные плотности это разделы тензорное произведение расслоения плотности с тензорным расслоением.