Дифференциальная форма - Differential form

в математический поля дифференциальная геометрия и тензорное исчисление, дифференциальные формы подход к многомерное исчисление это не зависит от координаты. Дифференциальные формы обеспечивают единый подход к определению интегрирует над кривыми, поверхностями, телами и многомерными коллекторы. Современное понятие дифференциальных форм было впервые предложено Эли Картан. Он имеет множество приложений, особенно в геометрии, топологии и физике.

Например, выражение ж(Икс) dx из исчисления с одной переменной является примером 1-форма и может быть интегрированный на ориентированном интервале [а, б] в области ж:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx.}$

Аналогично выражение ж(Икс, у, z) dx ∧ dy + грамм(Икс, у, z) дз ∧ dx + час(Икс, у, z) dy ∧ дз это 2-форма, имеющая поверхностный интеграл над ориентированный поверхность S:

${ Displaystyle int _ {S} (е (х, у, z) , dx клин dy + g (x, y, z) , dz клин dx + h (x, y, z) , dy wedge dz).}$

Символ ∧ обозначает внешний продукт, иногда называемый клин, двух дифференциальных форм. Точно так же 3-форма ж(Икс, у, z) dx ∧ dy ∧ дз представляет элемент объема которые могут быть интегрированы в ориентированную область пространства. В целом k-form - это объект, который может быть интегрирован в k-мерное ориентированное многообразие и однородно степени k в координатных дифференциалах.

В алгебра дифференциальных форм организована таким образом, что естественным образом отражает ориентация области интеграции. Есть операция d на дифференциальные формы, известные как внешняя производная что, если дать k-form как входной, производит (k + 1)-form как выход. Эта операция расширяет дифференциал функции, и напрямую связана с расхождение и завиток векторного поля таким образом, чтобы основная теорема исчисления, то теорема расходимости, Теорема Грина, и Теорема Стокса частные случаи того же общего результата, известные в этом контексте также как обобщенные Теорема Стокса. Более глубоко эта теорема связывает топология области интеграции к структуре самих дифференциальных форм; точное соединение известно как теорема де Рама.

Общая обстановка для изучения дифференциальных форм находится на дифференцируемое многообразие. Дифференциальный 1-формы естественно двойственны векторные поля на многообразии, а спаривание векторных полей и 1-форм распространяется на произвольные дифференциальные формы интерьерный продукт. Алгебра дифференциальных форм вместе с определенной на ней внешней производной сохраняется откат при гладких функциях между двумя многообразиями. Эта функция позволяет перемещать геометрически неизменную информацию из одного пространства в другое посредством отката при условии, что информация выражена в терминах дифференциальных форм. Например, формула замены переменных для интеграции становится простым утверждением, что интеграл сохраняется при откате.

История

Дифференциальные формы являются частью области дифференциальной геометрии, на которую влияет линейная алгебра. Хотя понятие дифференциала довольно старое, первоначальную попытку алгебраической организации дифференциальных форм обычно приписывают Эли Картан со ссылкой на его статью 1899 года.^[1] Некоторые аспекты внешняя алгебра дифференциальных форм появляется в Герман Грассманн работа 1844 г., Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (Теория линейного расширения, новый раздел математики).

Концепция

Дифференциальные формы обеспечивают подход к многомерное исчисление это не зависит от координаты.

Интеграция и ориентация

Дифференциал k-форма может быть интегрирована в ориентированную многообразие измерения k. Дифференциал 1-форму можно рассматривать как измерение бесконечно малой ориентированной длины или одномерной ориентированной плотности. Дифференциал 2-форму можно рассматривать как измерение бесконечно малой ориентированной площади или двумерной ориентированной плотности. И так далее.

Интеграция дифференциальных форм четко определена только на ориентированный коллекторы. Примером одномерного многообразия является интервал [а, б], а интервалам можно придать ориентацию: они ориентированы положительно, если а < б, а в противном случае - отрицательно. Если а < б то интеграл от дифференциальной 1-формы ж(Икс) dx за интервал [а, б] (с его естественной положительной ориентацией)

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx}$

которая является отрицательной величиной интеграла той же дифференциальной формы на том же интервале, когда используется противоположная ориентация. То есть:

${ displaystyle int _ {b} ^ {a} f (x) , dx = - int _ {a} ^ {b} f (x) , dx}$

Это дает геометрический контекст условности для одномерных интегралов знак меняется при изменении ориентации интервала на противоположную. Стандартное объяснение этого в теории интегрирования с одной переменной состоит в том, что когда пределы интегрирования находятся в противоположном порядке (б < а), приращение dx отрицательно в направлении интеграции.

В более общем плане м-форма - это ориентированная плотность, которая может быть интегрирована по м-мерное ориентированное многообразие. (Например, 1-форму можно интегрировать по ориентированной кривой, 2-форма может быть интегрирована по ориентированной поверхности и т. д.) Если M ориентированный м-мерное многообразие и M′ - то же многообразие с противоположной ориентацией и ω является м-form, то имеем:

${ Displaystyle int _ {M} omega = - int _ {M '} omega ,.}$

Эти соглашения соответствуют интерпретации подынтегрального выражения как дифференциальной формы, интегрированной по цепь. В теория меры, напротив, подынтегральное выражение интерпретируется как функция ж по мере μ и интегрирует по подмножеству А, без понятия ориентации; один пишет ${ displaystyle textstyle { int _ {A} f , d mu = int _ {[a, b]} f , d mu}}$ для обозначения интеграции по подмножеству А. Это незначительное различие в одном измерении, но становится более тонким на многомерном многообразии; видеть ниже для подробностей.

Уточнение понятия ориентированной плотности и, следовательно, дифференциальной формы требует внешняя алгебра. Дифференциалы набора координат, dx¹, ..., dx^п можно использовать как основу для всех 1-форм. Каждый из них представляет собой ковектор в каждой точке коллектора, что можно рассматривать как измерение небольшого смещения в соответствующем координатном направлении. Генерал 1-форма - это линейная комбинация этих дифференциалов в каждой точке многообразия:

${ displaystyle f_ {1} , dx ^ {1} + cdots + f_ {n} , dx ^ {n},}$

где ж_k = ж_k(Икс¹, ... , Икс^п) являются функциями всех координат. Дифференциал 1-форма интегрируется по ориентированной кривой как линейный интеграл.

Выражения dx^я ∧ dx^j, куда я < j может использоваться в качестве основы в любой точке многообразия для всех двух форм. Это можно представить как бесконечно малый ориентированный квадрат, параллельный Икс^я–Икс^j-самолет. Общая двойная форма - это их линейная комбинация в каждой точке многообразия: ${ displaystyle sum _ {1 leq я$, и он интегрирован так же, как поверхностный интеграл.

Фундаментальной операцией, определенной на дифференциальных формах, является внешний продукт (символ - клин ∧). Это похоже на перекрестное произведение из векторного исчисления в том смысле, что это чередующийся продукт. Например,

${ displaystyle dx ^ {1} wedge dx ^ {2} = - dx ^ {2} wedge dx ^ {1}}$

потому что квадрат, первая сторона которого dx¹ а вторая сторона dx² следует рассматривать как имеющий противоположную ориентацию, чем квадрат, первая сторона которого dx² и чья вторая сторона dx¹. Вот почему нам нужно только суммировать выражения dx^я ∧ dx^j, с я < j; Например: а(dx^я ∧ dx^j) + б(dx^j ∧ dx^я) = (а − б) dx^я ∧ dx^j. Внешний продукт позволяет строить дифференциальные формы более высокой степени из форм более низкой степени почти так же, как перекрестное произведение в векторном исчислении позволяет вычислить вектор площади параллелограмма из векторов, направленных вверх на две стороны. Чередование также означает, что dx^я ∧ dx^я = 0, точно так же, как векторное произведение параллельных векторов, величина которого равна площади параллелограмма, натянутого на эти векторы, равно нулю. В высших измерениях dx^я₁ ∧ ⋅⋅⋅ ∧ dx^я_м = 0 если любые два из индексов я₁, ..., я_м равны, так же как "объем", заключенный параллелотоп чьи реберные векторы линейно зависимый равно нулю.

Мультииндексная нотация

Обычное обозначение клиновидного произведения элементарных 1-форм называется многоиндексная запись: в п-мерный контекст, для ${ displaystyle I = (i_ {1}, i_ {2}, ldots, i_ {m}), 1 leq i_ {1}$, мы определяем ${ textstyle dx ^ {I}: = dx ^ {i_ {1}} wedge cdots wedge dx ^ {i_ {m}} = bigwedge _ {i in I} dx ^ {i}}$.^[2] Еще одно полезное обозначение получается путем определения множества всех строго возрастающих мультииндексов длины k, в пространстве измерения п, обозначенный ${ displaystyle { mathcal {J}} _ {k, n}: = {I = (i_ {1}, ldots, i_ {k}): 1 leq i_ {1}$. Затем локально (где бы ни применялись координаты), ${ displaystyle {dx ^ {I} } _ {I in { mathcal {J}} _ {k, n}}}$охватывает пространство дифференциала k-формы в многообразии M измерения п, если рассматривать его как модуль над кольцом C^∞(M) гладких функций на M. Рассчитав размер ${ displaystyle { mathcal {J}} _ {k, n}}$ комбинаторно модуль k-формируется на п-мерное многообразие, а в общем пространстве k-ковекторы на п-мерное векторное пространство, является п выберитеk: ${ displaystyle textstyle | { mathcal {J}} _ {k, n} | = { binom {n} {k}}}$. Это также демонстрирует, что не существует ненулевых дифференциальных форм степени выше размерности лежащего в основе многообразия.

Внешняя производная

Помимо внешнего вида, есть еще внешняя производная оператор d. Внешняя производная дифференциальной формы является обобщением дифференциал функции, в том смысле, что внешняя производная от ж ∈ C^∞(M) = Ω⁰(M) в точности дифференциал ж. При обобщении на высшие формы, если ω = ж dx^я это простой k-form, то его внешняя производная dω это (k + 1)-форма определяется как дифференциал функций коэффициентов:

${ displaystyle d omega = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial f} { partial x ^ {i}}} , dx ^ {i} wedge dx ^ {I }.}$

с распространением на общие k-формируется через линейность: если ${ displaystyle tau = sum _ {I in { mathcal {J}} _ {k, n}} a_ {I} , dx ^ {I} in Omega ^ {k} (M)}$, то его внешняя производная равна

${ displaystyle d tau = sum _ {I in { mathcal {J}} _ {k, n}} left ( sum _ {j = 1} ^ {n} { frac { partial a_ {I}} { partial x ^ {j}}} , dx ^ {j} right) wedge dx ^ {I} in Omega ^ {k + 1} (M)}$

В р³, с Звездный оператор Ходжа, внешняя производная соответствует градиент, завиток, и расхождение, хотя это соответствие, как и кросс-произведение, не распространяется на более высокие измерения, и к нему следует относиться с некоторой осторожностью.

Сама внешняя производная применяется в произвольном конечном числе измерений и представляет собой гибкий и мощный инструмент с широким применением в дифференциальная геометрия, дифференциальная топология, и многие области физики. Следует отметить, что хотя приведенное выше определение внешней производной было определено относительно локальных координат, ее можно определить совершенно бескординатным способом, как антидеривация степени 1 на внешняя алгебра дифференциальных форм. Преимущество этого более общего подхода состоит в том, что он позволяет использовать естественный бескординатный подход к интегрированию на коллекторы. Это также позволяет естественным образом обобщить основная теорема исчисления, называемый (обобщенным) Теорема Стокса, что является центральным результатом теории интегрирования на многообразиях.

Дифференциальное исчисление

Позволять U быть открытый набор в р^п. Дифференциал 0-form ("нулевая форма") определяется как гладкая функция ж на U - множество которых обозначено C^∞(U). Если v любой вектор в р^п, тогда ж имеет производная по направлению ∂_v ж, что является еще одной функцией на U чья ценность в точке п ∈ U скорость изменения (при п) из ж в v направление:

${ displaystyle ( partial _ {v} f) (p) = left. { frac {d} {dt}} f (p + tv) right | _ {t = 0}.}$

(Это понятие можно распространить точечно на случай, когда v это векторное поле на U оценивая v в момент п в определении.)

В частности, если v = е_j это jth вектор координат тогда ∂_v ж это частная производная из ж с уважением к j-я координатная функция, т.е. ∂ж / ∂Икс^j, куда Икс¹, Икс², ..., Икс^п координатные функции на U. По самому своему определению частные производные зависят от выбора координат: если новые координаты у¹, у², ..., у^п вводятся, то

${ displaystyle { frac { partial f} { partial x ^ {j}}} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial y ^ {i}} { partial x ^ {j}}} { frac { partial f} { partial y ^ {i}}}.}.$

Первой идеей, ведущей к дифференциальным формам, является наблюдение, что ∂_v ж (п) это линейная функция из v:

${ Displaystyle { begin {align} ( partial _ {v + w} f) (p) & = ( partial _ {v} f) (p) + ( partial _ {w} f) (p) ( partial _ {cv} f) (p) & = c ( partial _ {v} f) (p) end {align}}}$

для любых векторов v, ш и любое реальное число c. В каждой точке п, это линейная карта из р^п к р обозначается df_п и назвал производная или же дифференциал из ж в п. Таким образом df_п(v) = ∂_v ж (п). Распространенный по всему набору объект df можно рассматривать как функцию, которая принимает векторное поле на U, и возвращает функцию с действительным знаком, значение которой в каждой точке является производной вдоль векторного поля функции ж. Обратите внимание, что на каждом п, дифференциал df_п не действительное число, а линейный функционал от касательных векторов и прототипический пример дифференциала 1-форма.

Поскольку любой вектор v это линейная комбинация ∑ v^jе_j своего составные части, df однозначно определяется df_п(е_j) для каждого j и каждый п ∈ U, которые являются частными производными от ж на U. Таким образом df обеспечивает способ кодирования частных производных от ж. Его можно расшифровать, заметив, что координаты Икс¹, Икс², ..., Икс^п сами являются функциями U, и таким образом определим дифференциал 1-формы dx¹, dx², ..., dx^п. Позволять ж = Икс^я. С ∂Икс^я / ∂Икс^j = δ_ij, то Дельта-функция Кронекера, следует, что

${ displaystyle df = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial f} { partial x ^ {i}}} , dx ^ {i}.}$

(*)

Смысл этого выражения дается путем оценки обеих сторон в произвольной точке п: в правой части указана сумма "точечно ", так что

${ displaystyle df_ {p} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial f} { partial x ^ {i}}} (p) (dx ^ {i}) _ { п}.}$

Применяя обе стороны к е_j, результат с каждой стороны j-я частная производная от ж в п. С п и j были произвольными, это доказывает формулу (*).

В общем, для любых гладких функций грамм_я и час_я на U, определим дифференциал 1-форма α = ∑_я грамм_я dh_я поточечно

${ displaystyle alpha _ {p} = sum _ {i} g_ {i} (p) (dh_ {i}) _ {p}}$

для каждого п ∈ U. Любой дифференциал 1-form возникает таким образом, и с помощью (*) следует, что любой дифференциал 1-форма α на U можно выразить в координатах как

${ Displaystyle альфа = сумма _ {я = 1} ^ {п} f_ {я} , dx ^ {я}}$

для некоторых гладких функций ж_я на U.

Вторая идея, ведущая к дифференциальным формам, возникает из следующего вопроса: учитывая дифференциал 1-форма α на U, когда существует функция ж на U такой, что α = df? Приведенное выше разложение сводит этот вопрос к поиску функции ж чьи частные производные ∂ж / ∂Икс^я равны п данные функции ж_я. За п > 1, такая функция не всегда существует: любая гладкая функция ж удовлетворяет

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {i} , partial x ^ {j}}} = { frac { partial ^ {2} f} { partial х ^ {j} , partial x ^ {i}}},}$

так что найти такой ж пока не

${ displaystyle { frac { partial f_ {j}} { partial x ^ {i}}} - { frac { partial f_ {i}} { partial x ^ {j}}} = 0}$

для всех я и j.

В кососимметрия левой стороны в я и j предлагает ввести антисимметричный продукт ∧ на дифференциале 1-форм, внешний продукт, так что эти уравнения можно объединить в одно условие

${ displaystyle sum _ {i, j = 1} ^ {n} { frac { partial f_ {j}} { partial x ^ {i}}} , dx ^ {i} wedge dx ^ { j} = 0,}$

куда ∧ определяется так, что:

${ displaystyle dx ^ {i} wedge dx ^ {j} = - dx ^ {j} wedge dx ^ {i}.}$

Это пример дифференциала 2-форма. Этот 2-форма называется внешняя производная dα из α = ∑^п
_j=1 ж_j dx^j. Это дается

${ displaystyle d alpha = sum _ {j = 1} ^ {n} df_ {j} wedge dx ^ {j} = sum _ {i, j = 1} ^ {n} { frac { partial f_ {j}} { partial x ^ {i}}} , dx ^ {i} wedge dx ^ {j}.}$

Подвести итоги: dα = 0 является необходимым условием существования функции ж с α = df.

Дифференциальный 0-формы, 1-формы и 2-формы - это частные случаи дифференциальных форм. Для каждого k, существует пространство дифференциала k-формы, которые можно выразить через координаты как

${ displaystyle sum _ {i_ {1}, i_ {2} ldots i_ {k} = 1} ^ {n} f_ {i_ {1} i_ {2} ldots i_ {k}} , dx ^ {i_ {1}} wedge dx ^ {i_ {2}} wedge cdots wedge dx ^ {i_ {k}}}$

для набора функций ж_{я1я2⋅⋅⋅яk}. Антисимметрия, которая уже присутствовала для 2-forms, позволяет ограничить сумму теми наборами индексов, для которых я₁ < я₂ < ... < я_k−1 < я_k.

Дифференциальные формы можно перемножать, используя внешнее произведение, и для любого дифференциала k-форма α, есть дифференциал (k + 1)-форма dα называется внешней производной от α.

Дифференциальные формы, внешний продукт и внешняя производная не зависят от выбора координат. Следовательно, они могут быть определены на любом гладкое многообразие M. Один из способов сделать это - накрыть M с карты координат и определим дифференциал k-форма на M быть семьей дифференциала k-формы на каждой диаграмме, которые согласовывают перекрытия. Однако есть более внутренние определения, которые демонстрируют независимость координат.

Внутренние определения

Позволять M быть гладкое многообразие. Гладкая дифференциальная форма степени k это гладкий участок из kth внешняя сила из котангенсный пучок из M. Комплект всего дифференциала k-формы на многообразии M это векторное пространство, часто обозначаемый Ω^k(M).

Определение дифференциальной формы можно переформулировать следующим образом. В любой момент п ∈ M, а k-форма β определяет элемент

${ displaystyle beta _ {p} in { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {p} ^ {*} M,}$

куда Т_пM это касательное пространство к M в п и Т_п^*M это его двойное пространство. Это пространство естественно изоморфно слою в точке п дуального пучка kth внешняя мощь касательный пучок из M. Это, β также является линейным функционалом ${ textstyle beta _ {p} двоеточие { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {p} M to mathbf {R}}$, т. е. двойственное k-я внешняя мощность изоморфна k-я внешняя мощность двойника:

${ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {p} ^ {*} M cong { Big (} { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {p} M { Big)} ^ {*}}$

По универсальному свойству внешних степеней это эквивалентно чередование многолинейная карта:

${ displaystyle beta _ {p} двоеточие bigoplus _ {n = 1} ^ {k} T_ {p} M to mathbf {R}.}$

Следовательно, дифференциал k-форму можно сравнить с любым k-набор касательных векторов к одной точке п из M. Например, дифференциал 1-форма α присваивает каждой точке п ∈ M а линейный функционал α_п на Т_пM. При наличии внутренний продукт на Т_пM (индуцированный Риманова метрика на M), α_п может быть представлен как внутренний продукт с касательный вектор Икс_п. Дифференциальный 1-формы иногда называют ковариантные векторные поля, ковекторные поля или «двойные векторные поля», особенно в физике.

Внешняя алгебра может быть вложена в тензорную алгебру с помощью отображения чередования. Карта чередования определяется как отображение

${ displaystyle operatorname {Alt} двоеточие { bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M to { bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M.}$

Для тензора в точке п,

${ displaystyle operatorname {Alt} ( omega _ {p}) (x_ {1}, dots, x_ {k}) = { frac {1} {k!}} sum _ { sigma in S_ {k}} operatorname {sgn} ( sigma) omega _ {p} (x _ { sigma (1)}, dots, x _ { sigma (k)}),}$

куда S_k это симметричная группа на k элементы. Отображение альтернирования постоянно на смежных классах идеала в тензорной алгебре, порожденной симметричными 2-формами, и поэтому спускается до вложения

${ displaystyle operatorname {Alt} двоеточие { textstyle bigwedge} ^ {k} T ^ {*} M to { bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M.}$

Эта карта показывает β как полностью антисимметричный ковариантный тензорное поле ранга k. Дифференциальные формы на M находятся во взаимно однозначном соответствии с такими тензорными полями.

Операции

Помимо сложения и умножения с помощью скалярных операций, которые возникают из структуры векторного пространства, существует несколько других стандартных операций, определенных для дифференциальных форм. Наиболее важными операциями являются внешний продукт двух дифференциальных форм внешняя производная единой дифференциальной формы интерьерный продукт дифференциальной формы и векторного поля Производная Ли дифференциальной формы относительно векторного поля и ковариантная производная дифференциальной формы относительно векторного поля на многообразии с определенной связностью.

Внешний продукт

Внешний продукт k-форма α и ℓ-форма β это (k + ℓ) -форма обозначается α ∧ β. В каждой точке п коллектора M, формы α и β являются элементами внешней силы котангенсного пространства при п. Когда внешняя алгебра рассматривается как фактор тензорной алгебры, внешнее произведение соответствует тензорному произведению (по модулю отношения эквивалентности, определяющего внешнюю алгебру).

Антисимметрия, присущая внешней алгебре, означает, что когда α ∧ β рассматривается как полилинейный функционал, он знакопеременный. Однако, когда внешняя алгебра вложила подпространство тензорной алгебры с помощью отображения альтернирования, тензорное произведение α ⊗ β не чередуется. Существует явная формула, описывающая внешний вид продукта в этой ситуации. Внешний вид продукта

${ displaystyle alpha wedge beta = { frac {(k + ell)!} {k! ell!}} operatorname {Alt} ( alpha otimes beta).}$

Это описание полезно для явных вычислений. Например, если k = ℓ = 1, тогда α ∧ β это 2-form, чье значение в точке п это переменная билинейная форма определяется

${ Displaystyle ( альфа клин бета) _ {p} (v, w) = alpha _ {p} (v) beta _ {p} (w) - alpha _ {p} (w) бета _ {p} (v)}$

за v, ш ∈ T_пM.

Внешний продукт билинейный: Если α, β, и γ - любые дифференциальные формы, а если ж - любая гладкая функция, то

${ Displaystyle альфа клин ( бета + гамма) = альфа клин бета + альфа клин гамма,}$

${ Displaystyle альфа клин (е CDOT бета) = е CDOT ( альфа клин бета).}$

это косой коммутативный (также известен как градуированный коммутативный), что означает, что он удовлетворяет варианту антикоммутативность это зависит от степеней форм: если α это k-форма и β является ℓ-form, затем

${ Displaystyle альфа клин бета = (- 1) ^ {к ell} бета клин альфа.}$

Риманово многообразие

На Риманово многообразие, или в более общем смысле псевдориманово многообразие, метрика определяет послойный изоморфизм касательного и кокасательного расслоений. Это позволяет преобразовывать векторные поля в ковекторные поля и наоборот. Он также позволяет определять дополнительные операции, такие как Звездный оператор Ходжа ${ Displaystyle звезда двоеточие Omega ^ {k} (M) { stackrel { sim} { to}} Omega ^ {n-k} (M)}$ и кодифференциальный ${ Displaystyle дельта двоеточие Omega ^ {k} (M) rightarrow Omega ^ {k-1} (M)}$, имеющий степень −1 и сопряжена с внешним дифференциалом d.

Структуры векторных полей

На псевдоримановом многообразии 1-формы можно отождествлять с векторными полями; векторные поля имеют дополнительные различные алгебраические структуры, которые перечислены здесь для контекста и во избежание путаницы.

Во-первых, каждое (ко) касательное пространство порождает Алгебра Клиффорда, где произведение (со) вектора на себя задается значением квадратичной формы - в данном случае естественной формы, индуцированной метрика. Эта алгебра отчетливый от внешняя алгебра дифференциальных форм, которые можно рассматривать как алгебру Клиффорда, в которой квадратичная форма обращается в нуль (поскольку внешнее произведение любого вектора на себя равно нулю). Таким образом, алгебры Клиффорда являются неантикоммутативными («квантовыми») деформациями внешней алгебры. Они изучаются в геометрическая алгебра.

Другая альтернатива - рассматривать векторные поля как производные. (Некоммутативная) алгебра дифференциальные операторы они создают Алгебра Вейля и является некоммутативной («квантовой») деформацией симметричный алгебра в векторных полях.

Внешний дифференциальный комплекс

Одним из важных свойств внешней производной является то, что d² = 0. Это означает, что внешняя производная определяет коцепьевой комплекс:

${ Displaystyle 0 to Omega ^ {0} (M) { stackrel {d} { to}} Omega ^ {1} (M) { stackrel {d} { to} } Omega ^ {2} (M) { stackrel {d} { to}} Omega ^ {3} (M) to cdots to Omega ^ {n} ( M) to 0.}$

Этот комплекс называется комплексом де Рама, и его когомология по определению когомологии де Рама из M. Посредством Лемма Пуанкаре, комплекс де Рама локально точный кроме Ω⁰(M). Ядро на Ω⁰(M) это пространство локально постоянные функции на M. Следовательно, комплекс является разрешением постоянной пучок р, что, в свою очередь, означает форму теоремы де Рама: когомологии де Рама вычисляют когомологии пучков из р.

Откат

Предположим, что ж : M → N гладко. Дифференциал ж это гладкая карта df : TM → TN между касательными пучками M и N. Эта карта также обозначается ж_∗ и назвал продвигать. Для любой точки п ∈ M и любой v ∈ Т_пM, существует четко определенный вектор продвижения вперед ж_∗(v) в Т_ж(п)N. Однако этого нельзя сказать о векторном поле. Если ж не является инъективным, скажем, потому что q ∈ N имеет два или более прообраза, то векторное поле может определять два или более различных вектора в Т_qN. Если ж не сюръективно, то будет точка q ∈ N на котором ж_∗ вообще не определяет никакого касательного вектора. Поскольку векторное поле на N определяет, по определению, единственный касательный вектор в каждой точке N, развитие векторного поля не всегда существует.

Напротив, всегда можно отказаться от дифференциальной формы. Дифференциальная форма на N можно рассматривать как линейный функционал на каждом касательном пространстве. Предварительно составив этот функционал с дифференциалом df : TM → TN определяет линейный функционал на каждом касательном пространстве M и, следовательно, дифференциальная форма на M. Существование откатов - одна из ключевых особенностей теории дифференциальных форм. Это приводит к существованию обратных отображений в других ситуациях, таких как гомоморфизмы обратного вызова в когомологиях де Рама.

Формально пусть ж : M → N быть гладким, и пусть ω быть гладким k-форма на N. Тогда существует дифференциальная форма ж^∗ω на M, называется откат из ω, который фиксирует поведение ω как видно относительно ж. Чтобы определить откат, зафиксируйте точку п из M и касательные векторы v₁, ..., v_k к M в п. Откат ω определяется формулой

${ Displaystyle (е ^ {*} omega) _ {p} (v_ {1}, ldots, v_ {k}) = omega _ {f (p)} (f _ {*} v_ {1}, ldots, f _ {*} v_ {k}).}$

Есть несколько более абстрактных способов взглянуть на это определение. Если ω это 1-форма на N, то его можно рассматривать как сечение котангенсного пучка Т^∗N из N. С помощью ^∗ для обозначения двойственного отображения, двойственного дифференциалу ж является (df)^∗ : Т^∗N → Т^∗M. Откат ω можно определить как составной

${ Displaystyle M { stackrel {f} { to}} N { stackrel { omega} { to}} T ^ {*} N { stackrel {(df) ^ {*} } { longrightarrow}} T ^ {*} M.}$

Это часть котангенсного расслоения M и, следовательно, дифференциал 1-форма на M. В полной общности пусть ${ textstyle bigwedge ^ {k} (df) ^ {*}}$ обозначить k-я внешняя мощность дуальной карты с дифференциалом. Затем откат k-форма ω составной

${ displaystyle M { stackrel {f} { to}} N { stackrel { omega} { to}} { textstyle bigwedge} ^ {k} T ^ {*} N { stackrel {{ bigwedge} ^ {k} (df) ^ {*}} { longrightarrow}} { textstyle bigwedge} ^ {k} T ^ {*} M.}$

Другой абстрактный способ просмотра отката - просмотр k-форма ω как линейный функционал на касательных пространствах. С этой точки зрения, ω это морфизм векторные пакеты

${ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {k} TN { stackrel { omega} { to}} N times mathbf {R},}$

куда N × р - тривиальное расслоение ранга один на N. Составная карта

${ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {k} TM { stackrel {{ bigwedge} ^ {k} df} { longrightarrow}} { textstyle bigwedge} ^ {k} TN { stackrel { omega} { to}} N times mathbf {R}}$

определяет линейный функционал на каждом касательном пространстве M, а значит, пропускается через тривиальное расслоение M × р. Морфизм векторного расслоения ${ textstyle { textstyle bigwedge} ^ {k} TM to M times mathbf {R}}$ таким образом определяется ж^∗ω.

Pullback учитывает все основные операции с формами. Если ω и η формы и c это действительное число, тогда

${ displaystyle { begin {align} f ^ {*} (c omega) & = c (f ^ {*} omega), f ^ {*} ( omega + eta) & = f ^ {*} omega + f ^ {*} eta, f ^ {*} ( omega wedge eta) & = f ^ {*} omega wedge f ^ {*} eta, f ^ {*} (d omega) & = d (f ^ {*} omega). end {выравнивается}}}$

Откат формы также можно записать в координатах. Предположить, что Икс¹, ..., Икс^м координаты на M, который у¹, ..., у^п координаты на N, и что эти системы координат связаны формулами у^я = ж_я(Икс¹, ..., Икс^м) для всех я. Локально на N, ω можно записать как

${ displaystyle omega = sum _ {i_ {1} < cdots$

где для каждого выбора я₁, ..., я_k, ω_{я1⋅⋅⋅яk} является действительной функцией от у¹, ..., у^п. Используя линейность отката и его совместимость с внешним продуктом, откат ω имеет формулу

${ displaystyle f ^ {*} omega = sum _ {i_ {1} < cdots$

Каждая внешняя производная df_я может быть расширен за счет dx¹, ..., dx^м. Результирующий k-форму можно записать с помощью Якобиан матрицы:

${ displaystyle f ^ {*} omega = sum _ {i_ {1} < cdots$

Здесь, ${ displaystyle { frac { partial (f_ {i_ {1}}, ldots, f_ {i_ {k}})} { partial (x ^ {j_ {1}}, ldots, x ^ {j_) {k}})}}}$ обозначает определитель матрицы, элементами которой являются ${ displaystyle { frac { partial f_ {i_ {m}}} { partial x ^ {j_ {n}}}}}$, ${ Displaystyle 1 Leq м, п Leq к}$.

Интеграция

Дифференциал k-форма может быть интегрирована в ориентированную k-мерное многообразие. Когда k-форма определена на п-мерное многообразие с п > k, то k-форма может быть интегрирована по ориентированной k-мерные подмногообразия. Если k = 0, интегрирование по ориентированным 0-мерным подмногообразиям является просто суммированием подынтегральной функции, вычисленной в точках, с учетом ориентации этих точек. Другие значения k = 1, 2, 3, ... соответствуют линейным интегралам, поверхностным интегралам, объемным интегралам и т. д. Существует несколько эквивалентных способов формального определения интеграла от дифференциальной формы, все из которых зависят от сведения к случаю евклидова пространства.

Интеграция в евклидовом пространстве

Позволять U быть открытым подмножеством р^п. Дайте р^п его стандартная ориентация и U ограничение этой ориентации. Каждый гладкий п-форма ω на U имеет форму

${ Displaystyle омега = е (х) , dx ^ {1} клин cdots клин dx ^ {п}}$

для некоторой гладкой функции ж : р^п → р. Такая функция имеет интеграл в обычном смысле Римана или Лебега. Это позволяет нам определить интеграл от ω быть интегралом ж:

${ displaystyle int _ {U} omega { stackrel { text {def}} {=}} int _ {U} f (x) , dx ^ {1} cdots dx ^ {n} .}$

Чтобы это было четко определено, необходимо зафиксировать ориентацию. Кососимметрия дифференциальных форм означает, что интеграл, скажем, от dx¹ ∧ dx² должно быть отрицательным от интеграла dx² ∧ dx¹. Интегралы Римана и Лебега не видят этой зависимости от порядка координат, поэтому они оставляют знак интеграла неопределенным. Ориентация разрешает эту двусмысленность.

Интеграция по цепочкам

Позволять M быть п-многообразие и ω ан п-форма на M. Сначала предположим, что существует параметризация M открытым подмножеством евклидова пространства. То есть предположим, что существует диффеоморфизм

${ Displaystyle varphi двоеточие D to M}$

куда D ⊆ р^п. Дайте M ориентация, индуцированная φ. Потом (Рудин 1976 ) определяет интеграл от ω над M быть интегралом φ^∗ω над D. В координатах это имеет следующее выражение. Исправить диаграмму на M с координатами Икс¹, ..., Икс^п. потом

${ displaystyle omega = sum _ {i_ {1} < cdots$

Предположим, что φ определяется

${ displaystyle varphi ({ mathbf {u}}) = (x ^ {1} ({ mathbf {u}}), ldots, x ^ {n} ({ mathbf {u}})). }$

Тогда интеграл в координатах можно записать как

${ displaystyle int _ {M} omega = int _ {D} sum _ {i_ {1} < cdots$

куда

${ displaystyle { frac { partial (x ^ {i_ {1}}, ldots, x ^ {i_ {n}})} { partial (u ^ {1}, ldots, u ^ {n}) )}}}$

является определителем Якобиан. Якобиан существует потому, что φ дифференцируема.

В целом п-многообразие не может быть параметризовано открытым подмножеством р^п. Но такая параметризация всегда возможна локально, поэтому можно определять интегралы по произвольным многообразиям, определяя их как суммы интегралов по совокупностям локальных параметризаций. Кроме того, также можно определить параметризации k-мерные подмножества для k < п, что позволяет определить интегралы от k-форм. Чтобы это было точнее, удобно зафиксировать стандартный домен D в р^k, обычно куб или симплекс. А k-цепь является формальной суммой гладких вложений D → M. То есть это набор гладких вложений, каждому из которых присвоена целая кратность. Каждое гладкое вложение определяет k-мерное подмногообразие M. Если цепь

${ displaystyle c = sum _ {i = 1} ^ {r} m_ {i} varphi _ {i},}$

тогда интеграл от k-форма ω над c определяется как сумма интегралов по членам c:

${ displaystyle int _ {c} omega = sum _ {i = 1} ^ {r} m_ {i} int _ {D} varphi _ {i} ^ {*} omega.}$

Такой подход к определению интеграции не придает прямого смысла интегрированию по всему многообразию. M. Однако косвенно такой смысл все же можно придать, поскольку каждое гладкое многообразие может быть гладким. триангулированный существенно уникальным образом, а интеграл по M можно определить как интеграл по цепи, определяемой триангуляцией.

Интеграция с использованием разделов единства

Есть еще один подход, изложенный в (Дьедон, 1972 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFDieudonne1972 (помощь), что напрямую придает смысл интеграции по M, но этот подход требует фиксации ориентации M. Интеграл от п-форма ω на п-мерное многообразие определяется работой в картах. Предположим сначала, что ω поддерживается на едином позитивно ориентированном графике. На этом графике его можно вернуть в п-форма на открытом подмножестве р^п. Здесь форма, как и раньше, имеет хорошо определенный интеграл Римана или Лебега. Формула замены переменных и предположение о положительной ориентации диаграммы вместе гарантируют, что интеграл от ω не зависит от выбранной карты. В общем случае используйте разделение единицы, чтобы написать ω как сумма п-формы, каждая из которых поддерживается в единой положительно ориентированной диаграмме, и определяют интеграл ω быть суммой интегралов каждого члена в разбиении единицы.

Также можно интегрировать k-формы на ориентированных k-мерные подмногообразия с использованием этого более внутреннего подхода. Форма возвращается на подмногообразие, где интеграл, как и раньше, определяется с помощью диаграмм. Например, учитывая путь γ(т) : [0, 1] → р², интегрируя 1-form on the path - это просто оттягивание формы к форме ж(т) dt на [0, 1], и этот интеграл является интегралом от функции ж(т) на интервале.

Интеграция по волокнам

Теорема Фубини утверждает, что интеграл по набору, который является продуктом, может быть вычислен как повторный интеграл по двум факторам в продукте. Это говорит о том, что интеграл дифференциальной формы по продукту также должен быть вычислим как повторный интеграл. Геометрическая гибкость дифференциальных форм гарантирует, что это возможно не только для продуктов, но и в более общих ситуациях. При некоторых гипотезах возможно интегрирование вдоль слоев гладкого отображения, и аналог теоремы Фубини - это случай, когда это отображение является проекцией произведения на один из его факторов.

Поскольку интегрирование дифференциальной формы по подмногообразию требует фиксации ориентации, предварительным условием интегрирования вдоль волокон является наличие четко определенной ориентации на этих волокнах. Позволять M и N - два ориентируемых многообразия чистых размерностей м и п, соответственно. Предположим, что ж : M → N это сюръективное погружение. Это означает, что каждое волокно ж⁻¹(у) является (м − п)-мерный и что вокруг каждой точки M, есть диаграмма, на которой ж выглядит как проекция продукта на один из его факторов. Исправить Икс ∈ M и установить у = ж(Икс). Предположим, что

${ displaystyle { begin {align} omega _ {x} & in { textstyle bigwedge} ^ {m} T_ {x} ^ {*} M, eta _ {y} & in { textstyle bigwedge} ^ {n} T_ {y} ^ {*} N, конец {выровнено}}}$

и это η_у не пропадает. Следующий (Дьедон, 1972 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFDieudonne1972 (помощь), есть уникальный

${ displaystyle sigma _ {x} in { textstyle bigwedge} ^ {m-n} T_ {x} ^ {*} (f ^ {- 1} (y))}$

который можно рассматривать как фибральную часть ω_Икс относительно η_у. Точнее, определим j : ж⁻¹(у) → M быть включением. потом σ_Икс определяется тем свойством, что

${ displaystyle omega _ {x} = (f ^ {*} eta _ {y}) _ {x} wedge sigma '_ {x} in { textstyle bigwedge} ^ {m} T_ { x} ^ {*} M,}$

куда

${ displaystyle sigma '_ {x} in { textstyle bigwedge} ^ {m-n} T_ {x} ^ {*} M}$

есть ли (м − п)-ковектор, для которого

${ displaystyle sigma _ {x} = j ^ {*} sigma '_ {x}.}$

Форма σ_Икс можно также отметить ω_Икс / η_у.

Кроме того, для фиксированных у, σ_Икс плавно меняется относительно Икс. То есть предположим, что

${ displaystyle omega двоеточие f ^ {- 1} (y) to T ^ {*} M}$

- гладкий участок карты проекции; мы говорим, что ω является гладким дифференциалом м-форма на M вдоль ж⁻¹(у). Тогда существует гладкий дифференциал (м − п)-форма σ на ж⁻¹(у) так что на каждом Икс ∈ ж⁻¹(у),

${ displaystyle sigma _ {x} = omega _ {x} / eta _ {y}.}$

Эта форма обозначается ω / η_у. Такая же конструкция работает, если ω является м-форма в окрестности слоя, используются те же обозначения. Следствием этого является то, что каждое волокно ж⁻¹(у) ориентируемый. В частности, выбор формы ориентации на M и N определяет ориентацию каждого слоя ж.

Аналог теоремы Фубини следующий. Как прежде, M и N два ориентируемых многообразия чистых размерностей м и п, и ж : M → N это сюръективное погружение. Зафиксируйте ориентацию M и N, и дайте каждому волокну ж индуцированная ориентация. Позволять θ быть м-форма на M, и разреши ζ быть п-форма на N что почти всюду положительно относительно ориентации N. Затем почти на каждый у ∈ N, форма θ / ζ_у хорошо определенная интегрируемая м − п форма на ж⁻¹(у). Более того, существует интегрируемая п-форма на N определяется

${ displaystyle y mapsto { bigg (} int _ {f ^ {- 1} (y)} theta / zeta _ {y} { bigg)} , zeta _ {y}.}$

Обозначим эту форму через

${ displaystyle { bigg (} int _ {f ^ {- 1} (y)} theta / zeta { bigg)} , zeta.}$

Потом (Дьедон, 1972 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFDieudonne1972 (помощь) доказывает обобщенную формулу Фубини

${ Displaystyle int _ {M} theta = int _ {N} { bigg (} int _ {f ^ {- 1} (y)} theta / zeta { bigg)} , zeta.}$

Также возможно объединение форм других степеней вдоль волокон погружения. Предположим те же самые гипотезы, что и раньше, и пусть α быть компактно поддерживаемым (м − п + k)-форма на M. Тогда есть k-форма γ на N что является результатом интегрирования α вдоль волокон ж. Форма α определяется указанием на каждом у ∈ N, как α пары против каждого k-вектор v в у, и значение этой пары является интегралом по ж⁻¹(у) это зависит только от α, v, а ориентации M и N. Точнее, на каждом у ∈ N, существует изоморфизм

${ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {y} N to { textstyle bigwedge} ^ {m-k} T_ {y} ^ {*} N}$

определяется предметом интерьера

${ displaystyle mathbf {v} mapsto mathbf {v} , lrcorner , zeta _ {y}.}$

Если Икс ∈ ж⁻¹(у), затем k-вектор v в у определяет (м − k)-ковектор в Икс по откату:

${ displaystyle f ^ {*} ( mathbf {v} , lrcorner , zeta _ {y}) in { textstyle bigwedge} ^ {m-k} T_ {x} ^ {*} M.}$

У каждого из этих ковекторов есть внешний продукт против α, так что есть (м − п)-форма β_v на M вдоль ж⁻¹(у) определяется

${ displaystyle ( beta _ { mathbf {v}}) _ {x} = left ( alpha _ {x} wedge f ^ {*} ( mathbf {v} , lrcorner , zeta _ {y}) right) { big /} zeta _ {y} in { textstyle bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} M.}$

Эта форма зависит от ориентации N но не выбор ζ. Тогда k-форма γ однозначно определяется свойством

${ displaystyle langle gamma _ {y}, mathbf {v} rangle = int _ {f ^ {- 1} (y)} beta _ { mathbf {v}} (x),}$

и γ гладкая (Дьедон, 1972 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFDieudonne1972 (помощь). Эта форма также обозначается α^♭ и назвал неотъемлемая часть α вдоль волокон ж. Интегрирование по слоям важно для построения отображений Гизена в когомологиях де Рама.

Интегрирование по волокнам удовлетворяет условию формула проекции (Дьедон, 1972 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFDieudonne1972 (помощь). Если λ есть ли ℓ-форма на N, тогда

${ displaystyle alpha ^ { flat} wedge lambda = ( alpha wedge f ^ {*} lambda) ^ { flat}.}$

Теорема Стокса

Фундаментальная связь между внешней производной и интегрированием задается Теорема Стокса: Если ω является (п − 1) -форма с компактной опорой на M и ∂M обозначает граница из M с его индуцированным ориентация, тогда

${ displaystyle int _ {M} d omega = int _ { partial M} omega.}$

Ключевым следствием этого является то, что «интеграл замкнутой формы по гомологичным цепям равен»: если ω закрытый k-форма и M и N находятся k-цепи, которые гомологичны (такие, что M − N граница (k + 1)-цепь W), тогда ${ displaystyle textstyle { int _ {M} omega = int _ {N} omega}}$, поскольку разность представляет собой интеграл ${ displaystyle textstyle int _ {W} d omega = int _ {W} 0 = 0}$.

Например, если ω = df - производная потенциальной функции на плоскости или р^п, то интеграл от ω по пути от а к б не зависит от выбора пути (интеграл равен ж(б) − ж(а)), так как разные пути с заданными конечными точками гомотопный, следовательно, гомологичен (более слабое условие). Этот случай называется градиентная теорема, и обобщает основная теорема исчисления. Эта независимость от пути очень полезна в контурная интеграция.

Эта теорема также лежит в основе двойственности между когомологии де Рама и гомология цепей.

Связь с мерами

На Общее дифференцируемое многообразие (без дополнительной конструкции), дифференциальные формы не можешь проинтегрироваться по подмножествам многообразия; это различие является ключом к различию между дифференциальными формами, которые интегрированы по цепочкам или ориентированным подмногообразиям, и мерами, которые интегрированы по подмножествам. Самый простой пример - попытка интегрировать 1-форма dx за интервал [0, 1]. Предполагая обычное расстояние (и, следовательно, меру) на реальной прямой, этот интеграл равен либо 1 или же −1, в зависимости от ориентация: ${ displaystyle textstyle { int _ {0} ^ {1} dx = 1}}$, в то время как ${ displaystyle textstyle { int _ {1} ^ {0} dx = - int _ {0} ^ {1} dx = -1}}$. Напротив, интеграл от мера |dx| на интервале однозначно 1 (т.е. интеграл постоянной функции 1 по этой мере 1). Аналогично при замене координат дифференциал п-формировать изменения Определитель якобиана J, а мера изменяется на абсолютная величина детерминанта Якоби, |J|, что еще больше отражает проблему ориентации. Например, под картой Икс ↦ −Икс на прямой дифференциальная форма dx отступает к −dx; ориентация изменилась; в то время как Мера Лебега, что здесь обозначено |dx|, откатывается к |dx|; это не меняется.

При наличии дополнительных данных ориентация, можно интегрировать п-формы (многомерные формы) на всем многообразии или над компактными подмножествами; интегрирование по всему многообразию соответствует интегрированию формы по фундаментальный класс коллектора, [M]. Формально при наличии ориентации можно выделить п-формы с плотности на многообразии; плотности, в свою очередь, определяют меру и, таким образом, могут быть интегрированы (Фолланд 1999, Раздел 11.4, стр. 361–362).

На ориентируемом, но не ориентированном многообразии есть два варианта ориентации; любой выбор позволяет интегрировать п-формируется над компактными подмножествами, причем два варианта выбора отличаются знаком. На неориентируемом многообразии п-формы и плотности не могут быть идентифицированы - примечательно, что любая многомерная форма должна где-то исчезнуть (нет объемные формы на неориентируемых многообразиях), но есть нигде не исчезающие плотности - таким образом, хотя можно интегрировать плотности по компактным подмножествам, нельзя интегрировать п-форм. Вместо этого можно определить плотности с помощью многомерных псевдоформы.

Даже при наличии ориентации, как правило, нет значимого способа интегрировать k-формируется над подмножествами для k < п потому что не существует последовательного способа использования внешней ориентации для ориентации k-мерные подмножества. Геометрически a k-мерное подмножество может быть развернуто на месте, давая такое же подмножество с противоположной ориентацией; например, горизонтальная ось на плоскости может быть повернута на 180 градусов. Сравните Определитель грамма набора k векторов в п-мерное пространство, которое, в отличие от определителя п векторов всегда положительна и соответствует квадрату числа. Ориентация k-подмногообразие, таким образом, является дополнительными данными, которые нельзя получить из окружающего многообразия.

На римановом многообразии можно определить k-размерный Мера Хаусдорфа для любого k (целые или действительные), которые могут быть интегрированы по k-мерные подмножества многообразия. Затем функция, умноженная на эту меру Хаусдорфа, может быть проинтегрирована по k-мерные подмножества, обеспечивающие теоретико-мерный аналог интегрирования k-форм. В п-мерная мера Хаусдорфа дает плотность, как указано выше.

Течения

Аналог дифференциальной формы распределение или обобщенная функция называется Текущий. Пространство k-токи на M - пространство, сопряженное с подходящим пространством дифференциала k-форм. Токи играют роль обобщенных областей интеграции, подобных цепям, но даже более гибких.

Приложения в физике

Дифференциальные формы возникают в некоторых важных физических контекстах. Например, в теории Максвелла электромагнетизм, то 2-форма Фарадея, или же напряженность электромагнитного поля, является

${ displaystyle { textbf {F}} = { frac {1} {2}} f_ {ab} , dx ^ {a} wedge dx ^ {b} ,,}$

где ж_ab формируются из электромагнитных полей ${ displaystyle { vec {E}}}$ и ${ displaystyle { vec {B}}}$; например., ж₁₂ = E_z/c, ж₂₃ = −B_z, или эквивалентные определения.

Эта форма является частным случаем форма кривизны на U (1) основной пакет на котором и электромагнетизм, и вообще калибровочные теории можно описать. В форма подключения для главного расслоения - это векторный потенциал, обычно обозначаемый А, когда они представлены в каком-либо масштабе. Тогда есть

${ displaystyle { textbf {F}} = d { textbf {A}}.}$

В Текущий 3-форма является

${ displaystyle { textbf {J}} = { frac {1} {6}} j ^ {a} , varepsilon _ {abcd} , dx ^ {b} wedge dx ^ {c} wedge dx ^ {d} ,,}$

куда j^а - четыре составляющих плотности тока. (Здесь принято писать F_ab вместо ж_ab, т.е. использовать заглавные буквы и писать J^а вместо j^а. Однако вектор rsp. компоненты тензора и указанные формы имеют разные физические размеры. Более того, по решению международной комиссии Международный союз теоретической и прикладной физики вектор магнитной поляризации называется ${ displaystyle { vec {J}}}$ уже несколько десятилетий, а некоторые издатели J, т.е. одно и то же имя используется для разных количеств.)

Используя приведенные выше определения, Уравнения Максвелла можно очень компактно записать на геометрические единицы в качестве

${ displaystyle { begin {align} d { textbf {F}} & = { textbf {0}} d { star { textbf {F}}} & = { textbf {J}}, конец {выровнено}}}$

куда ${ displaystyle star}$ обозначает Ходжа звезда оператор. Подобные соображения описывают геометрию калибровочных теорий в целом.

В 2-форма ${ displaystyle { star} mathbf {F}}$, который двойной к форме Фарадея, также называется Максвелл 2-форма.

Электромагнетизм - пример U (1) калибровочная теория. Здесь Группа Ли является U (1), одномерная унитарная группа, что, в частности, абелевский. Существуют калибровочные теории, такие как Теория Янга – Миллса, в котором группа Ли неабелева. В этом случае получаются отношения, аналогичные описанным здесь. Аналог поля F в таких теориях есть форма кривизны связи, которая представлена ​​в калибровке Алгебра Ли однозначная форма А. Поле Янга – Миллса F тогда определяется как

${ displaystyle mathbf {F} = d mathbf {A} + mathbf {A} wedge mathbf {A}.}$

В абелевом случае, таком как электромагнетизм, А ∧ А = 0, но в целом этого не происходит. Аналогичным образом уравнения поля модифицируются дополнительными членами, включающими внешние произведения А и F, благодаря структурные уравнения калибровочной группы.

Приложения в геометрической теории меры

Многочисленные результаты о минимальности для комплексных аналитических многообразий основаны на Неравенство Виртингера для 2-форм. Краткое доказательство можно найти в Герберт Федерер классический текст Геометрическая теория меры. Неравенство Виртингера также является ключевым элементом Неравенство Громова для комплексного проективного пространства в систолическая геометрия.

Смотрите также

• Замкнутые и точные дифференциальные формы
• Комплексная дифференциальная форма
• Векторная дифференциальная форма
• Эквивариантная дифференциальная форма
• Исчисление на многообразиях
• Многолинейная форма
• Полиномиальная дифференциальная форма

Примечания

Рекомендации

• Бахман, Дэвид (2006), Геометрический подход к дифференциальным формам, Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-4499-4
• Бахман, Дэвид (2003), Геометрический подход к дифференциальным формам, arXiv:математика / 0306194v1, Bibcode:2003математика ...... 6194B
• Картан, Анри (2006), Дифференциальные формы, Дувр, ISBN  0-486-45010-4—Перевод Formes différentielles (1967)
• Дьедонне, Жан (1972), Трактат об анализе, 3, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, Inc., МИСТЕР  0350769
• Эдвардс, Гарольд М. (1994), Расширенный расчет; Подход дифференциальных форм, Бостон, Базель, Берлин: Birkhäuser, Дои:10.1007/978-0-8176-8412-9, ISBN  978-0-8176-8411-2
• Фолланд, Джеральд Б. (1999), Реальный анализ: современные методы и их применение (Второе изд.), ISBN  978-0-471-31716-6, дает краткое обсуждение интегрирования на многообразиях с точки зрения теории меры в последнем разделе.
• Фландрия, Харлей (1989) [1964], Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам, Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  0-486-66169-5
• Флеминг, Венделл Х. (1965), "Глава 6: Внешняя алгебра и дифференциальное исчисление", Функции нескольких переменных, Addison-Wesley, pp. 205–238. Этот учебник в многомерное исчисление вводит внешнюю алгебру дифференциальных форм на уровне исчисления колледжа.
• Морита, Шигеюки (2001), Геометрия дифференциальных форм, AMS, ISBN  0-8218-1045-6
• Рудин, Вальтер (1976), Принципы математического анализа, Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, ISBN  0-07-054235-X
• Спивак Михаил (1965), Исчисление на многообразиях, Менло-Парк, Калифорния: В. А. Бенджамин, ISBN  0-8053-9021-9, стандартный вводный текст
• Ту, Лоринг В. (2008), Введение в многообразия, Universitext, Springer, Дои:10.1007/978-1-4419-7400-6, ISBN  978-0-387-48098-5
• Зорич В.А. (2004), Математический анализ II, Спрингер, ISBN  3-540-40633-6

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальная форма». MathWorld.
• Сьямаар, Рейер (2006), Конспект лекций по многообразиям и дифференциальным формам, курс, преподаваемый в Корнелл Университет.
• Бахман, Дэвид (2003), Геометрический подход к дифференциальным формам, arXiv:математика / 0306194, Bibcode:2003математика ...... 6194B, текст для студентов.
• Джонс, Фрэнк, Интегрирование на многообразиях (PDF)