Многолинейная форма - Multilinear form

В абстрактная алгебра и полилинейная алгебра, а полилинейная форма на векторное пространство ${ displaystyle V}$ через поле ${ displaystyle K}$ это карта

{ displaystyle f двоеточие V ^ {k} to K}

это отдельно K-линейный в каждом из своих k аргументы.^[1] В более общем смысле можно определить полилинейные формы на модуль через коммутативное кольцо. Однако в оставшейся части этой статьи мы будем рассматривать только полилинейные формы на конечномерный векторные пространства.

Полилинейный k-форма на ${ displaystyle V}$ над ${ displaystyle mathbf {R}}$ называется (ковариантный) k-тензор, а векторное пространство таких форм обычно обозначают ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {k} (V)}$ или же ${ Displaystyle { mathcal {L}} ^ {k} (V)}$ .^[2]

Тензорное произведение

Учитывая k-тензор ${ displaystyle f in { mathcal {T}} ^ {k} (V)}$ и ℓ-тензор ${ displaystyle g in { mathcal {T}} ^ { ell} (V)}$ , продукт ${ displaystyle f otimes g in { mathcal {T}} ^ {k + ell} (V)}$ , известный как тензорное произведение, может быть определено свойством

{ displaystyle (f otimes g) (v_ {1}, ldots, v_ {k}, v_ {k + 1}, ldots, v_ {k + ell}) = f (v_ {1}, ldots , v_ {k}) g (v_ {k + 1}, ldots, v_ {k + ell}),}

для всех ${ displaystyle v_ {1}, ldots, v_ {k + ell} in V}$ . В тензорное произведение полилинейных форм не коммутативен; однако он билинейный и ассоциативный:

{ displaystyle f otimes (ag_ {1} + bg_ {2}) = a (f otimes g_ {1}) + b (f otimes g_ {2})}

,

{ displaystyle (af_ {1} + bf_ {2}) otimes g = a (f_ {1} otimes g) + b (f_ {2} otimes g),}

и

{ displaystyle (f otimes g) otimes h = f otimes (g otimes h).}

Если ${ displaystyle (v_ {1}, ldots, v_ {n})}$ формирует основу для п-мерное векторное пространство ${ displaystyle V}$ и ${ Displaystyle ( фи ^ {1}, ldots, фи ^ {п})}$ соответствующий дуальный базис для двойственного пространства ${ Displaystyle V ^ {*} = { mathcal {T}} ^ {1} (V)}$ , то продукты ${ Displaystyle phi ^ {я_ {1}} otimes cdots otimes phi ^ {i_ {k}}}$ , с ${ displaystyle 1 leq i_ {1}, ldots, i_ {k} leq n}$ сформировать основу для ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {k} (V)}$ . Как следствие, ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {k} (V)}$ имеет размерность ${ Displaystyle п ^ {к}}$ .

Примеры

Билинейные формы

Если ${ displaystyle k = 2}$ , ${ displaystyle f: V times V to K}$ называется билинейная форма. Знакомый и важный пример (симметричной) билинейной формы - это стандартный внутренний продукт (скалярный продукт) векторов.

Чередующиеся полилинейные формы

Важным классом полилинейных форм являются чередующиеся полилинейные формы, которые обладают дополнительным свойством:^[3]

{ Displaystyle е (х _ { sigma (1)}, ldots, x _ { sigma (k)}) = operatorname {sgn} ( sigma) f (x_ {1}, ldots, x_ {k} ),}

куда ${ displaystyle sigma: mathbf {N} _ {k} to mathbf {N} _ {k}}$ это перестановка и ${ displaystyle operatorname {sgn} ( sigma)}$ обозначает его знак (+1, если четный, –1, если нечетный). Как следствие, чередование полилинейные формы антисимметричны относительно замены любых двух аргументов (т. е. ${ Displaystyle sigma (p) = q, sigma (q) = p}$ и ${ Displaystyle Sigma (я) = я, 1 Leq я Leq К, я neq p, q}$ ):

{ Displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {p}, ldots, x_ {q}, ldots, x_ {k}) = - f (x_ {1}, ldots, x_ {q} , ldots, x_ {p}, ldots, x_ {k}).}

С дополнительной гипотезой, что характеристика поля ${ displaystyle K}$ не 2, установка ${ displaystyle x_ {p} = x_ {q} = x}$ следует как следствие, что ${ Displaystyle f (x_ {1}, ldots, x, ldots, x, ldots, x_ {k}) = 0}$ ; то есть форма имеет значение 0, если два ее аргумента равны. Обратите внимание, однако, что некоторые авторы^[4] используйте это последнее условие как определяющее свойство чередующихся форм. Это определение подразумевает свойство, данное в начале раздела, но, как отмечалось выше, обратная импликация верна только тогда, когда ${ displaystyle operatorname {char} (K) neq 2}$ .

Переменный полилинейный k-форма на ${ displaystyle V}$ над ${ displaystyle mathbf {R}}$ называется мультивектор степени k или же k-ковектор, а векторное пространство таких альтернированных форм - подпространство ${ Displaystyle { mathcal {T}} ^ {k} (V)}$ , обычно обозначается ${ Displaystyle { mathcal {A}} ^ {k} (V)}$ , или, используя обозначения изоморфных kth внешняя сила из ${ Displaystyle V ^ {*}}$ (в двойное пространство из ${ displaystyle V}$ ), ${ textstyle bigwedge ^ {k} V ^ {*}}$ .^[5] Обратите внимание, что линейные функционалы (полилинейные 1-формы над ${ displaystyle mathbf {R}}$ ) тривиально альтернированы, так что ${ Displaystyle { mathcal {A}} ^ {1} (V) = { mathcal {T}} ^ {1} (V) = V ^ {*}}$ , в то время как, по соглашению, 0-формы определяются как скаляры: ${ Displaystyle { mathcal {A}} ^ {0} (V) = { mathcal {T}} ^ {0} (V) = mathbf {R}}$ .

В детерминант на ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы, рассматриваемые как ${ displaystyle n}$ функция аргумента векторов-столбцов, является важным примером переменной полилинейной формы.

Внешний продукт

Тензорное произведение чередующихся полилинейных форм, вообще говоря, больше не чередуется. Однако, суммируя по всем перестановкам тензорного произведения с учетом четности каждого члена, внешний продукт ( ${ displaystyle wedge}$ , также известный как клин) мультиковекторов, так что если ${ displaystyle f in { mathcal {A}} ^ {k} (V)}$ и ${ displaystyle g in { mathcal {A}} ^ { ell} (V)}$ , тогда ${ Displaystyle е клин г ин { mathcal {A}} ^ {к + ell} (V)}$ :

{ displaystyle (е клин g) (v_ {1}, ldots, v_ {k + ell}) = { frac {1} {k! ell!}} sum _ { sigma in S_ { k + ell}} ( operatorname {sgn} ( sigma)) f (v _ { sigma (1)}, ldots, v _ { sigma (k)}) g (v _ { sigma (k + 1) }, ldots, v _ { sigma (k + ell)}),}

где сумма берется по множеству всех перестановок над ${ Displaystyle к + ell}$ элементы ${ Displaystyle S_ {к + ell}}$ . Внешний продукт бывает билинейным, ассоциативным и градуированно-переменным: если ${ displaystyle f in { mathcal {A}} ^ {k} (V)}$ и ${ displaystyle g in { mathcal {A}} ^ { ell} (V)}$ тогда ${ Displaystyle е клин g = (- 1) ^ {к ell} г клин f}$ .

Учитывая основу ${ displaystyle (v_ {1}, ldots, v_ {n})}$ за ${ displaystyle V}$ и двойная основа ${ Displaystyle ( фи ^ {1}, ldots, фи ^ {п})}$ за ${ Displaystyle V ^ {*} = { mathcal {A}} ^ {1} (V)}$ , внешние продукты ${ Displaystyle фи ^ {я_ {1}} клин cdots клин фи ^ {я_ {к}}}$ , с ${ Displaystyle 1 Leq i_ {1} < cdots$ сформировать основу для ${ Displaystyle { mathcal {A}} ^ {k} (V)}$ . Следовательно, размерность ${ Displaystyle { mathcal {A}} ^ {k} (V)}$ за п-размерный ${ displaystyle V}$ является ${ textstyle { tbinom {n} {k}} = { frac {n!} {(n-k)! , k!}}}$ .

Дифференциальные формы

Дифференциальные формы - это математические объекты, построенные с помощью касательных пространств и полилинейных форм, которые во многом ведут себя как дифференциалы в классическом понимании. Хотя дифференциалы полезны в концептуальном и вычислительном плане, они основаны на плохо определенных понятиях бесконечно малых величин, разработанных в начале XX в. история исчисления. Дифференциальные формы обеспечивают математически строгую и точную основу для модернизации этой давней идеи. Дифференциальные формы особенно полезны в многомерное исчисление (анализ) и дифференциальная геометрия потому что они обладают свойствами преобразования, которые позволяют интегрировать их на кривых, поверхностях и их многомерных аналогах (дифференцируемые многообразия ). Одним из далеко идущих приложений является современное заявление Теорема Стокса, широкое обобщение основная теорема исчисления в более высокие измерения.

Приведенный ниже синопсис в основном основан на Спиваке (1965).^[6] и Ту (2011).^[3]

Определение дифференциала k-формы и построение 1-форм

Чтобы определить дифференциальные формы на открытых подмножествах ${ Displaystyle U подмножество mathbf {R} ^ {n}}$ , нам сначала понадобится понятие касательное пространство из ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ в ${ displaystyle p}$ , обычно обозначается ${ displaystyle T_ {p} mathbf {R} ^ {n}}$ или же ${ Displaystyle mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$ . Векторное пространство ${ Displaystyle mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$ удобнее всего определить как набор элементов ${ displaystyle v_ {p}}$ ( ${ displaystyle v in mathbf {R} ^ {n}}$ , с ${ displaystyle p in mathbf {R} ^ {n}}$ фиксировано) с векторным сложением и скалярным умножением, определяемым ${ displaystyle v_ {p} + w_ {p}: = (v + w) _ {p}}$ и ${ Displaystyle а cdot (v_ {p}): = (а cdot v) _ {p}}$ , соответственно. Более того, если ${ Displaystyle (е_ {1}, ldots, е_ {п})}$ стандартная основа для ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ , тогда ${ displaystyle ((е_ {1}) _ {p}, ldots, (e_ {n}) _ {p})}$ аналогичный стандартный базис для ${ Displaystyle mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$ . Другими словами, каждое касательное пространство ${ Displaystyle mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$ можно просто рассматривать как копию ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ (набор касательных векторов) в точке ${ displaystyle p}$ . Совокупность (несвязное объединение) касательных пространств ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ вообще ${ displaystyle p in mathbf {R} ^ {n}}$ известен как касательный пучок из ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ и обычно обозначается ${ textstyle T mathbf {R} ^ {n}: = bigcup _ {p in mathbf {R} ^ {n}} mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$ . Хотя данное здесь определение дает простое описание касательного пространства ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ , есть и другие, более сложные конструкции, которые лучше подходят для определения касательных пространств гладкие многообразия в целом (см. статью о касательные пространства для подробностей).

А дифференциал k-форма на ${ Displaystyle U подмножество mathbf {R} ^ {n}}$ определяется как функция ${ displaystyle omega}$ что присваивает каждому ${ displaystyle p in U}$ а k-ковектор на касательном пространстве ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ в ${ displaystyle p}$ , обычно обозначается ${ displaystyle omega _ {p}: = omega (p) in { mathcal {A}} ^ {k} ( mathbf {R} _ {p} ^ {n})}$ . Короче говоря, дифференциал k-форма - это k-ковекторное поле. Пространство k-форма на ${ displaystyle U}$ обычно обозначается ${ displaystyle Omega ^ {k} (U)}$ ; таким образом, если ${ displaystyle omega}$ это дифференциал k-form, пишем ${ displaystyle omega in Omega ^ {k} (U)}$ . По соглашению непрерывная функция на ${ displaystyle U}$ является дифференциальной 0-формой: ${ displaystyle f in C ^ {0} (U) = Omega ^ {0} (U)}$ .

Сначала мы построим дифференциальные 1-формы из 0-форм и выведем некоторые из их основных свойств. Чтобы упростить обсуждение ниже, мы будем рассматривать только гладкий дифференциальные формы, построенные из гладких ( ${ Displaystyle C ^ { infty}}$ ) функции. Позволять ${ displaystyle f: mathbf {R} ^ {n} to mathbf {R}}$ - гладкая функция. Определим 1-форму ${ displaystyle df}$ на ${ displaystyle U}$ за ${ displaystyle p in U}$ и ${ displaystyle v_ {p} in mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$ к ${ displaystyle (df) _ {p} (v_ {p}): = Df | _ {p} (v)}$ , куда ${ displaystyle Df | _ {p}: mathbf {R} ^ {n} to mathbf {R}}$ это полная производная из ${ displaystyle f}$ в ${ displaystyle p}$ . (Напомним, что полная производная - это линейное преобразование.) Особый интерес представляют карты проекций (также известные как координатные функции) ${ displaystyle pi ^ {i}: mathbf {R} ^ {n} to mathbf {R}}$ , определяется ${ Displaystyle х mapsto х ^ {я}}$ , куда ${ Displaystyle х ^ {я}}$ это я-я стандартная координата ${ Displaystyle х в mathbf {R} ^ {п}}$ . 1-формы ${ displaystyle d pi ^ {i}}$ известны как основные 1-формы; их условно обозначают ${ displaystyle dx ^ {i}}$ . Если стандартные координаты ${ displaystyle v_ {p} in mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$ находятся ${ Displaystyle (v ^ {1}, ldots, v ^ {n})}$ , то применение определения ${ displaystyle df}$ дает ${ displaystyle dx_ {p} ^ {i} (v_ {p}) = v ^ {i}}$ , так что ${ displaystyle dx_ {p} ^ {i} ((e_ {j}) _ {p}) = delta _ {j} ^ {i}}$ , куда ${ displaystyle delta _ {j} ^ {i}}$ это Дельта Кронекера.^[7] Таким образом, как двойник стандартного базиса для ${ Displaystyle mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$ , ${ displaystyle (dx_ {p} ^ {1}, ldots, dx_ {p} ^ {n})}$ формирует основу для ${ Displaystyle { mathcal {A}} ^ {1} ( mathbf {R} _ {p} ^ {n}) = ( mathbf {R} _ {p} ^ {n}) ^ {*}}$ . Как следствие, если ${ displaystyle omega}$ это 1-форма на ${ displaystyle U}$ , тогда ${ displaystyle omega}$ можно записать как ${ textstyle sum a_ {i} , dx ^ {i}}$ для гладких функций ${ displaystyle a_ {i}: U to mathbf {R}}$ . Кроме того, мы можем получить выражение для ${ displaystyle df}$ что совпадает с классическим выражением для полного дифференциала:

{ displaystyle df = sum _ {i = 1} ^ {n} D_ {i} f ; dx ^ {i} = { partial f over partial x ^ {1}} , dx ^ {1 } + cdots + { partial f over partial x ^ {n}} , dx ^ {n}.}

[Комментарии на обозначение: В этой статье мы следуем соглашению от тензорное исчисление и дифференциальная геометрия, в которой мультивекторы и мультивекторы записываются с нижним и верхним индексами соответственно. Поскольку дифференциальные формы являются полями мультивекторными, для их индексации используются верхние индексы.^[3] Противоположное правило применяется к составные части мультивекторов и мультивекторов, которые вместо этого записываются с верхним и нижним индексами соответственно. Например, мы представляем стандартные координаты вектора ${ displaystyle v in mathbf {R} ^ {n}}$ в качестве ${ Displaystyle (v ^ {1}, ldots, v ^ {n})}$ , так что ${ textstyle v = sum _ {i = 1} ^ {n} v ^ {i} e_ {i}}$ с точки зрения стандартной базы ${ Displaystyle (е_ {1}, ldots, е_ {п})}$ . Кроме того, верхние индексы, появляющиеся в знаменатель выражения (как в ${ textstyle { frac { partial f} { partial x ^ {i}}}}$ ) рассматриваются как нижние индексы в этом соглашении. Когда индексы применяются и интерпретируются таким образом, количество верхних индексов за вычетом числа нижних индексов в каждом члене выражения сохраняется как внутри суммы, так и через знак равенства, что служит полезным мнемоническим устройством и помогает выявить ошибки, допущенные при вычислении вручную.]

Основные операции с дифференциалом k-формы

В внешний продукт ( ${ displaystyle wedge}$ ) и внешняя производная ( ${ displaystyle d}$ ) - две фундаментальные операции над дифференциальными формами. Внешний продукт k-форма и ℓ-форма - это ${ Displaystyle (к + ell)}$ -форма, а внешняя производная k-форма - это ${ Displaystyle (к + 1)}$ -форма. Таким образом, обе операции порождают формы, отличные от форм более высокой степени.

В внешний продукт ${ Displaystyle клин: Omega ^ {k} (U) times Omega ^ { ell} (U) to Omega ^ {k + ell} (U)}$ дифференциальных форм является частным случаем внешнего произведения мультивекторов вообще (см. выше). Как и в целом для внешнего произведения, внешнее произведение дифференциальных форм билинейно, ассоциативно и является ступенчато-переменный.

Более конкретно, если ${ displaystyle omega = a_ {i_ {1} ldots i_ {k}} , dx ^ {i_ {1}} wedge cdots wedge dx ^ {i_ {k}}}$ и ${ displaystyle eta = a_ {j_ {1} ldots i _ { ell}} dx ^ {j_ {1}} wedge cdots wedge dx ^ {j _ { ell}}}$ , тогда

{ displaystyle omega wedge eta = a_ {i_ {1} ldots i_ {k}} a_ {j_ {1} ldots j _ { ell}} , dx ^ {i_ {1}} wedge cdots wedge dx ^ {i_ {k}} wedge dx ^ {j_ {1}} wedge cdots wedge dx ^ {j _ { ell}}.}.

Кроме того, для любого набора индексов ${ Displaystyle { alpha _ {1} ldots, alpha _ {m} }}$ ,

{ displaystyle dx ^ { alpha _ {1}} wedge cdots wedge dx ^ { alpha _ {p}} wedge cdots wedge dx ^ { alpha _ {q}} wedge cdots клин dx ^ { alpha _ {m}} = - dx ^ { alpha _ {1}} wedge cdots wedge dx ^ { alpha _ {q}} wedge cdots wedge dx ^ { alpha _ {p}} wedge cdots wedge dx ^ { alpha _ {m}}.}

Если ${ Displaystyle I = {i_ {1}, ldots, i_ {k} }}$ , ${ Displaystyle J = {j_ {1}, ldots, j _ { ell} }}$ , и ${ Displaystyle I cap J = emptyset}$ , то индексы ${ displaystyle omega wedge eta}$ могут быть расположены в порядке возрастания посредством (конечной) последовательности таких перестановок. С ${ displaystyle dx ^ { alpha} wedge dx ^ { alpha} = 0}$ , ${ Displaystyle I cap J neq emptyset}$ подразумевает, что ${ displaystyle omega wedge eta = 0}$ . Наконец, вследствие билинейности, если ${ displaystyle omega}$ и ${ displaystyle eta}$ являются суммами нескольких слагаемых, их внешний продукт подчиняется дистрибутивности по каждому из этих слагаемых.

Коллекция экстерьерных изделий основных 1-форм. ${ displaystyle {dx ^ {i_ {1}} wedge cdots wedge dx ^ {i_ {k}} mid 1 leq i_ {1} < cdots$ составляет основу пространства дифференциальных k-форм. Таким образом, любой ${ displaystyle omega in Omega ^ {k} (U)}$ можно записать в виде

{ displaystyle omega = sum _ {i_ {1} < cdots

куда ${ displaystyle a_ {i_ {1} ldots i_ {k}}: U to mathbf {R}}$ - гладкие функции. С каждым набором индексов ${ displaystyle {i_ {1}, ldots, i_ {k} }}$ размещенный в порядке возрастания, (*) называется стандартное представление из ${ displaystyle omega}$ .

В предыдущем разделе 1-форма ${ displaystyle df}$ был определен взятием внешней производной 0-формы (непрерывной функции) ${ displaystyle f}$ . Теперь мы расширим это, определив оператор внешней производной ${ Displaystyle d: Omega ^ {k} (U) to Omega ^ {k + 1} (U)}$ за ${ Displaystyle к geq 1}$ . Если стандартное представление k-форма ${ displaystyle omega}$ дается (*), ${ Displaystyle (к + 1)}$ -форма ${ displaystyle d omega}$ определяется

{ displaystyle d omega: = sum _ {i_ {1} < ldots

Свойство ${ displaystyle d}$ справедливым для всех гладких форм является то, что вторая внешняя производная любой ${ displaystyle omega}$ тождественно исчезает: ${ Displaystyle д ^ {2} омега = д (д омега) эквив 0}$ . Это можно установить непосредственно из определения ${ displaystyle d}$ и равенство смешанных частных производных второго порядка из ${ displaystyle C ^ {2}}$ функции (см. статью о закрытые и точные формы для подробностей).

Интегрирование дифференциальных форм и теорема Стокса для цепей

Чтобы интегрировать дифференциальную форму по параметризованной области, нам сначала нужно ввести понятие откат дифференциальной формы. Грубо говоря, когда интегрируется дифференциальная форма, применение отката преобразует ее таким образом, чтобы правильно учитывать изменение координат.

Для дифференцируемой функции ${ displaystyle f: mathbf {R} ^ {n} to mathbf {R} ^ {m}}$ и k-форма ${ displaystyle eta in Omega ^ {k} ( mathbf {R} ^ {m})}$ , мы называем ${ displaystyle f ^ {*} eta in Omega ^ {k} ( mathbf {R} ^ {n})}$ в откат из ${ displaystyle eta}$ к ${ displaystyle f}$ и определим его как k-формировать так, чтобы

{ displaystyle (f ^ {*} eta) _ {p} (v_ {1p}, ldots, v_ {kp}): = eta _ {f (p)} (f _ {*} (v_ {1p }), ldots, f _ {*} (v_ {kp})),}

за ${ displaystyle v_ {1p}, ldots, v_ {kp} in mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$ , куда ${ displaystyle f _ {*}: mathbf {R} _ {p} ^ {n} to mathbf {R} _ {f (p)} ^ {m}}$ это карта ${ Displaystyle v_ {p} mapsto (Df | _ {p} (v)) _ {f (p)}}$ .

Если ${ Displaystyle омега = е , dx ^ {1} клин cdots клин dx ^ {n}}$ является п-форма на ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ (т.е. ${ displaystyle omega in Omega ^ {n} ( mathbf {R} ^ {n})}$ ), определим его интеграл по единице п-ячейка как повторный интеграл Римана ${ displaystyle f}$ :

{ displaystyle int _ {[0,1] ^ {n}} omega = int _ {[0,1] ^ {n}} f , dx ^ {1} wedge cdots wedge dx ^ {n}: = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} f , dx ^ {1} cdots dx ^ {n}.}

Далее мы рассматриваем область интегрирования, параметризованную дифференцируемой функцией ${ displaystyle c: [0,1] ^ {n} к A subset mathbf {R} ^ {m}}$ , известный как п-куб. Чтобы определить интеграл от ${ displaystyle omega in Omega ^ {n} (A)}$ над ${ displaystyle c}$ , мы "отступаем" от ${ displaystyle A}$ к единице п-клетка:

{ displaystyle int _ {c} omega: = int _ {[0,1] ^ {n}} c ^ {*} omega.}

Для интеграции по более общим областям мы определяем н-цепь ${ textstyle C = sum _ {i} n_ {i} c_ {i}}$ как формальная сумма п-кубики и набор

{ displaystyle int _ {C} omega: = sum _ {i} n_ {i} int _ {c_ {i}} omega.}

Соответствующее определение ${ Displaystyle (п-1)}$ -цепь ${ displaystyle partial C}$ , известная как граница ${ displaystyle C}$ ,^[8] позволяет нам заявить о знаменитых Теорема Стокса (Теорема Стокса – Картана) для цепей в подмножестве ${ displaystyle mathbf {R} ^ {m}}$ :

Если ${ displaystyle omega}$ это гладкий ${ Displaystyle (п-1)}$ -форма на открытом множестве ${ Displaystyle А подмножество mathbf {R} ^ {m}}$ и ${ displaystyle C}$ гладкий ${ displaystyle n}$ -цепь в ${ displaystyle A}$ , тогда ${ displaystyle int _ {C} d omega = int _ { partial C} omega}$ .

Использование более сложного оборудования (например, микробы и производные ) касательное пространство ${ displaystyle T_ {p} M}$ любого гладкого многообразия ${ displaystyle M}$ (не обязательно встроен в ${ displaystyle mathbf {R} ^ {m}}$ ) можно определить. Аналогично дифференциальная форма ${ displaystyle omega in Omega ^ {k} (M)}$ на общем гладком многообразии - это отображение ${ displaystyle omega: p in M mapsto omega _ {p} in { mathcal {A}} ^ {k} (T_ {p} M)}$ . Теорема Стокса можно далее обобщить на произвольные гладкие многообразия с краем и даже на некоторые «грубые» области (см. статью о Теорема Стокса для подробностей).