Многолинейная карта - Википедия - Multilinear map

В линейная алгебра, а многолинейная карта это функция нескольких переменных, линейно отдельно по каждой переменной. Точнее, полилинейная карта - это функция

{ displaystyle f двоеточие V_ {1} times cdots times V_ {n} to W { text {,}}}

куда ${ Displaystyle V_ {1}, ldots, V_ {n}}$ и ${ displaystyle W}$ находятся векторные пространства (или же модули через коммутативное кольцо ) со следующим свойством: для каждого ${ displaystyle i}$ , если все переменные, кроме ${ displaystyle v_ {i}}$ остаются постоянными, тогда ${ Displaystyle f (v_ {1}, ldots v_ {i}, ldots v_ {n})}$ это линейная функция из ${ displaystyle v_ {i}}$ .^[1]

Полилинейная карта одной переменной - это линейная карта, а двух переменных есть билинейная карта. В более общем смысле, полилинейная карта k переменные называется k-линейная карта. Если codomain полилинейного отображения - это поле скаляров, оно называется полилинейная форма. Полилинейные карты и полилинейные формы являются фундаментальными объектами изучения в полилинейная алгебра.

Если все переменные принадлежат одному и тому же пространству, можно рассмотреть симметричный, антисимметричный и чередование k-линейные карты. Последние совпадают, если лежащие в основе звенеть (или же поле ) имеет характеристика отличается от двух, иначе первые два совпадают.

Примеры

Любой билинейная карта является полилинейной картой. Например, любой внутренний продукт в векторном пространстве является полилинейным отображением, как и перекрестное произведение векторов в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ .
В детерминант матрицы - это чередование полилинейная функция столбцов (или строк) квадратная матрица.
Если ${ Displaystyle F двоеточие mathbb {R} ^ {m} to mathbb {R} ^ {n}}$ это C^k функция, то ${ Displaystyle к !}$ -я производная от ${ Displaystyle F !}$ в каждой точке ${ displaystyle p}$ в своей области можно рассматривать как симметричный ${ displaystyle k}$ -линейная функция ${ Displaystyle D ^ {к} ! F двоеточие mathbb {R} ^ {m} times cdots times mathbb {R} ^ {m} to mathbb {R} ^ {n}}$ .
В тензорно-векторная проекция в полилинейное подпространственное обучение также является полилинейной картой.

Координатное представление

Позволять

{ displaystyle f двоеточие V_ {1} times cdots times V_ {n} to W { text {,}}}

- полилинейное отображение между конечномерными векторными пространствами, где ${ displaystyle V_ {i} !}$ имеет размер ${ displaystyle d_ {i} !}$ , и ${ Displaystyle W !}$ имеет размер ${ displaystyle d !}$ . Если мы выберем основа ${ displaystyle {{ textbf {e}} _ {i1}, ldots, { textbf {e}} _ {id_ {i}} }}$ для каждого ${ displaystyle V_ {i} !}$ и основа ${ displaystyle {{ textbf {b}} _ {1}, ldots, { textbf {b}} _ {d} }}$ за ${ Displaystyle W !}$ (используя полужирный шрифт для векторов), то мы можем определить набор скаляров ${ Displaystyle A_ {j_ {1} cdots j_ {n}} ^ {k}}$ к

{ displaystyle f ({ textbf {e}} _ {1j_ {1}}, ldots, { textbf {e}} _ {nj_ {n}}) = A_ {j_ {1} cdots j_ {n }} ^ {1} , { textbf {b}} _ {1} + cdots + A_ {j_ {1} cdots j_ {n}} ^ {d} , { textbf {b}} _ {d}.}

Тогда скаляры ${ displaystyle {A_ {j_ {1} cdots j_ {n}} ^ {k} mid 1 leq j_ {i} leq d_ {i}, 1 leq k leq d }}$ полностью определить полилинейную функцию ${ displaystyle f !}$ . В частности, если

{ displaystyle { textbf {v}} _ {i} = sum _ {j = 1} ^ {d_ {i}} v_ {ij} { textbf {e}} _ {ij} !}

за ${ Displaystyle 1 Leq я Leq п !}$ , тогда

{ displaystyle f ({ textbf {v}} _ {1}, ldots, { textbf {v}} _ {n}) = sum _ {j_ {1} = 1} ^ {d_ {1} } cdots sum _ {j_ {n} = 1} ^ {d_ {n}} sum _ {k = 1} ^ {d} A_ {j_ {1} cdots j_ {n}} ^ {k} v_ {1j_ {1}} cdots v_ {nj_ {n}} { textbf {b}} _ {k}.}

Пример

Возьмем трилинейную функцию

{ displaystyle g двоеточие R ^ {2} times R ^ {2} times R ^ {2} to R,}

куда $V я = р 2, d я = 2, я = 1,2,3$ , и $W = р, d = 1$ .

Основа для каждого $V я$ является ${ displaystyle {{ textbf {e}} _ {i1}, ldots, { textbf {e}} _ {id_ {i}} } = {{ textbf {e}} _ {1} , { textbf {e}} _ {2} } = {(1,0), (0,1) }.}$ Позволять

{ displaystyle g ({ textbf {e}} _ {1i}, { textbf {e}} _ {2j}, { textbf {e}} _ {3k}) = f ({ textbf {e} } _ {i}, { textbf {e}} _ {j}, { textbf {e}} _ {k}) = A_ {ijk},}

куда ${ displaystyle i, j, k in {1,2 }}$ . Другими словами, постоянная ${ displaystyle A_ {ijk}}$ является значением функции в одной из восьми возможных троек базисных векторов (поскольку есть два варианта для каждого из трех ${ displaystyle V_ {i}}$ ), а именно:

{ displaystyle {{ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1} }, {{ textbf {e }} _ {1}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2} }, {{ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1} }, {{ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {2} }, {{ textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1} }, {{ textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2} }, {{ textbf {e }} _ {2}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1} }, {{ textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {2} }.}

Каждый вектор ${ displaystyle { textbf {v}} _ {i} in V_ {i} = R ^ {2}}$ можно выразить как линейную комбинацию базисных векторов

{ displaystyle { textbf {v}} _ {i} = sum _ {j = 1} ^ {2} v_ {ij} { textbf {e}} _ {ij} = v_ {i1} times { textbf {e}} _ {1} + v_ {i2} times { textbf {e}} _ {2} = v_ {i1} times (1,0) + v_ {i2} times (0, 1).}

Значение функции в произвольном наборе из трех векторов ${ displaystyle { textbf {v}} _ {i} in R ^ {2}}$ можно выразить как

{ displaystyle g ({ textbf {v}} _ {1}, { textbf {v}} _ {2}, { textbf {v}} _ {3}) = sum _ {i = 1} ^ {2} sum _ {j = 1} ^ {2} sum _ {k = 1} ^ {2} A_ {ijk} v_ {1i} v_ {2j} v_ {3k}.}

Или в развернутом виде как

{ displaystyle { begin {align} g ((a, b), (c, d) &, (e, f)) = ace times g ({ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1}) + acf times g ({ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1 }, { textbf {e}} _ {2}) & + ade times g ({ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1}) + adf times g ({ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {2} ) + bce times g ({ textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1}) + bcf times g ({ textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2}) & + bde times g ({ textbf {e} } _ {2}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1}) + bdf times g ({ textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {2}). end {выравнивается}}}

Отношение к тензорным произведениям

Между полилинейными отображениями существует естественное взаимно однозначное соответствие

{ displaystyle f двоеточие V_ {1} times cdots times V_ {n} to W { text {,}}}

и линейные карты

{ Displaystyle F двоеточие V_ {1} otimes cdots otimes V_ {n} to W { text {,}}}

куда ${ Displaystyle V_ {1} otimes cdots otimes V_ {n} !}$ обозначает тензорное произведение из ${ Displaystyle V_ {1}, ldots, V_ {n}}$ . Связь между функциями ${ displaystyle f !}$ и ${ Displaystyle F !}$ дается формулой

{ Displaystyle F (v_ {1} otimes cdots otimes v_ {n}) = f (v_ {1}, ldots, v_ {n}).}

Полилинейные функции на п×п матрицы

Можно рассматривать полилинейные функции на $п \times п$ матрица над коммутативное кольцо $K$ с единицей, как функция строк (или, что эквивалентно, столбцов) матрицы. Позволять $А$ быть такой матрицей и $а я, 1 \leq я \leq п$ , быть рядами $А$ . Тогда полилинейная функция $D$ можно записать как

{ Displaystyle D (A) = D (a_ {1}, ldots, a_ {n}),}

удовлетворение

{ displaystyle D (a_ {1}, ldots, ca_ {i} + a_ {i} ', ldots, a_ {n}) = cD (a_ {1}, ldots, a_ {i}, ldots , a_ {n}) + D (a_ {1}, ldots, a_ {i} ', ldots, a_ {n}).}

Если мы позволим ${ displaystyle { hat {e}} _ {j}}$ представляют $j$ -ю строку единичной матрицы, мы можем выразить каждую строку $а я$ как сумма

{ displaystyle a_ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} A (i, j) { hat {e}} _ {j}.}

Используя полилинейность $D$ мы переписываем $D (А)$ в качестве

{ Displaystyle D (A) = D left ( sum _ {j = 1} ^ {n} A (1, j) { hat {e}} _ {j}, a_ {2}, ldots, a_ {n} right) = sum _ {j = 1} ^ {n} A (1, j) D ({ hat {e}} _ {j}, a_ {2}, ldots, a_ { n}).}

Продолжая эту замену для каждого $а я$ мы получаем, для $1 \leq я \leq п$ ,

{ displaystyle D (A) = sum _ {1 leq k_ {i} leq n} A (1, k_ {1}) A (2, k_ {2}) dots A (n, k_ {n }) D ({ hat {e}} _ {k_ {1}}, dots, { hat {e}} _ {k_ {n}}),}

где, поскольку в нашем случае $1 \leq я \leq п$ ,

{ displaystyle sum _ {1 leq k_ {i} leq n} = sum _ {1 leq k_ {1} leq n} ldots sum _ {1 leq k_ {i} leq n } ldots sum _ {1 leq k_ {n} leq n}}

представляет собой серию вложенных суммирований.

Следовательно, $D (А)$ однозначно определяется тем, как $D$ действует на ${ displaystyle { hat {e}} _ {k_ {1}}, dots, { hat {e}} _ {k_ {n}}}$ .

Пример

В случае матриц 2 × 2 получаем

{ Displaystyle D (A) = A_ {1,1} A_ {2,1} D ({ hat {e}} _ {1}, { hat {e}} _ {1}) + A_ {1 , 1} A_ {2,2} D ({ hat {e}} _ {1}, { hat {e}} _ {2}) + A_ {1,2} A_ {2,1} D ( { hat {e}} _ {2}, { hat {e}} _ {1}) + A_ {1,2} A_ {2,2} D ({ hat {e}} _ {2} , { hat {e}} _ {2}) ,}

Где ${ Displaystyle { шляпа {е}} _ {1} = [1,0]}$ и ${ Displaystyle { шляпа {е}} _ {2} = [0,1]}$ . Если мы ограничим ${ displaystyle D}$ быть альтернативной функцией, тогда ${ displaystyle D ({ hat {e}} _ {1}, { hat {e}} _ {1}) = D ({ hat {e}} _ {2}, { hat {e} } _ {2}) = 0}$ и ${ displaystyle D ({ hat {e}} _ {2}, { hat {e}} _ {1}) = - D ({ hat {e}} _ {1}, { hat {e }} _ {2}) = - D (I)}$ . Сдача ${ Displaystyle D (I) = 1}$ получаем детерминантную функцию на матрицах 2 × 2: