Линейная функция - Linear function

В математика, период, термин линейная функция относится к двум различным, но связанным понятиям:^[1]

• В исчисление и связанных областях, линейная функция - это функция чья график это прямая линия, это полиномиальная функция из степень ноль или один.^[2] Чтобы отличить такую ​​линейную функцию от другого понятия, термин аффинная функция часто используется.^[3]
• В линейная алгебра, математический анализ,^[4] и функциональный анализ, линейная функция - это линейная карта.^[5]

Как полиномиальная функция

Графики двух линейных (полиномиальных) функций.

В расчетах аналитическая геометрия и связанных областях, линейная функция - это многочлен первой или меньшей степени, включая нулевой многочлен (последний не считается имеющим нулевую степень).

Когда функция только одного переменная, это имеет вид

${ displaystyle f (x) = ax + b,}$

где а и б находятся константы, довольно часто действительные числа. В график такой функции одной переменной - невертикальная линия. а часто называют наклоном линии, и б как перехват.

Для функции ${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {k})}$ любого конечного числа независимые переменные, общая формула

${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {k}) = b + a_ {1} x_ {1} + ldots + a_ {k} x_ {k}}$,

а график - это гиперплоскость измерения k.

А постоянная функция также считается линейным в этом контексте, поскольку это многочлен нулевой степени или нулевой многочлен. Его график, когда есть только одна независимая переменная, представляет собой горизонтальную линию.

В этом контексте другое значение (линейная карта) может быть обозначено как однородный линейная функция или линейная форма. В контексте линейной алгебры это значение (полиномиальные функции степени 0 или 1) представляет собой особый вид аффинная карта.

Как линейная карта

В интеграл функции - это линейное отображение из векторного пространства интегрируемых функций в действительные числа.

В линейной алгебре линейная функция - это отображение ж между двумя векторные пространства что сохраняет векторное сложение и скалярное умножение:

${ Displaystyle е ( mathbf {x} + mathbf {y}) = f ( mathbf {x}) + f ( mathbf {y})}$

${ displaystyle f (a mathbf {x}) = af ( mathbf {x}).}$

Вот а обозначает константу, принадлежащую некоторому поле K из скаляры (например, действительные числа ) и Икс и у являются элементами векторное пространство, который может быть K сам.

Некоторые авторы используют «линейную функцию» только для линейных карт, которые принимают значения в скалярном поле;^[6] их также называют линейные функционалы.

«Линейные функции» исчисления квалифицируются как «линейные карты», когда (и только когда) ${ displaystyle f ([0, ldots, 0]) = 0}$, или, что то же самое, когда постоянная ${ displaystyle b = 0}$. Геометрически график функции должен проходить через начало координат.

Смотрите также

• Однородная функция
• Нелинейная система
• Кусочно-линейная функция
• Линейное приближение
• Линейная интерполяция
• Разрывная линейная карта
• Линейный метод наименьших квадратов

Заметки

использованная литература

• Израиль Моисеевич Гельфанд (1961), Лекции по линейной алгебре, Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк. Перепечатано Dover, 1989. ISBN  0-486-66082-6
• Томас С. Шорс (2007), Прикладная линейная алгебра и матричный анализ, Тексты для бакалавриата по математике, Springer. ISBN  0-387-33195-6
• Джеймс Стюарт (2012), Исчисление: ранние трансцендентальные теории, издание 7E, Brooks / Cole. ISBN  978-0-538-49790-9
• Леонид Н. Васерштейн (2006), «Линейное программирование», в Лесли Хогбен, изд., Справочник по линейной алгебре, Дискретная математика и ее приложения, Chapman and Hall / CRC, chap. 50. ISBN  1-584-88510-6

внешние ссылки